1. 개요
별을 닮은듯한 모양 기호나 도형. 영어로는 star polygon 이라고 부른다. 뿔의 갯수에 따라 분류되는 별들 중 문서가 존재하는 것들은 오각성, 육각성, 칠각성이 있다.[1]
2. 기하학적 도형
기하학적으로 별 형태의 모양을 가지는 도형으로 의 값으로 정의된다. 일반적으로 범위에서 정의된다.
[math(p)]는 꼭지점 또는 선분의 수이고, [math(q)]는 분할하는 방법에 대한 정의이다. [math(p = 5)]인 경우 오각성 [math(\left \{ \frac{5}{2} \right \} )], [math(p = 6)]인 경우는 육각성 [math(\left \{ \frac{6}{2} \right \} )], [math(p = 7)]인 경우는 칠각성, ... 이런 식으로 [math(p)]각성 또는 [math(p)]각별이라고 부른다. 참고로 칠각성의 경우 [math(\left \{ \frac{7}{2} \right \} )], [math(\left \{ \frac{7}{3} \right \} )] 의 2종류가 존재한다.
[math(p)]가 17 이상의 소수일 때부터는 [math(p)]의 값에 따라서 [math(2)] 이상 [math(\frac{p}{2})] 미만의 모든 자연수를 [math(q)]에 대입할 수 있으므로 [math(p)]각성의 종류와 개수가 많아지며, 반대로 [math(p)]가 합성수이면 보통 [math(2)] 이상 [math(\frac{p}{2})] 미만인 자연수 가운데 서로소인 수의 개수가 대부분 소수각형보다 적으므로 종류도 비교적 적은 경향을 보인다. 특히 팔각성, 십각성, 십이각성 등은 각각 [math(\left \{ \frac{8}{3} \right \} )], [math(\left \{ \frac{10}{3} \right \} )], [math(\left \{ \frac{12}{5} \right \} )]로, 하나씩밖에 없으며 십오각성, 십육각성, 십팔각성, 이십각성, 이십사각성, 삼십각성의 값들도 각각 [math(\left \{ \frac{15}{2} \right \} )], [math(\left \{ \frac{15}{4} \right \} )], [math(\left \{ \frac{15}{7} \right \} )][2], [math(\left \{ \frac{16}{3} \right \} )], [math(\left \{ \frac{16}{5} \right \} )], [math(\left \{ \frac{16}{7} \right \} )], [math(\left \{ \frac{18}{5} \right \} )], [math(\left \{ \frac{18}{7} \right \} )], [math(\left \{ \frac{20}{3} \right \} )], [math(\left \{ \frac{20}{7} \right \} )], [math(\left \{ \frac{20}{9} \right \} )], [math(\left \{ \frac{24}{5} \right \} )], [math(\left \{ \frac{24}{7} \right \} )], [math(\left \{ \frac{24}{11} \right \} )], [math(\left \{ \frac{30}{7} \right \} )], [math(\left \{ \frac{30}{11} \right \} )], [math(\left \{ \frac{30}{13} \right \} )]이 되어 근처 소수각형들에 비해서 다각성 종류가 적은 편이다.
[math(p)]와 [math(q)]의 관계에 따라 상이한 모양이 나타난다.
- [math(p)]와 [math(q)]가 서로소: 한 점에서 시작해서 모든 점을 거치며 [math(p)]개의 선분을 그리고 나서 다시 원래 자리로 한번에 돌아오는 모양이 된다. 보통 '별'이라 하면 이 모양을 가리킨다.
- [math(p)]가 [math(q)]의 배수: 육각성 [math(\left \{ \frac{6}{2} \right \} )]=[math(2\{3\})]처럼 합동인 정[math(\displaystyle \frac{p}{q})]각형을 [math(q)]개 겹친 형태가 된다.
- [math(\displaystyle \frac{p}{q})]가 기약분수로 [math(\displaystyle \frac{x}{y})]가 되면서 동시에 [math(p)]가 [math(q)]의 배수가 아님: 예를 들어 [math(\left \{ \frac{10}{4} \right \} )]의 경우는 기약분수로 [math(\frac{5}{2})]가 되므로 일반적인 오각성 [math(\left \{ \frac{5}{2} \right \} )]가 2개 겹쳐진 형태로 나타난다.
