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投票의 逆說
1. 개요
역설의 일종. 불합리한 투표 결과가 일어나는 현상을 말한다.2. 예시
2.1. 콩도르세 승자가 존재하는 경우(콩도르세 역설)
투표자 7명에게 후보 3명의 뽑고 싶은 순위를 매기라고 한 결과가 다음과 같았다고 하자. 각 투표자는 이 순위대로 누구에게 투표할지를 결정한다고 하자.| 후보 | ||||
| 가 | 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 | 3 |
| B | 1 | 2 | 3 | |
| C | 1 | 3 | 2 | |
| D | 3 | 1 | 2 | |
| E | 3 | 1 | 2 | |
| F | 3 | 2 | 1 | |
| G | 3 | 2 | 1 | |
'가', '나', '다' 모두 출마한 선거에서 당선자는 '가'가 된다. A, B, C가 '가'를 뽑고, D, E가 '나'를 뽑고, F, G가 '다'를 뽑기 때문이다.
그러나 세 후보 중 두 후보만을 비교하면 이야기가 달라진다. 만약 '가'와 '나'만을 놓고 투표를 한다면, 상황이 다음과 같아진다.
| 후보 | |||
| 가 | 나 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 |
| B | 1 | 2 | |
| C | 1 | 3 | |
| D | 3 | 1 | |
| E | 3 | 1 | |
| F | 3 | 2 | |
| G | 3 | 2 | |
이에 따라 A, B, C 세 명이 '가'를 뽑고 D, E, F, G 네 명이 '나'를 뽑으므로 '나'가 당선되고 '가'가 낙선한다.
'가'와 '다'만을 놓고 투표를 한다면
| 후보 | |||
| 가 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 3 |
| B | 1 | 3 | |
| C | 1 | 2 | |
| D | 3 | 2 | |
| E | 3 | 2 | |
| F | 3 | 1 | |
| G | 3 | 1 | |
이렇게 되고, A, B, C가 '가'를 뽑고 D, E, F, G가 '다'를 뽑으므로 '다'가 당선되고 '가'가 낙선한다.
'나'와 '다'만을 놓고 투표를 한다면
| 후보 | |||
| 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 2 | 3 |
| B | 2 | 3 | |
| C | 3 | 2 | |
| D | 1 | 2 | |
| E | 1 | 2 | |
| F | 2 | 1 | |
| G | 2 | 1 | |
이렇게 되고, A, B, D, E가 '나'를 뽑고 C, F, G가 '다'를 뽑으므로 '나'가 당선되고 '다'가 낙선한다.
세 가지의 투표 결과를 다시 표로 정리하면,
| 가 vs 나 | 가<나 |
| 가 vs 다 | 가<다 |
| 나 vs 다 | 나>다 |
이렇게 되는데, 이 표에서 알 수 있듯 '가'는 "다른 어느 후보와 비교해도 뽑고 싶지 않은 후보"가 되며, '나'는 "다른 어느 후보와 비교해도 뽑고 싶은 후보"가 된다. 분명히 '가', '나', '다' 셋을 놓고 투표를 하면 '가'가 당선되는데, 세 후보 중 둘만을 놓고 투표를 하면 오히려 '가'는 가장 뽑고 싶지 않은 후보가 되어 버린다!
이번에는 '가장 뽑고 싶지 않은 후보'를 뽑아보자. 그러면
| 후보 | ||||
| 가 | 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 | 3 |
| B | 1 | 2 | 3 | |
| C | 1 | 3 | 2 | |
| D | 3 | 1 | 2 | |
| E | 3 | 1 | 2 | |
| F | 3 | 2 | 1 | |
| G | 3 | 2 | 1 | |
이에 따라 D, E, F, G가 '가'를 뽑고, C가 '나'를 뽑고, A, B가 '다'를 뽑으므로 '가'가 당선된다. 가장 뽑고 싶은 후보를 뽑는 투표와 가장 뽑고 싶지 않은 후보를 뽑는 투표의 당선자가 일치한다!
이처럼 각 투표자가 모두 합리적인 판단으로 투표를 하는데도 불합리한 결과가 발생하는 경우가 있다. 이와 같은 투표의 성질을 최초로 규명한 사람은 18세기 프랑스 수학자이자 정치가 마르키 드 콩도르세(Marquis de Condorcet, 1743~1794)이다. 그의 이름을 따서, 이와 같은 역설을 콩도르세 역설이라고 하며, 앞에서 보인 것처럼 셋 이상의 후보 중 둘을 뽑아 1:1 비교를 하는 투표에서 항상 승리하는 후보를 콩도르세 승자라고 한다. 반대로 1:1에서 항상 패배하는 후보는 콩도르세 패자라고 부른다.
