1. 개요
2015 개정 교육과정의 고등학교 수학과 교육과정에 관한 여담을 다루는 문서.2. 변경 사항
- {{{#!folding [수학]
| 단원명 | 개정 후 |
| 「다항식」 (前 수학Ⅰ(2009)) | ▶ 복잡한 식의 인수분해 삭제 |
| 「방정식과 부등식」 (前 수학Ⅰ(2009)) | ▶ 미지수가 3개인 연립일차방정식 삭제 ▶ 연립일차부등식(중2과정에서 이동)[A] ▶이차함수의 최댓값&최솟값(중3과정에서 이동)[A] |
| 「도형의 방정식」 (前 수학Ⅰ(2009)) | ▶ 중단원 '부등식의 영역'이 경제 수학으로 이동[3] |
| 「집합과 명제」 (前 수학Ⅱ(2009)) | ▶ 이전과 똑같은 상태로 유지 |
| 「함수」 (前 수학Ⅱ(2009)) | ▶ 이전과 똑같은 상태로 유지 |
| 「경우의 수」 (前 확률과 통계(2009)) | ▶ 앞서 배운 집합과 연계하여 경우의 수를 사건(집합)의 원소의 개수로 도입 |
- {{{#!folding [수학Ⅰ]
| 개정 전 | 개정 후 | 상세 변화 | ||
| 고1 수학(수학Ⅱ) | 지수와 로그 | 유지(이동) | 2007 개정 교육과정의 수학Ⅰ에 있던 '지표와 가수' 및 활용 등의 내용은 당연히 되돌아오지 않음.[5] | |
| 미적분Ⅱ | 지수함수와 로그함수 | 지수함수와 로그함수 | 유지(이동) | 2007 개정 교육과정의 수학Ⅰ(문·이과 공통)처럼 '지수', '로그'와 다시 통폐합하여 단원을 구성하는 방식으로 회귀. 전전 교육과정 때는 문·이과 공통 내용이었으나, 직전 교육과정에서는 잠시 인문계열 학생들이 배우지 않았음. |
| 지수함수와 로그함수의 극한과 도함수 | 탈락(분리 이동) | 미적분에서 다룸. 수학Ⅰ에서는 다루지 않음. | ||
| 삼각함수 | 삼각함수의 뜻과 그래프 | 유지(이동) | 2007 개정 교육과정의 고1 수학(문·이과 공통)에서 배우던 방식으로 회귀하였으나, 2015 개정 교육과정에서는 통상 2학년 때 배운다는 차이점이 있음. 이처럼 전전 교육과정 때는 문·이과 공통 내용이었으나, 직전 교육과정에서는 잠시 인문계열 학생들은 배우지 않았음. | |
| 삼각함수의 극한과 도함수 | 탈락(분리 이동) | 미적분에서 다루며, 수학Ⅰ에서는 다루지 않음. 이전의 2007 개정 교육과정처럼 '공통 삼각함수'와 '이과용 추가 삼각함수'로 분리하던 시절로 회귀. 다만 코탄젠트, 코시컨트, 시컨트 등의 정의와 삼각함수의 덧셈정리만 다루는 것으로 바뀌었음. 만합성, 여러 가지 공식, n배각 공식, 방정식의 일반해 등의 탈락되어 되돌아오지 않음. | ||
| 내용 없음 | 사인법칙과 코사인법칙 | 부활 | 2007 개정 교육과정의 고1 수학(문·이과 공통)에서 배우던 방식으로 회귀하였으나[6], 2015 개정 교육과정에서는 통상 2학년 때 배운다는 차이점이 있음. 이처럼 전전 교육과정 때는 문·이과 공통 내용이었으나, 직전 교육과정에서는 잠시 문과와 이과 모두 배우지 않았었음. | |
| 고1 수학(수학Ⅱ) | 수열 | 유지(이동) | 2009 개정 교육과정의 수학Ⅱ처럼 '계차수열', '군수열', '점화식', '알고리즘과 순서도' 등의 내용은 되돌아오지 않음. 추가로 2015 개정교육과정부터는 수학1에서 원리합계에 대한 내용을 다룰 때 상환, 연금의 현가에 대해서는 다루지 않음. | |
- {{{#!folding [수학Ⅱ]
| 개정 전 | 개정 후 | 상세 변화 | ||
| 미적분Ⅰ | 함수의 극한 | 유지 | 미적분의 선수 과정인 극한을 정의함에 있어서 수열의 극한에 대한 학습 없이 함수의 극한을 바로 정의. | |
| 다항함수의 미분법 | 유지 | 도함수의 활용 파트 중 증가상태, 감소상태 관련 개념 삭제. 따라서 구간이 아닌 한 점에서 증가/감소를 판단하지 않는다. | ||
| 다항함수의 적분법 | 구분구적법 | 탈락(분리 이동) | (사실상)[10] 이과 전용 과정인 미적분에서만 다룸. | |
| 부정적분, 정적분 | 유지 | 정적분의 정의를 구분구적법이 아닌 미적분학의 제2 기본 정리만으로 정의한다. 함수의 그래프 아래의 넓이와 정적분의 값이 같음은 나중에 보여준다. | ||
| 정적분과 급수 | 탈락(분리 이동) | 이과 전용 과정인 미적분에서만 다룸. | ||
| 정적분의 활용 | 유지 | |||
- {{{#!folding [미적분]
| 개정 전 | 개정 후 | 상세 변화 | ||
| 미적분Ⅰ | 수열의 극한 | 유지(이동) | 함수의 극한과 미적분학의 개론에 더 이상 수열의 극한을 선수 과정으로 다루지 않고 (사실상)[11] 자연계 전용 과정으로만 남게 되었다. | |
| 미적분Ⅱ 기하와 벡터 | 미분법 | 여러 가지 함수의 극한과 도함수 | 유지(이동) | 2009 개정 교육과정과 비교하면 변한 부분은 없다. 기존에 지수함수/로그함수/삼각함수 단원의 뒷 부분에 있던 극한과 미분 파트를 그냥 '미분법'이라는 단원에 묶어놓은 형태이다. 그 중에서 삼각함수는 원래 2개의 대단원을 거듭하며 배웠었는데, 첫 과정은 현재의 수학Ⅰ에 있는 그것이고, 또 하나는 전전 교육과정(2007 개정 교육과정)의 수학Ⅱ의 삼각함수 단원으로, '합차 변환 항등식', '삼각방정식의 일반해', '삼각함수의 합성' 등을 추가로 배웠어야 했다. 그러나 이번 교육과정에도 부활하진 않았다. 지수함수와 로그함수의 극한, 자연로그, 도함수 등도 그대로이다. |
| 여러 가지 함수의 미분 | 유지 (다소 보강)[a] | 직전에만 기하와 벡터에서 잠깐 다루던 '음함수의 미분', '매개변수 함수로 나타내어진 함수의 미분' 등이 다시 이과용 미적분 과정으로 복귀 되었다. 다만, 직전에 빠졌던 로그미분법은 재포함되지 못하였다. 다만 로그미분법 없이는 y=x^n(n은 실수)의 도함수를 구할 수 없기 때문에 많은 참고서에서 다루고 있기는 하다. | ||
| 도함수의 활용 | 직전에만 기하와 벡터에서 잠깐 다루던 '평면상의 가속도'가 다시 이과용 미적분 과정으로 복귀되었다. 이에 따라 벡터와 연계되었던 서술 방식이 아예 빠져버렸고, 옛날처럼 매개변수로 나타내어진 함수로 설명하는 방식으로 바뀌었다. | |||
| 미적분Ⅰ 미적분Ⅱ 기하와 벡터 | 적분법 | 여러 가지 함수의 부정적분 | 유지(이동) | |
| 정적분 | 유지 (다소 보강)[a] | 기존 선수 과정인 수학Ⅱ에서 다루지 못하였던 구분구적법이 이과 전용 후개념으로 바뀌었다. 본래 공통 과정이었으나, 교육과정 변화로 공통 미적분(수학Ⅱ)에서는 다루지 못하게 되었다. | ||
| 정적분의 활용 | 유지 (다소 보강)[a] | 정적분과 (무한)급수라는 파트가 공통 미적분(수학Ⅱ)에서는 다루지 못하게 되자 활용 파트로 이동하여 후개념으로 바뀌었다. 직전에만 기하와 벡터에서 잠깐 다루던 '평면상의 거리'가 다시 이과용 미적분 과정으로 복귀되었다. 이에 따라 벡터와 연계되었던 서술 방식이 아예 빠져버렸고, 옛날처럼 매개변수로 나타내어진 함수로 설명하는 방식으로 바뀌었다. 다만, 직전에 빠졌던 '회전체의 부피'는 재포함되지 못하였다. | ||
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* {{{#!folding [확률과 통계]
* {{{#!folding [확률과 통계]
| 개정 전 | 개정 후 | 상세 변화 | ||
| 확률과 통계 | 순열과 조합 | 경우의 수 | 탈락(분리 이동) | 2007 개정 교육과정의 고1 수학(문·이과 공통) 때처럼 '합의 법칙', '곱의 법칙', '순열(직순열)', '조합', '분배(자연수의 분할)' 내용을 고1 수학 맨 뒷 단원에 배치하는 식으로 이동시킴. |
| 여러 가지 순열과 조합, 이항정리 | <colbgcolor=#a9f5a9,#095609> 유지 | 같은 것이 있는 순열, 원순열, 중복순열, 중복조합을 바로 다룸. | ||
| 자연수의 분할과 집합의 분할 | 완전 탈락 | 사실상 고등학교 수업 시간에는 배울 수 없게 됨. | ||
| 확률 | 확률의 뜻 | 유지 | ||
| 조건부확률 | 유지 | |||
| 통계 | 확률분포 | 유지 | 2007 개정 교육과정 때처럼 연속확률변수의 기댓값, 분산, 표준편차를 구하는 내용은 되돌아오지 않음. | |
| 모평균의 추정 | 유지 | |||
| 모비율의 추정 | 완전 탈락 | 사실상 고등학교 수업 시간에는 배울 수 없게 됨. | ||
- {{{#!folding [기하]
| 개정 전 | 개정 후 | 상세 변화 | ||
| 기하와 벡터 | 평면 곡선 (이차곡선) | '포물선', '타원', '쌍곡선'의 정의와 방정식 | 유지 | 이전엔 이차곡선의 정의를 한 중단원에 한꺼번에 다루었으나 2015 개정 교육과정에서는 '포물선', '타원', '쌍곡선'을 소단원으로 할애한 뒤 각 파티션에 이차곡선의 접선의 방정식을 다루는 식으로 변경.[15] 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터 방식으로 회귀. |
| 이차곡선의 접선의 방정식 | 탈락(분리 이동) | '음함수의 미분', '매개변수 함수의 미분'으로 연계되었던 내용을 해제하고, 각 내용은 독립적으로 미적분으로 이동하여 다룸. | ||
| 부활 | '음함수의 미분'과 '매개변수 함수의 미분'의 연계가 해제됨에 따라 접선의 방정식에 대한 공식은 판별식으로 유도하여 주어지는 방식으로 바뀜. 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터 서술 방식으로 회귀. | |||
| 평면 벡터 | 벡터의 뜻과 내적 | 유지 | 평면 벡터 단일 대단원으로 재구성 | |
| 평면 운동 | 탈락(분리 이동) | '평면 운동'에서 다루던 '평면 상의 속도와 거리', '평면 상의 속도와 가속도' 부분을 벡터와 미적분을 연계하여 서술하던 방식을 해제하고, 각 내용은 미적분으로 이동. 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터 방식으로 회귀. | ||
| 공간도형과 공간 벡터 | 공간도형과 공간좌표 | 유지 | 공간도형과 공간좌표 단일 단원으로 재구성, 공간좌표에서 xy평면을 z=0, yz평면을 x=0, xz평면을 y=0이라는 방정식으로 표현하는 서술이 추가됨 | |
| 공간벡터 | 탈락(분리 이동) | 일반 학생들이 접하기 몹시 힘든 전문 교과인 '고급 수학Ⅰ'로 이동. 수능 출제 범위에서도 빠짐. 또한, 이 내용이 제외되며 공간도형의 방정식도 완전히 탈락함.(직선의 방정식,평면의 방정식) | ||
- {{{#!folding [경제 수학]
| 경제 수학 | |
| 단원명 | 개정 후 |
| 「수와 경제생활」 | ▶ 신설 |
| 「수열과 금융」 | ▶ '미적분'에서 배우는 '수열의 극한'이 도입되어 있다. ▶ 이전 교육과정과 수학Ⅰ에서도 크게 다루지 않던 '원리합계' 관련 내용이 강화되었다. |
| 「함수와 경제」 | ▶ 과거 고등학교 1학년에 배웠던 개정 전 수학Ⅰ의 '부등식의 영역'이 이 부분으로 이동되었다.[16] 그리고 자연로그의 밑 e</math>에 대한 정의가 등장하긴 하나, 엄밀한 정의를 하기보단 극한값 [math(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac 1n \right)^n)]이라고만 알려준다. |
| 「미분과 경제」 | ▶ 복잡한 함수의 미분은 다루지 않는다. 곱의 미분법, 몫의 미분법, 합성함수의 미분법, 함수의 미분가능성은 다루지 않는다. 다만 지수를 실수 범위로 확장한 함수의 미분이나 [math(y=(ax+b)^n)] 꼴의 함수의 미분은 미적분 과정의 미분을 배우지 않고 정의할 수 있도록 한다고 한다. |
3. 평가·입시 관련
3.1. 대학수학능력시험
3.2. 내신 및 기타
- 수학
- 집합으로 정의하는 '함수'와 좌표 평면에 나타내는 '함수'를 다른 시각으로 이해해야 수월하다. 전자를 이산수학적 관점, 후자를 해석학적 관점으로 철저히 나누어지는데, 교육학계는 어째선지 그 관점 자체를 모르는 건지, 받아들이기 힘들다는 건지 좀처럼 바뀌지 않고 있다. 갑자기 함수를 집합으로 정의하다가, 기하학적 그래프를 동원하는데 이 둘은 본래 독립적으로 다룰 수 있는 부분이지 종속되는 관계가 아니다. 이런 점에서 유리함수, 무리함수를 바로 뒤에 서술하는 게 사실 꽤 비약적으로 보일 수 있을 것이다. 흔히 그래프로 나타낸다는 것을 기하학적인 것 하나만 된다고 오해하는 사람들이 많은데, 교과서에도 나와있듯이 그림을 안 그려도 순서쌍 자체도 그래프라고 한다. '기하학적인 그래프로 나타내기'만 따로 빼면, 함수 단원은 '집합'과 함께 '도형의 방정식', '다항식'보다 앞 단원에 배치될 수 있다. 절대로 '그래프=그림'이라고 오해하지 말 것.