- [math(q = 1)]: 일반적인 정다각형과 동일하다.
- [math(q = \frac{p}{2})]: 길이가 같은 선분 [math(q)]개가 서로 중점에서 교차하는 형태가 된다. 예를 들어 [math(\left \{ \frac{4}{2} \right \} )]는 + 모양이 되며, [math(\left \{ \frac{6}{3} \right \} )]는 3개의 선분이, [math(\left \{ \frac{8}{4} \right \} )]는 4개의 선분이 +와 x 모양으로 각각 번갈아 교차한 모습이다.
- [math(\frac{p}{2} < q < p)]: [math(\left \{ \frac{p}{q} \right \} = \left \{ \frac{p}{p-q} \right \})]이다. 예를 들어 [math(\left \{ \frac{5}{3} \right \} = \left \{ \frac{5}{2} \right \} )]이다. 단 이를 슐레플리 기호로써 해석할 경우는 이 2개가 서로 다른 성질을 가진다.
- [math(q = 0)]: 정의되지 않으나, 억지로 정의하면 [math(n)]개의 점으로 나타난다.
- [math(q < 0)]: [math(\left \{ \frac{p}{q} \right \} = \left \{ \frac{p}{-q} \right \})]이다. 예를 들어 [math(\left \{ \frac{5}{-2} \right \} = \left \{ \frac{5}{2} \right \} )] 이다.
- [math(p < q)]인 경우는 [math(q' \equiv q \left(\text{mod} \,p\right),~1 < q' < p)] [mod?]에 대해서 [math(\left \{ \frac{p}{q} \right \} = \left \{ \frac{p}{q'} \right \} )]이다. 예를 들어 [math(\left \{ \frac{5}{7} \right \} )] = [math(\left \{ \frac{5}{2} \right \} )] 이다.
별 도형의 특성은 매듭이론과도 연관이 깊다.
별 도형이 3차원으로 확장되면 케플러-푸앵소 다면체가 된다. 그 외에 자세한 정보는 슐레플리 기호, 정다포체, 4차원 정다포체, 테셀레이션 문단의 오목 정다포체 관련 문단을 참고.
3. 기호
- 다각형 모양의 유니코드도 존재하며 오각성의 경우 무색/흑색 버전으로 2가지로 존재한다. 오각성 (☆, ★), 육각성(✡) 같은 것이 있다. 표창 모양의 사각성도 빈도는 낮지만 조금 쓰이는 편(✦/✧)이다. 그외 다양한 별 모양 기호가 유니코드에 등록되어 있는데, 영어 위키백과 참조.
4. 사용되는 곳
4.1. 국기
| | |
| 미국의 성조기 | 중국의 오성홍기 |
국기의 상징으로 나타내기 때문에, 해당 국가의 소속임을 나타내는 라운델에도 사용된다.
