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| 물질이란 무엇인가?[1] |
1. 개요
標準模型 / Standard Model표준 모형은 현재 명확하게 증명하지 못한 중력[2]을 제외한 모든 물질과 모든 상호작용을 기술하는 양자장론 모형이다.
쉽게 말해 우리 우주가 단순히 17개의 기본 입자들과 4개의 기본 상호작용들의 소란으로 작동하고 있다는 이론이며, 현재 명확하게 증명하지 못한 중력을 제외한 우리가 생각하는 자연의 모든 현상들은 전부 이 모형으로 설명이 가능하다.
2. 중요성과 영향력
이 모형은 특수 상대성 이론과 양자역학을 성공적으로 결합하여 몇 가지 대칭성과 대칭성을 제한하는(또는 붕괴시키는) 힉스 메커니즘을 도입함으로써 사실상 인류가 지금까지 관측한 모든 소립자들과 그 상호작용을 거의 다 설명할 수 있다.여기에 양자장론의 기본인 이차 양자화 개념에 의하여 얻어진, 장의 양자화에 해당하는 입자들로 모든 것의 구성 성분을 설명한다. 일반 상대성 이론과 더불어 인류 지성의 금자탑이라 할 만한 이론이다.
표준 모형은 입자들에 대한 거의 모든 데이터를 설명할 수 있지만, 그 어느 이론물리학자들도 표준 모형이 '모든 것의 이론(The Theory of Everything)'이라고 보지는 않는데, 아래에도 서술된 몇 가지 치명적인 한계 또는 결함이 있기 때문이다. 초끈이론과 같이 이를 보완할 것으로 거론되는 이론들이 제법 나오긴 했지만 그 어느 것도 실험으로 검증되지 않아서 표준 모형은 현재까지도 가장 성공적인 모델로 남아 있다.
3. 이론적 구조
3.1. 군의 표현론과 함수해석학, 그리고 양자장론
이해하기 위해선 특수 상대성 이론, 양자역학을 알아야 한다. 하지만 학부 과정 지식은 그냥 교양 수준이다. 특히 상대성 이론은 시간이 팽창하고 길이가 수축하느니 하는 이야기로는 절대적으로 부족하다. 특히 로런츠 군의 표현론에 대한 이해가 꼭 필요하다. 리 군과 리 대수에 대한 어느 정도의 이해도 필요하다. 당연하게도, 양자역학은 고전역학에서 얻은 아이디어들과 더 치밀하게 연계되므로 라그랑지언과 해밀토니언에 대한 이해가 필요하다. 그리고 상대성 이론과 고전역학에서의 아이디어를 토대로 고전장론을 이해해야 한다.고전장론을 알았다고 해서 바로 다음 스텝으로 넘어가는 것은 어려운데, 왜냐하면 리 군의 표현론에 대한 숙지가 필요하기 때문이다. 상대론적인 장들은 필연적으로 리 군 혹은 리 대수의 표현(representation)들로 기술되기 때문이다. 상대론적이라고 하기 어렵지만 가장 간단한 예들 중 하나로[3], 전자기학 때 흔히 다룬 벡터 장은 SO(3)의 표현 중 하나인 3차원 유클리드 벡터로 기술된다. 하지만 상대론적인 장들은 모두 SO(3)보다 더 큰 SL(2, C) 군[4]과 공변하기 때문에, 이들 장들은 모두 SL(2, C)의 표현으로 기술되어야 한다. 다행히 학부 양자역학에서 SO(3)의 표현론을 가지고 노는(?) 것을 이미 해 봤을 것이고, SL(2, C)의 표현은 SO(3)의 표현을 잘 다룰 줄 안다면 소위 Weyl's trick이라는 기법을 통해 어렵지 않게 다룰 수 있기 때문에, 생소하기 짝이 없는 수학적 사고 방식만 어떻게 잘 소화시킬 수 있다면 별 문제 없이 학습할 수 있을 것이다.
한편, 함수해석학도 숙지해두면 좋은데, 양자역학에서 다루는 것들은 결국 어떤 특정한 기하학적(?) 구조를 가진 무한 차원 공간, 그러니까 힐베르트 공간의 벡터들을 가지고 기술되는 것이고, 이걸 제대로 다루는 학문이 바로 함수해석학이기 때문이다. 다만 표현론만큼 필수라고 보기에는 어려운데, 비상대론적 양자역학이든 양자장론이든 정작 수학적으로 엄격하게 파고드는 일은 적어도 표준 모형을 다루는 데에 있어서 자주 등장하지는 않기 때문이다. 예를 들어 (함수해석학에서의) distribution 개념을 Wightman field가 나오지도 않는 상황에서 언제 쓸 일이 있는가 생각해 보면 된다.
이렇게 해서 도달해야 하는 것이 바로 '양자장론'이다. 여기에 모든 것의 정수가 들어 있다고 해도 과언이 아니다. 사실 요즘 표준으로 쓰이는 Peskin이나 상급 과정에서 쓰이는 Weinberg가 그렇듯 거의 모든 양자장론 교재는 (고전)장론을 구축하면서 이들을 양자화하는 것에 교재 앞 부분의 최소 1/3가량을 소비한다. 여기서 이차 양자화도 쓰이지만 곧 또 다른 양자화 방법이 소개되는데, 바로 경로적분이다. 사실상 제일 널리 쓰이는 양자화 기법이다. 경로적분 양자화는 라그랑지언과 액션을 극도로 활용하여 대칭성이 아주 잘 드러나 보인다는 강점이 있다. 한편 이론적인 영역에서 가장 근본적인 영역 예를 들면 고스트 장과 BRST 대칭 변환 등을 써서 '게이지 장 이론이 과연 물리적으로 옳은 것인가'를 다룰 때가 있는데 이처럼 경로적분을 수학적으로 엄밀하게 이해해야 할 필요가 생기는 경우 함수해석학이 도움이 된다.
이러한 양자화 기법들을 통해, 주어진 시스템을 자유 입자들의 시스템으로부터 출발해 건드림(perturbation; 섭동)이 있는 상황으로 묘사해 입자들 간의 상호작용을 계산해낸다. 이때 건드림으로 인한 항을 효율적으로 표현하는 방법이, 바로 그 유명한 파인만 다이어그램이다. 파인만 다이어그램으로 표현하면 어떤 건드림 항이 가능한지를 차수별로 쉽게 파악할 수 있기 때문이다. 입자물리학자들은 상호작용을 계산할 때 가능한 파인만 다이어그램들을 먼저 다 그린 뒤[6] 이들을 계산해 다 더하는 방식을 취한다.[7]
계산을 마치고 나면 이 결과로 S-행렬을 계산한다. 여기서 S-행렬은 입자들의 충돌이 있고 난 뒤의 확률을 계산할 때 쓰는 행렬인데,
3.2. 재규격화
그런데 이런 파인만 다이어그램을 계산할 때, 그리고 양자장론 전체에 있어서 가장 난해하고도 중요한 문제가 있다. 바로 재규격화이다. 어찌 된 일인지 고작 하나의 건드림 항을 계산하는 것인데도 파인만 다이어그램이 하나라도 고리를 가지고 있으면[8] 그 파인만 다이어그램의 값은 발산해 버린다. 운동량이 큰 영역에서 이런 발산이 일어난다고 해서 이 현상을 자외선 발산(ultraviolet divergence)이라고 부른다.[9] 가장 단순한 경우에서조차 이런 문제를 만나게 되는데, 물리학자들은 이 골칫거리를 이렇게 해결한다. 대강 쓰자면 무한대를 적절히 뽑아낸 다음[10] 장의 크기 인자나 질량이나 결합 상수에 흡수시켜 버리자는 게 그 아이디어이다. 실제로 장의 크기, 질량, 결합 상수 등은 맨값(bare value)으로 라그랑지언에 포함되나 실제로 측정되는 물리량(physical value)은 맨값에 저 골칫거리들이 더해진 값이라고 치는 것이다. 이렇게 하여 물리적으로 의미 없는 발산은 없어지고 물리적으로 의미 있는 양만 남게 되는데, 이것이 바로 재규격화(renormalization)이다. 크기, 질량, 결합 상수 등을 다시 규격화했다고 해서 붙여진 이름이다. 상당히 테크니컬하다 못해 어떻게 보면 황당한 기술인데, 이렇게 계산한 결과가 실험과 너무 잘 맞았던 게 함정.[11] 실제로 표준 모형에서 쓰이는 라그랑지언은 그 전부가 재규격화 가능(renormalizable)하다.[12]이렇게 해서 일단 당연히 있어야 할 물질의 장(디랙 장)에 전자기장을 첨가해 얻은 양자장론이 바로 양자 전기역학(QED)이다. 이 이론의 액션은 다음과 같다.