- 유의해야 할 팁이 하나 있다. 여기서 생소한 기호가 나오는데, 막상 경우의 수 문제를 풀 땐 [math(_n\!{\rm P}_r)], [math(_n\!{\rm C}_r)], [math(_n\!\Pi_r)] 같은 기호가 이 내용의 본질적인 게 아니라는 것이다. 대수학 문제로 [math(\rm _{5}P_{2}=5 \cdot 4)] 정도만 나올 때 필요하지, 어차피 실전에 가선 조합 기호인 [math(_n\!{\rm C}_r)]랑 [math( n!)](팩토리얼) 밖에 안 쓴다. 이건 확률과 통계에서도 마찬가지.
- 확률과 통계
- 원순열 관련 내용은 굉장히 이상적이어서 그런지 대한민국과 일본 그리고 필리핀에서만 다루며 나머지에서는 암묵지 개념에 불과하다. 원탁을 마주할 일이 별로 없기 때문일 수도 있으나 교육적(사고방식을 기르는 목적)으로는 의미가 있어서 남겨둔 듯 하다.
- 중복 순열에서 쓰는 기호(파이, )는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다. 원래는 지수로 표기한다. 자동차 번호판을 이용한 경우의 수도 사실은 중복순열을 이용한 것이다. 마찬가지로 중복 조합에서 쓰는 기호(호모지니어스, \rm H)는 세계적으로는 비공식 표기이지만 대한민국이랑 일본의 교육과정에서는 수십 년째 사용되고 있다.[17] 원래는 행렬로 표기한다.
- 기하
- 기하에서 배우는 벡터는 유클리드 기하학 관점에서의 벡터를 배우는 것이지, 선형대수학에서 다루는 그 벡터와는 조금 차이가 있다. 후자의 고급 수학Ⅰ의 행렬과 벡터까지 배웠다면, 벡터의 진(眞) 정의와 시각을 맛볼 수 있을 것이다. 그런데 이는 진로선택과목도 아닌 전문교과1이라 마니아나 특목고생이 아닌 이상 쳐다볼 일이 없을 것이다.
- 벡터[18]의 뜻, 합, 차에 대해 배운다.
- 물리학Ⅱ, 지구과학Ⅱ 에도 등장하지만 벡터의 뜻, 합, 차만 알아도 문제가 없는 수준이다.
- 벡터를 분해하는 사고방식이 매우 중요하다. 직접적으로 다루진 않아도 교수법엔 주요 학습 목표로 여기며, 내신, 수능 시험에도 빈출된다.
- 평면벡터를 이용한 직선의 방정식을 다룬다. 이 부분은 2009 개정 교육과정 때 처음 들어왔다. 물론 공간 벡터에서 다뤘던 3D를 2D화한 버전에 불과해 공간벡터가 삭제되자마자 순식간에 잉여 개념이 되어버렸다
- 원의 방정식도 벡터로 나타낼 수 있다.
- 평면의 결정 조건 및 '삼수선의 정리', '이면각', '정사영' 등을 다룬다. 정사영은 코사인법칙의 3D 버전이라고 보면 좋다.
- 입체도형을 해석할 땐 여러 방향에서 평면화하는 것이 중요하다. 교과서에서는 잘 다뤄주지 않으므로 유의.
- 공간좌표는 고1 수학의 연장선이다. 축이 하나 더 추가되었다고 겁먹을 필요가 없다. 외분점, 내분점, 무게중심 등도 좌표 하나가 추가된 것 외엔 별 거 없다.
- 구의 방정식도 변수가 하나 추가된 것 외엔 거의 똑같다고 보면 된다.
- 공간상의 직선과 평면의 방정식은 다루지 않는다.
- 수학I을 선행과목으로 하지 않기에 원칙상으로는 내신에서 제2코사인을 이용해야 하는 문제를 출제할 수 없다. 다만 수능에서는 선택과목 문제를 공통과목 개념과 연계해서 출제할 수 있기 때문에 출제될 수 있다.
- 미적분과의 연계가 끊어졌으므로 덧셈정리를 이용하는 문제는 출제할 수 없다.
4. 논란 및 비판
4.1. 지나치게 줄어든 교과의 양에 대한 비판
4.2. 급수와 구분구적법 삭제에 관한 논쟁
일단 도입부에서 삭제된 거지 교과 내용 자체가 사라지진 않았다. '구분구적법'과 '정적분과 급수(무한급수)'는 미적분으로 올라갔다. 앞으로 무한급수는 더 이상 정적분을 정의하기 위해 쓰이지 않으며 '넓이', '속도와 거리'와 함께 '정적분의 활용' 중영역에서 다루게 되었다.이미 교사 및 강사들 사이에서는 관련 논란이 자자하다. 구분구적법을 이용한 정의를 하지않고 적분을 배우는 것은 곱셈을 배울 때 덧셈을 쌩까고 곱셈만 다루는 것[19]과 다를 바가 없다는 의견이 있다.
