1. 개요
雙對極限 / colimit쌍대극한은 극한(범주론)의 대칭적 개념으로, 주어진 구조 혹은 대상들의 특정한 조건 하의 최적의 '이어붙이기'로 여겨질 수 있다. 쌍대극한은 범주론, 대수학, 위상수학, 논리학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
2. 정의
범주 [math(C)]와 작은 범주 [math(J)]가 주어졌을 때, 함자 [math(F:J \to C)]를 [math(C)]에서의 [math(J)] 모양의 다이어그램이라고 한다. 먼저, 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대한 극한 [math(\text{lim } F)]는 다음 두 가지 데이터로 구성된다:- [math(C)]의 한 대상 [math(L)]
- [math(J)]의 각 대상 [math(j)]에 대해 [math(F(j))]에서 [math(L)]로 가는 사상의 모임 [math((\phi_j: F(j) \to L)_{j \in \text{Ob}(J)})]
이것만으로 쌍대극한이 되는 것은 아니다. 위 데이터는 아래 조건들을 만족시켜야 한다.
2.1. 쌍대뿔(Cocone)
쌍대극한의 조건 중 하나로써, 위에서 말한 사상들의 모임 [math((\phi_j))]은 F 위의 쌍대뿔을 이뤄야 한다. 뿔의 조건은 다음과 같다.- [math(J)]의 모든 사상 [math(f:j \to k)]에 대해, [math(\phi_k \circ F(f) = \phi_j)]
[math(
\begin{array}{ccc}
& L & \\
^{\scriptstyle\phi_j}\nearrow & & \nwarrow^{\scriptstyle\phi_k} \\
F(j) & \xrightarrow{F(f)} & F(k)^{\scriptstyle\phi_j}\nearrow & & \nwarrow^{\scriptstyle\phi_k} \\
\end{array}
)]
이때 [math(L)]을 쌍대뿔의 정점, [math(F)]를 밑면이라고 한다.
2.2. 보편 성질
이제 극한을 정의할 수 있다. [math(F: J \to C)]의 극한 [math((L, (\phi_j)_{j\in \text{Ob}(J)}))]은 밑면 [math(F)] 위의 어떤 보편 쌍대뿔이다. 이는 임의의 쌍대뿔 [math((\psi_j: F(j) \to X)_{j\in \text{Ob}(J)})]에 대해 다음의 조건을 만족하는 유일한 사상 [math(u: L \to X)]이 존재함을 의미한다.- [math(J)] 의 임의의 대상 [math(j)]에 대해, [math(u \circ \phi_j = \psi_j)].
3. 성질
3.1. 대칭성
쌍대극한은 극한과 대칭적 관계를 가지며, 극한이 정보를 "모으는" 과정이라면, 쌍대극한은 정보를 "확장하는" 과정이다.4. 예시
4.1. 쌍대곱 (Coproduct)
두 대상 [math(A, B \in C)]가 주어졌을 때, 이들의 쌍대곱은 다음과 같은 다이어그램 [math(F:J\to C)]의 쌍대극한으로 생각할 수 있다:* [math(\text{Ob}(J) = \{1, 2\})], [math(\text{Hom}(J) = \emptyset)].
* [math(F(1) = A, F(2) = B)].
4.2. 시작 (Initial Object)
시작 대상은 빈 범주 [math(J)] 모양의 다이어그램의 극한으로 간주될 수 있다. 범주 [math(C)]에서의 시작 대상 [math(0)]은 모든 대상 [math(X \in C)]에 대해 유일한 사상 [math(0 \to X)]이 존재하는 대상을 의미한다.4.3. 밂 (pushout)
주어진 사상 [math(f : A \to B)]와 [math(g : A \to C)]에 대해 밂은 다음과 같은 다이어그램의 극한이다:[math(\begin{array}{ccc}
\end{array})]
& & C \\& & \uparrow{g} \\
B & \xleftarrow{f} & A\end{array})]
4.4. 집합에서의 쌍대극한
집합에서의 쌍대극한은 여러 집합을 조합하거나 확장하는 방식으로 나타난다. 예를 들어, 집합의 분리합집합은 쌍대극한의 구체적인 사례이다.4.5. 대수학에서의 쌍대극한
군, 환, 가군 등의 대수적 구조에서 쌍대극한은 보편적인 조합 또는 자유곱을 나타낸다. 예를 들어, 군의 자유곱은 다음과 같이 표현된다:[math(G * H = \{\text{모든 } g \cdot h \mid g \in G, h \in H\})]