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1. 개요
thermal conduction열이 물체 속을 이동하는 일. 또는 그런 현상을 말한다. 정확히 열 같은 경우는 열에너지가 전달되는 과정을, 전기 전도는 전자가 이동하는 현상이라고 이해하면 좋다. 과학에서, 주로 물리에서 열전도 등의 말로 쓰인다.
이 역할을 하는 물질을 전도체라고 한다. 참고로 열 전도율이 가장 높은 물질은 다이아몬드이며, 전기 전도율이 가장 높은 물질은 초전도체이다.
2. 열전도 법칙
위와 같이 온도가 [math(T_{1})]인 고열원 과 온도가 [math(T_{2})]인 저열원이 너비가 [math(L)]이고, 열전도율이 [math(\kappa)]인 물체와 접촉 중이다. 두 열원의 온도는 바뀌지 않는다고 가정한다.
이때, 고열원에서 저열원으로 이동하는 열 [math(Q)]에 대하여 다음이 성립한다.
- 단위 시간 동안 이동하는 [math(Q)]는 통과하는 단면적 크기 [math(A)]에 비례할 것이다.
- 단위 시간 동안 이동하는 [math(Q)]는 두 열원의 온도차 [math(T_1-T_2)]에 비례할 것이다.
- 단위 시간 동안 이동하는 [math(Q)]는 너비 [math(L)]에 반비례 할 것이다.
- 단위 시간 동안 이동하는 [math(Q)]는 열전도율 [math(\kappa)]에 비례할 것이다.
이것을 종합하여 수식을 만들면 아래와 같다.
[math( \begin{aligned} \frac{\Delta Q}{\Delta t}=-\frac{\kappa A (T_1-T_2)}{L} \end{aligned})]
만약, 매우 짧은 거리를 고려한다면,
[math( \begin{aligned} \dot{Q}=-\kappa A \frac{{\rm d}T}{{\rm d}x} \end{aligned})]
형태로 쓸 수 있다. 이것을 푸리에 열전도 법칙이라 한다.
3. 고체
고체의 열전도는 포논, 포논 중에서도 음향 포논에 영향을 받는다.도체의 경우라면, 포논과 더불어 자유전자까지 기여한다.
3.1. 포논의 열전도율
포논은 에너지와 운동량을 가지기 때문에 열을 전도할 수 있다.만약 온도가 [math(T+\Delta T)]인 곳에서 [math(T)]인 곳으로 포논이 이동한다면, 포논의 열용량을 [math(c)]라 하면, [math(c\Delta T)]의 에너지를 내놓는다.
이제 어떤 평면을 통과하는 포논을 보자. 이때, 포논의 평균 자유 거리를 [math(l)]이라 하자.
이때, 발생하는 온도 변화는
[math( \begin{aligned} \Delta T=\frac{{\rm d}T}{{\rm d}z}\Delta z=\frac{{\rm d}T}{{\rm d}z} l \cos{\theta} \end{aligned})]
따라서 포논이 흡수하는 방출하거나 흡수하는 에너지는
[math( \begin{aligned} c\Delta T=-c\frac{{\rm d}T}{{\rm d}z} l \cos{\theta} \end{aligned})]
이다.
따라서 평면을 통과하는 열의 플럭스는 입자의 밀도에 평면을 통과하는 속도의 수직 성분, 한 개당 에너지를 곱하여 얻을 수 있다.
[math( \begin{aligned} H=-\frac{{\rm d}T}{{\rm d}z}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{v=0}^{v=\infty} nf(v) G(\theta) \cdot v\cos{\theta} \cdot cl\cos{\theta} \end{aligned})]
[math(f(v))]는 [math(v)]에서 [math(v+{\rm d}v)]의 속도로 움직이는 포논의 개수이다.
[math(G(\theta))]는 기하학적 인자로, 만약 포논이 모든 방향에 대하여 등방적으로 방향을 가진다면, [math(\theta)]가 되게 충돌하게 되는 속도 벡터의 개수는 어떠한 구를 생각했을 때, [math([\theta,\,{\rm d}\theta])]의 영역인 [math(2\pi\sin{\theta} \,{\rm d\theta} )]의 입체각 만큼에 비례하여 그 개수가 존재할 것이다.
따라서 온 입체각 [math(4\pi)]일 때, 모든 방향의 속도 벡터의 개수가 다 포함된다는 사실을 고려하면, [math(G(\theta))]는
[math( \begin{aligned} G(\theta)=\frac{2\pi\sin{\theta} \,{\rm d\theta}}{4\pi}=\frac{\sin{\theta}\,{\rm d}\theta}{2} \end{aligned})]
가 된다.
이상에서
[math( \begin{aligned} H &=-\frac{1}{2}ncl\frac{dT}{dz}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}\int_{v=0}^{v=\infty} f(v) \sin{\theta}\,{\rm d}\theta \cdot v\cos{\theta} \cdot \cos{\theta} \\ &=-\frac{1}{2}ncl \frac{dT}{dz} \int_{0}^{\pi} \sin{\theta} \cos^{2}{\theta}\,{\rm d}\theta \int_{0}^{\infty} vf(v)\,{\rm d}v \\ &=-\frac{1}{3}cn\langle v \rangle l \frac{{\rm d}T}{{\rm d}x} \\ &=-\frac{1}{3}C\langle v \rangle l \frac{{\rm d}T}{{\rm d}x}\end{aligned})]
여기서 [math(C)]는 포논의 단위 부피당 열용량이며, [math(\langle v\rangle)]는 포논의 평균 속력이다.
이상에서 전도 법칙과 비교하면,
[math( \begin{aligned} \kappa = \frac{1}{3} C \langle v \rangle l \end{aligned})]
이다.
그런데, 포논의 열용량은 저온에서 [math(T^3)]에 비례하기 때문에 [math(\kappa \propto T^3)]라 놓을 수 있다.
3.2. 도체의 열전도율
도체는 자유전자가 많고, 전자는 페르미온 중 하나이므로 양자 통계역학 문서에서 이미 페르미 기체의 열용량을 구하였다.[math(\begin{aligned} C_{V}=\frac{\pi^{2}}{3}k_{B}^{3}T \mathcal{D}(\varepsilon_{F}) \end{aligned})]
한편,
[math(\begin{aligned} \mathcal{D}(\varepsilon_{F})=\frac{3N}{2 \varepsilon_{F}} \end{aligned})]
이고, 단위 부피 당 열용량은
[math(\begin{aligned} C=\frac{\pi^{2}}{2 \varepsilon_{F}}nk_{B}^{3}T \end{aligned})]
[math(n)]은 전자의 농도이다. 이때,
[math(\begin{aligned} \varepsilon_{F}=\frac{1}{2}mv_{F}^{2} \end{aligned})]
으로 운동 에너지로 쓸 수 있다.
포논에서 봤던 결과를 그대로 써서 열용량을 계산하고, [math(l=v_{F} \tau)](단, [math(\tau)]는 충돌 시간이다.)으로 쓴다면, 도체의 열전도율는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\begin{aligned} \kappa=\frac{\pi^2 n k_{\rm B}T \tau}{3m} \end{aligned})]
로 쓸 수 있다.
이때 문에 금속은 포논과 전자 두 개의 영향을 받으므로
[math(\begin{aligned} \kappa =A T +B T^3 \end{aligned})]
형태로 놓을 수 있다. 이때, [math(A)], [math(B)]는 도체의 종류에 따라 결정되는 상수이다.