최근 수정 시각 : 2018-10-15 18:42:12

미적분과 통계 기본

2007 개정 교육과정 고등학교 수학 (09'~13' 高1)
공통 수학
선택 수학Ⅰ 미적분과 통계 기본 수학Ⅱ 적분과 통계 기하와 벡터 수학의 활용
심화 고급 수학
대학수학능력시험 수학(舊 수리) 영역 범위
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
2011학년도 해당 교육과정에서 출제하지 않는다. 7차 교육과정(이전 교육과정) 참조 바람.
2012학년도 ~
2016학년도
가형/B형(자연) 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 적분과 통계 · 기하와 벡터
나형/A형(인문) 수학Ⅰ · 미적분과 통계 기본
2017학년도 해당 교육과정에서 출제하지 않는다. 2009 개정 교육과정(다음 교육과정) 문서 참조 바람.

}}}||



1. 개요
1.1. 현황1.2. 혼란스러운 교과목명 개정
2. 상세
2.1. 추가된 내용2.2. 왜 그동안 빠져 있었는가?
3. 평가4. 2011교과 교육과정으로의 변화5. 학습내용
5.1. 함수의 극한과 연속
5.1.1. 함수의 극한5.1.2. 함수의 연속
5.2. 다항함수의 미분법
5.2.1. 미분 계수5.2.2. 도함수5.2.3. 도함수의 활용
5.3. 다항함수의 적분법
5.3.1. 부정적분5.3.2. 정적분5.3.3. 정적분의 활용
5.4. 확률
5.4.1. 중복조합5.4.2. 이항정리5.4.3. 확률의 뜻과 활용5.4.4. 조건부확률
5.5. 통계
5.5.1. 확률 분포5.5.2. 통계적 추정

1. 개요

1.1. 현황

2015년에 고3인 세대를 마지막으로 적분과 통계와 함께 역사 속으로 사라졌다. 다만 내용 자체가 사라지는 게 아니라 현재의 2009 개정 교육 과정 체제에 따라 1단원, 2단원, 3단원이 그대로 미적분Ⅰ으로 옮겨졌고, 예전에 이과용 미분에서만 배우던 롤의 정리, 평균값의 정리, 중간값의 정리[1]만 덧붙였을 뿐이다. 아마 과목명에 대한 논란을 잠재우기 위한 것으로 보이는데 혼란스러운 교과목명 개정(아래 글 참조)이 고시안에 포함되어 있었다. 미적분 뒷 단원에 있던 확률 파트와 통계 파트는 이전 고등수학의 맨 끝 단원이었던 경우의 수, 직순열, 기본 조합과 합체되어 확률과 통계라는 과목으로 이동하였다.
현재 교과서와의 비교 및 분배 현황
미적분Ⅰ[2], -확률, -통계
* 다항함수의 미분법 및 도함수의 활용[3]
* 다항함수의 적분법 및 정적분의 활용
확률과 통계[4]
* 확률
* 통계[5]
(연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차 삭제)

1.2. 혼란스러운 교과목명 개정

적분과 통계와 함께 2007 개정 교육과정의 황당한 해프닝으로 널리 회자되고 있다. 내용 자체는 6차 교육과정과 비슷하고 이전 7차 세대보다 늘었기에 호평이 일색했지만,[6] 고등학교 교과 과목 내에서는 '미적분'과 '통계'는 사실상 연관이 없는 구성인데 단원을 구성하는 과정 속에서 분량 조절 실패로 핀트가 엇나가 '미적분과 통계 기본', '적분과 통계'라는 괴상한 교과명을 탄생시켰다(...). 적분과 통계는 미분법, 적분법의 방대한 양을 교과서 하나를 모두 차지할 정도여서 미분법은 수학Ⅱ로, 적분법은 굳이 통계와 합쳐서 적분과 통계로 만들어 놓았다. 이 때문에 문과생들은 '이과생은 미분을 안 배우나요?'라는 오해를 품었다고 한다. 이를 문제 삼아, 2009 개정에서는 고등수학(경우의 수), 수학Ⅰ(수열의 극한), 수학Ⅱ, 적분과 통계와 합쳐 미적분Ⅰ(문·이과 공통) , 미적분Ⅱ(이과용/심화 버전), 확률과 통계아주 적절하게 찢어놨다.

