1. 개요
雙對範疇 / Dual Category쌍대 범주(Dual Category)는 범주론에서 주어진 범주의 사상과 방향을 반전하여 생성되는 새로운 범주를 의미한다. 쌍대 범주는 범주의 대칭성과 이중성을 이해하는 데 중요한 도구로, 범주론의 많은 결과가 쌍대화 과정을 통해 확장 가능함을 보여준다.
2. 정의
2.1. 쌍대 범주의 수학적 정의
주어진 범주 [math(C)]에 대해, 쌍대 범주 [math(C^{\text{op}})]는 다음과 같은 구조를 가진다:- 동일한 대상 집합: [math(\text{Ob}(C^{\text{op}}) = \text{Ob}(C))]
- 반전된 사상: [math(\text{Hom}_{C^{\text{op}}}(A, B) = \text{Hom}_C(B, A))]
- 합성의 반전: [math(f \circ_{C^{\text{op}}} g = g \circ_C f)]
따라서, 쌍대 범주 [math(C^{\text{op}})]는 원래 범주의 모든 구조적 성질을 대칭적으로 반전시킨 것이다.
쌍대 범주의 공리:
* [math(\text{id}_A \circ_{C^{\text{op}}} f = f)]
* [math(f \circ_{C^{\text{op}}} \text{id}_A = f)]
* [math((f \circ_{C^{\text{op}}} g) \circ_{C^{\text{op}}} h = f \circ_{C^{\text{op}}} (g \circ_{C^{\text{op}}} h))]
* [math(\text{id}_A \circ_{C^{\text{op}}} f = f)]
* [math(f \circ_{C^{\text{op}}} \text{id}_A = f)]
* [math((f \circ_{C^{\text{op}}} g) \circ_{C^{\text{op}}} h = f \circ_{C^{\text{op}}} (g \circ_{C^{\text{op}}} h))]
2.2. 쌍대 범주의 기호
쌍대 범주는 보통 [math(C^{\text{op}})]로 표기되며, 이를 "[math(C)]의 반대 범주"라고도 한다.3. 성질
3.1. 이중성
쌍대 범주는 원래 범주의 완전한 대칭적 복사본으로, 다음과 같은 관계를 만족한다:- [math((C^{\text{op}})^{\text{op}} = C)]
3.2. 대칭성
쌍대 범주는 범주의 구조를 대칭적으로 반전시키므로, 극한과 쌍대극한 같은 개념도 대칭적으로 정의된다:3.3. 보편 성질
쌍대 범주에서의 보편 성질은 원래 범주의 보편 성질과 동일하지만, 모든 사상의 방향이 반전된다. 예를 들어, 당김은 쌍대 범주에서 푸시아웃으로 변환된다.4. 예시
4.1. 집합의 범주 [math(Set)]
집합의 범주 [math(Set)]에서 쌍대 범주는 사상의 방향이 반전된 범주를 의미한다. 이는 집합 [math(X)]와 [math(Y)] 사이의 함수의 방향을 뒤집어 정의한다.4.2. 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간의 범주 [math(Top)]에서 쌍대 범주는 위상 공간 간의 연속 함수의 방향을 반전하여 정의된다.4.3. 군의 범주 [math(Grp)]
군의 범주 [math(Grp)]에서 쌍대 범주는 군 준동형의 방향을 반전하여 생성된다. 이는 군 구조 자체를 변경하지는 않는다.4.4. 대수적 구조의 범주
환, 모노이드, 가군 등의 범주에서 쌍대 범주는 사상의 방향만 반전되며, 구조적 특성은 동일하다.5. 응용
5.1. 범주론의 결과 확장
쌍대 범주는 범주론의 결과를 대칭적으로 확장할 수 있는 도구를 제공한다. 예를 들어, 극한과 쌍대극한은 쌍대 범주에서 서로 변환된다.5.2. 대칭적 개념의 이해
쌍대 범주는 보편 성질, 극한, 쌍대극한과 같은 대칭적 개념을 이해하는 데 사용된다.5.3. 수학적 이론의 일반화
쌍대 범주는 대칭성과 이중성을 이용하여 수학적 이론을 일반화하고, 새로운 통찰을 제공한다.6. 쌍대 범주와 범주의 차이점
6.1. 구조적 차이
- 범주 [math(C)]: 사상 [math(f : A \to B)]
- 쌍대 범주 [math(C^{\text{op}})]: 반전된 사상 [math(f : B \to A)]
6.2. 개념적 변환
6.3. 예시 비교
- 집합의 범주 [math(Set)]: 함수의 방향 반전.
- 위상 공간의 범주 [math(Top)]: 연속 함수의 방향 반전.