최근 수정 시각 : 2026-07-09 22:12:43

맥스웰-볼츠만 분포

'''열역학·통계역학
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1. 개요2. 상세3. 역사4. 유도5. 분석
5.1. 그래프5.2. 속력5.3. 평균 에너지
6. 기타
6.1. 축퇴 기체6.2. 감마분포
7. 부록
7.1. 맥스웰의 접근
7.1.1. 맥스웰의 휴리스틱
7.1.1.1. 확률 분포의 규격화7.1.1.2. 평균 제곱 속력7.1.1.3. 최종 완성
8. 관련 문서

1. 개요

Maxwell-Boltzmann distribution

일원자 분자 이상기체를 상정한 각종 물리량들의 확률 분포이다.

2. 상세

질량이 [math(m)], 온도(절대온도)가 [math(T)]인 입자 [math(N)]개로 이루어진 일원자 분자 이상기체에 대해서 볼츠만 상수를 [math(k_{\rm B})]라 할 때, 입자의 분포 함수는 다음과 같이 주어진다.
  • 속도 [math({\bf v} = (v_x,\,v_y,\,v_z))], 속력 [math(v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2})]에 대한 분포 함수
    [math(\begin{aligned} f(v_i) &= \sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}\exp{\left(-\frac{m{v_i}^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \\
    f({\bf v}) &= \sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{m|{\bf v}|^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \\
    f(v) &= 4\pi v^2\sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \end{aligned})]
  • 운동량 [math({\bf p} = (p_x,\,p_y,\,p_z))], [math(p = \sqrt{{p_x}^2+{p_y}^2+{p_z}^2})]에 대한 분포 함수
    [math(\begin{aligned} f(p_i) &= \frac1{\sqrt{2\pi mk_{\rm B}T}}\exp{\left(-\frac{{p_i}^2}{2mk_{\rm B}T}\right)} \\
    f({\bf p}) &= \frac1{\sqrt{2\pi mk_{\rm B}T}^3}\exp{\left(-\frac{|{\bf p}|^2}{2mk_{\rm B}T}\right)} \\
    f(p) &= \frac{4\pi p^2}{\sqrt{2\pi mk_{\rm B}T}^3}\exp{\left(-\frac{p^2}{2mk_{\rm B}T}\right)}\end{aligned})]
  • 에너지 [math(E)]에 대한 분포 함수
    [math(f(E) = \dfrac{2\pi}{\sqrt{\pi k_{\rm B}T}^3}\sqrt E\exp{\left(-\dfrac E{k_{\rm B}T}\right)})]
  • 입자의 개수 [math(n)]에 대한 분포 함수
    [math(n(v) = 4\pi v^2N\sqrt{\dfrac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\dfrac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)})]

3. 역사

이는 제임스 클러크 맥스웰[1]이 처음 제안하였고, 이 가설을 접한 루트비히 볼츠만이 맥스웰의 가정을 바꾸어 다른 방식으로 증명하였는데, 분자의 존재를 가정하고 있기 때문에 에른스트 마흐 등을 포함해 물질을 이산적인 입자보다는 연속적인 현상으로 보는 당대 주류의 학파에 의해 인정받지 못했다. 그렇지만, 시간이 흐르면서 업적을 인정받게 되었고[2], 통계역학의 발전에도 큰 기여를 하였다. 또한, 후에 보스-아인슈타인 분포와 페르미-디랙 분포의 발견에도 영향을 주었다.

현대 통계학이나 통계역학에서는 맥스웰-볼츠만 분포를 감마분포의 특수한 형태인 카이제곱분포로부터 유도하고 이를 재해석하기도 한다.

