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1. 개요
Sommerfeld expansion페르미온에 대한 양자 통계역학 분석 시 등장하는 등장하는 특수한 적분꼴에 대한 저온의 영역에 대한 근사.
2. 역사
독일의 물리학자 아르놀트 조머펠트에 의해 1920년대에 이론이 나왔으며, 페르미 기체의 열용량 및 전기 전도성을 설명하기 위해 이를 도입하였다.3. 상세
에너지에 의존하는 어떤 함수 [math(H(\varepsilon))]을 고려하자. 이때, [math(\mu \gg k_{B}T)]의 저온의 영역에 대하여 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{H(\varepsilon)}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1} \,{\rm d} \varepsilon \approx \int_{-\infty}^{\mu} H(\varepsilon)\,{\rm d}\varepsilon+\frac{\pi^2}{6} \biggl(\frac{1}{\beta} \biggr)^{2} H'(\mu)+\mathcal{O}\biggl( \biggl(\frac{1}{\beta} \biggr)^{4}\biggr) \end{aligned})]
한편, [math(\varepsilon \to -\infty)]에서 [math(H)]는 0으로 점근하는 형태여야 한다.
4. 유도
페르미-디랙 분포 함수 [math(\mathcal{N}(\varepsilon))]과 함수 [math(H(\varepsilon))]를 고려하자. 구하는 적분을 다시 쓰면[math(\begin{aligned} I \equiv \int_{-\infty}^{\infty} H(\varepsilon) \mathcal{N}(\varepsilon) \,{\rm d} \varepsilon \end{aligned})]
이다. 한편, 다음을 고려하자.
[math(\begin{aligned} K(\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\varepsilon} H(\varepsilon')\,{\rm d}\varepsilon' \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} H(\varepsilon)=\frac{{\rm d}K(\varepsilon)}{{\rm d}\varepsilon} \end{aligned})]
이다.
부분적분을 사용하여
[math(\begin{aligned} I =\biggl[ K(\varepsilon) \mathcal{N}(\varepsilon) \biggr]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty} K(\varepsilon) \biggl(-\frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \biggr)\,{\rm d}\varepsilon \end{aligned})]
이때 앞 항에서 [math(\mathcal{N}(\infty)=0)]이고, [math(K(-\infty)=0)]임을 기억하면,
[math(\begin{aligned} I =\int_{-\infty}^{\infty} K(\varepsilon) \biggl(-\frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \biggr)\,{\rm d}\varepsilon \end{aligned})]
이제 [math(K(\varepsilon))]을 [math(\mu)] 근방에서 테일러 전개한다.
[math(\begin{aligned} K(\varepsilon)=K(\mu)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\varepsilon-\mu)^{n}}{n!} K^{(n)}(\mu) \end{aligned})]
따라서
[math(\begin{aligned} I =-K(\mu)\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \,{\rm d} \varepsilon-\frac{K^{(n)}(\mu)}{n!} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}(\varepsilon-\mu)^{n} \frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \,{\rm d}\varepsilon \end{aligned})]
우선 제 1항을 살펴보자.
[math(\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon}=-\frac{\beta e^{\beta(\varepsilon-\mu)}}{[e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1]^{2}} \end{aligned})]
이상에서 적분은
[math(\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \,{\rm d} \varepsilon=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{[e^{x}+1]^{2}}\,{\rm d}x=1 \end{aligned})]
이 되어, 제 1항은
[math(\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\mu} H(\varepsilon)\,{\rm d} \varepsilon \end{aligned})]
가 된다.
이제 제 2항을 살펴보자.
[math(\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}(\varepsilon-\mu)^{n} \frac{\partial \mathcal{N}}{\partial \varepsilon} \,{\rm d}\varepsilon=\frac{1}{\beta^{n}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{n}e^{x}}{[e^x+1]^2}\,{\rm d}x \end{aligned})]
우선 함수
[math(\begin{aligned}\frac{e^{x}}{[e^x+1]^2}=\frac{e^{2x}e^{-x}}{e^{2x}[e^{-x}+1]^{2}} =\frac{e^{-x}}{[e^{-x}+1]^2} \end{aligned})]
로 짝함수이다. 따라서 [math(n)]이 홀수인 것은 적분은 0이 된다. 가장 작은 [math(n)]인 2일 때를 살펴보면,
[math(\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}e^{x}}{[e^x+1]^2}\,{\rm d}\varepsilon=\frac{\pi^2}{3} \end{aligned})]
이상에서
[math(\begin{aligned}I \approx \int_{-\infty}^{\mu} H(\varepsilon)\,{\rm d} \varepsilon +\frac{\pi^{2}}{6} \biggl(\frac{1}{\beta} \biggr)^{2}K''(\mu) \end{aligned})]
위의 정보를 참고함으로써 다음을 얻는다.
[math(\begin{aligned}I \approx \int_{-\infty}^{\mu} H(\varepsilon)\,{\rm d} \varepsilon +\frac{\pi^{2}}{6} \biggl(\frac{1}{\beta} \biggr)^{2}H'(\mu) \end{aligned})]
5. 참고
- 하한이 0일 때도 일부 조건이 만족한다면 이 전개는 성립한다.