[math(S = \int d^4 x (i \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi - m^2 \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}).)][13]
식에 대한 자세한 설명은 게이지 장 문서를 참고하자. 다른 상호작용의 역할이 중요하지 않을 때 이 액션과 양자장론의 프레임(양자화, 재규격화)을 통해 모든 전자기적 현상을 설명할 수 있다! 특히 전자기장을 양자화시켜 얻은 입자, 즉 전자기장의 매개 입자가 바로 그 유명한 광자(photon)이며, 우리가 아는 광자의 모든 것은 이 이론으로 전부 다 설명이 가능하다. 실제로 이론물리학자를 지망하는 학생들이 제일 먼저 익히게 되는 양자장론이 바로 QED이다.
3.3. 힉스 메커니즘
한편 전자기장에는 게이지 대칭성이 있는데, 이 게이지 대칭성을 더 일반적인 경우로 확장시키면 더 많은 상호작용들을 설명할 수 있다. 이렇게 해서 얻은 장이 바로 게이지 장 혹은 양-밀스 장이다. 이 양-밀스 장을 양자화시키면 또다른 입자들을 얻게 되는데, 이들이 우리가 아는 그 매개 입자들, 혹은 게이지 입자들이다. 한편 이들 게이지 입자들 중에 약한 상호작용을 기술하는 입자들은 0보다 큰 질량을 갖는데, 이는 게이지 대칭성을 위반하는 것이지만 이들 입자들을 통해 힉스 메커니즘을 양-밀스 장 이론에 융합시킨 형태로서의 약한 상호작용을 잘 설명할 수 있다.[14] 더군다나 이 과정에서 약한 상호작용과 전자기 상호작용이 사실은 더 큰 게이지 군([math(\text{SU}(2) \times \text{U}(1))])으로 기술되는 하나의 게이지 장에서 분화한 것들이며 그 분화는 힉스 메커니즘에 의한 게이지 대칭성이 깨진 결과에 해당한다는 사실도 알게 되었다. 최초의 통일장 이론인 셈이다. 이 이론은 그 통합된 실체인 전자기약력(electroweak force) 자체뿐만 아니라 모든 약한 상호작용의 결과를 다 설명해 준다. 그리고 2013년에 힉스 메커니즘에 도입된 스칼라 장인 힉스 장의 존재가 그 양자화인 힉스 입자가 CERN의 LHC에서 발견됨으로써 확인되었고, 이는 표준 모형의 완성을 의미하게 되었다.이렇게 필요한 것들만 간추려 봤는데, 그래도 장난 아니라는 것을 알 수 있을 것이다.
4. 구성 요소
4.1. 라그랑지언
표준 모형의 라그랑지언은 심히 복잡하기로 악명이 높다. 그래도 대강 간추려서 쓸 수 있긴 한데, 다음과 같이 말이다. 출처는 extrad.[math(\mathcal{L} = \sqrt{g}( \underset{\overline{\text{Einstein}}}{R} - \underset{\substack{\text{Maxwell}\\\text{Yang-Mills}}}{ \underline{\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} }}+ \underset{\text{Dirac}}{\underline{ \bar{\psi }\gamma_\mu D^\mu \psi } }+ \underset{\text{Higgs}}{\underline{| \mathcal{D} h |^2 - V(|h|) }}+ \underset{\overline{\text{Yukawa}}}{\psi\psi h}))]
여기서 양-밀스 장의 게이지 군(gauge group)은 [math(\text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1))]이다. 앞의 [math(\text{SU}(3))]는 강한 상호작용에 해당하고 [math(\text{SU}(2) \times \text{U}(1))]은 (통일된) 전자기약력에 해당하는데, 힉스 메커니즘에 의하여 이 대칭성이 붕괴되면 전자기약력은 전자기 상호작용과 약한 상호작용으로 분화된다.
앞에서 설명한 모든 것이 집약되어 있다. 위에 쓴 QED 라그랑지언[16]과 다른 점은 다음과 같다.
- 아인슈타인(Einstein)항: 리치 곡률을 나타내며 일반 상대성 이론 보정이다. 이 항은 사실 표준 모형에 들어가 있지 않다. 사실 맨앞의 [math(\sqrt{g})]도 일반 상대성 이론을 고려하지 않으면 그냥 1인 값으로 의미가 없다. 휘어진 시공간을 대상으로 할 때는 모든 액션과 라그랑지언에 저 인자가 들어가야 한다.
- 디랙(Dirac) 항: 윗문단의 수식에도 있지만, 더 이상 하나의 디랙 장이 아닌 여러 페르미온 장의 다중항(multiplet)으로 나타냈다는 차이가 있다.
- 맥스웰 양-밀스(Maxwell Yang-Mills) 항: QED의 전자기장이 일반적인 양-밀스 장의 항으로 바뀐 것이다.
- 힉스(Higgs) 항: 힉스 입자로 대표되는 힉스 장을 설명한다. 질량항 대신 들어선 아래의 유카와 항은 나중에 힉스 메커니즘에 의하여 질량항으로 그 역할을 하게 될 것이다.
- 유카와(Yukawa) 항: 질량항, 중간자를 예언한 것으로 유명한 유카와 히데키의 이름을 땄다. 사실 유카와는 중간자를 예언하면서 중간자에 의한 새로운 상호작용을 예언했는데, 중간자가 기본적으로 스칼라 입자(스핀 0인 입자)이기 때문에 이 상호작용은 페르미온-스칼라 입자 간 상호작용이었다. 이를 기리고자 페르미온-스칼라 입자 간의 상호작용을 보통 유카와 상호작용이라고 부른다. 유카와 히데키는 중간자 연구에 대한 공로로 노벨상을 받았다.
그런데 사실 더 복잡한 내부 사정이 있긴 하다. 사실 저 식은 한 세대(generation)만 표현한 식이다. 즉 업 쿼크, 다운 쿼크, 전자, 전자 중성미자만 다룬 식인 것이다. 디랙 장의 항은 지금 알려진 것만 하더라도 개별적인 항 세 개를 가져야 하며 유카와 항은 이들 세 세대를 모두 커버하기 위해 복잡한 모습을 가져야 한다. 한 가지 더 복잡한 것이 있는데, 바로 패리티 대칭성이 깨져 있다는 것이다.[17][18] 이 때문에 한 세대만 하더라도 디랙 장의 다중항은 굉장히 이상하게 생겼으며 이로 인해 유카와 항은 한없이 복잡해진다. 더군다나 세 세대가 있게 되어 생기는 특징으로 유카와 항에서 CP-대칭성마저 깨진다.[19] 저 간단해 보이는 식 내부에 이렇게 복잡한 사정들이 숨겨져 있다.