| 수긍 측(수학Ⅱ의 구분구적법 삭제 찬성) | 반대 측(수학Ⅱ의 구분구적법 삭제 반대) |
| 논점 1. 정적분의 정의는 구분구적법 없이 도입 가능한가? | |
| 이는 대한민국에서만의 설명 방법이었다. 보통 구분구적법은 대학교 수준에서나 언급될 부분이지, 고등학교 과정에는 맞지 않는다. 세계적으로 고등학교 수준에서 정적분을 무한급수와 구분구적법을 이용해서 정의하는 나라가 사실상 없다. 보통 고등학교 수준에서 적분의 정의는 미적분의 기본 정리만으로 정의되는 경우가 많다. 이러한 지적을 받고 적분의 정의에서 구분구적법을 삭제시킨 것이다. 즉, 어색함과 잘못됨은 엄연히 달리 봐야 한다는 것이다. 자세한 내용은 이 연구보고서를 참조하라. 15개정의 정적분 정의는 기성세대에겐 어색할지 몰라도, 학문적으로 전혀 문제가 없으며,[20] 오히려 수식과 이해 방식은 이전보다 더 깔끔하다. 한 KCI 등재 논문에 따르면[21] ‘수열의 극한(과 급수)’와 ‘구분구적법’을 배우지 않고도 ‘리만합의 극한’으로 정적분을 정의할 수 있는지[22]를 문헌연구 및 전문가 3인의 자문으로 알아본 결과, 수열의 극한(과 급수), 구분구적법의 내용과 용어 없이, 구분구적법의 아이디어‘용어화’와 차별화된 개념(‘리만 합의 극한’)와 함수의 극한을 이용하여 정적분을 정의하여도 무방하다고 답변했다고 한다. | 적분에 대한 개념이 모호할 당시에 여러 수학자들의 연구 방법이 있었던 것은 맞지만, 현대에 통용되는 일반적인 수학의 정설을 따를 필요가 있다. 그것이 구분구적법을 이용하여 리만합의 극한으로 정적분을 정의하는 것이다. 그런 다음 미적분학의 제1, 2 기본정리를 증명하여 정적분과 미분의 관계, 정적분과 부정적분의 관계를 제시하는 것이 일반적이다. 실제로 대학 미적분학에서 이러한 순서로 가르치고 있으며 기존 교육과정에서 이와 거의 똑같은 방식으로 가르쳤다.[23] 그런데 이번 교육과정 개편으로 그 순서를 완전히 뒤집어 버린 것이다. 개정 교육과정은 미적분학의 제2 기본정리가 정적분의 정의 그 자체임을 제시한 후, 함수의 그래프 아래의 넓이의 순간변화율이 함숫값임을 증명하고나서[24] 양변의 역도함수를 구하여 제시된 결과를 바탕으로 정적분의 값이 함수의 그래프 아래 면적임을 제시한다. 아주 근본 없는 방식으로, 이것은 대학교에서 수학을 가르치는 논리 상의 전개 방식을 적절히 짬뽕하여 끼워 맞춘 것에 불과하다. |
| 논점 2. 구분구적법 및 수열의 극한 개념의 교재 편성에 문제가 있는가? | |
| 또한, 밑의 주장에서 대학 과정이 어쩌구 하는데, 대학 수학을 미적분 안하고 듣는 사람이 어디 있는가? 이게 왜 굳이 수2에 있어야 되는지를 토의하는 문서인데, 밑의 얘기는 대학에 진학하여 수학 심화공부를 하게 될 때 장애물이 될 수 있다는 주장이지만, 그게 고등학교에서 빠진 것도 아니고 미적분으로 이동한 건데 그게 딱히 문제가 될 이유는 없다. 대학 과정에서 장애를 가져올 수 있다는 주장 또한 어불성설이다. 해당 설명 방법은 탈락이나 고급수학 이동도 아닌, 미적분으로 이동되어서 고등수학을 충실히 이수한 학생이라면 누구나 전혀 무리없이 이해가 가능하다. 또한, '수열의 극한과 급수' 파트가 미적분으로 올라간 것은 비판 측도 인정하는 부분이다. 그런데 급수가 미적분으로 올라간 마당에 비판 측의 의견을 따르자니 '구분구적법' 파트와 '정적분과 급수' 파트를 따로 가르쳐야 하는 말도 안되는 일이 일어난다. 즉, 이렇게 할 경우 무한급수도 안 배운 채 '무한히 잘게 쪼개서 더하는' 구분구적의 논리를 배워야 하고, 이는 당연히 말이 되지 않는다. | 구분구적법의 개념이 삭제가 아닌 이동한 것에 대해 문제가 되는 배경을 보기 위해서는 2015 개정 교육과정의 실체를 볼 필요가 있다. 이 교육과정 하에서는 수학 I, II까지만 필수과목이고, 미적분, 기하, 확률과 통계는 선택과목이다. 수능 수학 영역에서 셋 중 단 하나만 택하면 대학 진학을 할 수 있다. 정적분의 정확한 정의를 이해하기 위해서는 반드시 미적분을 선택해야 한다. 현재 대부분의 학교에서 수학과 과목을 학교 재량에 따라 선택적으로 가르치고 있고, 미적분 / 기하 택 1이라고 하여 과목 선택을 강요하는 사례도 많다. 즉 해당 내용을 선택과목의 일부로 취급하는 것은 학계의 입장을 따르는 개념의 정의를 고등학교에서 배울 기회 자체를 박탈당하는 문제로 봐야 한다. 필수개념의 선택과목화는 간단히 치부할 수 있는 문제가 아니다. |
| 논점 3. 정적분에 대한 개념 전개에 있어 국가간의 차이를 어떻게 보아야 하는가? | |
| 이전 교육과정에서 시도했던 방식대로 문과생들에게 적분을 가르치는 나라는 사실상 없다. 또 수열의 극한과 급수가 미적분으로 올라간 것에 대해 반발하며 하향평준화 내지는 갈라파고스화라며 비난을 쏟아붇는 이들이 있는데, 오히려 수열의 극한으로 미적분학 개론을 진행하던 7차~09 개정이 더더욱 갈라파고스화에 가깝다. 해당 토론의 #7~8 참조, 또한 한국과학창의재단 전인태 연구원의 견해도 참조하기 바란다.[전문] | - |
| 논점 4. 구분구적법 개념이 수포자를 양산하는가? | |
| 구분구적법은 그렇다 쳐도, '정적분과 급수' 파트가 제대로 이해, 암기한다면 어려운 파트가 아니나 겉에서 보면 수식이 매우 난잡해 문과 수포자를 양산한다는 점이 크게 작용하였다. 이번 개정은 이미 60%에 다다르는 수포자들을 줄이기 위한 개정으로, 이 방면에 있어서는 매우 합당하다 할 수 있다. 그리고 위의 연구 보고서도 그렇게 주장하듯이, 이게 더 효율적이고 진입장벽이 낮은 설명법이라는 데는 다수가 수긍하는 부분이다. | 수긍 측에서 어려운 개념의 삭제가 수포자들의 부담을 완화한다고 주장하는데, 아주 잘못된 현상 해석이다. 수포자들이 늘어나는 이유는 상향평준화되는 교육열과 증가하는 학생간 정보 격차, 그리고 수능 킬러 유형이지, 절대 개념의 유무나 난도 자체가 아니다. 1980년대 학력고사 시절 이후 교육과정 범위는 30년 넘게 계속 축소되기만 했는데 수포자들의 비율은 전혀 줄지 않았으며 오히려 2009 개정 교육과정이 대대적으로 적용된 2017학년도 수능 응시생 이후로 수학 기초 학력 미달 학생 비율이 급상승하였다. 이러한 결과는 어려운 수학 개념이 수포자들을 양산한다는 주장을 전면 반박하는 예시가 되며, 수학 교과내용을 줄이면 수포자 비율이 감소한다는 주장은 어불성설이라는 결론이 도출된다. 동아시아에서 대한민국의 수학 교육과정 분량은 압도적인 최저 수준임을 감안한다면 수긍 측은 논지를 잘못 잡고 있는 셈이다. |
| 입장 정리 | |
| '수열의 극한'을 문과생[26]에게 가르칠 필요가 없다는 것은 여러 토론이나 교육 논문을 통해 인정된 중론이다. 그런데 '구분구적법'은 수열의 극한이 반드시 선행되어야 하므로, 이것을 09 개정의 서술대로 되돌리자는 것은 앞뒤가 전혀 맞지 않는, 과거의 향수에서 벗어나지 못할 뿐인 관점으로 밖에 보이지 않는다. | 교육용 수학은 어디까지나 학계 수학의 경향과 정합해야 하며, 이는 정적분의 정의 파트 없이 미적분을 가르치겠다는 한국의 교육과정 정책과 대치된다. 필수적인 개념을 어려워 보인다는 이유뿐으로 과목 포기자 등을 운운하며 그 중요도를 격하시키는 것은 올바른 개념을 전달해야 하는 교육자로서 해서는 안 될 행동이다. |
이 논쟁과 별개로 한 KCI 등재 논문에 따르면[27] <미적분> 교과의 중단원 ‘정적분의 활용’에서 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’가 ‘곡선과 x축 사이의 넓이’보다 앞 순서에 와야 자연스럽다는 결론을 내렸다. 또한 <미적분>에서 ‘정적분’ 개념을 정의할 때 ‘미적분학의 기본정리’라는 표현의 적합성을 지적했으며, 차라리 ‘부정적분의 함숫값의 차’로 명시하는 편이 낫다고 하며 이 표현을 구체적으로 제언하였다. 실제로 ‘미적분학의 기본정리’는 학문상에 알맞을진 몰라도 교육상으로 너무 추상적이고 뭉뚱그린 명칭이다.
2022 개정 교육과정의 개발 내용을 드러낸 정책연구시스템(PRISM) '포스트코로나 대비 미래지향적 수학과 교육과정 구성 방안 연구' 보고서에 따르면 ‘구분구적법 없이 정적분을 정의한다는 점’에 대해서는 교육상 학생들의 이해를 돕는 데는 무리가 없다는 점에서는 많은 공감을 얻었으나, 학문·실질적으로 문제점을 제기하는 의견을 고려하여 이전 식으로 되돌리냐에 대해 50:50에 상당할 정도로 첨예하게 대립 중인 것으로 보인다.
2022년 4월 개정 수학과 시안 및 토론회를 보면, 현행처럼 '부정적분 함숫값 차이'로 정적분을 정의하는 방식을 다시 폐지해야 한다 는 설문 응답에 과반이 몰렸다. 현재 <미적분>(향후 <미적분Ⅱ>)에만 있는 급수 내용이 아닌 <수학Ⅱ>(향후 <미적분Ⅰ>)에 있는 '함수의 극한'과 '도함수의 활용 - 변화율'을 적절히 써서 구분구적법을 설명하는 안이 제시됐다.[28]
4.3. '기하'가 진로용 과목?
- 일단, '진로선택과목'을 구 7차 교육과정 시절의 '심화선택과목'과 비슷한 것으로 오해하지 말도록 하자. 둘은 엄연히 다른 성격의 교과목이다. '심화=진로'가 아니기 때문.
- 기하는 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분, 확률과 통계 등과 함께 순수 수학 내용으로 묶여왔었고, 개정 후에도 이 흐름이 유지된다는 것엔 변함 없다. 좀 더 진로에 실용적이거나 직업적으로 응용되는 내용이 아니라는 것이다. 세계적인 측면에서 볼 때 이 기하 내용은 고1, 고2 초반 과정에 놓는 경우가 상당수며, 설령 이공계열 전용 심화 과목에 속하는 미적분 교과마저도 진로라 하기에 애매하다.
- 보통 진로라고 하면, 직업적으로 계열이 분명한 의미를 담고 있어야 하는데, 기하나 미적분과 같은 내용들은 순수 수학인즉 일반적인 과정이다. 공학적으로 특수하게 적용되는 함수나 경제수학처럼 특수 이론 같은 게 마구 등장하는 것이 아니라는 것이다. 그러나 개정되면서 경제수학, 실용수학과 동등한 위치에 놓는 아이러니한 정책 결과물이 나왔다. 결론적으로 항상 수학 교과 분량의 감축을 요구하는 사교육걱정없는세상이 2015 개정 교육과정 편제 당시 적극적으로 개입했던것으로 보아, 정치적인 피해를 입었다고 추측된다. 자세한 내용은 해당 문서 참조.
- '포스트코로나 수학과 재구성화'에 따르면 2022 개정 교육과정에서 다시 '일반선택과목'으로 환원하는 쪽[29]으로 가닥이 잡혔으나, 수학·과학 영향력의 약화를 추구하는 문재인 정권의 기조에 못 이겨 결국 잔류했고, 오히려 '미적분(미적분Ⅱ)'까지 진로선택과목으로 끌어들였다. 설령 정권이 바뀌었지만, 2021년 11월 24일에 발표한 총론을 전복시키려는 움직임이 전혀 보이지 않는데다가, 수학과 최종 연구안은 교육감을 뽑는다는 2022. 6. 1. 지방선거 이전인 5월 말에 이미 마감된 상황이다. 상위 기관인 새 정권의 대한민국 교육부와 국가교육위원회가 칼을 빼들지 않는 한, 드라마틱한 변화는 어려워보인다.
4.4. 기하 과목 수준에 대한 교육부의 과잉 인식
- 이전 교육과정의 기하와 벡터를 그대로 계승한 게 아니라 과목간 연계를 끊어버리는 방법으로 개정하여 미적분과의 연계가 싹 끊겼다. 이러면서 '음함수와 매개변수의 미분'과 '평면 운동'이 미적분으로 이동했고, '삼각함수의 덧셈정리'를 이용할 수도 없게 되었다. 여기에 '공간 벡터'가 통째로 빠졌기 때문에 동아시아 교육과정에서는 완벽한 문과 수준 과목이나 다름없게 되었다. 교과 자체가 매우 형편없는 수준으로 떨어져버린것.