2. 상세

미적분과 통계 기본은 수학Ⅰ(2007), 수학Ⅱ(2007), 적분과 통계, 기하와 벡터와 함께 고등학교 2, 3학년 시기의 선택중심 교육과정 때 선택할 수 있는 심화선택 과목이며 주로 문과학생들이 배우는 과목이다. 여담으로 이 과목은 수학 교과들 중 마지막 문과 전용 과목이다.
함수의 극한과 연속 수학Ⅱ 에서 이동
다항함수의 미분법
다항함수의 적분법
확률 수학Ⅰ에서 이동
통계

약칭 문통기/미통기. 과목명이 미적분과 통계기본이 아니라 '미적분과 통계' 기본 이라는 것에 유의하여야 한다. 미적분과 통계기본이라면 기존의 심화 미적(미분과 적분)의 초월함수의 미분과 적분이 포함되었을지도 모르는 일이다. 다항함수의 미/적분법으로 끝난 걸 다행으로 생각하자.[7] 즉, 기본이라는 말은 통계에만 걸리는 것이 아니라 미적분과 통계 둘 다 수식한다는 뜻. 근데 70% 연계라는 EBS에서 조차 과목명을 틀리게 적고 있다.

미적분이 무서워 수리 나형으로 도망친 이과생(이라 적고 수포자라고 읽는다.)[8] 응징 + 대학 교수들(특히 상경계)의 큰 목소리[9]로 신설된 과목. 덕분에 이젠 문과생들도 미적분을 반드시 보게 되었을 뿐만 아니라, 문과생들이 수능의 수리영역을 치기 위해 읽어야 할 교과서의 양이 2권으로 늘어났다. 그런데 수학Ⅰ은 확률과 통계 단원이 미통기 과목으로 이관되어 예전의 절반으로 줄었다.

미적분을 배우지 않은 구 7차 교육과정 세대 문과 출신들이 미적분 개념을 익히려고 고교 수학을 복습하고자 할때 '미적분과 통계 기본' 책을 구비하기도 한다.

다만 경제학을 위한 미분을 배우려고 미통기 책을 쓰기에는 부족한 부분이 존재한다. 따라서 대학에서 경제수학 기초다기기 용도로 제대로 미적분을 배우겠다고 하면 이과용 미적분책도 사는 것이 좋다. 다만 중급 수준의 경제학(이 수준까지는 적분은 안배워도 무방한 수준)까지 공부하겠다고 하면 차라리 미통기 책보다는 수학Ⅱ 하나 사는 것이 더 나을 수 있다.

2.1. 추가된 내용

가장 큰 특징으로 구 수학 Ⅱ 과정의 함수의 극한, 연속성, 다항함수의 미분과 적분이 추가되었다. 이는 본래 6차 교육과정의 수학 Ⅰ[10]에 포함되어 있던 내용이다. 6차 교육과정에서는 수학 Ⅰ에 포함되어 있었으나, 7차에서 이산수학으로 옮겨갔던 중복조합(n+r1Cr_{n+r-1}C_{r})[11] 단원 역시 다시 추가되었다.

또한 적분이 빠져 있었기 때문에 삼각형의 넓이 구하기와 같은 식으로 특수한 경우밖에 다루지 않았던 확률밀도함수의 넓이 구하기에 정적분의 개념이 도입되었다. 즉, 예전 확률밀도함수의 넓이 구하기가 1차함수에 국한되어 있었다면 개정된 교육과정의 확률밀도함수 구하기는 다항함수로 그 대상이 확장되었으며, 정적분을 사용하여 문제를 해결하도록 바뀌었다.