이 복잡한 사정들 때문인지 표준 모형의 라그랑지언을 완전히 다 풀면(!) 가공할 만한 모습을 갖추게 된다. 다음은 표준 모형의 라그랑지언을 다 풀어헤친 식이다. 출처
- [라그랑지언 완전 전개식 펼치기 ∙ 접기]
- || [math(\small -\frac{1}{2}\partial_{\nu}g^{a}_{\mu}\partial_{\nu}g^{a}_{\mu}
-g_{s}f^{abc}\partial_{\mu}g^{a}_{\nu}g^{b}_{\mu}g^{c}_{\nu}
-\frac{1}{4}g^{2}_{s}f^{abc}f^{ade}g^{b}_{\mu}g^{c}_{\nu}g^{d}_{\mu}g^{e}_{\nu}
+\frac{1}{2}ig^{2}_{s}(\bar{q}^{\sigma}_{i}\gamma^{\mu}q^{\sigma}_{j})g^{a}_{\mu}
+\bar{G}^{a}\partial^{2}G^{a}+g_{s}f^{abc}\partial_{\mu}\bar{G}^{a}G^{b}g^{c}_{\mu}
-\partial_{\nu}W^{+}_{\mu}\partial_{\nu}W^{-}_{\mu}-M^{2}W^{+}_{\mu}W^{-}_{\mu}
-\frac{1}{2}\partial_{\nu}Z^{0}_{\mu}\partial_{\nu}Z^{0}_{\mu}-\frac{1}{2c^{2}_{w}}
M^{2}Z^{0}_{\mu}Z^{0}_{\mu}
-\frac{1}{2}\partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\mu}A_{\nu}
-\frac{1}{2}\partial_{\mu}H\partial_{\mu}H-\frac{1}{2}m^{2}_{h}H^{2}
-\partial_{\mu}\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-}-M^{2}\phi^{+}\phi^{-}
-\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{0}-\frac{1}{2c^{2}_{w}}M\phi^{0}\phi^{0}
-\beta_{h}[\frac{2M^{2}}{g^{2}}+\frac{2M}{g}H+\frac{1}{2}(H^{2}+\phi^{0}\phi^{0}+2\phi^{+}\phi^{-%%@
}) ]+\frac{2M^{4}}{g^{2}}\alpha_{h}
-igc_{w}[\partial_{\nu}Z^{0}_{\mu}(W^{+}_{\mu}W^{-}_{\nu}-W^{+}_{\nu}W^{-}_{\mu})
-Z^{0}_{\nu}(W^{+}_{\mu}\partial_{\nu}W^{-}_{\mu}-W^{-}_{\mu}\partial_{\nu}W^{+}_{\mu})
+Z^{0}_{\mu}(W^{+}_{\nu}\partial_{\nu}W^{-}_{\mu}-W^{-}_{\nu}\partial_{\nu}W^{+}_{\mu}) ]
-igs_{w}[\partial_{\nu}A_{\mu}(W^{+}_{\mu}W^{-}_{\nu}-W^{+}_{\nu}W^{-}_{\mu})
-A_{\nu}(W^{+}_{\mu}\partial_{\nu}W^{-}_{\mu}-W^{-}_{\mu}\partial_{\nu}W^{+}_{\mu})
+A_{\mu}(W^{+}_{\nu}\partial_{\nu}W^{-}_{\mu}-W^{-}_{\nu}\partial_{\nu}W^{+}_{\mu}) ]
-\frac{1}{2}g^{2}W^{+}_{\mu}W^{-}_{\mu}W^{+}_{\nu}W^{-}_{\nu}+\frac{1}{2}g^{2}
W^{+}_{\mu}W^{-}_{\nu}W^{+}_{\mu}W^{-}_{\nu}
+g^2c^{2}_{w}(Z^{0}_{\mu}W^{+}_{\mu}Z^{0}_{\nu}W^{-}_{\nu}-Z^{0}_{\mu}Z^{0}_{\mu}W^{+}_{\nu}
W^{-}_{\nu})
+g^2s^{2}_{w}(A_{\mu}W^{+}_{\mu}A_{\nu}W^{-}_{\nu}-A_{\mu}A_{\mu}W^{+}_{\nu}
W^{-}_{\nu})
+g^{2}s_{w}c_{w}[A_{\mu}Z^{0}_{\nu}(W^{+}_{\mu}W^{-}_{\nu}-W^{+}_{\nu}W^{-}_{\mu})-%%@
2A_{\mu}Z^{0}_{\mu}W^{+}_{\nu}W^{-}_{\nu}]
-g\alpha[H^3+H\phi^{0}\phi^{0}+2H\phi^{+}\phi^{-}]
-\frac{1}{8}g^{2}\alpha_{h}[H^4+(\phi^{0})^{4}+4(\phi^{+}\phi^{-})^{2}+4(\phi^{0})^{2}
\phi^{+}\phi^{-}+4H^{2}\phi^{+}\phi^{-}+2(\phi^{0})^{2}H^{2}]
-gMW^{+}_{\mu}W^{-}_{\mu}H-\frac{1}{2}g\frac{M}{c^{2}_{w}}Z^{0}_{\mu}Z^{0}_{\mu}H
-\frac{1}{2}ig[W^{+}_{\mu}(\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{-}-\phi^{-}\partial_{\mu}\phi^{0})
-W^{-}_{\mu}(\phi^{0}\partial_{\mu}\phi^{+}-\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{0}) ]
+\frac{1}{2}g[W^{+}_{\mu}(H\partial_{\mu}\phi^{-}-\phi^{-}\partial_{\mu}H)
-W^{-}_{\mu}(H\partial_{\mu}\phi^{+}-\phi^{+}\partial_{\mu}H) ]
+\frac{1}{2}g\frac{1}{c_{w}}(Z^{0}_{\mu}(H\partial_{\mu}\phi^{0}-\phi^{0}\partial_{\mu}H)
-ig\frac{s^{2}_{w}}{c_{w}}MZ^{0}_{\mu}(W^{+}_{\mu}\phi^{-}-W^{-}_{\mu}\phi^{+})
+igs_{w}MA_{\mu}(W^{+}_{\mu}\phi^{-}-W^{-}_{\mu}\phi^{+})
-ig\frac{1-2c^{2}_{w}}{2c_{w}}Z^{0}_{\mu}(\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-}-\phi^{-%%@
}\partial_{\mu}\phi^{+})
+igs_{w}A_{\mu}(\phi^{+}\partial_{\mu}\phi^{-}-\phi^{-}\partial_{\mu}\phi^{+})
-\frac{1}{4}g^{2}W^{+}_{\mu}W^{-}_{\mu}[H^{2}+(\phi^{0})^{2}+2\phi^{+}\phi^{-}]
-\frac{1}{4}g^{2}\frac{1}{c^{2}_{w}}Z^{0}_{\mu}Z^{0}_{\mu}[H^{2}+(\phi^{0})^{2}+2(2s^{2}_{w}-%%@
1)^{2}\phi^{+}\phi^{-}]
-\frac{1}{2}g^{2}\frac{s^{2}_{w}}{c_{w}}Z^{0}_{\mu}\phi^{0}(W^{+}_{\mu}\phi^{-}+W^{-%%@
}_{\mu}\phi^{+})
-\frac{1}{2}ig^{2}\frac{s^{2}_{w}}{c_{w}}Z^{0}_{\mu}H(W^{+}_{\mu}\phi^{-}-W^{-}_{\mu}\phi^{+})
+\frac{1}{2}g^{2}s_{w}A_{\mu}\phi^{0}(W^{+}_{\mu}\phi^{-}+W^{-}_{\mu}\phi^{+})
+\frac{1}{2}ig^{2}s_{w}A_{\mu}H(W^{+}_{\mu}\phi^{-}-W^{-}_{\mu}\phi^{+})