- 중국 교육과정에서는 1학년 때 필수2, 필수3 과정에 걸쳐 평면 벡터와 공간좌표를 필수로 배우고 있으며, 선수1-1(문과 2학년) 땐 이차곡선까지 배운다.[출처1] 사실상 기하 전체를 중국에서는 문이과를 막론하고 1~2학년 때 배운다는 것이다. 홍콩에서도 '평면 벡터'를 기본 과정으로 다루고 있으며 공간 벡터까지 필수다.[출처2] 홍콩은 우리보다 더 한 게 벡터는 물론이거니와 '3차정사각행렬', '행렬식', '푸아송 분포'까지 다룬다. 대만은 아예 공간 벡터와 공간 방정식, 행렬 등이 2학년 필수 과정이다.[출처3] 3학년 때는 선택 과목이지만 이보다 오히려 더 어려운 걸 배운다. 싱가포르는 공간 벡터는 물론이고 행렬과 선형변환까지 다룬다. 삼각함수의 근사, 역삼각함수까지 다루는 건 덤. 일본 역시 수학Ⅰ(일본), 수학Ⅱ(일본), 수학Ⅲ, 수학A, 수학B만 참고해봐도 대한민국보다 더 많은 수학 교과 내용을 배운다는 점을 알 수 있으며 공간 벡터를 문과도 배우며 일본의 수능(대학입학공통테스트)에서 출제된다.
- 대개 구성만 참조해봐도 다른 나라는 오히려 이 '기하' 과목 내용이 초월함수의 미적분보다 하급 취급을 받고 있다. 심지어 대한민국에서도 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했었다. '기하' 과목보다 어려운 내용을 담고 있는 '미적분'은 '일반선택과목'인데, '기하'는 위와 같은 모종의 이유로 '진로선택과목'이 되었다. 그리고 개정된 '기하' 과목은 이미 음함수/매개변수 미분이나 평면 운동 파트까지 싹 다 '수학Ⅱ'나 '미적분'으로 이동된 바람에 초월함수와의 연계가 끊어졌으므로 훨씬 쉬워진 과목이다.
- '기하(舊 수학Ⅱ/기하와 벡터)'가 여태 수능수학계에서 괴물 취급 받았던 이유는 다름이 아니라 문제들이 죄다 중학교 수학에서 응용되었기 때문이다. 그림도 3차원으로 나오기 때문에 겉만 보고 판단하는 비전문가 입장에서는 당연히 복병처럼 여길 수밖에 없다. 아무튼 교과 학습 난이도와 수능 문제 응용 난이도는 따로 생각해봐야 할 문제인데 이 둘을 구분하지 않고 무작정 '기하'를 진로선택과목으로 분류해놓은 것은 매우 황당한 처사이다. 특히 과거 7차 교육과정 때 기하 전 범위를 초월함수의 미적분보다 낮은 단계인 수학Ⅱ로 분류했다는 전적을 생각해보면 더더욱 황당할 수밖에 없다. 당장 고1 수학만으로도 문제를 어렵게 내는 게 가능한데(특히 1997학년도 대학수학능력시험 29번 문제) 이런 점을 모른다.
- 게다가 '기하' 과목은 수학Ⅰ의 삼각함수만 배우고 바로 뒤에 평면 벡터, 공간도형 단원을 구성해놔도 아무런 문제가 없다.[33][34] 이공계열이 응시하던 수학 가형에서 '기하'가 2021학년도 대학수학능력시험에서 출제 범위로부터 빠지게 되어 엄청난 반발을 산 적이 있었는데 이러한 반발을 인식하여 바로 다음 해인 2022학년도 대학수학능력시험부터 선택 응시로 전환되었다. 그러나 이공계 측의 입장은 여전히 썩 좋지 못한데, 미적분/기하/확률과 통계 중 1택이라는 정책이 무슨 큰 의미가 있겠냐는 까닭이다. 이러한 점으로 볼 때 차라리 과거 7차 교육과정 때 수리 가형의 포맷과 유사하게 '수학Ⅰ', '수학Ⅱ', '기하'를 필수 범위로 놓고 '확률과 통계'와 '미적분' 중에서 1택을 하도록 유도하는 게 더 의미 있었을 수도 있다.
4.5. 공간 벡터 삭제 논란
- 삭제에 반발하는 부분: 수능 범위가 줄어들면, 남은 단원의 문제들이 어려워지는데, 이전의 공간 벡터가 그렇다. 지금은 이 단원까지 날아가는 바람에 더 심각해질 것으로 보인다. 2009 교육과정 기하와 벡터는 당시에도 그 전의 2007 교육과정의 기하와 벡터에서 일차변환과 행렬이라는 대단원이 하나 빠진 것인데, 이 대단원이 하나 없어지자 공간도형 · 공간벡터의 문제가 매우 어렵게 출제 되었다.
- 삭제에 수긍하는 부분: 공간벡터에서만 문제가 어렵게 출제되고 평면벡터에서는 쉬운 문제만 나왔었는데, 아무래도 공간이 평면의 상위호환이라 그런거고, 평면벡터나 공간벡터나 결국 그 본질은 같기 때문에 평면에서도 충분히 어렵게 낼 수 있다. (예. 2011학년도 대수능 22번) 더 나아가서 악명 높았던 '2014 수능 B형 29번'을 살짝 변형해서 순수 공간도형 문제로도 출제할 수 있다.[예시]
결국 2022 개정 교육과정에서 공간 벡터가 재포함되는 것이 확정되었다. 자세한 내용은 해당 문서 참조.
4.6. 지나치게 뭉뚱그린 ‘기하’라는 교과 작명
- 과목 작명 자체가 너무 두루뭉술하여 납득이 안 가는 대목이 있다. 달랑 '이차곡선', '공간도형'이 이 '기하'(특히 평면 기하)라는 과목의 대표성을 크게 띤다고 볼 수도 없기 때문이다.[36]
- 미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 ‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’ 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[37]
- 이 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면벡터와 공간벡터), ‘해석기하학적’(이차곡선, 공간좌표), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 ‘기하’라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[38]해졌다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 자연계 필수로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'이 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.
4.7. 대충 급조한 듯한 '실용 수학', '경제 수학'
- 창의적인 집필이 대거 요구되는 과목이었으나 사실 그런 부분이 전혀 보이지 않았다는 평가다. 교육과정이 마무리돼야 평가를 내릴 수 있겠다만 현재로선 실패작으로 남을 가능성이 크다.
- 실용국어, 실용영어처럼 실용 시리즈로 편성해놓았기 때문에 실용 시리즈를 위한 실용 수학으로 급하게 만들어낸 티가 난다. 여기저기 그림책 수준이라고 봐도 무방한 내용들 및 교과서 두께도 지나치게 얇은 것이 근거다. 또한 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.
- 워드프로세서 같은 소프트웨어 유틸리티를 활용해서 서술하는 부분이 있다. 하지만 컴퓨터 좀 만져본 중3이라면 이 과목을 이수하는 건 굉장히 시간 낭비다. 차라리 7차 교육과정의 이산수학처럼 '코딩 수학'(또는 '프로그래밍 수학', '컴퓨터 수학') 같은 과목을 개설해서 전문적인 내용을 추가로 편성했으면 좀 더 나았을 거라는 평. 그리고 사실상 이후에 나온 '인공지능 수학'이 훨씬 실용적이게 되면서 삽질이 되었다.
- 단원 목차를 보고 눈치챘다시피 이미 중학교 때 배웠던 내용을 토대로 사례를 발견하는 식으로 서술하고 있다. 희한하게 진로선택과목이 되었는데, 객관적으로 보나 주관적으로 보나 진로 선택 과목은커녕 기초 공통 과목에 편성하는 것조차 아까운 수준의 내용이 담겨있다. 대푯값과 산포도(중3 과정)만 빠지면 완벽한 중2 수준의 내용이다. 그걸 감안하더라도 절대 중학생들조차 어려워할 내용이 아니다.
- 다음은 경제 수학에 관한 내용이다. 실용 수학만큼 막장은 아니지만 엉성한 부분이 여기 저기 보였다. 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[41]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다. 또한, 2단원 「수열과 금융」 파트에서는 여러 가지의 계산식이 나오는데, 기본 식에서 유도만 하면 쉽게 풀리는 문제를 굳이 공식처럼 만들어 혼란을 줄 수 있으니 유도 과정을 잘 살펴볼 필요가 있다.
- 경제 수학은 이자율이 몇 년 뒤에 얼마가 될까 같은 쓸 데 없는 계산은 대학교 경제학과에 진학해서도 아무런 쓸모가 없다. 수학Ⅰ과목을 선수과목으로 배우고 난 다음에 선택하는 선택 심화 과목임에도 불구하고, 더 쉬운 내용을 나중에 쓸데없이 더 자세하게 배운다는 것은 납득하기 힘들다. 상술했던 내용들은 정작 대학교에서 배우는 경제수학(경영수학)에서는 제대로 다루지 않고, 대학교의 기초재무학(과목명: '재무관리' 등) 과목에서 다루는 것들이다. 「함수와 경제」와 「미분과 경제」에 대한 내용은 아직 공개되지 않아 평가를 할 수는 없지만, 만약 이 두 단원이 다루는 범위가 다변수함수 즉 대학교에서 배우는 편미분에 대한 기초내용이 아니라면 정말로 납득할만한 건덕지가 하나도 없어진다. 비유하자면 우선 일차방정식보다 상대적으로 더 어려운 이차방정식부터 배우고, 그 다음에 더 쉬운(?) 일차방정식을 심화 과목(!)으로 배우게 하는 꼴이다.[42]그 외에도 미분과 더불어 상경계 수학에서 가장 중요한 단원인 행렬과 벡터, 경제통계에서 쓰이는 적분도 빠져 있다.[43][44]
4.8. 교과간 위계 붕괴, 연계 해제로 인한 문제점
- 2009 개정 교육과정 과 비교했을때, 2015 개정 교육과정 은 고1 수학만 학습해도 일반선택과목, 진로선택과목의 여러 교과 학습에 문제가 없게 하겠단 명목하에 교과간의 위계 붕괴, 연계 해제가 굉장히 심각해졌다. 이 개편에 따른 부작용으로 일부 내용의 서술 방향이 변경되거나 교수•학습이 불편해지는 사례가 발생하였다. 다만 이 역시 '기하'에 국한된 문제로, 미적분(수1, 수2 선행), 확률과 통계(전통적으로 고1수학만을 선행)은 위계가 크게 달라지지 않았다.
- 하위 항목들은 위 사례들을 기록한 것이다.
4.8.1. 평면 운동과 미적분 연계 해제에 대한 아쉬움
- 2014년 고교 입학생부터 시행된 2009 교육과정에서는 (1998년생 부터 2001년생에 해당), 교육과정 지침상 미적분Ⅱ를 선 이수한 학생만이 기하와 벡터를 학습할 수 있게 해놨기에 두 과목은 뗄 수 없는 관계였다. 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리, 곡선의 길이에서 미분 · 적분이 쓰였고, 벡터의 내적, 이면각에서는 삼각함수가 쓰였다. 기하와 벡터가 미적분Ⅱ의 개념을 수반하기 때문에, 문제들이 다소 거칠게 나왔었다. 그러나 2018년 입학생부터 시행될 2015 개정 교육과정에서는, 미적분Ⅱ가 미적분으로 개편되고, 기하와 벡터가 기하로 개편되는데, 미적분을 배우지 않은 학생이 기하의 모든 내용을 이해할 수 있도록 조정된다. 한마디로, 기하에서 미적분(특히 이차곡선 접선의 방정식을 구할 때 사용하는 미분 등)을 활용하는 문제는 나오지 않게 된다.
- 따라서 음함수의 미분, 매개변수로 나타낸 함수의 미분, 평면에서의 속도와 가속도와 거리에 대한 내용이, 모두 본거지인 미적분으로 회귀한다. 사실 미적분에서 이들 내용은 연관성도 없고 쓸 일도 없을 것이고, 기존에 있던 내용들과는 괴리감이 있는터라 존재감이 없는 파트로 전락할 가능성이 높다. 오히려 음함수와 매개변수로 나타낸 함수 자체를 기하에서 많이 다루기 때문에 이를 미적분에서 문제가 어렵게 출제되기는 힘들다. 주로 27번 준킬러로 나왔던 이차곡선에 음함수의 미분을 엮어서 출제하는 경우도 더이상 없을 것이다.