4.1.1. 국기에 별이 있는 나라
| 국가 | 국기 이름 | 별의 종류와 갯수[5] | 비고 |
| 미국 | 성조기 | 50개 | 50개의 주. 주가 늘어나면 그에 맞게 국기도 바뀐다. |
| 브라질 | 브라질/국기 | 27개 | 27개의 주. 주가 늘어나면 그에 맞게 국기도 바뀐다. |
| 베네수엘라 | - | 8개 | 8개의 주. [6] |
| 중국 | 오성홍기 | 5개 | - |
| 코모로 | - | 4개 | - |
| 뉴질랜드 | - | 4개 | - |
| 필리핀 | - | 3개 | - |
| 시리아 | - | 2개 | - |
| 북한 | 인공기 | 1개 | - |
| 베트남 | 금성홍기 | 1개 | - |
| 튀르키예 | 월성기 | 1개 | - |
| 구 소련 | 소련/국기 | 1개 | 낫과 망치 상단에 작은 노란색 별이 있다. |
| 미얀마 | - | 1개 | - |
| 모로코 | - | 1개 | 선으로된 별 |
| 칠레 | - | 1개 | - |
| 소말리아 | - | 1개 | - |
| 파키스탄 | - | 1개 | - |
| 모리타니 | - | 1개 | - |
| 수리남 | - | 1개 | - |
| 리비아 | - | 1개 | - |
| 알제리 | - | 1개 | - |
| 튀니지 | - | 1개 | - |
| 동티모르 | - | 1개 | - |
| 육각성을 사용하는 국가 | |||
| 부룬디 | - | 3개의 육각성 | - |
| 이스라엘 | - | 1개의 육각성 | 다윗의 별 |
| 칠각성을 사용하는 국가 | |||
| 호주 | 호주/국기 | 5개의 칠각성 + 1개의 오각성 | - |
| 요르단 | - | 1개의 칠각성 | - |
| 십이각성을 사용하는 국가 | |||
| 네팔 | - | 1개의 십이각성 | - |
| 십사각성을 사용하는 국가 | |||
| 말레이시아 | - | 1개의 십사각성 | - |
- 일부 이슬람 국가들 - 초승달과 함께 별이 그려져 있다.
4.1.2. 그외
- 국가연합인 유럽연합(EU)의 깃발에서도 별이 사용된다.
- 일부 국가들은 군기(軍旗)로도 사용된다. 소련의 영향을 받은 국가들의 군기가 대부분 이러한데, 벨라루스군과 카자흐스탄군 군기의 중심부에 붉은 별 도장이 있고, 러시아군도 사용하였으나 2010년대 이후 소련시절의 붉은별을 완전히 수정하였다.
4.2. 장성급 장교
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4.3. 스포츠
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| 브라질 축구 국가대표팀 | 이탈리아 축구 국가대표팀 | 독일 축구 국가대표팀 |
한편 2회 우승한 우루과이 축구 국가대표팀은 별 4개를 다는데, 월드컵이 처음 개최되기 전 올림픽 축구에서 딴 2개의 금메달까지 포함했기 때문이다. 물론 FIFA에서 월드컵 우승과 동급으로 인정하지 않는 기록이라 별 두 개를 떼라고 권고했다.
가나 축구 국가대표팀, 중국 축구 국가대표팀처럼 로고와 일체형인 별은 우승횟수와 상관 없이 국기의 별 모양에서 따온 경우가 많다.
리그팀의 경우에도 별을 달아 쓰는 경우가 있다. 특이한 팀으로는 아르헨티나의 CA 보카 주니어스가 있는데, 이 팀은 대회 우승횟수가 매우 많다 보니, 아예 별을 배경으로 쓰는 위엄을 보여 준다.
다른 스포츠에서도 우승 횟수에 따라 팀 로고 위에 별을 달아주는 경우가 있다. 가령 LoL e스포츠에서 리그 오브 레전드 월드 챔피언십 4회 우승을 했던 T1 팀 유니폼의 로고 위에는 별 네 개가 달려있는 경우가 많다.
4.4. 기타
멕시코의 버스 회사들은 별을 많이 사용한다. 멕시코 최대 버스 회사인 에스트레야 블랑카 그룹부터 시작해서 ADO의 계열사인 에스트레야 데 오로, 에스트레야 로하 등등이 있다.[1] 이 n각성 도형을 별 모양으로 인식하는 것은 본래 서양의 전통으로, 중국 등 유교 문화권에서는 별 모양을 ○모양으로 표시해왔고 n각성 도형은 꽃 모양으로 인식했었다.[2] [math(\left \{ \frac{15}{7} \right \} )]는 내각이 12도로 매우 작아서 너무 예리하기 때문에 별 모양으로 잘 쓰이지 않는다.[mod?] 쉽게 설명하자면, [math(q')]은 [math(q)]를 [math(p)]로 나누었을 때의 나머지이다.[4] 이 단어의 어원 자체가 '별'을 뜻하는 그리스어 이다.[5] 별의 종류가 따로 언급되지 않은 경우는 모두 '오각성'[6] 분쟁 지역인 과야나 에세키바 포함