마지막으로 미적분과 통계 기본에 추가되지는 않았으나, 개정된 수학 Ⅰ의 행렬 단원에 구 이산수학에서 가르쳤던 행렬의 그래프 단원이 새로 들어갔다.

정리하자면 구 7차 교육과정과 비교했을 때 문과 학생들이 새로 배워야 하는 내용은 다음과 같다.

1. 함수의 극한과 연속성 (미통기 → 2009 개정과정 미적분1)
2. 다항함수의 미분과 적분 (미통기 → 2009 개정과정 미적분1)
3. 중복조합[12] (미통기 → 2009 개정과정 확률과 통계)
4. 정적분을 활용한 확률밀도함수 구하기 (미통기 → 2009 개정과정 확률과 통계(확률밀도함수만))
5. 행렬의 그래프[13] (수1 → 2009 개정과정 고급수학1)

반대로 중복순열과 같은 것을 포함한 순열은 기존의 수학Ⅰ에 있었으나, 교육과정이 개편되면서 문과 과정에서 제외되었다.
  • 일반 선택 교과목
즉, 필수는 아니지만 수능 범위에 포함되어 있기에 필수로 각인이 된 포지션. 2007년 개정 제7차 수학과 교육과정(이하 07년 체제)에 따라 고등학교 수학과 교육과정에 대해 전면적 개편과 교과서 재구성 작업이 있었다. 1997년 제7차 교육과정(이하 97년 체제)에서는 고등학교 수학은 수학(보통 수학10-가/나) 필수 이수후 수학Ⅰ, 확률과 통계, 이산수학중 선택 이수를 하고 수학Ⅰ을 이수한 학생에 한하여 수학Ⅱ 선택 이수, 수학Ⅱ를 이수한 학생에 한하여 미분과 적분 선택 이수를 하도록 편제되어 있었다. 실용수학이라는 듣보잡과목도 있었지만 무시하자.

그런데 이것이 07년 체제가 되면서 모든 교과서를 전면 해체하고 재구성하였다. 그 결과 탄생된 것중 하나가 바로 미적분과 통계 기본이다. 미적분과 통계 기본은 수학Ⅰ의 확률, 통계 단원과 수학Ⅱ의 기초 미적분(다항함수의 미적분)를 이동시켜서 하나로 재구성한 것이다.

현재 수학과 교육과정은 수학(이른바 고등수학) 필수 이수후 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분과 통계 기본, 기하와 벡터, 적분과 통계, 수학의 활용중 선택 이수를 하게 되어 있다. 결론적으로 미적분과 통계 기본은 전혀 필수 과목이 아니다. 선택 과목일 뿐이다. 다만 2008년에 이미 확정.발표한 대로 2012학년도 대학수학능력시험부터 수리영역의 출제 범위가 조정되면서 미적분과 통계 기본이 포함되기 때문에 필수 과목으로 오해를 많이 하는 것이다. 그러나 말이 그렇지, 문과 수능에 들어가니 사실상 필수 과목화된 과목이고, 미통기 자체가 문과 미적분 부활을 목적으로 만들어진 과목이다보니...

2.2. 왜 그동안 빠져 있었는가?

기존 7차 교육과정에서 이 과목을 인문계열 과정에 넣지 않고 따로 빼둔 것은, 수학Ⅰ 이상의 수학이 필요없는 문과생들이 학습하지 않아도 되도록 하기 위해서였으며, 미적분이 필요한 문과생들은 따로 수학을 공부해서 수리 가형을 보도록 하게 되어 있었다. 또 이런 경우 선택과목은 미분과 적분 뿐만 아니라 다른 선택과목, 예컨대 확률과 통계나 이산수학을 선택할 수 있었다. 7차 교육과정의 확률과 통계 혹은 이산수학 과목의 교육과정 해설서를 구해서 읽어 보자. 이 과목을 배우기 위해서는 수학2를 배울 필요가 없다고 되어 있다. 즉, 수리 가형의 확률과 통계, 이산수학은 문과생을 위해서 만든 과목이었다는 얘기다...라는 주장도 있는 모양인데 이건 심한 비약이다. 수학Ⅱ를 선 이수 과목으로 지정하지 않은 것과 그것이 문과생들을 위해 개설된 과목이라는 점에는 차이가 있다. 애초에 이산수학, 확률과 통계는 10학년 수학에 도달한 학생들을 위해 새롭게 개설된 심화선택 과목이다.