- 결국 남은 가능성은 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제밖에 없는데, 과거 7차 교육과정 당시 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 다소 거칠게 출제된 경우가 종종 있었다. 음함수의 미분법을 물어볼 만한 게 이것 외에는 사실상 없어진 현재로써는 음함수의 미분법을 이용한 순간변화율 문제가 킬러 문제로 다시 군림할 가능성이 높다.
- 그리고 평면에서의 속도, 가속도, 거리에 대해서도 말이 많은데, 그 이유는 2009 교육과정에서는 평면운동을 벡터를 이용해서 설명을 했었기 때문이다. 직선운동에서는 방향이 + 또는 - 로 둘 중에 하나이기 때문에 벡터의 도입이 필요가 없었으나, 평면에서는 방향이 중구난방이므로 반드시 벡터를 도입하여, 평면벡터의 x성분과 y성분을 t에 관한 매개변수 함수로써 설명해야한다. 그러나 2015 개정 교육과정에서는 벡터를 도입하지 않고(즉 2007 개정 교육과정 이전의 방식으로) 설명하겠다는 것이다.
- 원래 6차 교육과정까지는 '기하'와 '초월함수 미적분' 내용은 본래 수학II라는 한 교과서에 서술되어있던 내용들이다. 그런데 교과서를 찢어내는 바람에 '기하'에 초월함수 미적분 내용이 들어가버렸고, 이것이 어울리지 않아서인지 빠진 것으로 보인다. 차라리 교과서를 다시 통합하면 모를까, 무리하게 교과서를 찢어내는 바람에 (왜 잃어야 하는지조차 의문인) 명분을 잃게 되고 이 내용들의 연계 또한 어이 없게 해제된 것이다.
5. 과목별 이야깃거리
5.1. 수학
- 정식 교과 명칭은 2007 개정 교육과정 때처럼 그냥 수학이지만 시중 대부분의 참고서는 분량 상의 문제로 '수학(상)/(하)'로 나누고 있다. 하지만 1, 2학기로 나눴을 뿐 엄연히 이 과목의 명칭은 '수학' 단독이다. 즉, 교직자가 과목을 둘로 나누어 '상'과 '하'라는 용어로 부르는 일은 권장되지 않는다.[45] 줄여서 수상, 수하라고 부르기도 한다.
- 이중근호는 지난 교육과정에 빠진 뒤로 다시 복귀되지 않았다. 유리식과 무리식도 지난 교육과정에서 대수학 단원을 지워버리는 바람에 돌아갈 데도 없어 분리되지 않고 여전히 유리함수, 무리함수 하위 파트로 남아있게 되었다.
- 공통 수학에서 집합을 7차 교육과정처럼 다시 첫 단원으로 환원하고, 중학교 수학에도 포함시켜 이항연산, 항등원, 역원, 실수의 개론을 포함해야 한다며 수학전문기관단체가 반발했으나 무시당한 것으로 보인다. 이렇게 '집합' 단원이 뒤로 여전히 밀려있는 이유는 '집합' 단원과 '함수' 단원을 붙이기 위한 일환이었고, 함수 하위 단원에 유리함수와 무리함수를 따로 빼기엔 좀 그래서 이러한 단원 배치가 일어난 것이다. 그런데 사실 '집합'을 1단원에, '함수'를 2단원에 배치시킬 수 있다. 왜냐하면 기초적인 다항식 관련 개념이나 좌표 등은 이미 중학교 때 다뤘기 때문에 '다항식과 나머지 정리' 앞에 다뤄도 전혀 상관이 없으며, 유리함수와 무리함수는 따로 빼거나 함수의 극한 단원에 통합시켜도 전혀 문제가 없기 때문.[46]
- 공통 수학의 '증명' 파트는 사실 증명을 직접적으로 다루는 게 아니라 '증명된 정리'를 다루는 것이다. 증명을 해나가는 과정을 다루지 않으므로 혼동하지 말 것. 아니나 다를까 원래 저 '증명'이라고 소개하는 파트는 본래 '수와 연산'인즉 '대수학' 파트에서 다루던 내용들이다. 원래 이차부등식 후반 파트에 있었다. 명제는 수리논리학 파트이다. 여긴 증명용으로 뽑아 소개하는 것이므로 따로 논리학 책을 뒤져보지 않아도 된다. 거기서 정의하는 명제와 벤 다이어그램이 수학과 상당히 다르기도 하다.
5.2. 수학 Ⅰ
- 수학Ⅰ은 80년대 고1 수학에 있던 내용이다.[47] 그렇게까지 먼 옛날로 가지 않아도 2016 수능 세대까지만 해도 '삼각함수'는 고1 수학 맨 마지막에서 두 번째 단원이었고, '수열'과 '지수와 로그'(함수 제외) 역시 2017 수능 ~ 2020 수능 세대까지 고1 수학 맨 뒷 단원에 있었다. 그래서인지 일부 고등학교에서는 1학년 1학기 때 고1 수학을 한 뒤 2학기 때 이 과목을 나가기도 한다.
그렇게 되면 고1 수학 분량이 6단원에서 9단원으로 예전처럼 늘어난다. - '직전 교육과정'과 비교하면 '나형(인문계)' 기준으로 삼각함수와 지수,로그 함수가 들어와서 학업 부담이 늘었다고 하나, 어디까지나 직전 교육과정이랑만 비교했을 때 그런 것이다. 그 이전에는 삼각함수는 30년 넘게 고1 때 배웠고, 지수함수와 로그함수 역시 몇 십년 넘게 고2 때 문이과 공통으로 배우던 내용이므로, 그 이전에 비하면 오히려 학업 부담이 줄어들었거나 유지된 것이나 다름없다. 그러니 구성상의 논제를 마치 수준적인 순서로 일치시키면 안된다. 예컨대 '벡터의 정의', '이차곡선'도 당장 고1 과정으로 끌어내려도 문제가 없는 수준이다.
- 교과가 불필요하게 분리된 감이 크다고 볼 수 있다. 이 교과는 ‘지수함수와 로그함수’, ‘삼각함수’, ‘수열’ 총 3개 단원으로 구성되어 있는데, 삼각함수 단원 이후 갑자기 수열이 도입되기 때문에 굉장히 매끄럽지 못한 구성을 가지고 있다. 이전 2009 개정 교육과정 수학 II 가 구성상 문제를 가지고 있어 그 구성상의 문제를 해결하기 위함, 혹은 문과 학생에게 초월함수의 기초를 가르치기 위함이라고 근거를 들어도 굳이 왜 새로운 교과 구성으로 재탄생시켰는지에 대한 의문은 명쾌하게 해소되지 않는다. 아무래도 2015 개정 교육과정 수학과가 정치적 피해를 매우 많이 입은 것으로 보아서, 이전 교육과정까지 최대 4개 단원으로 구성되었던 각 교과의 대단원 수를 억지로 3개 단원으로 감축해서 교과 수를 늘려 학습량이 더 많아보이도록 착시현상을 주기 위한 행위로도 보인다.
- 삼각함수를 일부러 떼어서 다른 교과로 끌어와 굳이 불필요한 교과까지 하나 더 만들었으면서 정작 시컨트, 코시컨트, 코탄젠트의 정의와 삼각함수의 덧셈정리는 또 미적분 II 를 계승했다고 봐도 무방한 교과인 미적분에 그대로 남아있다. 이런 어이없는 구성 때문에 수학 I 에서는 코탄젠트를 1/탄젠트로 굳이 풀어쓴다던가, 기하에서는 제2코사인법칙은 가능한데[48] 덧셈정리를 활용한 문제는 출제불가능해지는 어이없는 일이 일어났고, 멀쩡한 기출 문제를 삼각함수의 역수 정의 그 하나를 교과에서 언급해주지 않아 교과과정에 알맞게 기출문제를 이용하려면 멀쩡한 문제를 삭제, 변형해서 풀어야하는 등 번거로운 일들이 일어나고 있다.
5.3. 수학 Ⅱ
- 수학 Ⅱ 는 Ⅱ라서 왠지 수준이 더 높을 것으로 보이지만, 2015 개정 교육과정 해설서에 따르면 2015 개정 교육과정 수학Ⅱ는 고1 수학을 이수한 학생들이 배우는 과목이며, 수학Ⅰ의 이수는 불필요하다. 즉, 2, 5차 교육과정 때처럼 Ⅱ과정이 Ⅰ과정의 다음 단계가 아니라는 것이다.[49][50] 그래서인지 교과 학습 수준은 수학Ⅰ과 비슷하며 지금의 수학Ⅱ는 수학Ⅰ을 안 하고 넘어와도 상관 없게끔 구성해 놓았을 정도로 수학Ⅰ과의 연계와 접점이 없다.[51][52] 수학Ⅰ에서 다루는 '수열'의 경우, 과거 미적분Ⅰ에서 배우던 '수열의 극한'(수열의 후속 단원)이 미적분으로 올라갔기 때문이다.
- 개정 교육과정 첫 해 당시 일부 자연계 지망 자율형 사립고등학교에서는 커리큘럼의 효율성을 도모하고자 '수학Ⅱ+미적분'으로 병렬식 병합 구조로 진도를 빼는 경우가 흔하다. 물론 이래놓고 내신 시험지의 명칭은 '수학Ⅱ'하에 치러진다. 이러한 이유는 이과반이 '수학Ⅱ→미적분'식의 순차적으로 진도를 빼기엔 중복되는 내용이 굉장히 많아 진도 효율성이 현격히 떨어지기 때문. 이는 직전 2009 개정 교육과정 때 '미적분Ⅰ+미적분Ⅱ(3, 4단원)'으로 나갔던 학교[53]의 경우로 보았을 때 흔치 않은 일은 아닌 듯 하다. 참고로 2007 개정 교육과정 때는 정규 교육 방식이었다. 당시엔 지금처럼 '공통 미적분', '이과 추가 미적분'의 형태가 아닌 '문과용 미적분', '이과용 미적분'[54] 커리큘럼으로 분리됐었다.
5.4. 미적분
- 기하는 '평면 벡터' 한 단원을 소홀히 한다는 게 문제점이지만, 미적분은 아예 전 단원을 익히지 않으면 공대, 상경계 가서 재앙을 맛본다.[55]이공계열 학과 수학의 기초가 되는 과목이다. 따라서 미적분을 소홀히 공부하거나 아예 하지 않으면 이공계열 학과 생활에 막대한 지장을 초래할 것이다.][56]경제·경영 계열 학과 수학의 기초가 되는 과목이다.]