2.2. 콩도르세 승자가 존재하지 않는 경우(어젠다 패러독스)
가령,| 후보 | ||||
| 가 | 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 | 3 |
| B | 3 | 1 | 2 | |
| C | 2 | 3 | 1 | |
투표자 A, B, C가 후보 가, 나, 다에 대한 뽑고 싶은 순위가 이와 같다고 하자. 이 경우에는 후보자 세 명 모두를 놓고 투표를 해도 표가 한 표씩 갈리므로 당선자를 결정할 수 없고, 두 후보만을 뽑아 투표를 하더라도 역시 표가 한 표씩 갈려[1] 콩도르세 승자가 존재하지 않는다. 이런 경우, 세 후보 중 우선 두 후보만을 놓고 투표를 한 후에, 이 투표에서 당선된 후보와 나머지 한 후보를 놓고 투표하는 방법이 있다. 나머지 한 후보는 한 번 부전승(不戰勝)을 하는 셈이다. 이런 투표 방법을 적용하면 패러독스가 발생한다.
가령, 우선 '가'와 '나'만을 놓고 투표를 하면
| 후보 | |||
| 가 | 나 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 |
| B | 3 | 1 | |
| C | 2 | 3 | |
이에 따라 A, C는 '가'를 뽑고 B는 '나'를 뽑으므로 '가'가 당선된다.
이제 이렇게 당선된 후보 '가'와 나머지 후보 '다'를 놓고 투표를 한다. 그러면
| 후보 | |||
| 가 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 3 |
| B | 3 | 2 | |
| C | 2 | 1 | |
이에 따라 A는 '가'를 뽑고 B, C는 '다'를 뽑으므로 최종적으로 '다'가 당선된다.
이번에는 우선 '가'와 '다'만을 놓고 투표를 해보자. 그러면
| 후보 | |||
| 가 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 3 |
| B | 3 | 2 | |
| C | 2 | 1 | |
이에 따라 A는 '가'를 뽑고 B, C는 '다'를 뽑으므로 '다'가 당선된다.
이제 이렇게 당선된 후보 '다'와 나머지 후보 '나'를 놓고 투표를 한다. 그러면
| 후보 | |||
| 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 2 | 3 |
| B | 1 | 2 | |
| C | 3 | 1 | |
이에 따라 A, B는 '나'를 뽑고 C는 '다'를 뽑으므로 최종적으로 '나'가 당선된다.
이번에는 우선 '나'와 '다'만을 놓고 투표를 해보자. 그러면
| 후보 | |||
| 나 | 다 | ||
| 투 표 자 | A | 2 | 3 |
| B | 1 | 2 | |
| C | 3 | 1 | |
이에 따라 A, B는 '나'를 뽑고 C는 '다'를 뽑으므로 '나'가 당선된다.
이제 이렇게 당선된 후보 '나'와 나머지 후보 '가'를 놓고 투표를 한다. 그러면
| 후보 | |||
| 가 | 나 | ||
| 투 표 자 | A | 1 | 2 |
| B | 3 | 1 | |
| C | 2 | 3 | |
이에 따라 A, C는 '가'를 뽑고 B는 '나'를 뽑으므로 '가'가 최종적으로 당선된다.
세 가지의 투표 결과를 다시 표로 정리하면,
| 투표 순서 | 최종 당선자 |
| 가vs나 먼저(부전승: 다) | 다 |
| 가vs다 먼저(부전승: 나) | 나 |
| 나vs다 먼저(부전승: 가) | 가 |
각 투표자의 생각은 변함없고, 합리적인 판단으로 투표를 하는데도, 투표 순서에 따라 최종 승자가 달라진다!
이것은 투표자 집단 자체에서의 가장 우세한 의사는 결정할 수 없음에도 투표 순서에 따라 최종 당선자가 바뀐다는 점에서 패러독스이다. 이 패러독스는 법안 심의 순서 기록물(어젠다, agenda)에 비유하여 어젠다 패러독스(agenda paradox)라고 한다.
3. 발생 확률
후보가 3개이고 투표자가 3명인 경우, 패러독스가 발생할 확률은 대략 5.7%라고 한다.4. 투표의 역설과 사회 제도
결선투표제(決選投票制)는 콩도르세 승자와 연관이 깊다. 결선투표제 참고.[1] '가'와 '나'의 투표에서는 '가'가 당선. '가'와 '다'의 투표에서는 '다'가 당선. '나'와 '다'의 투표에서는 '나'가 당선. 따라서 '가', '나', '다'가 모두 한 번씩 1:1 비교 투표에서 당선된다. 이는 밑의 설명에 자연스럽게 설명되어 있다.