-g^{2}\frac{s_{w}}{c_{w}}(2c^{2}_{w}-1)Z^{0}_{\mu}A_{\mu}\phi^{+}\phi^{-}-%%@
g^{1}s^{2}_{w}A_{\mu}A_{\mu}\phi^{+}\phi^{-}
-\bar{e}^{\lambda}(\gamma\partial+m^{\lambda}_{e})e^{\lambda}
-\bar{\nu}^{\lambda}\gamma\partial\nu^{\lambda}
-\bar{u}^{\lambda}_{j}(\gamma\partial+m^{\lambda}_{u})u^{\lambda}_{j}
-\bar{d}^{\lambda}_{j}(\gamma\partial+m^{\lambda}_{d})d^{\lambda}_{j}
+igs_{w}A_{\mu}[-(\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}
e^{\lambda})+\frac{2}{3}(\bar{u}^{\lambda}_{j}\gamma^{\mu} %%@
u^{\lambda}_{j})-\frac{1}{3}(\bar{d}^{\lambda}_{j}\gamma^{\mu}
d^{\lambda}_{j}) ]
+\frac{ig}{4c_{w}}Z^{0}_{\mu}
[ (\bar{\nu}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda})+
(\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}(4s^{2}_{w}-1-\gamma^{5})e^{\lambda})+
(\bar{u}^{\lambda}_{j}\gamma^{\mu}(\frac{4}{3}s^{2}_{w}-1-\gamma^{5})u^{\lambda}_{j})+
(\bar{d}^{\lambda}_{j}\gamma^{\mu}(1-\frac{8}{3}s^{2}_{w}-\gamma^{5})d^{\lambda}_{j}) ]
+\frac{ig}{2\sqrt{2}}W^{+}_{\mu}[ (\bar{\nu}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})e^{\lambda})
+(\bar{u}^{\lambda}_{j}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})C_{\lambda\kappa}d^{\kappa}_{j}) ]
+\frac{ig}{2\sqrt{2}}W^{-}_{\mu}[ (\bar{e}^{\lambda}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda})
+(\bar{d}^{\kappa}_{j}C^{\dagger}_{\lambda\kappa}\gamma^{\mu}(1+\gamma^{5})u^{\lambda}_{j}) ]
+\frac{ig}{2\sqrt{2}}\frac{m^{\lambda}_{e}}{M}
[-\phi^{+}(\bar{\nu}^{\lambda}(1-\gamma^{5})e^{\lambda})
+\phi^{-}(\bar{e}^{\lambda}(1+\gamma^{5})\nu^{\lambda}) ]
-\frac{g}{2}\frac{m^{\lambda}_{e}}{M}[H(\bar{e}^{\lambda}e^{\lambda})
+i\phi^{0}(\bar{e}^{\lambda}\gamma^{5}e^{\lambda}) ]
+\frac{ig}{2M\sqrt{2}}\phi^{+}
[-m^{\kappa}_{d}(\bar{u}^{\lambda}_{j}C_{\lambda\kappa}(1-\gamma^{5})d^{\kappa}_{j})
+m^{\lambda}_{u}(\bar{u}^{\lambda}_{j}C_{\lambda\kappa}(1+\gamma^{5})d^{\kappa}_{j}]
+\frac{ig}{2M\sqrt{2}}\phi^{-}
[m^{\lambda}_{d}(\bar{d}^{\lambda}_{j}C^{\dagger}_{\lambda\kappa}(1+\gamma^{5})u^{\kappa}_{j})
-m^{\kappa}_{u}(\bar{d}^{\lambda}_{j}C^{\dagger}_{\lambda\kappa}(1-\gamma^{5})u^{\kappa}_{j}]
-\frac{g}{2}\frac{m^{\lambda}_{u}}{M}H(\bar{u}^{\lambda}_{j}u^{\lambda}_{j})
-\frac{g}{2}\frac{m^{\lambda}_{d}}{M}H(\bar{d}^{\lambda}_{j}d^{\lambda}_{j})
+\frac{ig}{2}\frac{m^{\lambda}_{u}}{M}\phi^{0}(\bar{u}^{\lambda}_{j}\gamma^{5}u^{\lambda}_{j})
-\frac{ig}{2}\frac{m^{\lambda}_{d}}{M}\phi^{0}(\bar{d}^{\lambda}_{j}\gamma^{5}d^{\lambda}_{j})
+\bar{X}^{+}(\partial^{2}-M^{2})X^{+}+\bar{X}^{-}(\partial^{2}-M^{2})X^{-}
+\bar{X}^{0}(\partial^{2}-\frac{M^{2}}{c^{2}_{w}})X^{0}+\bar{Y}\partial^{2}Y
+igc_{w}W^{+}_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{0}X^{-}-\partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{0})
+igs_{w}W^{+}_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{Y}X^{-}-\partial_{\mu}\bar{X}^{+}Y)
+igc_{w}W^{-}_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{0}-\partial_{\mu}\bar{X}^{0}X^{+})
+igs_{w}W^{-}_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{-}Y-\partial_{\mu}\bar{Y}X^{+})
+igc_{w}Z^{0}_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{+}-\partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{-})
+igs_{w}A_{\mu}(\partial_{\mu}\bar{X}^{+}X^{+}-\partial_{\mu}\bar{X}^{-}X^{-})
-\frac{1}{2}gM[\bar{X}^{+}X^{+}H+\bar{X}^{-}X^{-}H+\frac{1}{c^{2}_{w}}\bar{X}^{0}X^{0}H]
+\frac{1-2c^{2}_{w}}{2c_{w}}igM[\bar{X}^{+}X^{0}\phi^{+}-\bar{X}^{-}X^{0}\phi^{-}]
+\frac{1}{2c_{w}}igM[\bar{X}^{0}X^{-}\phi^{+}-\bar{X}^{0}X^{+}\phi^{-}]
+igMs_{w}[\bar{X}^{0}X^{-}\phi^{+}-\bar{X}^{0}X^{+}\phi^{-}]
+\frac{1}{2}igM[\bar{X}^{+}X^{+}\phi^{0}-\bar{X}^{-}X^{-}\phi^{0}] )] ||
다만, 이 식은 필요 이상으로 풀어헤쳐진 느낌이 있다.[20][21] 하지만 무슨 입자가 있고 그 입자들이 어떤 입자와 상호작용하는지를 알기 위해선 이렇게 쓸 필요가 있다. 예를 들어 파인만 다이어그램을 그릴 때에는 저렇게 풀어헤쳐진 식의 항들을 가지고 그려야 한다.