- 한국과학기술한림원에서 조사한 바에 따르면 '미적분'은 대학 과정과 90% 이상의 연계율을 보였고, '기하'는 30% 정도의 연계율을 보였다고 주장한다.(연구 보고서 바로가기) 2021~2026년 수능 세대라면, 기하를 학교 수업 시간에 열심히 듣고 미적분을 수험 과목으로 선택하는 걸 추천한다.[57][58][59]
- 미적분 과목의 경우 시중 참고서 책 두께에 비하여 사실 실질적인 개념 학습량은 기하보다 많지 않다. '기하'는 아예 새로운 내용을 익혀야 하는 반면에, '미적분'은 이전의 '수학Ⅱ'에서 내용물과 대상만 바뀌었을 뿐 구조적으로는 거의 흡사하다. 1단원은 극한의 큰 틀만 알면, 대상물이 함수에서 수열로 바뀌었을 뿐이다. 2, 3단원도 함수의 폭이 다항함수에서 초월함수나 몫다항함수, 곱다항함수 등으로 확장되었을 뿐, 미분과 적분의 개념을 적용하는 건 똑같다. 단지 수능 기출 문제집 기준으로는 개발된 문항이 많아 수능 대비생 입장으로는 기출 문제 학습량이 다소 방대하다고 느껴질 뿐이다.[60]
- 2015 개정 교육과정 체제로 들어서면서 각 교과의 대단원 수가 3개 단원으로 극심하게 축소되었으나 비교적 분량이 정상적인 이 교과에 한해 일부 출판사가 4개 대단원으로 분류해놓았다.[61] 3개 단원으로 축소되면서 기존에 미분법 단원과 분리되어 있던 지수, 로그, 삼각함수의 미분, 덧셈정리, 자연로그 등이 이전의 미적분2에서 내용 가감 없이 미분법으로 모두 흡수되어버리면서 미분법 단원이 실질적으로 2개 단원으로 취급될 정도로 커졌기 때문. 안 그래도 가장 내용이 많은 과목인데 그 내용이 미분법에 몰려있다..
5.5. 확률과 통계
- 2015 개정 교육과정부터 이항정리 파트에서 시그마를 사용한 표기가 사라졌는데,[62] 정작 기출문제 등에선 시그마를 사용한 이항정리 문제가 나오고 수열의 합을 이용하는 공식을 통한 풀이법이 존재하므로 교과서엔 다루지 않더라도 수열에 대한 복습은 되어 있어야한다. 어차피 수능 응시생이라면 수학I/II를 모두 배울 테니 큰 지장은 없을 것이다.
- 조건부확률 파트에서 확률의 곱셈정리와 확률의 곱셈정리와 조건부확률이라는 파트가 등장하여 공식[63]이 등장하는데 일부 교과서나 참고서 등에 간접적으로 등장한다.
- 확률과 통계는 과목 이름만 들었을 땐 단순히 '확률'과 '통계'만 배우는 것 같지만, 사실 이산수학을 비롯한 여러 수학적 센스들을 배우는 것과 다름 없다. 특히 '순열과 조합'이라는 수학적 사고의 근원이 되는 중요한 단원이다. 그만큼 정통 수학적 사고력과 상당히 밀접한 과목이라고 할 수 있다.
5.6. 기하
- 기하는 '공간 벡터', '음함수/매개변수함수의 미분', '평면 운동' 등을 들어내서 그런지 별개 과목 중 확률과 통계(2015)와 분량이 비슷해졌다. 2019년 3월이 돼서야 시중 참고서가 속속 등장했다. SSEN 쎈 '기하'(208p), 신 수학의 바이블 '기하'(328p) 참조. 그러나 가격은 각각 13,000원, 16,000원으로 인하되지 않았다. 참고로 개념원리는 2021 수능 출제 과목에서 빠졌다는 이유로 발간 계획이 없었다가 2022 수능에 재포함되어 6월경에 내놓겠다고 하였으며, 수학의 정석도 2019년 4월에야 책을 발간했다. 하지만 EBS 수학의 왕도 측은 발간 계획이 없다고 밝혔다.#
- 퍼스널 컬러가 존재하는 메이저 참고서들 한정으로, '기하' 과목은 공교롭게도 모두 갈색으로 되어있다. (개념원리, 개념쎈, 쎈, 수학의 바이블)
5.7. 경제 수학
- 경제 수학은 수능 출제 과목에서 제외되었다. 또한 이 교과서들은 융복합적 사고를 통한 교재집필이 요구되나 집필 난이도 및 판매량 추이의 예측 불가능성에 의거하여 좋은 교재가 출판되지 않을 것이라 가정해볼 수 있었다. 하지만 정형화된 흐름에 따라 교재가 개발되나 외국에 참고할만한 교재도 마땅하지 않고 또한 기술상 문제풀이와 교과성에 상이점도 존재하기 때문에 교재가 등장할 가능성은 매우 낮다고 판단할 수 있다.
- '경제수학' 이라는 교과가 처음 생기다 보니까 오타가 꽤 있는 편이고, 문맥이 어색하거나, 모호한 표현[64]이 꽤 많아 학교 수업을 잘 들을 필요가 있다.
- 2020년 현재, 경제수학의 출판사는 광주광역시교육청에서 발간한 도서 뿐이다.
5.8. 실용 수학
- 실용 수학도 수능 출제 과목에서 제외되었다. 진로 선택 과목이지만 교육부 총론에 의하면 고1 수학인 수학보다 먼저 배우는 '마이스터 고등학교', '특성화 고등학교' 전용 과정으로 명시하였다.연구 보고서 참조. 너무 하다 싶을 정도로 중학교 1학년 통계 파트 복붙으로 도배하거나 교과서 수준이 너무 낮고 급하게 짜여져 있어보이는 이유가 이것이다. 내용들이 웬만해선 굳이 말 안 해줘도 당연히 알 만한 내용을 길게 늘려 쓴 느낌이 든다.
- 일반적으로 건축학과/건축공학과나 환경공학과에 진학을 희망하는 학생들이 선택해서 배울 가능성이 있다. 이외에 산업디자인, 산업공학과, 일부 디자인학과에서도 요구할 것으로 예상했으나, 막상 교과서를 까고 보니 중학교, 초등학교 수준의 교과서다. 한 마디로 그림책 수준.[65][66] 진로선택과목임에도 불구하고 진로에 대한 전문적인 내용은 눈 씻고도 찾아볼 수 없으며, 거의 생활 도구로써의 수학만을 다루고 있거나 칠교놀이를 하고 있다. 닮음이나 쪽매맞춤 파트도 전문적인 내용은 거의 전무하고 '생활 속의 닮음을 이용한 건축물이 무엇이 있을까?'하는 내용으로 사례를 나열하는 정도이다.
5.9. 인공지능 수학
- 인공지능 수학은 수능에 직접 출제되지 않는 교과인 만큼, 일반계 고등학교에서는 개설되는 경우가 많지 않을 것으로 보이며[67], 오히려 IT 관련 분야의 특성화고등학교에서 개설될 가능성이 높다고 예상된다.
- 부산시교육청 기사 언급에 따르면 행렬, 벡터, 베이즈 정리에 관한 내용이 들어갈 것으로 예측하고 있다. 그러나 이는 고급 수학Ⅰ와 고급 수학Ⅱ(전문 교과Ⅰ)에도 들어 있는 내용이다(물론 일반고는커녕 과학고에서도 불문율 때문에 거의 개설하지 않는 교과이다). 기존에 있던 교과서들을 적절히 활용하여 해결할 수 있는 문제를 갖다가 또 문어발식으로 비슷한 내용이 다수 들어가 있는 새 교과서를 탄생시키는 것에 대해 이견이 있을 수 있다. 이러한 관계는 실용 수학, 심화 수학에도 보이는 상황이다. 그밖에 '경제' 교과와 '사회적경제' 교과가 그러하고, '통합과학'과 '융합과학'의 관계가 그러하다.
- 현재로서 전면 개정을 할 수가 없기 때문에 신설에 의해 생기는 '과목 간 중첩 현상'은 어쩔 수 없는 현상으로 보이기는 하다. 이에 따라 이 '인공지능 수학' 교과에 해당하는 내용 중 일부가 차기 2022 개정 교육과정에서는 다시 하급 과정으로 통폐합·귀속될 수도 있다(특히 행렬, 벡터)
- 행렬이 일단 복귀가 되었으나, 역시나 수학적 특징과 연산은 다루지 않는다고 선을 그어놓았다. 수학 영역에서 수학적 특징과 연산을 다루지 않는다는 것은 결국 ‘이런게 있다’ 며 한 번 보여주고 끝내는 것이다. 즉 내용 복귀 의의 자체가 없다고 봐도 무방하고 이런식으로 할 것이면 차라리 내용을 복귀시키지 않는게 낫다. 수학영역과 과학탐구영역에서 수리•정량적 계산을 다루지 않고 정성적으로만 다루는것은 아무런 의미가 없기 때문이다.
5.10. 통합 수학
- 수능에 직접 출제되지 않는 교과로 고등학교 과정을 간단히 복습하는 과목.
- 고1때 배우는 수학과는 엄연히 다른 과목이다.