본디 7차 교육과정에서는 고등학교 2학년 이후 모든 과목을 학생 재량으로 선택해서 듣게 되어 있다.(교과부의 7차 교육과정 해설서를 보면 고등학교 2학년 이후에는 과목별 단위수 이수 지침이며 문이과의 구분 등이 아예 없다.) 그러나 이는 이론적인 내용이지(이론적으로는 문과 학급에서 심화선택과목으로 미분과 적분을 선택하는 것이 가능했다.[14]), 당시 수능 수리 나형에 미적분이 빠져 있었고, 나형에 별도의 선택과목이 없기에 실질적으로 문과 교육과정에서 미적분이 외면당한 것이나 다름 없었다. 그리고 당시 문과 학급에서 내신용 과목(고3용)으로 많이 채택되었던 심화선택과목은 확률과 통계였다. 댱시 수학Ⅰ 끝부분에 있었던 확률과 통계 단원과 중복되었고, 당시 미분과 적분 과목은 수능에서 상위권 대학의 이공계 학부/학과에서 사실상 강요하다시피해서 이과 학급에서는 사실상 필수 과목으로 채택되던 인식이 강했기 때문이다. 상경계 학과조차도 서울대를 제외하고는 수리 가형 응시자를 받아주지 않았다.

정말로 7차 교육과정에서 학생의 선택권을 그렇게 전폭적으로 강화시킬 목적이었으면 앞장서서 문이과 나누지 말라는 공문을 일선 고등학교에 직접 뿌리던가, 그것이 현실적으로 힘들다면 문과 - 이과의 이분법이 아니라 인문 - 사회 - 자연 과정의 3분법으로 학급을 나누라고 지시했어야 하며[15], 선택자가 너무 적어 그 과목을 이수할 수 없는 현상(지구 과학Ⅱ 참고)의 대안으로 한 학교에 선택자가 적으면 여러 학교를 묶어서 그 과목을 이수할 수 있게 하던지... 하는, 합리적인 방법을 먼저 제시했어야 했다.('제7차 교육 과정'이라는 문서를 찾아 보면, 이와 같은 방법이 제시되고 있으나, 실제로 시행하게끔 장려하는 쪽의 노력이 부족했던 것으로 생각된다.)

3. 평가

어차피 수능 문제의 난이도는 단원보다도 얼마나 꼬아 놨느냐에 좌우되는 문제이기도 하다. 실제로 6차교육과정에서의 킬러문제는 이과에게도 수학 2(지금의 이과 과목들)가 아니라 공통수학(고1 수학)과 수학Ⅰ에서 나온 경우가 많다.

일반적인 평가는 '막상 공부해 보면 의외로 별 거 없다' 이다. 사실 고등학교 때 배우는 미적분은 대학 이상에서 보면 전혀 심도있는 단원이 아니며, 기초적인 계산 테크닉을 위한 단원에 불과하다.

처음에 개정 교육과정이 발표되었을 때 거기에 해당되었던 문과 진학예정 중학생들은 왜 우리 세대부터 하필 미적분을 다시 배워야 하냐면서 징징거렸고, 미적분을 배우지 않은 문과생 마지막 세대인 2011학년도 수능 응시자들은 미적분 공부하기 싫어서 정시 하향지원을 한다는 둥 재수는 이제 없다는 둥 온갖 엄살을 다 떨었지만... 그래도 대학 가려면 미적분은 공부해야 하고 코너에 몰리면 재수도 하게 되어 있다(…).