4. 유도

볼츠만 분포에 의해 에너지 [math(\varepsilon_i)]를 갖는 입자의 수를 [math(N_i)], 전체 입자의 수를 [math(N)]이라고 하면 그 비율 [math(p_i)]는 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})], 절대온도 [math(T)]를 이용해서 다음과 같이 주어진다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} p_i &= \frac{N_i}N \\ &= \frac1N\exp{\left(-\frac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\right)} \\ &= \frac{\exp{\left(-\dfrac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\right)}}{\displaystyle\sum_i\exp{\left(-\frac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\right)}}\end{aligned})]
따라서 이 에너지를 갖는 입자의 개수 [math(N_i)]는 [math(\exp\biggl(-\cfrac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\biggr))]에 비례함을 알 수 있다. 이 비례계수는 일반적으로 축퇴도(degeneracy)라고 하며 [math(g_i)]로 나타낸다. [math(g_i)]가 의미하는 바는, 볼츠만 분포에서 오로지 에너지로만 구분했던 입자의 상태를 실제 거동까지 고려한 것으로, 속도의 방향은 다르지만 크기가 같아 서로 같은 에너지로 간주되던 것의 중복 정도를 나타낸 무차원량으로 이해하면 된다.
<tableclass=tpc> [math(N_i = g_i\exp{\left(-\dfrac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\right)})]
주의할 점으로 계의 입자는 이상기체이며 서로 상호작용하지 않기 때문에, 각 입자의 에너지는 속도 [math({\bf v}_i = ({v_i}_x,\,{v_i}_y,\,{v_i}_z))]에 의한 운동 에너지에만 의존하며 퍼텐셜 에너지 [math(U_i)]는 무시한다. 볼츠만 분포에서 '각 입자는 구분되지 않는다', 즉 질량이 같다고 가정했기 때문에, 질량이 모두 [math(m)]으로 같다고 보면, 에너지 [math(\varepsilon_i)]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \varepsilon_i &= \frac12m{\left({{v_i}_x}^2+{{v_i}_y}^2+{{v_i}_z}^2\right)} \\
&= \frac12m{v_i}^2 \end{aligned})]
이제 [math(g_i)]에 대해 논해보자. 동일한 속도 [math({\bf v}_i)]는 공간 좌표상에 [math(4\pi{v_i}^2)]의 구껍질 형태로 존재하며, [math({\bf v}_i)]의 개수는 속도의 미소 부피 [math(4\pi{v_i}^2\varDelta v_i)]에 비례한다고 볼 수 있다. 따라서 축퇴도는 [math({v_i}^2\varDelta v_i)]에 비례, 즉 [math(g_i \propto {v_i}^2\varDelta v_i)]이므로 상수 [math(A)]를 도입해서
<tableclass=tpc> [math(g_i = A{v_i}^2\varDelta v_i)]
로 나타낼 수 있다. 위의 [math(g_i)]를 입자의 비율에 관한 식 [math(p_i = \cfrac{N_i}N)]의 식에 적용하면 [math(N_i \to \varDelta N(v_i))]가 되므로
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac{N_i}N &= \frac{\varDelta N(v_i)}{\displaystyle\sum_i \varDelta N(v_i)} \\
&= \frac{A{v_i}^2\exp{\left(-\dfrac{m{v_i}^2}{2k_{\rm B}T}\right)}\varDelta v_i}{\displaystyle\sum_i A{v_i}^2\exp{\left(-\dfrac{m{v_i}^2}{2k_{\rm B}T}\right)}\varDelta v_i} \end{aligned})]
이제 [math(i)]의 최댓값이 무한하다고 하면 [math(\varDelta N(v_i) \to {\rm d}N(v))], [math(\varDelta v_i \to {\rm d}v)], [math(\displaystyle\sum_i \to \int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s})]가 되며
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} \frac{{\rm d}N(v)}N &= \frac NN \\ &= 1\end{aligned})]
이므로 이산량에서의 [math(p_i = \cfrac{N_i}N)]와 마찬가지로 [math(\cfrac{{\rm d}N(v)}N)]는 연속량에서의 확률임을 알 수 있다. 가우스 적분을 참고하여 해당 확률식을 계산해보면
