1. 개요
Hooke's law탄성체의 일그러짐은 변형력에 비례로 나타낼 수 있다는 응력-변형률 관계식(stress-strain relations)이다. 변형력이 어떤 크기를 넘지 않는다고 전제하면 모든 고체에 대하여 후크 법칙이 성립하고 이를 다룰 수 있게 해준다. 영국의 물리학자 로버트 후크(Robert Hooke)가 발견하고 1678년에 발표하였다.
1678년 후크가 그의 저서 〈Lectures de potentia restitutiva, or of spring, explaining the power of springing bodies〉[출처]에서 언급한 후크 법칙의 주요 내용은 다음과 같다.
The Power of any Spring is in the same proportion with the Tension thereof: That is, if one power stretch or bend it one space, two will bend it two, and three will bend it three, and so forward.
모든 용수철의 힘은 장력과 동일한 비율이다. 즉, 어떤 한 힘으로 한 공간을 늘리거나 구부리면 그것의 두 배는 두 배를 구부릴 것이고 세 배는 세 배를 구부릴 것이다.
모든 용수철의 힘은 장력과 동일한 비율이다. 즉, 어떤 한 힘으로 한 공간을 늘리거나 구부리면 그것의 두 배는 두 배를 구부릴 것이고 세 배는 세 배를 구부릴 것이다.
2. 상세
자연 길이[2]가 [math(L_{0})]인 용수철에 힘을 가하여 [math(L)]의 길이로 만들었다고 하자. 이때, [math(L-L_{0} \equiv x)]로 변형된 길이로 쓸 수 있다. [math(x>0)]이면 용수철은 늘어난 것이고, [math(x<0)]이면 용수철은 줄어든 것이다. 이것을 압축적으로 나타낼 수 있는 벡터 [math(\mathbf{x})]를 도입하면, 용수철의 탄성력 [math(\mathbf{F})]는[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}=-k\mathbf{x} \end{aligned} )]
로 주어진다. [math(k)]는 탄성 계수 혹은 용수철 상수라 불리며, 용수철이 단위 길이 당 변형되는 데 필요한 힘의 크기를 의미한다.
후크 법칙은 고체에 힘을 가해 변형시킬 때, 힘이 어떤 크기를 넘지 않으면 고체의 변형된 정도는 힘의 크기에 정비례한다는 법칙으로, 고체역학의 기본 법칙 중의 하나이다. 이 법칙이 성립하는 한계를 넘어서면 탄성의 한계를 넘게 되는 것이고, 물체는 탄성을 잃고 영구적으로 변형되게 된다. 이 법칙은 1678년 로버트 후크가 늘어나는 용수철을 가지고 실험으로 연구해 발견했다.
후크 법칙은 탄성을 가진 모든 물체에 대해 성립하는 법칙이지만, 그 중에서도 주로 용수철과 같이 탄성이 좋은 탄성체를 설명할 때 많이 쓰인다. 중학교나 고등학교 과학 수업에서도 용수철과 탄성력에 대해 배울 때 후크 법칙을 배운다.
후크 법칙은 응력-변형률 관계식이라는 주요한 고체의 역학을 기술한다.
3. 탄성 퍼텐셜 에너지
용수철에 힘을 가하여 용수철을 변형하게 되면 용수철에 일을 하게 되는데, 이 일은 용수철의 탄성 퍼텐셜 에너지로 저장되게 된다.용수철을 변형시키려면 탄성력 [math(F=-kx')]에 대항하여 힘 [math(kx')]를 가하여야 한다. 용수철에 [math(x)]만큼 변형했다고 하자. 용수철에 한 일은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{x} kx'\,{\rm d}x'=\frac{1}{2}kx^2 \end{aligned} )]
따라서 용수철에 저장되는 에너지는 아래와 같고, 이것을 탄성 퍼텐셜 에너지라 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} U=\frac{1}{2}kx^2 \end{aligned} )]
3.1. 보존력과 에너지 보존
3차원에 존재하는 원점에 고정된 용수철을 고려하자. 이때, 용수철의 탄성력은 [math(\mathbf{F}=-k\mathbf{r})]이다. 이것에 회전 연산을 취하면[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}=\mathbf{0} \end{aligned} )]
이는 용수철의 탄성력이 보존력임을 뜻하며, 힘을 임의의 스칼라 함수 [math(U)]의 음의 그레이디언트 [math(\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}U )]로 나타낼 수 있음을 뜻한다. 여기서 그 스칼라 함수가 위에서 나온 탄성 퍼텐셜 에너지[3]이다.