수1에 비해서는 다소 개념들이 난해하다는 평가이다. 사실 수1은 이성적으로 따져봤을 때 굉장히 당연한 내용이기 때문에 이해하기 쉽지만, 미적분 같은 경우는 직관이 아닌 추상적 개념이 존재한다는 점이 작용한 결과인 듯 하다. 그렇지만 다항함수의 미적분 그 자체는 함수의 연속성 판정이나 구분구적법과 같은 개념이 어려운 부분을 제외하면 이과생들의 전유물인 '초월함수, 분수함수의 미적분'처럼 계산이 복잡한 것도 아니다. 또한 일관적인 이론 틀에서 계속 학습내용이 전개되므로 생각보다 상당히 배우기 용이하다.[16] 무엇보다도 수학 Ⅰ만 30문제 나오던 시절 학생들을 가장 괴롭혔던 순열, 조합을 비롯한 수열 등 악명높은 단원들의 비중이 미적분 교과과정 포함에 따라 줄어들게 되므로, 유형이 정해진 공부를 잘 하는 학생이라면 미적분이 들어가는 것이 훨씬 공부하기 편할 것이다.

하지만 현역인 고3에게는 헬난이도를 자랑하는 듯 하다. 현역+재수생,n수생이 보는 6,9평가원과 현역만 보는 교육청 모의고사 등급컷을 보면 그 차이를 알 수 있다. 1등급컷의 점수는 비슷한 편이나, 나머지 등급컷 점수 격차가 매우 심하다. 6,9평가원은 1~2등급 점수 차이가 15점 내외 2~3등급 차이 역시 비슷하고 그 이후로는 정말 쭉쭉 떨어지는데 10월 교육청 모의고사는 1~2등급부터 20점 가까이 차이가 난다.[17]

아직 도입된 지 얼마 시간이 지나지 않아서인지 모의고사나 수능(2012년도)에서는 전반적으로 쉬운 난이도로 출제되고 있고, 주관식에서는 왜 4점인지 이해가 안 갈 정도의 문제도 자주 등장한다(예를 곡선 위를 지나는 점 P에서의 접선의 방정식을 구하는 문제라든가, 가형을 치는 학생들에게 비웃음을 살 정도의 기본적인 문제들). 그러나 2013년 수능 연계교재(수능특강, 수능완성)에서는 헬게이트를 보여주고 있어 과연 수능에 어떻게 연계되어 출제될지... 그런데 2013학년도 수능까지도 호구로 나왔다.
2014년 수능 EBS 연계교재(수능특강, 수능완성)에서도 헬게이트가 열렸다. 수능특강도 만만치 않은데 수능완성 난이도가 완전히 불지옥급으로 모두들 어렵다고 이구동성으로 말하고 있다. 원래 공부를 매우 잘하는 최상위원 애들 빼고 걔들은 뭘해도 별로 안어려울테니.. EBS 수학강의를 가르치는 선생님들도 교재 내용이 쉽지않은 어려운 문제라고 인정했다.

4. 2011교과 교육과정으로의 변화

미적분과 통계 기본은 2006년 수학과 개정 교육과정에 따라 신설되었으며 이는 2007개정 교육과정과 그 이후의 2009개정 교육과정에서도 유지되었다. 그러나 교육과학기술부 고시 2011-361호(2009개정 교육과정에 따른 교과 교육과정, 2011교과 교육과정)에 따라 수학과 교과 과정이 변경됨에 따라 2013년 고교 신입생까지만 적용된다. 이 경우 2009년 고교 신입생부터 2013년 고교 신입생까지 5년간 적용되는 과목이 된다. 그러나 그 이후에는 안 배우는 것으로 오해하면 안 된다. '미적분과 통계 기본'이라는 과목이 사라지고 '미적분Ⅰ'과 '확률과 통계'라는 과목으로 대체되는 것 뿐이다. 함수의 극한, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법은 미적분1으로 이동하고 확률과 통계는 사실상 구 7차 시기의 확률과 통계로 환원된다. 여기에 롤의 정리, 평균값의 정리, 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열 등의 내용도 추가되었다. 문과 입장에선 더욱 어려워지는 셈.