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}N(v)}N &= \frac{v^2\exp{\left(-\dfrac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}v}{\displaystyle\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} v^2\exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}v} \\
&= \frac{v^2\exp{\left(-\dfrac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}v}{\dfrac{\sqrt\pi}4\sqrt{\dfrac{2k_{\rm B}T}m}^3} \\
&= \sqrt{\frac2\pi}\sqrt{\frac m{k_{\rm B}T}}^3 v^2\exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}v \\
&= 4\pi v^2\sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}v\end{aligned})]
그리고 [math(\cfrac1N\cfrac{{\rm d}N(v)}{{\rm d}v})]를 속력에 대한 맥스웰-볼츠만 분포 함수 [math(f(v))]로 정의한다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} f(v) &= \frac1N\frac{{\rm d}N(v)}{{\rm d}v} \\ &= 4\pi v^2\sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \end{aligned})]
위 경우는 구면 좌표계 상에서의 논의이며
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} 4\pi v^2{\rm\,d}v &= v^2{\rm\,d}v\int_0^\pi\sin\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\theta_v}\int_0^{2\pi}{\rm d}\underline{\phi_v} \\
&= v^2{\rm\,d}v\iint_\varOmega \sin\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\phi_v} \\
&=\iint_\varOmega{\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z \end{aligned})]
이고(단, [math(underline{theta_v} = theta_v/pu{rad})], [math(underline{phi_v} = phi_v/pu{rad})]), 속도 [math(\bf v)]의 경우 [math({\rm d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z = {\rm d}^3{\bf v})]이므로
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} f(v){\rm\,d}v &= \iint_\varOmega\sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left\{-\frac{m{\left({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2\right)}}{2k_{\rm B}T}\right\}}{\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z \\
&= \iint_\varOmega\sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{m|{\bf v}|^2}{2k_{\rm B}T}\right)}{\rm\,d}^3{\bf v} \\
&= \iint_\varOmega f({\bf v}){\rm\,d}^3{\bf v} \\
&= \iint_\varOmega f(v_x)f(v_y)f(v_z){\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z \end{aligned})]
따라서 속도에 대한 맥스웰-볼츠만 분포 함수 [math(f({\bf v}))], 직교좌표계에서 속도 성분 [math(v_i~(i=x,\,y,\,z))]에 대한 맥스웰-볼츠만 분포 함수 [math(f(v_i))]는 다음과 같이 주어진다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned}
f({\bf v}) &= \sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3\exp{\left(-\frac{m|{\bf v}|^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \\
f(v_i) &= \sqrt{\frac m{2\pi k_{\rm B}T}}\exp{\left(-\frac{m{v_i}^2}{2k_{\rm B}T}\right)} \end{aligned})]
또한 [math(Nf(v) = \cfrac{{\rm d}N(v)}{{\rm d}v})]를 입자 개수에 대한 맥스웰-볼츠만 분포 함수 [math(n(v))]로 정의한다.
<tableclass=tpc> [math(n_v(v) = 4\pi v^2N \sqrt{\dfrac m{2\pi k_{\rm B}T}}^3 \exp{\left(-\dfrac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right)})]

