1. 개요
可換圖表가환 다이어그램은 범주론에서 사상들 사이의 관계를 시각적으로 표현하는 데 사용되는 도구로, 대수학, 위상수학, 함자론 등의 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 다이어그램 내의 모든 경로가 동일한 시작점과 끝점을 가지며, 동일한 사상을 구성하는 경우 이를 "가환"한다고 말한다. 즉, 다이어그램은 경로의 선택에 관계없이 결과가 동일함을 나타낸다.
2. 정의
범주 [math(C)]에서 대상과 사상으로 구성된 다이어그램 [math(D)]가 주어졌다고 하자. 다이어그램 [math(D)]가 가환 다이어그램이 되기 위한 조건은 다음과 같다:- 임의의 대상 [math(X)]와 [math(Y)]가 주어졌을 때, [math(X)]에서 [math(Y)]로 가는 모든 경로 [math(f, g, \dots)]에 대해 다음이 성립한다:
[math(f \circ g = h)]
여기서 [math(f, g, h)]는 다이어그램 내의 사상이며, 다이어그램에서 각 경로가 동일한 사상을 이루어야 한다.
3. 예시
3.1. 기본적인 가환 다이어그램
다음은 간단한 가환 다이어그램의 예이다:[math(\begin{array}{ccc}
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow{h} \\
C & \xrightarrow{k} & D
\end{array})]
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow{h} \\
C & \xrightarrow{k} & D
\end{array})]
이 다이어그램이 가환하기 위해서는 다음이 성립해야 한다:
[math(h \circ f = k \circ g)]
즉, [math(A \to D)]로 가는 두 경로가 동일한 사상을 이룬다.
3.2. 대수학에서의 가환 다이어그램
선형대수학에서 벡터 공간 [math(V, W, U)]와 선형 변환 [math(f, g)]가 주어진다고 하자. 이때, 가환 다이어그램은 다음과 같이 나타낼 수 있다:[math(\begin{array}{ccc}
V & \xrightarrow{f} & W \\
\downarrow{h} & & \downarrow{k} \\
U & \xrightarrow{g} & X
\end{array})]
V & \xrightarrow{f} & W \\
\downarrow{h} & & \downarrow{k} \\
U & \xrightarrow{g} & X
\end{array})]
여기서 [math(h \circ f = k \circ g)]가 성립하면, 이 다이어그램은 가환한다.
3.3. 위상수학에서의 가환 다이어그램
위상 공간 [math(X, Y, Z)]와 연속 함수 [math(f, g)]가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환 다이어그램이 존재할 수 있다:[math(\begin{array}{ccc}
X & \xrightarrow{f} & Y \\
\downarrow{h} & & \downarrow{k} \\
Z & \xrightarrow{g} & W
\end{array})]
X & \xrightarrow{f} & Y \\
\downarrow{h} & & \downarrow{k} \\
Z & \xrightarrow{g} & W
\end{array})]
연속 함수의 합성이 동일한 결과를 나타내는 경우, 이 다이어그램은 가환성을 가진다.