따라서 용수철이 연결된 계는 역학적 에너지가 보존된다.
4. 용수철의 연결
이 문단에서는 용수철의 직렬 연결과 병렬 연결에 대해서 기술한다. 이는 위의 예시인 용수철 진자의 경우에도 적용할 수 있다. 아래의 그림은 예로써 용수철 상수가 각각 [math(k_{1})], [math(k_{2})]인 두 용수철을 (a) 직렬 연결, (b) 병렬 연결 했을 때의 모습이다.이 계는 단일 용수철이 진동하는 계로 대치할 수 있다. 용수철의 탄성력은 물체(질점)에 바로 가해진다고 가정한다.
4.1. 직렬 연결
[math(n)]개의 용수철을 직렬 연결했다고 생각해보자. 이때, [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이다. 용수철에 연결된 물체에 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(j)]번째 용수철을 [math(\Delta x_{j})]만큼 늘렸다고 생각해보자. 이때, 모든 용수철에선 탄성력을 발생시키며, 그 크기는 [math(F)]로 같다.[4][5] 따라서[math(\displaystyle F=k_{j}x_{j} \,\to\, x_{j}=\frac{F}{k_{j}} )]
이 성립한다. 모든 용수철의 늘어난 길이의 합 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} \Delta x_{j}=\Delta x )]라 하자. 그런데
[math(\displaystyle \Delta x= \sum_{j=1}^{n} \frac{F}{k_{j}} \,\to\, F=\left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j} } \right]^{-1}\cdot \Delta x )]
이상에서 용수철을 직렬로 연결했을 때는 용수철 상수가 [math(\displaystyle \left[ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{k_{j}}\right]^{-1})]인 용수철을 연결한 상황과 동일함을 알 수 있다. 저항에서 병렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.
4.2. 병렬 연결
[math(n)]개의 용수철을 병렬 연결했다고 생각해보자. [math(j)]번째 용수철의 용수철 상수는 [math(k_{j})]이고, 자연 길이는 [math(L_{j})]이다. 용수철의 자연 길이가 다르므로 용수철을 물체에 연결할 때, 용수철은 늘어나거나 줄어든다. 용수철을 물체에 연결했을 때, 평형 상태의 물체의 위치를 [math(X_{0})]라 하자. 각 용수철의 변위는 [math(L_{j}-X_{0})]이므로 다음이 성립한다.[math(\displaystyle 0=\sum_{j=1}^{n} k_{j} [L_{j}-X_{0}] \,\to \, {\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}L_{j} }=X_{0}{\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j}} )]
이 평형 위치로 부터 물체를 [math(F)]의 힘을 가하여 [math(\Delta x)]만큼 늘였다고 생각하자. 용수철의 모든 탄성력의 합은 이 [math(F)]의 합과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} F&=\sum_{j=1}^{n} k_{j}[\Delta x-L_{j}] \\ &=\sum_{j=1}^{n} k_{j} \Delta x -\sum_{j=1}^{n} k_{j} L_{j} \\&=\left[ \sum_{j=1}^{n} k_{j} \right] (\Delta x-X_{0}) \end{aligned} )]
단일 용수철 계로 생각할 때, [math(\Delta x-X_{0})]는 평형 위치로 부터 늘어난 길이라 볼 수 있으므로 곧 이 계는 용수철 상수 [math(\displaystyle \sum_{j=1}^{n} k_{j})]인 용수철이 연결되었다고 볼 수 있다. 저항에서 직렬 연결되었을 때 합성 저항을 구하는 것과 동치이다.
5. 관련 문서
[출처] Lectures de potentia restitutiva, or of spring, explaining the power of springing bodies, Robert Hooke 1678# P1 Potentia Restitutiva, or spring[2] 늘어나지 않은 상태에서 측정된 용수철의 길이를 의미한다.[3] 3차원에서는 [math(U=kr^2/2)]로 주어진다.[4] 이 조건이 만족이 안되면 용수철들은 가속 운동할 것이다.[5] 오해하기 쉬우나 [math(F)]의 크기는 용수철들의 탄성력 크기의 합과 같지 않다.