5. 분석

5.1. 그래프

맥스웰-볼츠만 분포를 그래프로 나타내면 아래와 같다.

파일:namu_맥스웰-볼츠만 분포_그래프.svg

그림과 같이 온도가 커져가면, 더 큰 속도를 점유할 확률 밀도 또한 커지는 것을 알 수 있다.

5.2. 속력

  • 최빈 속력(the most probable velocity) [math(v_{\sf mp})]
    • 분포 함수에서 극댓값에 해당하는 속력이며, [math(\cfrac{{\rm d}f(v)}{{\rm d}v} = \pu{0s2/m2})]가 되게 하는 속력이다.
  • 평균 속력(average velocity) [math(v_{\sf avg})]
    • 전체 입자들의 속력의 평균을 나타내며 [math(vf(v))]를 속력의 모든 구간에서 적분하여 구한다.
  • 제곱평균제곱근 속력(root mean square velocity) [math(v_{\sf rms})]
    • 전체 입자들의 속력 제곱의 평균을 나타내며 [math(v^2f(v))]을 속력의 모든 구간에서 적분한 뒤 제곱근을 취한다.

따라서 이들을 종합하면, 아래와 같은 결론을 얻는다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} v_{\sf mp} &= \sqrt{\frac{2k_{\rm B}T}m} \\ v_{\sf avg} &= \sqrt{\frac{8k_{\rm B}T}{\pi m}} \\ v_{\sf rms} &= \sqrt{\frac{3k_{\rm B}T}m}\end{aligned})]
[math(2<\cfrac8\pi<3)]이므로 [math(v_{\sf mp}<v_{\sf avg}<v_{\sf rms})]의 관계에 있음을 알 수 있다.

5.3. 평균 에너지

유도 항목에서 출발할 때, 볼츠만 분포의 식에서 [math(N_i \propto \exp\biggl(-\cfrac{\varepsilon_i}{k_{\rm B}T}\biggr))]라 놓고 시작하는데, 논리의 흐름상 원래는 [math(N_i \propto e^{-\beta\varepsilon_i})]로서 [math(beta)]가 미지인 상황에서 [math(\varepsilon_i = \cfrac12m{v_i}^2)]라 놓고 맥스웰-볼츠만 분포를 유도한 뒤, 분자 1개의 평균 에너지 [math({\braket E} = \cfrac EN)]와 이상 기체 분자의 평균 운동에너지를 견줌으로써 [math(\beta = \cfrac1{k_{\rm B}T})]를 이끌어내는 것이 맞다. 따라서 본 문단에서는 이산 분포를 연속 분포로 막 확장하는 단계의 식을 다음과 같이 놓고
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}N(v)}N &= \frac{v^2\exp{\left(-\dfrac{\beta mv^2}2\right)}{\rm\,d}v}{\displaystyle\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} v^2\exp{\left(-\dfrac{\beta mv^2}2\right)}{\rm\,d}v} \\ &= 2\beta m\sqrt{\dfrac{\beta m}{2\pi}}v^2\exp{\left(-\dfrac{\beta mv^2}2\right)}{\rm\,d}v \end{aligned})]
분자 1개의 평균 에너지 [math(\braket E)]를 계산해보자. 위 식에 [math(\cfrac12mv^2)]을 곱하고 모든 속력에 대해 적분하면 되므로
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} {\braket E} &= \frac EN \\ &= \int_{v=\pu{0m/s}}^{v=\pu{\infty~m/s}} \frac12mv^2\frac{{\rm d}N(v)}N \\ &= \beta m^2\sqrt{\frac{\beta m}{2\pi}}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s}v^4\exp{\left(-\frac{\beta mv^2}2\right)}{\rm\,d}v \\ &= \cancel{\beta m^2}\cancel{\sqrt{\frac{\beta m}{2\pi}}}\frac38\frac4{\beta^{\cancel2}\cancel{m^2}}\cancel{\sqrt{\frac{2\pi}{\beta m}}} \\ &= \frac3{2\beta} \end{aligned})]
기체 분자 운동론에서 이상 기체 1개의 평균 운동에너지[3]는 [math(\cfrac12m{\Braket{v^2}} = \cfrac32k_{\rm B}T)]로 주어지므로
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \frac3{2\beta} = \frac32k_{\rm B}T \\ \therefore \beta = \frac1{k_{\rm B}T} \end{aligned})]
따라서 볼츠만 분포에서 [math(\beta = \cfrac1{k_{\rm B}T})]임을 위 관계식으로부터 알 수 있다.