아무튼 이렇게 해서 스피너, 벡터, 그리고 스칼라 장들로 모든 입자들을 기술하는 표준 모형이 완성된 것이다. 사실 위 식과 양자장론의 프레임을 가지고 우리가 아는 모든 입자들을 거의 정확하게 기술할 수 있게 되었다. 실제로 표준 모형의 정확도는 QED에 버금간다. 이제 이 표준 모형이 어떤 입자들을 다루고 있는가를 살펴보자.
4.2. 기본 입자들
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현재 인류는 모든 물질들[22]이 이 기본 입자들로 구성되어 있다는 것을 밝혔다.[23] 표준 모형의 한 골자 중 하나. 사실 정확하게는 모든 물질들을 설명하는 장들을 찾은 것인데, 장의 양자화는 각 장에 해당하는 어떤 입자가 존재할 것을 말해준다. 기본 입자들이 바로 그것.
상대성 이론에 따르면 모든 물리량은 텐서(스칼라, 벡터 포함) 혹은 스피너로 표현이 된다. 따라서 가능한 장은 텐서 혹은 스피너로 표현이 되는데, 이 둘 중 어느 것으로 표현된 장이냐에 따라 보손 장이냐 페르미온 장이냐로 분류된다. 위 라그랑지언에서 디랙 항과 유카와 항에 해당하는 것들이 바로 페르미온 장을 나타낸다. 상호작용 때문에 각 항에는 양-밀스 장과 힉스 장이 포함되어 있긴 하지만. 또한 기본 입자들의 스피너는 스핀 1/2에 해당하는 스피너들 뿐이다. 페르미온 장은 보통 다중항(multiplet)으로 표현되어 있는데, 이 다중항의 성분들 하나하나가 어떤 입자의 카이럴(chiral)[24] 성분 중 하나에 해당한다.[25] 그 다중항을 풀어 쓰면 한 세대(generation)을 얻는다. 위 표에서 페르미온의 세 줄들 중 각 줄 하나하나가 세대에 해당한다. 물론 세대별로 디랙 항이 따로따로 존재한다. 다만 유카와 항은 하나로 묶여 있는데, 여기서 다른 입자들의 질량 같은 것들이 서로 복잡하게 영향을 준다는 것을 알 수 있다. 재밌게도 표준 모형은 '왜 세 세대가 있어야 하는가'를 설명하지 못한다. 그 말은 즉 4번째 세대가 있어도 문제가 없다는 뜻이다.[26][27] 한편 실제로 우리가 흔히 보는 물질들은 거의 대부분이 1세대에 속하는 것들로, 원자는 (속박이 안 되는 전자 중성미자를 제외한다면) 이들 1세대 입자들, 즉 위 쿼크와 아래 쿼크, 전자로 구성되어 있다. 나머지는 워낙 무거운 탓에 금방 붕괴가 되어 우리가 쉽게 접할 수 없다.
한편 보손으로 되어 있는 장은 스핀 1인 장과 스핀 0인 장 둘뿐인데[28], 스핀 1인 장은 모두 벡터 장, 특히 게이지 장으로 표현이 된다. 페르미온 장에 국소적 위상 변환(게이지 변환)에 대한 대칭성을 요구하면 게이지 장이 얻어지는데, 이 게이지 장을 양자화하여 얻은 것이 바로 위 테이블의 게이지 보손들이다. 다만 주의할 것은 광자와 W+, W-, Z 보손은 사실 힉스 메커니즘을 한번 거쳐서 나타난 [math(\text{SU}(2) \times \text{U}(1))]-게이지 장의 입자들이다. 원래 버전의 게이지 장 입자라면 모두 질량이 없는 동등한 네 입자여야 한다. 하지만 힉스 메커니즘 때문에 이들이 섞여서 저 네 입자가 나타나도록 되었고, 하나였던 상호작용도 둘로 쪼개진 것이다. 한편 글루온은 이들 힘과 개별적으로 작용하는데, [math(\text{SU}(3))]를 게이지 군으로 갖는다. 잘 알려져 있다시피 글루온은 쿼크들에만 작용하며 쿼크들을 묶는 힘이다.
마지막으로 가장 나중에 발견된 스핀 0인 장, 혹은 스칼라 장은 소위 힉스 장이라고 불리는 장이다. 힉스 장은 질량을 가진 모든 입자에 질량을 부여하는 역할을 한다.[29] 다만 힉스 장 자신은 빼고 말이다. 힉스 장은 스스로 질량을 가지고 있다. 물론 대칭성이 깨지고 난 후의 얘기이고, 대칭성이 안 깨졌을 때에는 이야기가 복잡해지지만.[30] 그리고 계속 이야기했던 것이지만 전자기약력이 전자기 상호작용과 약한 상호작용으로 분화되는 원인이기도 하다.
5. 한계
이렇게 성공적인 표준 모형이지만 맨 위에서 말했듯이 대다수 물리학자들은 이 이론을 궁극의 이론이라고 부르기를 주저한다. 많은 한계가 있기 때문이다.5.1. 수많은 매개변수
표준 모형은 19개나 되는 매개변수(Parameter)들을 가지고 있다. 물리학자들이 흔히 쓰는 표현에 의하면 이들 19개 패러미터들을 일일이 다 측정해서 손으로 써 줘야 한다. 즉, 왜 이들 19개 패러미터들이 하필 그 값을 가지는가를 설명하지 못한다는 뜻이다. 그리고, 이는 표준 모형에 의해 분류되는 기본 입자의 종류가 서른 개[31]나 되는 원인이기도 하다. 이렇게 매개변수와 입자의 수가 많다 보니, 표준 모형의 입자들도 더 작은 어떤 것으로 만들어 진 것이 아니냐는 주장도 존재한다.[32]"무슨 값이 됐든 상관이 없지 않냐?"라고 반문할 수도 있겠지만 그렇지 않다. 조금만 바꿔 보면 심각한 상황이라는 것을 알 수 있다. 값이 조금만 틀어져도 우주에 생명체가 살지 못할 수도 있다는 결과가 나오니까. 거꾸로 말하자면 19개나 되는 수많은 패러미터들이 우연히 맞춰져 지금 우리가 살아갈 수 있는 우주가 나타난 것이라는 이야기이다.[33] 패러미터 수가 19개나 되는 것도 골치인데, 이들 값이 하필 지금과 같이 맞춰져 있다는 상황은 표준 모형이 완전한 궁극의 이론이 아닐 거라는 의심을 불러일으킬 만하다.
마치 맥스웰 방정식에서 [math(\epsilon_0)][34]나 [math(\mu_0)][35]에 해당하는 상수가 무려 19개나 된다고 보면 되겠다. 사실 맥스웰 방정식은 단위만 잘 맞춰주면 [math(\epsilon_0)]와 [math(\mu_0)] 둘 다 없는 것으로 칠 수 있다. 정작 중요한 상수라면 기본 전하의 크기[36] 정도이니 결국 맥스웰 방정식은 패러미터가 하나뿐이라고 말할 수도 있겠다.[37]
미세 조정된 우주라는 유사과학에 가까운 사변도 이러한 난점에 근거하고 있다.
5.2. 세대 간의 격차, 세대의 수
페르미온에 세대가 있다고 했다. 희한하게도 세대가 올라갈수록 입자들의 질량은 엄청나게 커진다. 그 이유를 표준 모형은 설명해내지 못한다. 사실 앞에서도 지적했지만 표준 모형은 왜 세대 수가 3이어야 하는지도 그 자신이 명확하게 설명하지 못한다. 그저 실험을 통해 알 수 있을 뿐이지.이 항목 전까지는 '뭐 모를 수도 있지' 하는 문제일 것이다. 하지만 그 다음부터는 심각하다.
