1. 개요
quartic equation · 四次方程式미지수의 가장 높은 차수가 4인 방정식.
모든 사차방정식은 아래와 같은 꼴로 정리할 수 있다.
[math( ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \quad )](단, [math(a \neq 0)])
2. 해법
2.1. 인수분해 가능할 때
사차방정식은 사차함수 [math(f(x))]에 대하여 [math(f(x)=0)] 꼴로 정리 가능하다.우선 나머지 정리를 사용하여 사차식 [math(f(x))]가 인수 [math((x-\alpha))]를 가진다면, [math(f(\alpha)=0)]임을 이용하자.
그러한 [math(\alpha)]를 찾았다면, 방정식의 꼴은 삼차식 [math(A(x))]에 대하여 [math((x-\alpha)A(x)=0)]으로 정리 가능하다.
이에 따라 [math(x=\alpha)] 또는 [math(A(x)=0)]이 해가 되므로 삼차방정식 [math(A(x)=0)]을 풀면된다.
삼차방정식을 푸는 방법은 해당 방정식을 기술한 문서를 참조하라.
2.2. 인수분해 불가능할 때
사차방정식[math( ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \quad )](단, [math(a \neq 0)])
의 양변을 [math(a)]로 나눈 뒤
[math( x=y-\dfrac{b}{4a} )]
로 취른하우스 정리를 적용하면
[math( y^4 + py^2 + qy + r = 0 )]
꼴로 고차항을 정리할 수 있다. 계속해서
[math( y^4 +py^2= - qy - r )]
이다. 한편, [math(( y^2 + p )^2 )]의 완전제곱식을 풀면, [math(y^4 + 2py^2 + p^2 )]이 되므로 [math(y^4+py^2 )]의 나머지인 [math( py^2 + p^2)]를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 정리하면,
[math( ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r )]
이다. 이번에는 우변에 미지수 [math(t)]를 제공하고 [math(y)]와 [math(t)]에 대해 정리하면
[math( (y^2+p+t )^2= (p+2t )y^2 -qy + (p^2+2pt + t^2-r ))]
이다.
우변 이차방정식의 판별식,
[math(D = q^2 -4 (p+2t) [(p+ t)^2-r ]=0 )]
이 되면, 우변은 완전제곱식을 만족한다.
이것은 [math(t)]에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 [math(t)]의 세 근 [math(t_1)], [math(t_2)], [math(t_3)]를 구한 다음 [math(t_1)]을 대입한다.
[math(D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) =0)]
에 의해
[math(\displaystyle {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) )]
이므로
[math(\displaystyle (y^2+p+t_1 )^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} )]
이 돼
[math(\displaystyle (y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left[y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right]^2)]
이렇게, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되고 두 개의 완전제곱식은 이차방정식으로 정리될 수 있다.
양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면
[math(\displaystyle y^2 - \sqrt{p +2t_1} y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0)]
근의 공식으로부터
[math(\displaystyle y = {{\sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2} -4\left( \dfrac{q}{2 \sqrt{p +2t_1} } +p+t_1 \right)} } \over {2} })]
이상에서 위 정보를 종합하면, 네 근은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{b}{4a}+ \left[ \frac{\sqrt{q+2t_{1} }+\sqrt{-3p-2t_{1}-\dfrac{2q}{\sqrt{p+2t_1}} }}{2} \right] \\ x&=\frac{b}{4a}+ \left[ \frac{\sqrt{q+2t_{1} }-\sqrt{-3p-2t_{1}-\dfrac{2q}{\sqrt{p+2t_1}} }}{2} \right] \\ x&=\frac{b}{4a}- \left[ \frac{\sqrt{q+2t_{1} }+\sqrt{-3p-2t_{1}-\dfrac{2q}{\sqrt{p+2t_1}} }}{2} \right] \\ x&=\frac{b}{4a}- \left[ \frac{\sqrt{q+2t_{1} }-\sqrt{-3p-2t_{1}-\dfrac{2q}{\sqrt{p+2t_1}} }}{2} \right] \end{aligned})]