6. 기타

6.1. 축퇴 기체

극단적인 고밀도 환경에서는 전자의 열적 운동량 분포가 맥스웰-볼츠만 분포를 따르지 않는다. 파울리 배타 원리에 따르면 [math(h^3)]의 부피를 갖는 6차원 위상공간 안에는 같은 운동량을 가진 전자가 스핀 방향이 반대인 것 하나씩 최대 2개까지만 존재할 수 있다. 따라서 단위 운동량당 일정 부피 안에 존재할 수 있는 전자의 개수에는 상한선이 존재하며, 이때 [math(p)]의 운동량을 갖는 전자의 개수밀도의 상한은 다음의 식으로 표현된다.
<tableclass=tpc> [math(n_{\sf max}(p){\rm\,d}p = \dfrac{8\pi}{h^3}p^2{\rm\,d}p)]
따라서 단위 운동량당 전자 개수밀도의 상한은 운동량의 제곱에 비례해 증가하는 포물선 형태의 분포를 보인다. 이 때문에 밀도가 매우 높으면서 온도가 충분히 높지 않을 때는 전자의 운동량 분포가 맥스웰-볼츠만 분포를 크게 벗어난 분포를 보이게 되는데, 이 상태에 놓인 기체를 축퇴 기체라 부른다.

6.2. 감마분포

맥스웰-볼츠만 분포는 감마분포의 연장선상에서 그 기본형을 유도할수있다는 점에서 카이제곱분포의 특수한 형태로 유도해볼수있다.

7. 부록

7.1. 맥스웰의 접근

이 분포의 형태를 처음 제안한 맥스웰은 통계역학이나 물리학을 거의 사용하지 않고 타당한 휴리스틱으로 유도하였다. 나중에 통계역학을 사용해 이 분포의 물리학적 유래를 정리한 건 볼츠만. 맥스웰의 휴리스틱과 기체 분자 모델, 이상 기체 법칙 등으로 처음부터 이 분포를 상수들 까지 포함해서 완전히 이끌어내보자.

7.1.1. 맥스웰의 휴리스틱

1860년, 맥스웰은 놀랍도록 간단한 방법을 사용해 분포의 함수꼴을 유추해냈다. 삼차원에서 기체 분자의 속도는 공간 직교 좌표계를 기준으로 각 축 방향의 성분, 즉 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 갖는다. 이 세개의 성분은 서로 직각이니 완전히 독립적이라 가정한다. 그렇다면 열적 평형을 이루었을 때 이들의 확률 분포 함수는 모두 동일하다. 이를 [math(g(v_x))], [math(g(v_y))], [math(g(v_z))]라고 하면, 3개의 성분들은 모두 완전히 독립적이기에 어느 분자가 특정 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 가질 확률은 이 세 함수의 곱, 즉 [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z))]에 비례한다. 여기서부터가 핵심인데, [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]는 완전 독립이므로, [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z))]는 구형으로 대칭이다. 즉,
<tableclass=tpc> [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z) = G({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2) = G(v^2))]
이 되고, 이 조건을 만족하는 함수를 찾아보자.