5.3. 진공 에너지를 예측할 수 없다
진공은 그 자체로 어느 정도의 에너지를 갖는다는 게 양자역학의 주장 중 하나이다. 진공 에너지의 유력한 후보가 될 수 있는 암흑 에너지를 천문학이 발견함에 따라 예측은 맞아떨어지는 것처럼 보였다. 하지만 문제는 그 예측 값인데, 이게 측정된 암흑 에너지의 밀도와 달라도 한참 다르다는 것이 문제다. 아무리 잘 계산해도 무려 [math(10^{120})]배나 차이가 난다. 물리학자들은 이 결과를 보고 입을 모아 역사상 가장 틀린 예측이라고 부른다. 양자장론과 표준 모형에 이르러서도 이 문제는 해결되지 못했다.5.4. 중성미자의 질량
표준 모형에서는 중성미자의 질량이 0이라고 예측하고 있다. 하지만 1998년 슈퍼 카미오칸데에서 중성미자의 진동[38]이 관측된 것 때문에 표준 모형은 심각한 타격을 입게 된다. 실험을 통해 전자 중성미자, 뮤온 중성미자, 타우 중성미자가 서로 바뀔 수 있음이 확인된 것이다. 이는 중성미자 셋 간에 질량 차이가 있으며, 적어도 셋 중 둘은 질량이 0이 아니란 것을 의미한다. 이를 해결하기 위해 시소 메커니즘 등 다양한 방법이 모색되고 있으나 어쨌든 표준 모형의 확장(수정)이 불가피한 상황이다.참고로 중성미자의 질량은 양-밀스 질량 간극 가설과는 별 관련이 없다고 여겨진다. 양-밀스 질량 간극 가설은 점근적 자유성을 보이는(asymptotically free) 이론에 적용되는 가설인데 중성미자가 점근적 자유성을 가진다는 증거는 전무하기 때문이다.
5.5. 암흑 물질, 암흑 에너지의 부재
천문학에서 얻은 성과 중 하나가 바로 암흑 물질의 존재를 밝혔다는 것이다. 또한 우주의 팽창 속도에 깊이 관여하는 암흑 에너지 발견도 있었다. 그런데 모든 물질을 설명해 줄 수 있으리라고 여긴 표준 모형 안에는 암흑 물질도 암흑 에너지도 없었다. 앞에서 보듯이 암흑 에너지와 진공 에너지를 연결지으려는 시도는 끔찍한 오차와 함께 실패했다. 즉, 이들을 설명하는 아예 다른 이론이 필요한 상황이다. 그 이론은 표준 모형을 포함하는 더 큰 이론이 되어야겠지만 아직 오리무중이다.현재 우주는 암흑 에너지(Dark Energy) 69%, 암흑 물질(Dark Matter) 26%, 관측 가능한 물질(Visible Matter) 5%로 구성되어 있을 것으로 추정된다. 즉, 우리가 일반적으로 알고 있는 물질들[39]이 우주에서 차지하는 비율은 고작 5%에 불과하며 암흑 에너지와 암흑 물질을 합친 나머지 95%는 그 총량만 추정할 수 있을 뿐 정체가 밝혀지지 않았다.
5.6. 따로 노는 강한 상호작용
약한 상호작용과 전자기력은 하나의 힘이 분화한 것으로 설명이 가능하다. 하지만 표준 모형에서 강한 상호작용은 여전히 따로 노는 상호작용이다. 물리학자들은 전자기약력처럼 강한 상호작용 또한 전자기약력과 합쳐진 어떤 단일 상호작용의 분화일 것으로 믿고 있지만, 불행하게도 표준 모형에서는 이를 설명하지 않는다.5.7. 중력
물론 다른 건 표준 모형을 어떻게든 수정 및 확장을 하면 되거나 혹은 그런 거 몰라도 된다고 쳐도 될 문제로 보인다. 하지만 중력 문제는 양자장론의 뿌리 자체까지 의심하게 만드는 문제이다. 양자장론에 어떻게든 중력을 도입하려고 해 봐도 결국 얻는 건 재규격화 불가능이기 때문이다. 즉, 중력을 포함한 채로 고리를 하나라도 포함한 파인만 다이어그램을 그려서 계산하면 결코 재규격화로 처리할 수 없는 무한대가 생긴다는 것이다. 앞서 다른 힘을 설명할 때 재규격화 가능성(renormalizability)이 이론의 틀을 잡는 강력한 도구로 작용한다고 했었다. 하지만 그 논리를 중력에다 적용하면 도리어 중력을 기술하기 위해 필요한 항들이 아무 것도 없어야 한다는 것을 알 수 있다는 것이다![40] 심지어 중력은 약한 상호작용보다 무려 [math(10^{32})]배나 작은 힘인데도 말이다.[41] 삼라만상을 설명하겠다는 표준 모형은 가장 먼저 발견된 상호작용을 결코 포함할 수 없었다. 그런 이유에서 사실 중력자는 저 위의 표에 포함되기가 곤란하다.[42]6. 표준 모형 너머
표준 모형의 한계를 극복하기 위한 여러 가설이 수많은 이론물리학자들에 의해 제시되었다.가장 먼저 강한 상호작용과 전자기약력을 통합하려는 시도부터 보자. 이러한 시도로 만들어지는 이론을 가리켜 대통일 이론(GUT;Grand Unified Theory)이라고 부른다. 대통일 이론을 만들기 위한 방법으로 기존의 게이지 군 [math(\text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1))]을 확장시키는 것을 생각할 수 있다. 제일 먼저 나온 것이 [math(\text{SU}(5))] 대통일 이론. 가장 간단한 대통일 이론이지만 불행히도 양성자 붕괴 실험을 넘어서지 못하고 죽은 이론이 되고 말았다. 현재 가장 각광받는 이론은 아무래도 [math(\text{SO}(10))] 대통일 이론이겠다. 이 이론은 흥미롭게도 중성미자의 질량 문제를 같이 해결할 수 있다고 한다.
또다른 확장으로 유명한 것이 초대칭(supersymmetry)이다. 간단히 말하자면 모든 페르미온은 그에 대응하는 보손 짝을 가지고 있고 보손들도 페르미온 짝을 가지고 있다는 내용이다. 이들 대응되는 입자들을 가리켜 초대칭 짝이라고 부른다. 이로부터 로츠 군의 대칭성을 크게 확장한 새로운 종류의 대칭성이 생겨나는데, 이걸 가지고 초대칭성이라고 부른다. 비록 입자의 수는 두 배로 뻥튀기되지만, 수많은 문제들을 해결지을 수 있다는 이유로 각광받고 있다. 예를 들어 초대칭을 고려하면 재규격화 문제가 훨씬 수월해진다. 초대칭을 연구하는 사람들의 말에 의하면, 초대칭이 없었다면 엄청나게 복잡했을 계산이 초대칭을 고려하니까 반 이상이 소거되어 버렸다고. 물리학자들이 초대칭을 보고 우아하다고 말하는 이유이겠다.
몇몇 관측 결과들과 뭔가 안 맞는다는 점과 특히 LHC에서 결국 초대칭 짝이 발견되지 않아 초대칭 이론이 틀린 게 아닌가 하는 의견도 있다. 하지만 여기서 좌초된 것은 사실 제일 간단한 초대칭 이론이고 그보다 더 복잡한 (더 큰 질량을 가진 초대칭 짝을 예언하는) 초대칭 이론은 아직 검증의 도마에도 오르지 못했다. 그런 이유로 초대칭 이론을 연구하는 사람들, 특히 끈 이론을 연구하는 사람들은 여전히 태평하다고. 단지 기대했던 LHC에서 결과가 안 나와 아쉬울 뿐이지.