6. 둘러보기
| 6년 사이의 수학 교과 분량 비교표 | ||||||||
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| 유리식과 무리식 수학 (고1 과정)[B] | ▼ 2009 개정 교육과정에서 '유리함수와 무리함수' 하위 파트로 편입 | |||||||
| 이중근호 수학 (고1 과정)[B] | X 2009 개정 교육과정에서 삭제 | |||||||
| 미지수가 3개인 연립일차방정식 수학Ⅰ[C] (고1 과정)[B] | X | |||||||
| '행렬과 그래프' 일괄 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | ↘ 2009 개정 교육과정에서 고급 수학Ⅰ(수능 미출제)으로 이동 | |||||||
| 상용로그의 지표와 가수 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제 | |||||||
| 분수 방정식·부등식, 무리방정식, 무연근 등 수학Ⅱ (자연계 필수) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제[A] | |||||||
| 삼각식의 덧셈정리 수학Ⅱ (자연계 필수) | ▼ 2009 개정 교육과정에서 기본적인 덧셈정리만 남기고 파생된 공식 전부 삭제[A] | |||||||
| 삼각방정식의 일반해 수학Ⅱ (자연계 필수) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제[A] | |||||||
| '일차변환과 행렬' 일괄 기하와 벡터 (자연계 필수)[C] | ↘ 2009 개정 교육과정에서 고급 수학Ⅰ(수능 미출제)으로 이동 | |||||||
| 이산수학 | 중복 순열, 원순열, 같은 것이 있는 순열, 중복조합, 이항정리, 파스칼의 삼각형 등 확률과 통계[C] (고2·3 인문·자연 공통) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 확률과 통계(선택과목)으로 격하 [인문·자연 공통] | ||||||
| 자연수와 집합의 분할 확률과 통계[C] (고2·3 인문·자연 공통) | X[A] | |||||||
| '확률' 일괄 확률과 통계[C] (고2·3 인문·자연 공통) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 확률과 통계(선택과목)으로 격하 [인문·자연 공통] | |||||||
| 조화수열 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제 | |||||||
| 계차수열 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제 | |||||||
| 점화식 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | ▼ 복잡한 '점화식'에 대한 예제를 다룰 수 없음 | |||||||
| 알고리즘과 순서도 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제 | |||||||
| 해석 | '수열의 극한' 일괄 수학Ⅰ (고2·3 인문·자연 공통) | ↘ [인문·자연 공통]이었으나 2015 개정 교육과정에서 미적분(선택과목)으로 격하 | ||||||
| '미분법' 일괄 수학Ⅱ (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 미적분(선택과목)으로 격하 | |||||||
| 로그미분법 수학Ⅱ (자연계 필수) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제[A] | |||||||
| 음함수의 미분, 매개변수 함수의 미분 기하와 벡터[C] (자연계 필수) | ▼ 2015 개정 교육과정에서 미적분으로 이동되면서 '이차곡선'과의 연계 해제 ↘ 2015 개정 교육과정에서 미적분(선택과목)으로 격하 [자연계 기준] | |||||||
| '적분법' 일괄 적분과 통계 (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 미적분(선택과목)으로 격하 | |||||||
| 회전체의 부피 적분과 통계 (자연계 필수) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제[A] | |||||||
| 평면 운동 기하와 벡터[C] (자연계 필수) | ▼ 2015 개정 교육과정에서 미적분으로 이동되면서 '평면 벡터'와의 연계 해제 ↘ 2015 개정 교육과정에서 미적분(선택과목)으로 격하 [자연계 기준] | |||||||
| 기하 | 부등식의 영역 수학Ⅰ (고1 과정)[B] | ↘ 2015 개정 교육과정에서 경제 수학(수능 미출제)으로 이동 | ||||||
| '이차곡선' 일괄 기하와 벡터 (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 기하(선택과목)으로 격하 [자연계 기준] 2021 수능에서는 유일하게 수능 미출제 [자연계 기준] | |||||||
| '평면 벡터' 일괄 기하와 벡터 (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 기하(선택과목)으로 격하 [자연계 기준] 2021 수능에서는 유일하게 수능 미출제 [자연계 기준] | |||||||
| '공간도형과 공간좌표' 일괄 기하와 벡터 (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 기하(선택과목)으로 격하 [자연계 기준] 2021 수능에서는 유일하게 수능 미출제 [자연계 기준] | |||||||
| '공간 벡터' 일괄 기하와 벡터 (자연계 필수) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 고급 수학Ⅰ(수능 미출제)으로 이동 | |||||||
| 통계 | '통계' 일괄 확률과 통계[C] (고2·3 인문·자연 공통) | ↘ 2015 개정 교육과정에서 확률과 통계(선택과목)으로 격하 [인문·자연 공통] | ||||||
| 연속확률변수의 기댓값·표준편차 미적분과 통계 기본(인문) · 적분과 통계(자연) | X 2009 개정 교육과정에서 삭제[A] | |||||||
| 모비율의 추정 확률과 통계[C] (고2·3 인문·자연 공통) | X[A] | |||||||
| [범례] X: 교육과정 완전 탈락 / ▼: 내용 약화 / ↗: 고교 과정으로 이동 범위가 대단원 분량일 경우엔 파란색으로 추가 표기 | ||||||||
| 중학 | 대수 | 등식의 변형 (중2 과정) | → | X 2015 개정 교육과정에서 완전 삭제 | ||||
| 오차와 근삿값 (중2 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 실수와 수직선 (중3 과정) | ▼ 2009 개정 교육과정에서 '실수를 수직선 위에 나타내보기' 연계 삭제 | |||||||
| 이산수학 | '집합' 일괄 (중1 과정) | ↗ 2009 개정 교육과정에서 중학 과정에서 완전 삭제 고교 과정 수학Ⅱ(現 고1 수학)으로 이동 | ||||||
| 이진법과 십진법 (중1 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 정의역, 공역, 치역 (중1 과정) | ↗ 2009 개정 교육과정에서 중학 과정에서 완전 삭제 고교 과정 수학Ⅱ(現 고1 수학)으로 이동 '집합'과의 연계 자체를 끊어 '함수'를 설명할 때 '대응' 용어도 다룰 수 없음 | |||||||
| 명제 (중2 과정) | ↗ 2009 개정 교육과정에서 중학 과정에서 완전 삭제 고교 과정 수학Ⅱ(現 고1 수학)으로 이동 | |||||||
| 해석 | 연립일차방정식과 직선의 관계 (중1 과정) | ▼ 2009 개정 교육과정에서 연계 삭제 | ||||||
| 기하 | 삼각형의 결정 조건 (중1 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | ||||||
| 선분의 내분점과 외분점 (중1 과정) | ↗ 고교 과정 수학Ⅰ(現 고1 수학)으로 흡수 | |||||||
| 원과 직선의 위치 관계, 두 원의 위치 관계 (중1 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 삼각형의 중점연결정리 (중2 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 공통현, 공통접선, 중심선 (중2 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 대내각, 접선의 길이 (중3 과정) | ↗ '대내각' 완전 삭제, '접선의 길이'는 2009 개정 교육과정에서 고교 과정 수학Ⅰ(現 고1 수학)으로 이동 | |||||||
| 원과 비례에 관한 성질 (중3 과정) | X 2015 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 통계 | 누적도수 (중1 과정) | X 2009 개정 교육과정에서 완전 삭제 | ||||||
| 계급값, 계급값을 이용한 평균 구하기 (중1 과정) | X 2015 개정 교육과정에서 완전 삭제 | |||||||
| 기타 | 삭제된 용어 및 표현(중학교 수준 한정): '대내각', '닮음의 중심, '닮음의 위치', '참값', '측정값', '근삿값', '오차', '좌변', '우변', '양변', '차식', '전개식', '소거', '가감법', '대입법', '오차의 한계', '유효숫자', '', '', '가평균' 삭제된 용어 및 표현(고등학교 수준 한정): '무한집합', '명제의 이', '원소나열법', '조건제시법', '집합의 상등', '분수식', '유한수열', '유한집합', '대응', '삼각방정식', '지수방정식', '로그방정식', '지표', '가수', '점화식' , '순서도', '', '무한수열', '무한급수' 추가된 내용: '그래프와 그 해석'(중1), '사인법칙과 코사인 법칙'(삭제되었다가 수학Ⅰ으로 복귀), '산점도와 상관계수'(2007 개정 교육과정 때 삭제되었다가 중3 과정으로 복귀) | |||||||
| 관련 문서 | 교육과정/의논 · 2015 개정 교육과정 · 수포자 · 2021 수능 · 2022 수능 | |||||||
[B] 고1 범위이므로 전통적으로 수능 미출제 범위이자 간접 출제 범위였음.[B] [B] [B] [B] [B] [B] [C] 2009 개정 교육과정 기준. 각주 C 표기가 되어있지 않은 것은 모두 2007 개정 교육과정 기준.[B] [A] 심화 수학Ⅰ 혹은 심화 수학Ⅱ에서 다시 이동·부활하였지만 이는 수능 미출제 과목인데다 일반계 고등학교에서 편성해주지 않는 교과이다.[A] [A] [C] [C] [C] [A] [C] [A] [C] [A] [C] [B] [C] [A] [C] [A]
