1. 개요
比例式 / proportional expression비의 값이 같은 두 비를 나타낸 식. 따라서 비례식은 등식이며, 비례식에는 0이 나올 수 없다. 비례식에서 안쪽에 있는 두 항을 내항, 바깥쪽에 있는 두 항을 외항이라고 한다. 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱은 같다. 예를 들어, 비례식 [math(2:3=4:6)]에서는 [math(3)], [math(4)]가 내항이고, [math(2)], [math(6)]이 외항이다. [math(3\times 4=2\times 6=12)]이므로 내항의 곱과 외항의 곱은 같다.
초등학교 6학년 수학 교육과정에 나오는 개념이다. 6학년 때는 비례식을 가지고 비례배분을 하게 된다. 중학교 때 방정식의 활용에 비례배분, 백분율, 비례식이 응용된다. 과거에는 고1 때 유리식 단원에서 다룸과 동시에 "가비의 이"라고 상대적으로 복잡한 형태의 등식으로 나왔으나, 2009 개정 교육과정 때 비례식이 통째로 삭제되었다. 더 심화되면 선형사상(linear map)과 준동형 사상(Homomorphism)으로 귀결된다.
비례식의 내항의 곱과 외항의 곱이 같다는 특징은 아래와 같은 과정으로 유도할 수 있다.
| 비례식 [math(\displaystyle{a:b=c:d}~~)]([math(a,~b,~c,~d)]는 [math(0)]이 아님) 비례식 양변의 비를 비율로 바꾸어 나타내면 [math(\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d})] 양변에 [math(bd)]을 곱하면 [math(\displaystyle\frac{abd}{ b}=\frac{cbd}{d})] [math(\displaystyle\frac{a\cancel bd}{\cancel b}=\frac{cb\cancel d}{\cancel d})] [math(ad=bc)] [math(\therefore)] 비례식의 내항의 곱과 외항의 곱은 같다. |
2. 비례배분
比例配分 / proportional distribution전체의 양을 주어진 비로 배분하는 것이다. 따라서 배분한 각각의 양의 총합은 전체의 양과 같다. 예를 들어 사탕 12개를 [math(1:2:3)]으로 비례배분하면 2개, 4개, 6개가 된다. [math(2+4+6=12)]이며, [math(2:4:6=1:2:3)]이므로 비례배분이 옳음을 알 수 있다.
2.1. 방법
주어진 비례식에 따라 주어진 전체의 양을 비례배분하는 방법은 다음과 같다.비례식의 한 항에서 비례식의 모든 항의 합을 나눈 값을 전체의 양에 곱하면, 비례식의 그 항에 해당하는 배분치가 나온다. 이를 수학적인 표현으로 쓰면 다음과 같다.
| 전체의 양 [math(n)]([math(n)]은 양의 실수)을 [math(a_1:a_2: ... :a_k)]([math(a_1, a_2, ..., a_k)]는 양의 실수)의 비로 비례배분한 결과는 다음과 같다. [math(\displaystyle\frac{na_1}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i}, \displaystyle\frac{na_2}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i},\, ...,\, \displaystyle\frac{na_k}{\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i})] |
기초적인 직렬 전기 회로에 저항이 여러 개 연결되어 있을 경우 각 저항 양단에 걸리는 전압을 계산할 때 쓸 수 있다.