마지막으로 모든 것의 이론, 즉 궁극의 이론이라고 불릴 만한 이론들이 있다. 그 유명한 끈 이론, M이론이 그것이다. 위에서 설명한 방안들은 사실 공통적으로 한 문제를 해결하지 못하는데, 바로 중력 문제이다. 역으로 말하자면 중력을 포함하는 이론이야말로 모든 이론의 끝판왕이라는 것이다. 끈 이론의 아이디어는 간단하다. 전통적으로 입자를 점으로 보던 시각을 대신해서 입자를 진동하는 끈으로 본 것이다. 사실 이 아이디어는 양-밀스 장 이전에 강한 상호작용을 설명하고자 했던 한 방법에서 비롯된 것이다. 그런데 끈 이론은 일단 10차원 혹은 26차원[43]에서 기술되어야 모순이 없고, 의미를 알 수 없는 스핀 2 입자를 내포하는 등 워낙 이상한 점이 많았던 데다가, 결정적으로 양-밀스 장 이론에 비하면 강한 상호작용을 설명할 때 워낙 꿇려서(?) 결국 잊혀졌다. 하지만 나중에 이 스핀 2 입자가 알고 보니 중력을 매개하는 입자일 수도 있다는 것을 물리학자들이 알게 되었다. 즉, 입자가 끈이라고 상정하니 중력이 저절로 포함된 것이다. 게다가 이 이론에서 중력을 계산하면 더 이상 무한대를 만들지 않는다. 최초로 중력을 올바르게 기술하는 양자 이론이 탄생한 것이다. 여기에 보손밖에 설명하지 못하던 끈 이론에 초대칭 이론까지 추가가 되어 페르미온까지 잘 설명할 수 있게 되면서, 모든 것을 설명할 수 있게 된 지금의 끈 이론이 탄생했다. 다만 이 끈 이론도 여러 버전이 있는데, 이 버전들을 하나로 묶는 방법도 고안되었다. M이론이 바로 그것이다.
이렇게 표준 모형 너머의 이론들을 소개해 봤다. 하지만 이들 이론은 불행하게도 검증이 안 되고 있다. 현재 가장 큰 입자 가속기인 LHC조차 이들을 제대로 검증하는 데 필요한 에너지를 못 만들어낸다. 2022년 사상 최대 에너지 영역인 13.6 TeV 영역에서 가동한다니 그 결과가 주목되지만, 사실 대통일 이론만 하더라도 완전한 검증을 하기 위해선 이 최대 에너지의 1000억~10조 배에 달하는 막대한 에너지가 필요하다.
몇몇 이론들에서 표준 모형의 확장으로 프리온이라는 입자를 가정하기도 한다.
2021년 있었던 뮤온 g-2 실험이 표준 모형 너머의 물리를 탐색할 수 있는 돌파구이기를 물리학자들은 기대하고 있는 중이다.
[1] 쿠르츠게작트의 영상.[2] 엄밀히 따지자면 중력자.[3] 물론 제일 간단한 경우는 스칼라 장이고, 이는 주어진 리 군이 무엇이든지 항상 찾을 수 있는 것이다.[4] 사실상 (푸앵카레 군으로의 확장을 일단 무시한다면) 상대성 이론을 지배하는 대칭성을 묘사하는 군이다. 참고로, SO(1, 3)의 덮개(covering; 단, universal하진 않음)이다.[5] 과격하게 말하자면, 모든 리 대수의 표현은 SO(3) 군, 혹은 sl(2) 대수의 표현론만으로 구성된 것들이기 때문이다.[6] 모두 다는 할 수 없다. 사실 가능한 파인만 다이어그램은 무한히 많기 때문. 다만 필요한 차수의 다이어그램들만 그려서 계산을 한다.[7] 하지만 주의할 게 뭐냐면 이들 파인만 다이어그램들은 고리를 하나라도 포함하는 순간 하나하나가 다 4차원 혹은 그 이상의 적분에 해당하게 된다. 계산이 미칠 듯이 어렵다! 사실 고리가 하나도 없어도 계산은 꽤 어렵다 계산하는 데 쓰이는 테크닉도 이쪽을 연구하는 사람들이 아니면 상상도 못 할 괴상한 것들을 다룬다. 그럴 만도 한 것이 이게 다 끔찍한 무한대를 피하기 위한, 즉 재규격화를 위한 것이기 때문이다. 이렇게 설명하면 파인만 다이어그램이 뭔 쓸모냐 싶겠지만 그래도 뭘 계산해야 하는지 파악하는 것이 가장 중요하고 파인만 다이어그램은 이러한 목적을 200% 이상 달성시켜 주는 도구이다. 사실 엄청 어렵다고 써댔지만 몇 번 해 보면 기계적으로 쓱쓱 할 수 있다.[8] 아닌 경우가 있다. 다른 다이어그램에 의하여 상쇄되는 경우가 그것이다.[9] 적외선 발산(infrared divergence)도 있다. 광자의 질량이 너무 작다 못해 0 이라서 생기는 것이다. 그래도 자외선 발산보단 취급하기가 쉽다.[10] 이 방법을 가리켜 조절(regularization)이라고 부른다. 대칭성을 위해서 편하게 쓸수 있는 가우시안 인자 내의 조절인 차원 조절(dimensional regularization)가 있으나, 가우시안 인자에 발산하는 부분을 뽑아내어 더하는 PV 조절의 경우는 크로네커 델타를 가정해 게이지 불변성을 유지하기도 한다.[11] 세상에서 가장 정밀한 이론이라고 꼽히는 양자전기동역학조차 재규격화를 필요로 한다.[12] 재규격화 가능성은 가능한 이론의 형태를 결정한다. 이는 라그랑지언 포멀리즘에서 고차 항의 범위까지도 영향을 미칠 수 있다. [math(\frac{1}{4} (F_{\mu \nu})^2)] 같은 항 대신 [math(((F_{\mu \nu})^2)^2)]을 생각해보면, 전자기장 텐서의 차원은 음수로, 재규격화가 안 된다. 그런데 재규격화 가능성은 나중에 물리학자들의 뒤통수를 세게 후려친다. 자세한 것은 중력에 대하여 다룰 때 후술하겠다.[13] 자연 단위계를 썼다. 개념을 간단하게 다루기 위해 이 문서 전체에서는 자연 단위계를 썼다.[14] 덧붙여서 패리티 대칭성의 위반으로 인해 다른 페르미온들조차도 질량을 가지기 어려운 상황에 놓였는데, 힉스 메커니즘은 이 문제까지 잘 설명해 준다.[15] 곧 하나하나 설명하겠지만, 위 식의 항들에 들어가 있는 이름들은 맥스웰과 로버트 밀스 빼고 전부 다 노벨상 수상자들의 이름이다! 맥스웰이야 워낙 오래전 사람이라 어쩔 수 없긴 하고 밀스는 엄청난 업적을 세운 게 분명한데도 왜인지 모르겠지만... 아무튼 라벨만으로도 뭔가 화려해 보인다.[16] 액션 식에서 적분만 벗겨낸 것.[17] 이 사실은 C. N. 양(양-밀스 장의 그 '양'이다)과 T. D. 리가 제안했고 T. T. 우에 의하여 실험적으로 확인이 되었다. 이 업적으로 C. N. 양과 T. D. 리는 노벨상을 받게 되는데, 이들이 제안한 지 일 년 정도 지나고 나서 받은 상이다. 