먼저 세 성분이 독립이므로 양변을 [math(v_x)]에 대해 편미분한 뒤
<tableclass=tpc> [math(g'(v_x)g(v_y)g(v_z) = \dfrac{{\rm d}G(v^2)}{{\rm d}(v^2)}{\cdot}2v_x)]
양변을 [math(g(v_x)g(v_y)g(v_z) = G(v^2))]로 나누고 우변의 [math(2v_x)]를 이항해주면 다음과 같이 변수가 분리된 미분 방정식이 얻어진다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned}\dfrac{g'(v_x)}{2v_xg(v_x)} &= \dfrac{\dfrac{{\rm d}G(v^2)}{{\rm d}(v^2)}}{G(v^2)}\\ & = \dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} \\ &= \dfrac{{\rm d}\ln|G(v^2)|}{{\rm d}(v^2)}\end{aligned})]
위 식은 [math(x)]가 [math(y)] 또는 [math(z)]로 치환된 형태에서도 성립한다. 즉,
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned}\dfrac{{\rm d}\ln|G(v^2)|}{{\rm d}(v^2)} &= \dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} \\ &= \dfrac1{2v_y}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_y)|}{{\rm d}v_y} \\ &= \dfrac1{2v_z}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_z)|}{{\rm d}v_z} \end{aligned})]
위 식을 잘 곱씹어 보면, 좌변은 [math(v^2 = {v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)]로 서로 독립인 세 변수를 변수로 갖는 함수이고, 우변은 각각 세 독립 변수 중 어느 하나만을 변수로 갖는 함수인데 네 식이 등호로 묶인다. 가령 [math(v_x)]만 변수로 갖는 함수는 이와 독립인 [math(v_y)], [math(v_z)]를 변수로 갖는 함수로 나타낼 수 없으며 이는 [math(v_y)]만을 변수로 갖는 함수에서도, [math(v_z)]만을 변수로 갖는 함수에서도 동일하다. 결과적으로 위 등식의 관계를 모두 만족하려면 네 미분식이 상수일 수밖에 없다는 것을 쉽게 유추할 수 있다. 이를 [math(\alpha)]로 나타내면 첫 번째 등식에 관하여
<tableclass=tpc> [math(\dfrac1{2v_x}\dfrac{{\rm d}\ln|g(v_x)|}{{\rm d}v_x} = \alpha)]
이고 위 미분 방정식을 풀면 [math(v_x)]에 관한 확률 분포 함수 꼴이 [math(g(v_x) = Ce^{\alpha{v_x}^2})]임을 알 수 있다.

이때, 확률 분포함수는 모든 정의역에서 적분시 [math(1)]이 얻어져야 하는데 위와 같은 함수가 특정한 적분값으로서 수렴할 첫 번째 조건은 [math(\alpha<0)]이므로 [math(\alpha = -A)]로 나타내도록 하자. 즉 [math(g(v_x))]의 꼴은 다음과 같다.
<tableclass=tpc> [math(g(v_x) = Ce^{-A{v_x}^2})]
당연히 [math(v_y)], [math(v_z)]의 분포도 이와 똑같으며 [math(v)]에 대한 확률 분포 함수는 세 함수의 곱이므로
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} G(v) &= g(v_x)g(v_y)g(v_z) \\ &= C^3e^{-A({v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)} \\ &= C^3e^{-Av^2}\end{aligned})]
이제 3차원인 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]에서 1차원인 [math(v = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2})]에 관한 함수로 변환하자. 속력의 확률분포함수 [math(G(v))]는 앞서 규격화를 마친 [math(g)]들의 곱이기 때문에 정의역의 모든 구간에서 정적분을 하면 [math(1)]이 된다는 것은 자명하다. 즉,
<tableclass=tpc> [math(\displaystyle\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} G(v){\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z = 1)]
[math({\rm d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z = v^2\sin\underline{\theta_v}{\rm\,d}v{\rm\,d}\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\phi_v})] 이고, [math(v)]의 범위는 [math([\pu{0m/s},\,\pu{\infty~m/s}))], [math(\underline{\theta_v})]의 범위는 [math([0,\,\pi])], [math(\underline{\phi_v})]의 범위는 [math([0,\,2\pi])]이다. 앞선 속력의 확률분포함수에 관한 휴리스틱에서 [math(\theta_v)], [math(\phi_v)]는 변수 [math(v)]에 포함되지 않으므로 분리시켜서 미리 적분하면 속력의 확률분포함수 [math(f(v))]는 다음과 같이 구할 수 있다.
<tableclass=tpc> [math(\begin{aligned} \int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s}\int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} G(v){\rm\,d}v_x{\rm\,d}v_y{\rm\,d}v_z &= \int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} v^2G(v){\rm\,d}v \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\theta_v}{\rm\,d}\underline{\phi_v} \\ &= \int_\pu{0m/s}^\pu{\infty~m/s} 4\pi C^3 v^2 e^{-Av^2}{\rm\,d}v \\ \therefore f(v) &= 4\pi C^3v^2e^{-Av^2}\end{aligned})]

