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, [[]]1. 개요
Trójkąt Sierpińskiego / Sierpiński triangle / Sierpiński 三角形| |
| 시에르핀스키 삼각형의 모습 |
시에르핀스키 삼각형은 폴란드의 수학자 바츠와프 시에르핀스키(Wacław Sierpiński; 1882-1969)가 창작한 프랙털 도형이다. 그의 이름을 따 '시에르핀스키 삼각형'이라고 하며, '시에르핀스키 개스킷'이라고도 한다. 간혹 영어 발음을 따라 '시어핀스키'라고도 표기한다.
2. 상세
- 1단계: 한 정삼각형의 각 중점을 이어 4등분된 정삼각형 중 가운데 1개를 지운다.
- 2단계: 남은 3등분의 정삼각형에 대하여 1단계와 같이 행한다.
- 이 과정을 무한히 반복한다.
2.1. 성질
아무런 조작을 하지 않은 처음의 정삼각형을 0단계라고 하자. 앞서 말한 조작을 한 번 하는 것을 하나의 '단계'로 하자. 각 단계의 정삼각형들은 모두 합동이므로 다음이 성립한다.(정삼각형의 개수)[math(\,\times\,)](한 정삼각형의 넓이)[math(\,=\,)](정삼각형들의 총 넓이)
| 단계 | 정삼각형의 개수 | 한 정삼각형의 넓이 | 정삼각형들의 총 넓이 |
| [math(0)] | [math(1)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4})] |
| [math(1)] | [math(3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{1}{4})] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\frac{3}{4})] |
| [math(2)] | [math(3^2)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^2)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^2)] |
| [math(3)] | [math(3^3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^3)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^3)] |
| [math(\vdots)] | |||
| [math(n)] | [math(3^n)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{1}{4}\right)^n)] | [math(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}·\left(\frac{3}{4}\right)^n)] |
따라서 조작을 무한히 거듭한다면, 정삼각형의 개수는 무한히 많아지고, 한 정삼각형의 넓이는 0에 수렴하고, 정삼각형들의 총 넓이는 0에 수렴한다. 이는 무한대로 발산하는 수열과 0으로 수렴하는 수열의 각 항을 곱하여 나온 수열이 0으로 수렴하는 예가 된다. 흔히 말하는, [math(\infty×0)] 꼴의 부정형이 0으로 수렴하는 극한이다.
2.2. 하우스도르프 차원
- 시에르핀스키 삼각형의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \displaystyle \frac{\ln{3}}{\ln{2}} = \log_{2} 3 \simeq 1.585)] }}}
3. 파스칼의 삼각형과의 관계
파스칼의 삼각형에서 홀수만 색칠하면 시에르핀스키 삼각형과 유사한 모양이 나온다.#4. 여담
- 넷플릭스 오리지널 드라마 오징어 게임 2에 잠깐 등장해 유명해졌다. 성기훈의 악몽에서 설탕 뽑기의 삼각형 파트에서 달고나에 시에르핀스키 삼각형이 그려져 있었다. 원래 2차 창작에서 만약 달고나에 찍힌 삼각형 무늬가 시에르핀스키 삼각형이라면 어땠을까 하는 밈이 공식적으로 역수입된 것.