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1. 개요
可換圖表 / commutative diagram범주론에서 사상(morphism)들 사이의 관계를 시각적으로 표현하는 데 사용되는 도구로, 범주론, 대수학(특히 호몰로지 대수학), 위상수학 등 다양한 분야에서 긴 수식을 직관적으로 시각화하기 위해 사용된다.
다이어그램 내의 모든 경로가 동일한 시작점과 끝점을 가지며, 동일한 사상을 구성하는 경우 이를 "가환(commute)"한다고 말한다. 즉, 다이어그램은 경로의 선택에 관계없이 결과가 동일함을 나타낸다.
2. 정의
범주 [math(C)]에서 대상과 사상으로 구성된 다이어그램 [math(D)]가 주어졌다고 하자. 다이어그램 [math(D)]가 가환 다이어그램이 되기 위한 조건은 다음과 같다:임의의 대상 [math(X)]와 [math(Y)]가 주어졌을 때, [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 모든 경로 [math(f, g, \dots)]에 대해 다음이 성립한다:
[math(f \circ g = h)]
여기서 [math(f, g, h)]는 다이어그램 내의 사상이며, 다이어그램에서 각 경로가 동일한 사상을 이루어야 한다.
3. 예시
가장 간단한 예시로 아래와 같은 정사각형 형태의 다이어그램을 생각하자.#!latex
\begin{CD}
A @> f >> B \\
@V g VV @VV h V \\
C @>> k > D \\
\end{CD}
위 다이어그램이 가환한다는 말은 [math(h \circ f = k \circ g)]가 성립해야 한다는 뜻으로, 위 그림에 빗대어 생각하면 [math(A \to D)]로 가는 두 경로가 실제로는 동일한 사상을 이룬다는 뜻이다.
4. 특징
본진(?)인 범주론이나 다이어그램을 자주 쓰는 호몰로지, 대수기하 등등을 처음 듣게 되면 뜬금없이 문장이나 수식을 전부 화살표로 대체하는 것 같은 당혹스러움을 느낄 수 있는데, 이는 기본적으로 범주에서는 object 내 원소를 구체적으로 생각할 수 없기 때문이다. 때문에 온갖 흔한 성질들을 범주에서 표현하고 기술하려면 사상들로 표현할 수밖에 없고, 원소를 통한 상등으로 동등성을 보이는 흔한 집합론적 방식과 다르게 범주에서는 이 사상들이 특정 조건에서 같아짐을 보여야 할 때 가환성을 사용한다. 즉, 각각의 '가환한다'라는 말은 각 화살표 위에 이름을 붙히고 등호를 넣은 수식을 설명한 것과 기본적으로 동일하다. 이런 가환성이 도형으로 그렸을 때 시각적으로 가장 잘 표현되기 때문에 다이어그램을 사용하는 것.간단한 도형을 넘어 호몰로지에서의 snake lemma나 5-lemma와 같이 다이어그램이 복잡해지고 화살표가 많아질수록 점점 각 사상에 이름을 붙히고 일일이 수식을 쓰기 어려워지는데, 처음부터 다이어그램으로 그리고 국소적으로 화살표를 천천히 따라가는 식으로 증명하면 그럴 필요가 없어지고 좀 더 간결해지기까지 하는 경우가 있다. 이런 증명 테크닉을 diagram chasing이라고 하는데, 이런 증명 방식에 익숙해진다면 다이어그램 자체를 수식처럼 하나의 언어나 표기처럼 받아들일 수 있다.
5. 그리는 법
그림 소프트웨어 말고도 텍스트로 다이어그램 기술 언어 등을 작성해 그릴 수 있으며, 강의나 필기가 아니라면 아무래도 이런 방법이 좀 더 보편적이다. 보통 논문이나 리포트 쓸 때는 LaTeX에 포함된 여러 패키지를 사용하게 된다. 가장 대표적인 구현체로 TikZ 기반의tikzcd나 xymatrix, amscd 등이 있다. amscd는 직교 형태만 그릴 수 있어 제한적이고, xymatrix는 표현력이 높은 대신 너무 복잡한 편이 있어 보통 복잡도 대비 커버리지가 높은 tikzcd가 사실상 표준으로 활용된다. 대신 amscd는 쉬운 만큼 문법이 조금 더 직관적인 편.다만 순수 텍스트 작업의 경우, 조금만 morphism 수가 많아져도 한번에 잘 상상해서 그리는 난이도가 올라가게 된다. 특히 tikzcd와 같은 경우
from이나 to 등에서 좌표 위치를 숫자로 입력하는 작업에서 실수하기 딱 좋다. 코드만으로 그림 그리기가 여간 쉬운 일이 아니기 때문에, 복잡한 다이어그램의 경우 tikzcd.yichuanshen.de나 quiver 등 별도의 GUI 헬퍼를 사용하기도 한다. 이런 툴에서 클릭과 드래그로 다이어그램을 그린 뒤, tikzcd 문법으로 출력하고 세세한 부분만 손으로 트윅하면 된다.MathJax와 KaTeX#2396은 둘 다
amscd를 내장 지원한다.Typst에서는 commute 패키지를 쓸 수 있었으나 현재는 유지보수되지 않는다. 대체제로 CeTZ 기반의 typst-fletcher# 패키지가 대체제로 사용된다. t.yw.je는 commute 패키지만 출력을 지원하고, 상술한 quiver는 typst-fletcher 출력을 지원한다.#262