여기서 상수를 구함으로써 맥스웰은 분포함수를 얻었다.
7.1.1.1. 확률 분포의 규격화
가장 먼저 떠오르는 조건. 확률 분포를 정의역의 모든 구간에서 적분하면 반드시 1이 되어야 한다. [math(v^2e^{-Av^2})]는 적분하기 약간 까다로우니 상대적으로 더 간단한 [math(v_x)]의 확률 분포를 적분하자. [math(v_x)]는 속도 [math(\bf v)]의 성분이므로 정의역의 구간은 [math((-\pu{\infty~m/s},\,+\pu{\infty~m/s}))]이다.
<tableclass=tpc> [math(\displaystyle \int_\pu{{-}\infty~m/s}^\pu{\infty~m/s} Ce^{-A{v_x}^2}{\rm\,d}v_x = 1)]
가우스 적분을 행하면, [math(t = \sqrt Av_x \Rightarrow {\rm d}t = \sqrt A{\rm\,d}v_x)]를 대입해서
<tableclass=tpc> [math(\displaystyle C\int_\pu{{-}\infty~m/s}^\pu{\infty~m/s} e^{-A{v_x}^2}{\rm\,d}v_x = C\sqrt{\frac\pi A} =1 \\ \therefore C= \sqrt{\frac A\pi})]
이상에서
<tableclass=tpc> [math(f(v) = 4\sqrt{\dfrac{A^3}\pi}v^2e^{-Av^2})]
7.1.1.2. 평균 제곱 속력
기체 분자 운동론 문서를 통해 다음을 얻었다.
<tableclass=tpc> [math(PV=\dfrac13Nm\overline{v^2})]
위 식은 평균 운동에너지가 [math(\cfrac13m\overline{v^2})]인 분자 [math(N)]개의 총에너지와 같으며, 기체 분자 운동론에서는 평균 운동에너지가 절대온도에 비례한다고 가정하므로 비례상수를 [math(k_{rm B})]로 써서 [math(\cfrac13m\overline{v^2} = k_{\rm B}T)]를 적용, 즉 [math(PV=Nk_{\rm B}T)]를 도입한다.
<tableclass=tpc> [math(\overline{v^2} = \dfrac{3k_{\rm B}T}m)]
7.1.1.3. 최종 완성
따라서 [math(\overline{v^2})]를 주어진 분포함수를 통해 직접 구함으로써 다음을 얻는다.
<tableclass=tpc> [math(A = \dfrac m{2k_{\rm B}T})]
이에 이 상수들을 대입하여 정리하면, 위에서 나온 분포함수를 얻는다.

8. 관련 문서

[1] 맥스웰이 접근한 방식은 다음과 같다. 어느 입자가 특정 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]를 가질 확률 밀도를 [math(f(v_x,\,v_y,\,v_z))]라 가정한다음, [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)]들은 서로 완벽히 독립적이니 구형 대칭을 적용해 [math(f(v_x,\,v_y,\,v_z) = g({v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2))]임을 이용. 이 방정식을 만족하는 함수는 [math(e^{-x^2})] 꼴의 가우스 분포인데, 여기에 속력벡터 [math(v_x)], [math(v_y)], [math(v_z)] 대신 속도인 [math(v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2})]를 사용하면 맥스웰-볼츠만 분포의 형태가 나온다.[2] 안타깝게도 볼츠만은 자살하였다. 우울증을 앓았지만 자살의 원인은 정확히 밝혀지지는 않았다.[3] '단원자 분자'를 상정하고 있어 다원자 분자의 회전을 고려하지 않기 때문에 기체 분자 운동론과 연관지을 수 있음에 유의하자.

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