최근 수정 시각 : 2024-07-22 18:35:43

나머지 정리

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1. 개요2. 증명
2.1. 존재성
3. 나머지 정리4. 활용5. 관련 항목


Polynomial Remainder Theorem

1. 개요

고등수학(상)에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 [math(b)]를 [math(a)]로 나누었을 때 ([math(b\geq a)]), [math(b=aq+r)]([math(0\leq r<a)])를 만족하는 정수 [math(q,r)]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.
정식 [math(B(x))]를 정식 [math(A(x))]로 나누었을 때 [1], [math(B(x)=A(x)Q(x)+R(x),\,(0\leq\deg R(x)<\deg A(x)))]를 만족시키는 정식 [math(Q(x),R(x))]가 유일하게 존재한다. 이때, [math(Q(x))]를 몫, [math(R(x))]를 나머지라고 한다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.

2. 증명

존재성과 유일성 각각에 대해 다음과 같이 증명한다.

2.1. 존재성

1을 갖는 환 [math(R)]에서 정의된 다항식환상의 다항식 [math(f(x), g(x)\in R\left[x\right])]을 고려하자.
먼저 [math(\deg f(x)<\deg g(x))]라면 생각할 필요도 없이 [math(Q(x)=0, R(x)=f(x))]로 두면 된다.
즉 [math(f(x)=Q(x)g(x)+R(x)=0\times g(x)+f(x)=f(x))]
그러므로 [math(\deg f(x)\geq\deg g(x))]에서 존재함을 보이면 된다.

[math(\deg f(x)=0)]인 경우는 [math(\deg f(x)=0\geq\deg g(x))]여야 하므로 [math(\deg g(x))]는 0이거나 [math(-\infty)]. 즉 상수 다항식이거나 영다항식이어야 한다.
※여기서는 [math(\deg 0=-\infty)]로 두는 관습을 따랐다.
그런데, [math(\deg g(x)>\deg R(x))]여야 하므로 [math(\deg g(x)=-\infty)]라면 모순이 생긴다.[2] 그러므로 [math(\deg g(x)=0)]이므로 [math(g(x))]는 상수 다항식이 된다.
그러면 [math(f(x)=a_0, g(x)=b_0(\neq 0))]이므로 [math(f(x)=a_0=a_0b_0b_0^{-1}=a_0b_0^{-1}b_0=a_0b_0^{-1}g(x)+0)]이므로, [math(R(x)=a_0b_0^{-1}, Q(x)=0)]으로 두면 존재함을 보일 수 있다.

이제 [math(\deg f(x)=n)]일 때, [math(n-1)]차 다항식까지 존재성이 참이라 가정하자.
[math(\deg f(x)=n, \deg g(x)=m)]이라 하면 [math(\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i, g(x)=\sum_{j=0}^{m}b_jx^j)]로 쓸 수 있다.
따라서 [math(\displaystyle a_nb_m^{-1}x^{n-m}=q(x))]라고 두고 [math(F(x)=f(x)-q(x)g(x))]라고 정의하자.
이는 [math(f(x))]의 최고차항이 소거된 새로운 다항식이므로 [math(\deg F(x)<\deg f(x))]임은 자명하다.
그런데 가정에서 [math({\color{Red}\deg f(x)=n})]일 때, [math(\color{Red}n-1)]차 다항식까지 존재성이 참이라고 하였다.
따라서 [math(\mathcal{Q}(x), \mathcal{R}(x))]가 존재하여 [math(F(x)=\mathcal{Q}(x)g(x)+\mathcal{R}(x))]가 되는데, [math(F(x)=f(x)-q(x)g(x))]이므로 이를 대입하여 정리하면
[math(f(x)=F(x)+q(x)g(x)=\mathcal{Q}(x)g(x)+\mathcal{R}(x)+q(x)g(x)=\{\mathcal{Q}(x)+q(x)\}g(x)+\mathcal{R}(x))]가 되고,
[math(Q(x):=\mathcal{Q}(x)+q(x), R(x):=\mathcal{R}(x))]라고 정의하면 [math(\deg f(x)=n)]에서도 성립하므로, 강한 수학적 귀납법에 따라 모든 자연수차수 다항식에서 성립함을 보일 수 있다.

3. 나머지 정리

[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(x-a)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f(a))]이다.
위 정리는 일반적인 일차식 [math(ax+b)]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.
[math(x)]에 대한 다항식 [math(f(x))]를 일차식 [math(ax+b)]로 나누었을 때의 나머지는 [math(f\biggl(-\dfrac{b}{a}\biggr))]이다.

4. 활용

나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는 데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 [math(a)]를 대입했는데 값이 0이라면 원 다항식 [math(f\left(x\right))]는 [math(x-a)]를 인수로 가지는데, 이를 인수정리(factor theorem) 이라고 부른다. 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 대한 더 자세한 내용은 항목 참조.

5. 관련 항목



[1] 단, [math(\deg B(x)\geq\deg A(x))]이다. 참고로 deg는 방정식 최고차항 차수를 뜻한다.[2] 사실 여기까지 갈 것도 없이, 제수에 해당하는 [math(g(x))]가 영다항식일 수 없다는 것으로도 보일 수 있다.

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