노즐

1. 질량 보존의 법칙 (Conservation of Mass)
노즐 내부를 control volume으로 잡고 단위시간당 들어오는 질량([math(m_i)])과 나가는 질량([math(m_o)])을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{dm_{cv}}{dt} = \sum \dot{m_i} - \sum \dot{m_o})]여기서 노즐의 크기는 변하지 않으므로 좌변항 = 0으로 하고 항을 넘기면,[math(\displaystyle \sum\dot{m_i} = \sum \dot{m_o})]

과 같이 되고, 여기서 유량(Mass flow)의 정의를 적용하면,

[math(\dot{m} = \rho V A \;,(\rho = \text{밀도}, V = \text{속도}, A = \text{단면적}))]
[math(\displaystyle (\rho VA)_i = (\rho VA)_o \Longrightarrow \displaystyle (VA)_i = (VA)_o )]

이다. 여기서 [math(A_i > A_o)]이므로, [math( V_i < V_o )]임을 알 수 있다.

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2. 에너지 보존의 법칙 (Conservation of Energy)
열역학 제1법칙을 열린 계에 적용시키면,

[math( \displaystyle \frac{dE_{cv}}{dt} = \dot{Q} - \dot{W} + \sum_i \dot{m} (h + \frac{v^2}{2} + gz) - \sum_o \dot{m} (h +\frac{v^2}{2} + gz) )]

이다. 여기서 위에서 표현한 특징들(노즐 내부의 에너지는 변하지 않음, 단열임, 일을 하지 않음, 입구와 출구가 한 개)을 적용시키고, 영향력이 미미한 요소들(위치에너지의 변화 등)을 정리하면 다음과 같다.

[math( \displaystyle \dot{m_i}(h_i + \frac{v_i^2}{2}) = \dot{m_o}(h_o + \frac{v_o^2}{2}) ,)] ([math(h = )]엔탈피)

여기서 위의 질량보존법칙을 적용해서 나온 결론([math(\dot{m_i} = \dot{m_o} )])을 적용하면,

[math( \displaystyle \Delta h = \frac{\Delta v^2}{2} )] 가 도출된다.