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1. 개요
Venn diagram벤 다이어그램은 1880년에 영국의 수학자이자 논리학자인 존 벤이 고안한 도식이다. 어원은 이름에서도 알 수 있듯 John Venn이 고안한 diagram(도표)라는 의미다.
2. 논리학적 벤 다이어그램
본래 벤 다이어그램은 이 논리학에서 창안되었으나 아래의 수학에서의 벤 다이어그램이 압도적으로 인지도가 높은 관계로 묻히는 편이다.논리학에서 쓰이는 벤 다이어그램의 용도는 수학과 매우 다르다. 수학에서는 빗금 친 영역을 '해당 영역'을 지칭하는 것과 달리, 논리학에서는 거기에 속해 있는 원소의 개수가 0이라는 것을 의미한다. 즉, 해당 영역을 지우는 용도로 쓰는 것이다. 또한 논리학에서의 벤 다이어그램은 영역 안에 X 표시를 하면 원소의 개수가 1 이상이라는 것을 의미한다. 쓰임새가 수학과 유사하나 표시나 응용하는 목적 자체가 완전 다르다.
3. 수학적 벤 다이어그램(집합론)
벤 다이어그램은 원소와 집합 간의 포함 관계를 직관적으로 이해시키는 용도일 뿐이지, 증명용으로 사용할 수 없는 개념이다. 본래 논리학에서 쓰이던 걸 교육용으로 차용한 것이다.아무튼 고등학교에 진학하여 집합을 공부하게 된다면 가장 먼저 보게 될 그림이다.
벤 다이어그램은 합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등의 개념을 그림으로 쉽게 표현해 준다. 합집합은 두 도형의 영역 전체, 교집합은 두 도형 모두에 포함되는 영역, 차집합은 한쪽 도형에만 포함되는 영역, 여집합은 해당 도형의 외부로 표현된다. 이 외에도 새로 정의한 연산[1]의 기능을 쉽게 표시하는 데에도 유용하다. 집합 연산의 항등식, 예를 들어 드모르간 법칙과 같은 것들이 왜 성립하는지를 설명하는 데도 좋다. 집합 여러 개가 얽혀 있고, 간단히 하라는 문제가 있으면 벤 다이어그램을 그려서 풀면 쉽게 해결되는 경우도 많다. 집합이 3개 이하일 때는 그리기 매우 쉽기 때문에 아주 유용하게 사용된다.
4개 이상의 집합의 벤 다이어그램
1개-8개의 벤다이어그램
다만 집합이 4개 이상 나오는 문제에서는 벤 다이어그램을 그리기가 매우 어려워진다. 24 = 16개의 영역이 나오도록 그려야 하는데 영상 섬네일에 나온 형태처럼 4개의 원을 그려버리면 집합 [math(A\cap C)], [math(B\cap D)] 두 영역을 표현할 수 없게 되어 결과적으로 14개의 영역만 표시할 수 있게 된다.
집합 3개의 원을 이미 그린 상태에서는 4번째 집합을 괴상하게 찌그러진 모양으로 걸쳐서 그려야 한다. 처음부터 4개의 집합을 그린다면 타원을 이용해서 그릴 수도 있다. 집합 5개는 5개의 타원을 서로 엇갈리게 그리면 된다. 집합이 6개 이상이 되면, 벤 다이어그램을 그리는 것 자체가 안드로메다급이다.
[1] 고등학교 과정에서는 보통 [math(\Delta)], [math(\odot)]와 같은 기호로 나타낸다.