1. 개요
極限 / limit극한은 특정한 다이어그램에서 모든 정보를 "가장 일반적인 방식"으로 엮은 결과로 여길 수 있다. 극한의 쌍대 개념은 쌍대극한(colimit)으로, 이 둘은 범주론에서 핵심적인 대칭적 역할을 한다.
2. 정의
범주 [math(C)]와 작은 범주 [math(J)]가 주어졌을 때, 함자 [math(F:J \to C)]를 [math(C)]에서의 [math(J)] 모양의 다이어그램이라고 한다. 먼저, 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대한 극한 [math(\text{lim } F)]는 다음 두 가지 데이터로 구성된다:- [math(C)]의 한 대상 [math(L)]
- [math(J)]의 각 대상 [math(j)]에 대해 [math(L)]에서 [math(F(j))]로 가는 사상의 모임 [math((\phi_j: L \to F(j))_{j \in \text{Ob}(J)})]
이것만으로 극한이 되는 것은 아니다. 위 데이터는 아래 조건들을 만족시켜야 한다.
2.1. 뿔(Cone)
극한의 조건 중 하나로써, 위에서 말한 사상들의 모임 [math((\phi_j))]은 F 위의 뿔을 이뤄야 한다. 뿔의 조건은 다음과 같다.- [math(J)]의 모든 사상 [math(f:j \to k)]에 대해, [math(F(f) \circ \phi_j = \phi_k)]
[math(
\begin{array}{ccc}
& L & \\
^{\scriptstyle\phi_j}\swarrow & & \searrow^{\scriptstyle\phi_k} \\
F(j) & \xrightarrow{F(f)} & F(k)^{\scriptstyle\phi_j}\swarrow & & \searrow^{\scriptstyle\phi_k} \\
\end{array}
)]
이때 [math(L)]을 뿔의 정점, [math(F)]를 뿔의 밑면이라고 한다.
2.2. 보편 성질
이제 극한을 정의할 수 있다. [math(F: J \to C)]의 극한 [math((L, (\phi_j)_{j\in \text{Ob}(J)}))]은 밑면 [math(F)] 위의 어떤 보편 뿔이다. 이는 임의의 뿔 [math((\psi_j: X \to F(j))_{j\in \text{Ob}(J)})]에 대해 다음의 조건을 만족하는 유일한 사상 [math(u: X \to L)]이 존재함을 의미한다.- [math(J)] 의 임의의 대상 [math(j)]에 대해, [math(\phi_j \circ u = \psi_j)].
3. 성질
3.1. 극한의 존재 조건
범주 [math(C)]에서 모든 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대해 극한이 존재한다면, [math(C)]는 완비 범주(complete category)라고 불린다.4. 예시
4.1. 곱 (Product)
두 대상 [math(A, B \in C)]가 주어졌을 때, 이들의 곱은 다음과 같은 다이어그램 [math(F:J\to C)]의 극한으로 생각할 수 있다:* [math(\text{Ob}(J) = \{1, 2\})], [math(\text{Hom}(J) = \emptyset)].
* [math(F(1) = A, F(2) = B)].
4.2. 끝 (Terminal Object)
끝 대상은 빈 범주 [math(J)] 모양의 다이어그램의 극한으로 간주될 수 있다. 범주 [math(C)]에서의 끝 대상 [math(1)]은 모든 대상 [math(X \in C)]에 대해 유일한 사상 [math(X \to 1)]이 존재하는 대상을 의미한다.4.3. 당김 (Pullback)
주어진 사상 [math(f : A \to C)]와 [math(g : B \to C)]에 대해 당김은 다음과 같은 다이어그램의 극한이다:[math(\begin{array}{ccc}
\end{array})]
& & B \\& & \downarrow{g} \\
A & \xrightarrow{f} & C\end{array})]
당김은 두 사상이 공통으로 가지는 정보를 표현하는 대상 [math(P)]를 정의한다.
5. 응용
5.1. 범주론에서의 활용
극한은 위상수학, 대수학, 논리학 등 다양한 수학 분야에서 사용된다. 예를 들어, 위상 공간의 곱집합이나 환의 곱은 극한의 구체적인 사례이다.5.2. 쌍대극한과의 관계
극한과 쌍대극한은 서로 쌍대적인 개념으로, 범주의 대칭성과 이중성을 이해하는데 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 곱과 쌍대곱(coproduct)은 각각 극한과 쌍대극한의 예이다.[math(\text{colim } F)]는 극한과 대칭적인 역할을 하며, 다이어그램의 "정보를 확장"하는 과정을 나타낸다.