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[A] 2002년생~2004년생까지는 중학교 때 2009 개정 교육과정으로 공부하였기 때문에 이 부분을 두 번 배우게 된다.[A] 2002년생~2004년생까지는 중학교 때 2009 개정 교육과정으로 공부하였기 때문에 이 부분을 두 번 배우게 된다.[3] 다만, 차후 절댓값이 포함된 함수의 그래프를 그릴 때 간접적으로나마 등장하긴 한다.[4] 경우의 수, 직순열, 기본 조합.[5] 애당초 전산의 발달로 지표와 가수가 더 이상 쓸 데가 없어서 삭제된 것이니 해당 내용이 다시 들어올 가능성은 핵전쟁으로 인해 현대 문명이 원시 수준으로 퇴보되지 않는 이상 전혀 없다고 봐도 무방하다.[6] 다만 제1 코사인법칙은 돌아오지 않음.[7] 물론, 워낙 문이과 구분 당시부터 겹치는 단원이 많기도 하고 어려운 기출 문제가 누적 또 누적돼서 킬러 문제를 풀 때 머리가 터지는 경우가 있다. 하지만 그건 문제 풀이 난도가 딥따 높을 뿐이지 교과 수준이 높다고 말하면 곤란하다. 교육계에선 교과 학습 영역와 문제 풀이 영역(수학 영역)은 밀접함의 정도가 클 뿐이지 동일시되는 게 아니라 엄연히 구분되는 영역으로 친다.[8] 참고로 상술했듯이 4차 교육과정 때는 고1 수학(당시 수학Ⅰ)에서 수열을 비롯, 이 문서에 있는 모든 개념을 몽땅 다 배웠다. 게다가 알고리즘과 순서도, (점화식, 계차수열 - 불확실.)이 다 살아있었던 상태로. 하다못해 이차곡선마저도 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 다 배웠다. 때문에 현재 입장에서 보면 상당히 후덜덜한 구성이 아닐 수 없었다.[9] '등비수열'이 지수함수와 유사시킬 수 있는데, 이보다 지수와 로그 뒷 단원으로 보냈기 때문... 다만, 지수함수는 가형 전용과정인 미적분II 내용이었고, 얘는 공통과목이자 나형 단독과목인 수학II에 있었기에 어쩔수 없는 면도 있었을 것이다.[10] 문이과 통폐합이라는 명분 때문에 문과, 이과 과정이 따로 없으나 거의 모든 일선 고등학교에서 미적분을 문과 과정 취급하는 경우가 없다.[11] 명목상 문, 이과 구분이 없기 때문이다. 하지만 거의 모든 일선 고등학교에서 수학 나형 지망생(문과) 대상에게 미적분을 권유하는 경우가 거의 없기 때문에 미적분(그리고 기하)을 전통에 따라 이과 과정 취급한다.[a] 큰 틀에서 보면 보강이 아니다. 공통 과정에서 올라오거나, 상위 과정에서 다루지 못해서 불가피하게 단원 간의 소개념들이 그저 이동된 것이다. 실질적으로는 전체적인 분량은 그대로이거나 오히려 더 줄어들었으니 유의.[a] [a] [15] 다만 교과서에 따라 이차곡선을 먼저 다룬 뒤 이차곡선의 접선을 다루는 경우가 꽤 많음.[16] 다만 이차함수, 원의 방정식도 다뤘던 과거와 달리 일차함수(직선) 범위에서만 다루며, [math((x+y)(x-y)>0)] 등의 다항식의 곱으로 이루어진 부등식의 영역은 다루지 않아 과거에 비해 훨씬 쉬워졌다.[17] 단, 7차 교육과정의 이산수학과 2007 개정 교육과정의 미적분과 통계 기본, 적분과 통계에서는 해당 기호를 사용하지 않았고 조합으로 표기하였다.[18] 유클리드 공간상의 벡터이다.[19] 예를 들어 8×5를 가르칠 때 8×5=8+8+8+8+8=40으로 배우지 않고 바로 8×5=40으로 넘어가는 것.[20] 반대측에서 '근본 없는 방식이다' 이런 비판은 우리나라 교과 상에서 근본이 없다(=이전까지 시도해본 적 없다)는 의미이지 학문적으로 잘못되었다는 의미는 결코 아니다.[21] 신수진 and 조완영. (2018). 2015 개정 교육과정에 따른 <수학Ⅱ> 교과서의 정적분 정의에 대한 대안. 학교수학, 20(4), 723-741.[22] 논문진들도 처음에 갑자기 바뀐 정의 방식에 불만을 가졌던 것으로 보인다.[23] 다만 대학과정처럼 소구간 내의 임의의 함숫값(sample point)을 이용하여 정의하지는 않고 좌합 또는 우합으로 정의[24] 이는 미적분학의 제1 기본정리의 증명 과정과 같다.[전문] 우리나라와 같이 ‘수열의 극한 -> 함수의 극한과 연속 -> 미분의 도입’으로 이루어진 위계성을 가진 경우는 없고 간단한 함수의 극한만 도입하거나 오히려 미분을 도입하며 함수의 극한을 도입하기도 한다. 즉, 이들 나라에서는 미분을 함수의 극한의 활용으로 다루는 우리나라와 달리 미분을 정의하기 위해 필요한 만큼만 함수의 극한을 다룬다는 공통점을 가지고 있었다. 적분의 도입과정은 우리나라와 같이 대부분의 나라에서 미분의 원시함수로 부정적분을 소개한다. 그러나 정적분의 경우 곡선 아래에 있는 부분의 면적이 정적분과 같음을 설명하는 형태로 쉽게 도입을 하며, 우리나라와 같이 구분구적법을 통해 정적분을 도입하는 과정은 다른 주요 국가들에서는 찾아볼 수 없었다. 이와 같이 해외 주요 국가들의 사례를 비추어 볼 때, 우리나라에서도 함수의 극한을 약화하여 미분의 도입을 쉽게 하고 또한 구분구적법에 의한 정적분의 정의를 과감하게 삭제하는 것을 고려해 볼 수 있다.[26] 즉, 현 수학2 과정을 말한다[27] 이기돈. (2019). 2015 개정 <미적분> 교과서의 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’ 서술 내용 분석 및 제언 - <수학Ⅱ>와의 연계성 관점에서 -. 수학교육학연구, 29(1), 93-112.[28] 사실 단원 순서가 바뀐 정도여서 큰 의미는 없다.[29] 2022 때 신설된 대통령직속 교육기구의 공청회라는 변수만 없었으면 거의 확정적이었다. 2015 개정, 2009 개정, 2007 개정도 이 정책연구진 보고서를 그대로 따라갔었는데, 2022 개정만큼은 공청회라는 변수가 작용하여 예외가 되었다.[출처1] China_Upper Secondary_Mathematics, <p.11~p.94>[출처2] 2007 Hong Kong_Upper Secondary_Mathematics, <p.11~p.68>[출처3] 2008 Taiwan_Upper Secondary_Mathematics, <p.45~p.46>[33] 벡터의 내적 파트와 공간도형의 정사영에서 삼각함수를 쓴다. 다시 말해 수학Ⅰ만 배우고 바로 이 과목을 선행해도 된다.[34] 엄밀히 따지면 수학Ⅰ의 삼각함수도 필요없다. 교육과정상 수학(2015)만을 배우고 바로 기하를 배울 수 있도록 하였기 때문에 벡터 내적과 공간도형의 정사영도 설명 방식이 삼각함수에서 중학교 때 배웠던 삼각비로 변경되었기 때문이다.[예시] 반지름의 길이가 2인 구 C와 C와 만나지 않고 이면각의 크기가 60˚인 두 평면 α, β가 있다. 구 위를 움직이는 두 점 P, Q에서 평면 α에 내린 수선의 발을 각각 P1, Q1, 평면 β에 내린 수선의 발을 각각 P2, Q2,라 하자. 2PQ2-P1Q12-P2Q22의 최댓값을 구하시오.[36] 2단원 '평면벡터'보다는 비중이 훨씬 크고, 2단원도 고1 '도형의 방정식' 등 기하 파트와 관련이 깊으므로 그냥 이름을 기하라고 한 듯 하다. 사실 고등과정 내에서는 납득이 안 갈만한 작명까진 아니라는 의견도 있다.[37] 출처: 한림연구보고서 125 - 고등학교 수학 교육과정 내용 축소가 이공계 인재 양성에 미치는 영향 분석.pdf 33페이지[38] 특히 해석기하의 '이차곡선'은 태초부터 허술하기도 하다. 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했다.[39] 본래 과거엔 지수함수, 로그함수, 삼각함수까지 하위 단원에 껴있었다가 점진적으로 탈락하다가 엉성한 형태가 되었다.[40] A라는 큰 틀을 소개하기 위해서는 a, b, c, d 같은 여러 사례를 나열해야 하는데, a 하나만 제시해서 A=a라는 결론으로 호도할 수 있는 것[41] 예를 들어 원리합계 부분에서 매월 초 지급, 매월 말 지급 등 명확하지 않은 부분이 있다.[42] 다만 그런 학문이 실제로 존재하긴 한다. 이차방정식은 물론 지수, 로그, 삼각함수와 그에 대한 미분까지 모두 배운 뒤에 일차함수를 심화적으로 학습하는 선형대수학이라는 것이 있다.[43] 다만, 적분은 경제통계학을 배우거나 수준 높은 거시경제학(대학원 수준) 과목을 듣지 않는 이상 큰 쓸모가 있지는 않다. 경제학 쪽으로 진로를 쭉 나갈 계획이 없는 학생들은, 어차피 학년 올라가서 써먹지도 않을 걸 마냥 꾸역꾸역 집어넣는 게 무슨 의미가 있냐고 불평하기도 한다. 한마디로 경제를 하는사람은 대학에서 배우고, 경제로 안가는사람은 쓸데가 없다. 이렇게 미분만 보면 되는 난도는 5급 행시 일행직, 7급 경제학을 비롯한 중급 수준의 경제학까지이며, 미분만큼은 기초 경제학에서도 필수요소 중 필수요소다. 미분을 모르면 경제원론에도 등장하는 한계(margin), 탄력성(elasticity)의 개념조차 제대로 이해하는 데 애를 먹을 수 있다.[44] 실제로 서울대학교조차도 경제학부에서 경제수학이 필수과목으로 지정된 것은 2011년부터이다. 다만 이 시대는 미적분을 배우지 않은 문과생이 있던 시기였고 당장 경제원론이나 학부 미시경제학 수준부터 미분에 대한 이해가 필요했기에 필수가 아니어도 거의 모든 경제학부 학생들이 수강했었다고 전해진다.[45] 그러나 교과서 교사용 참고서는 1학기와 2학기를 나누기 위해서 '수학(상)/(하)'로 나누고 있다.[46] 일본의 수학III 과목이 이렇게 편성되어 있다.[47] 4차 교육과정 때 고1 수학(당시 수학Ⅰ)에서는 전부 포함되어 있었으며 5차 교육과정때도 수열을 제외하고 다 고1과정에 있었다. 삼각함수는 7차 교육과정 수학 10-나(고1-2학기), 2007 개정 교육과정 수학(고1-2학기), 지수와 로그는 2009 개정 교육과정 수학Ⅱ(고1-2학기), 6차 교육과정 공통수학(고1-2학기), 지수함수와 로그함수는 6차 교육과정 공통수학(고1-2학기), 수열은 2009 개정 교육과정 수학Ⅱ(고1-2학기)[48] 사실 원칙적으로는 제2코사인법칙도 쓸 수 없으나 (수학I > 기하 순서가 아님) 수학I은 수학II와 더불어 실질적으로 공통과목이기 때문에 출제될 수 있다.[49] 2, 5차 교육과정 당시에는 고1 수학(2차 교육과정은 공통수학, 5차 교육과정은 일반수학)을 공통으로 이수한 후 문과는 수학Ⅰ을, 이과는 수학Ⅱ를 이수했다. 따라서 당시 수학Ⅰ과 수학Ⅱ도 단계별 과정이 아닌 별개의 과목으로 취급되었다.[50] 단, 학교 교육과정 편성 시 수학Ⅰ을 이수한 학생을 대상으로 수학Ⅱ를 이수하도록 편성하는 것을 권장한다. 실제 전국연합학력평가에서도 고2 2학기 과정으로 간주하고 있다.[51] 다만, 수학Ⅰ과의 연계가 없을 뿐이지, 고등학교 1학년 때 배운 수학(일명 공통수학)과의 연계는 상당수 존재한다. 그 예가 접선의 방정식 부분에서 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식과 두 직선의 수직 조건을 이용하는 문제가 나온다.[52] 이 때문에 이공계열의 경우 2학년 1학기에 수학Ⅰ과 수학Ⅱ의 진도를 동시에 나가고, 2학기에 미적분을 가르치는 경우도 많다.[53] 편집 지침상 언급할 수가 없다. 용인 Y고, 전북 S고가 그러하였다.[54] 다항함수와 초월함수, 여러 가지 미적분 방법 등을 포함해서 다루었다.[55] 사실 공대 뿐만 아니라 이공계열 거의 모든 학과에 걸쳐서 미적분이 안 들어가는 학과가 없을 정도로 미적분은[56] 이공계열 뿐만 아니라 경제·경영 계열 학과 역시[57] 알다시피 내신으로만 공부하는 것과 한국사 영역처럼 수능 수험과목으로 강제되어 보는 것은 그 아웃풋이 극과 극이다. 이것은 2가지 사례로 증명할 수 있는데, 하나는 7차 교육과정 시절 90%가 넘는 수험생이 미분과 적분을 선택한 것, (물론 이것은 서울대학교에서 미분과 적분만을 받은 영향이 크다.) 또 하나는 전문직 열풍이 적었던 시절 (2010년대 초반까지) 야망 있는 상위권 학생들이 공과대학에서 잘 적응하려고 물리, 화학을 골랐던 것이다. 사실 이 때는 탐구가 4선택이어서 대다수 학생들이 3번째 또는 4번째 과목을 그리 자신 없어하는 것이라도 골라야 했고, 무엇보다 II 과목을 너도나도 하나씩 끼워넣던 시절이었던 것 때문인 것도 있다.[58] 다만, 서울대학교 수능출제위원들의 폭탄이 화학Ⅰ → 생명과학Ⅰ → 지구과학Ⅰ으로 넘어가면서 남아있는 과목인 물리학Ⅰ으로 꾸준히 넘어오고 있다. 그러다보니 물리Ⅰ은 응시비율이 거의 줄지 않았고 2015 개정 교육과정으로 개념양이 확 줄다보니 2021년에는 2픽 시절 이후 처음으로 수능 6만명 실응시를 달성하였다. (62509명) 넘어오는 곳이 있으면 빠지는 곳이 있는 법. 화학Ⅰ은 정반대로 전문직 학과 지원에 불리한 어려운 문제풀이 난도, 낮은 표준점수, 낮은 백분위 안정성, 높은 등급컷을 모두 가지고 있어 점점 인원이 빠지다 2024학년도에는 접수자가 물리Ⅰ에 역전당했다![59] 시간이 남아돌고 내신으로 기하가 싫다면 시험장에서 미적분과 기하 둘 다 풀어봐도 된다. 부정행위가 아니므로 가능하다. 물론 수능은 선택과목 지정을 하고 들어가기에 둘 다 풀어도 정해진 것만 마킹할 수 있다. 물론 이게 가능한 사람은 사실상 없을 듯.[60] 그러나 기출이 없어서 시중의 자작문제를 소비하는 것보다는 소화해야 할 기출이 많은 편이 더 나을수도 있다.[61] I. 수열의 극한, II. 여러가지 함수의 미분, III. 여러가지 미분법, IV. 적분법[62] 수학을 이수한 학생들이 이수하는 과목인데 시그마는 수학Ⅰ에서 정의한다.[63] [math(P(E)=P(A\cap E)+P(A^c\cap E))][64] 예를 들어 원리합계 부분에서 매월 초 지급, 매월 말 지급 등 명확하지 않은 부분이 있다.[65] 교과서 두께도 지나치게 얇다.[66] 과목 자체가 이렇게 쉽다보니 실용수학 교사가 시험기간에 실용수학 공부하면 없애버릴테니(...) 다른 공부하라고 윽박주기도 한다. 애초에 할 공부도 없지만... 상대평가가 아닌 절대평가이기 때문에 문제도 매우 쉽게 낸다.[67] 그나마 과학중점학교나 고교학점제 운영에 적극적인 일부 공립고등학교 등에서는 개설하는 학교가 있을 것으로 예상된다.