역대 노벨상들 중에서 가장 빨리 상이 수여된 업적이다. 패리티 대칭성이 옳다는 물리학자들의 믿음과 그 믿음이 무너졌을 때의 충격을 잘 대변해 준다. 다만 정작 검증을 한 T. T. 우가 (동시 수여가 충분히 가능했음에도) 노벨상을 못 받은 것은 여전히 논란거리.[18] 실제로 밝혀진 것은 중성미자가 '왼손 중성미자'밖에 없다는 것인데, 이 사실을 알게 된 파울리는 "신은 왼손잡이란 말인가"라고 개탄했다고 한다.[19] 이 업적으로도 노벨상이 수여됐는데, M. 코바야시와 T. 마스카와가 수상했다. 다만, 분명 물리학자들이 경악할 만한 일이었는데도 패리티 대칭성이 깨졌을 때와는 달리 이 상은 조금 있다 주어졌다. 내성이 생긴 건가 사실 CP-대칭성 자체보단 CKM-행렬(유카와 항을 표현하는 행렬)을 완성시켰다는 공로로 수상을 받은 것이긴 했다. 이때에도 논란이 있었던 게, CKM의 C에 해당하는 사람인 니콜라 카비보에게 상이 돌아가지 않았기 때문이다. 무엇보다도 CKM-행렬이란 아이디어 자체는 카비보의 업적이고 코바야시와 마스카와는 이걸 3세대까지 확장시킨 것인데도 말이다.[20] 마치 행렬의 곱셈에서 한 성분이 [math(\sum_{k = 1}^4 a_{ik} b_{kj})]로 보통 표현되는 것을 [math(a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + a_{i3} b_{3j} + a_{i4} b_{4j})]와 같이 풀어헤쳐 놓고 각 [math(a_{ik})]와 [math(b_{kj})]에 다른 이름들을 붙여놓은 것과 비슷하다.[21] 이 복잡함은 대부분이 전자기약력과 힉스 장의 상호작용과 페르미온과 힉스 장의 상호작용이 복잡한 데에 기인한다. 실제로 힉스 메커니즘이 작동할 때 원래 무척 간단하던 식은 단 한 번의 치환으로 엄청나게 많은 항들을 추가로 만들어 낸다.[22] 후술하겠지만 한계가 있다.[23] 책에 따라서는 반입자, 쿼크와 글루온의 색깔까지 고려해 테이블을 몇 개로 빵빵하게 키우기도 한다.[24] 왼손 입자 혹은 오른손 입자[25] 원래는 그냥 입자의 장 전체인데, 패리티 대칭성이 깨진 것 때문에 카이럴 성분 중 하나만 들어가는 경우도 있다.[26] 다만 그럴려면 힉스 장이 복잡하게 바뀌어야 한다. 예를 들면 추가적인 힉스 입자가 필요하다든가. 관측에서 이와 부합하는 결과는 없었기에 4번째 혹은 그 이상의 세대가 있을 확률은 작다. 사실 3번째 세대가 있다는 것도 예기치 않은 복잡성을 필요로 했다. CP-대칭성의 붕괴가 바로 그것이다. 그런데 관측으로부터 CP-대칭성의 붕괴가 확실시되자, 3번째 세대의 존재가 가시화되었고, 결국 다 발견이 되었다.[27] 4세대 중성미자의 질량이 다른 중성미자보다 수십억 배 정도는 무거워 Z 보손 질량의 절반 정도는 될 것이라는 계산이 나와 세 세대만 있을 것이라 믿는 학자들도 적지 않다.[28] 중력자는 스핀 2인 입자일 것으로 여겨진다. 저 테이블에 들어 가 있긴 하지만 중력자는 사실 표준 모형에 들어가 있는 입자가 아니다.[29] 사실 힉스 메커니즘이 없어도 입자들은, 특히 페르미온들을 질량을 충분히 가질 수 있다. 하지만 게이지 대칭성과 패리티 붕괴를 둘 다 고려하는 순간 페르미온들은 질량을 가질 수 없게 된다. 실제로는 질량을 가지는데도 말이다. 이 문제 또한 힉스 장이 해결해 준다. 만능이여[30] 예를 들어 가짜 진공(대칭성이 깨지지 않고 있는 진공)에서 힉스 장의 질량은 제곱했을 때 음수이다! 타키온 같아 보이고, 실제로 이런 입자들을 타키오닉 입자라고 부르는데, 이름이라든가 저런 특성과는 다르게 힉스 입자는 그 어떤 상황에서도 빛보다 빨리 움직이지 않는다. 사실 질량의 제곱이 음수라는 조건이 수학적으로 가짜 진공과 진짜 진공, 그리고 자발적인 대칭성 깨짐을 유도하는 중요한 역할을 한다. 한편 높은 온도에서는 이러한 허수 질량 성질이 사라지는데, 이때 가능한 바닥 상태의 진공은 하나만 남게 되고 게이지 대칭성은 깨지지 않고 유지가 된다. 온도에 따라 진공의 상태가 바뀌는 것을 보고 물리학자들은 상전이(phase transition)라고 부른다. 물이 얼음이 되고 수증기가 되는 과정을 말하는 그 상전이 맞다. 실제로 이때 쓰이는 이론과 열역학의 상전이 이론에서 쓰이는 메커니즘은 무척 유사하다.[31] 페르미온 24개 + 게이지 보손 5개 + 스칼라 보손 1개.[32] 물론 제대로 된 이론이나 모델이 나온 것이 아니다 보니 지지받지는 못하고 있다.[33] 이 모든 것이 우연히 맞춰졌다는 것도 지적 설계자가 있다는 것도 한쪽은 자연주의 유물론, 한쪽은 지적 설계론에 해당하여 둘 다 과학의 범주가 아니다.[34] 진공에서의 유전율(誘電率)[35] 진공에서의 투자율(透磁率)[36] 이 기본 전하의 크기는 보통 미세 구조 상수 [math(\alpha \approx \frac{1}{137})]로 표현된다. 참고로 이 상수는 무차원량으로, 완전히 불변인 값이다.[37] 사실 맥스웰 방정식뿐만 아니라 디랙 장까지 포함시킨, 즉 QED 레벨에서 이야기해야 하는 것이다. 맥스웰 방정식 자체는 기본 전하의 크기 같은 것과 무관하다.[38] 중성미자가 스스로 맛깔을 바꾸는 것.[39] 원자를 구성하고 있는 기본 입자인 전자, 1세대 쿼크로 이루어진 물질들.[40] 물론 라그랑지언에다 R², RabRab, RabcdRabcd 같은 항을 추가하면 일단 재규격화가 되기는 하지만 그 전에 양자중력효과를 볼 정도로 에너지가 높으면 통일장 이론 속 오만가지 입자들까지 몽땅 튀어나오니 더욱 골치 아파진다.[41] 이런 어마어마한 차이를 가리켜 계층 문제(hierarchy problem)라고 부른다.[42] 물론 '기본 입자'라는 측면에서 보면 포함되어도 상관 없을 것 같지만 사실 중력자까지 올라간다면 훨씬 더 풍부한 종류의 '기본 입자'들이 나타날 수 있다. 아래에 설명할 초대칭 짝이 바로 그것. 따라서 중력자가 포함되러면 다른 기본 입자들 역시 포함되는 게 맞을 것이다.[43] 보손 끈 이론.