1. 개요
감마 분포(gamma分布)는 지수 분포나 푸아송 분포 따위의 매개 변수에 대한 켤레 사전 확률 분포이다. (우리말샘)
2. 베이즈 정리
조건부 확률의 정의를 전제로하는 베이즈 정리에서 사전 확률분포와 사후확률분포의 관계를 켤례(공액) 관계로 이해할 수 있는 확률 분포이다.3. 감마 분포
전통적으로 베르누이 시행의 이항분포로부터 특정 조건을 내걸고 이를 전제로 유도되는 푸아송 분포(Poisson distribution)는 이산 확률 분포이자 확률질량함수(pmf)이다. 이로 부터 연속확률분포인 감마분포(gamma(Γ) distribution)를 유도할 수 있다. 또한 감마분포로부터 그 유명한 맥스웰-볼츠만 분포도 자연스럽게 유도할 수 있다는 점에서 매우 주요한 틀로 이해해볼 수 있다.하지만 더욱 중요한 점은 현대 확률론에서 켤레 확률을 다룰 수 있는 베이즈 확률론으로 이해해볼때 감마분포같은 확률밀도함수(pdf)에서 푸아송확률과 같은 조건부확률에서 확률질량함수(pmf)를 유도할 수 있는 그 역방향도 가능한 길을 열어줄 수 있다는 점에서 시사하는 바가 매우 크다고 할 수 있다.
따라서 감마분포를 이해하고 다룬다는 것은 사전확률과 사후확률의 관계에서 켤레관계를 이해하고 이산 확률 분포와 연속확률분포의 관계를 연결짓는 매우 어려운 과정을 보여준다고 이해해볼 수 있다.
3.1. 감마 분포
3.1.1. 포아송 분포
포아송 분포(Poisson Distribution)[math( P(X=x)= \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} )]
감마함수 [math( \Gamma(x+1)= x! )]
[math( = \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{\Gamma(x+1)} )]
그리고 [math( x+1= \alpha )]로 놓으면
[math( = \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{\Gamma(\alpha)} )]
이제 [math(\lambda)](람다)를 시간[math((t))]를 도입해 [math(\lambda t)]로 연속적[math(f(x))]으로 다루어보면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda t)^x e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha )} \quad)]-(1)
3.1.2. 생존함수와 지수함수
생존함수(Survival Function)를 전제로 [math( P(확률)=1 )]에서 지수항[math( \left( e^{-\lambda t} \right))]을 보수(complement)로 대입함으로써[math(f(t) = 1- P = 1- \left( e^{-\lambda t} \right) \quad)]-(2)을 얻을 수 있다.
(2)을 미분하면
[math( \dfrac{d (1-P)}{dt} = \dfrac{d \left(1- e^{-\lambda t} \right)}{dt} = \left( \lambda e^{-\lambda t} \right) \quad)]-(3)
(2)를 (3)에 대입하면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda t)^x \lambda e^{-\lambda t}}{\Gamma(\alpha )} )]
시간[math((t))]를 [math(x)]로 보내면
[math( f(x)= \dfrac{(\lambda x)^x \lambda e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda\lambda^x x^x e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda\lambda^x x^{x+1-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha )} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{x+1} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
감마 분포(Gamma distribution)를 얻을 수 있다.
3.1.3. 감마 분포
기본형 감마 분포[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( = \dfrac{ x^{\alpha-1} e^{- \frac{x}{\lambda}}}{\dfrac{1}{\lambda^{\alpha}}\Gamma(\alpha)} )]
[math( = \dfrac{ x^{\alpha-1} e^{-x \beta}}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} )]
[math(\alpha (shape) )] 형상모수 (분포의 형태 결정)
[math(\beta (scale) )]척도모수(데이터의 확산 정도 조절)
[math(\Gamma() )]감마함수
4. 얼랑 분포
5. 카이제곱 분포
감마 분포(Gamma distribution)[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( \alpha = \dfrac{k}{2} , \lambda = \dfrac{1}{2} )]로 놓고 카이제곱 분포(Chi-Square Distribution)를 얻을 수 있다.
[math( f(x)= \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\left(\dfrac{k}{2}\right)} x^{\left(\dfrac{k}{2}-1\right)} e^{-\left(\dfrac{x}{2}\right) }}{\Gamma\left(\dfrac{k}{2}\right)} )]
여기서 [math((k))]는 자유도(degrees of freedom, DOF)이고 이러한 DOF는 확률 분포를 결정하는 독립적인 변수의 개수를 가리킨다.
6. 맥스웰-볼츠만 분포
감마 분포(Gamma distribution)[math( f(x)= \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} )]
[math( \alpha = \dfrac{3}{2} , \lambda = \dfrac{1}{2} )]로 놓고 확률 변수[math((x))] 를 속도 제곱[math((v^2))] 로 변환해 맥스웰-볼츠만 분포를 얻을 수 있다.
[math( f(v)= \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} {v^2}^{\left(\dfrac{3}{2}-1\right)} e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right) }}{\Gamma\left(\dfrac{3}{2}\right)} )]
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} = 기본항 )]
여기서 [math((k))]는 자유도(degrees of freedom, DOF) 3.
입자의 속도 벡터 [math((v)= (v_x,v_y,v_z))]는 3차원 공간에서 자유롭게 움직이므로 속도 성분을 제곱하여 합하면 물리적으로 입자의 속도 성분의 차원과 연결될 수 있는 카이제곱 분포를 따르는 맥스웰-볼츠만 분포의 기본형을 얻을 수 있다.
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} \biggl( 온도질량볼츠만상수(\beta) 보정항\biggr) )]
[math( \beta = \dfrac{m}{kT} )]
[math( = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} v e^{-\left(\dfrac{v^2}{2}\right)} \left( {2\sqrt{2\pi}}\beta^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}v e^{-\dfrac{v^2}{2}\bigl( \normalsize{\beta-1} \bigr)} \right) )]
[math( = \left( 기본항 \right) \left( {2\sqrt{2\pi}}\beta^{\left(\dfrac{3}{2}\right)} \left( 기본항 \right)^{\bigl(\normalsize{\beta-1} \bigr)} \right) )]
7. 지수확률분포
[math( f(x;\alpha,\lambda) = \dfrac{\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} \quad,x > 0 \quad)] -(1)[math( \alpha)]는 형상 모수(shape parameter), [math( \lambda)]는 척도 모수(scale parameter) (또는 발생률 rate parameter로 쓰기도 함), [math( \Gamma(\alpha))]는 감마 함수로 [math( \Gamma(n)=(n−1)! )]을 만족.
따라서 (1)에서 [math( \alpha = 1)] 을 대입하고
[math( f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x})]
지수(확률)분포지수 분포(Exponential Distribution)를 조사할 수 있다.