5. 학습내용

5.1. 함수의 극한과 연속

유형보단 개념이 중요한 부분이다. 수학 Ⅰ에 나왔던 극한 개념을 함수에 적용하는 부분으로, 좌극한과 우극한 값이 같으면 극한값이 존재한다고 말한다. 좌극한과 우극한, 그리고 해당 지점의 함수값까지 같으면 연속한다고 말한다. 2009 수능과 같이 제법 난이도 있게 출제된 적도 있으니 너무 소홀히 했다간 망하는 수가 있다. 특히 인수분해 관련하여 낚이거나 계산 실수하지 않도록 조심할 것

5.1.1. 함수의 극한

그래프가 "이어진다"는 개념을 설명하는 단원. 함수의 극한의 정의는 다양한 형태로 외워두도록 한다. 함수의 극한을 이용해서 뻥 뚫린 부분을 메꾸는 문제도 볼 수 있다.

5.1.2. 함수의 연속

함수의 이어짐에 대한 정의를 하는 파트. '중간값의 정리'와 '최대·최소의 정리'라는 사소해 보이지만 대학 가면 정의부터 크게 피토할(...) 정리를 배운다.
첨언하자면 중간값의 정리는 '두 함숫값을 곱해서 나온 수의 부호가 마이너스인 것'을 이용해 그 구간 사이에 근이 존재함을 뜻하는 것이지, 값을 직접 구하는 것이 아니다. 주의할 것.[18]

5.2. 다항함수의 미분법

수학 성적은 개념에 대한 철저한 이해 없이는 절대 잘 나오지 않는다는 말을 증명하는 파트. 평가원은 여기서 나오는 개념을 가지고 노는 것을 매우 좋아한다. 특히 미분계수와 도함수 부분에 나오는 미분(hh00으로 보내는 그 부분) 파트는 필히 증명을 혼자 힘으로 할 수 있게 공부하자. 사실 평가원이 여기서 개념을 주로 건드리는 이유도 다항함수의 미분 그 자체는 정말 별거없을 정도로 쉽기 때문이다(…).

5.2.1. 미분 계수

함수의 연속과 마찬가지로, 미분의 정의는 바로 쓸 수 있도록 외워두도록 한다. 대부분의 미분 계수와 관련된 문제는 모두 정의를 통해 푸는 것이 정석이다. 정석에서 벗어나 로피탈의 정리를 안다면 이쪽에서 계산을 편하게 할 수 있으나, 수2과정의 합성함수의 미분법 공식을 이용해야 한다. [19] 편법을 쓰는 건 자유이나, 미분계수와 도함수의 정의를 잊어버리지 않도록 주의하자. 뭐가 뭔지도 모르는 상태로 야매만 쓰면 수학실력이 안 는다. 굳이 편법을 쓰고 싶다면 로피탈의 정리나 Chain rule 등에 대해서 개인적으로 증명까지 쭉 알아보고 나서 적절히 쓰자. 그러면 뭐가 뭔지도 모르고 야매를 쓰는 건 아니니까 찜찜할 것도 없다. 다들 그렇게 해석학 책까지 뒤적이면서 증명 스스로 찾아보다가 이과로 바꾸고 공돌이가 되는거야... 존나좋군???

5.2.2. 도함수

내용은 간단하다. 미분계수를 함수화한 것. 분량도 얼마 되지 않는다. 그저 xnx^n의 미분법과 합, 차, 실수배, 곱의 미분법만 알고 있으면 끝이다. 더 나아가면 f(x)nf(x)^{n}을 미분하면 nf(x)n1f(x)nf(x)^{n-1}f'(x)가 된다는 것도 배운다.[20]

5.2.3. 도함수의 활용

다양한 응용. 문제를 많이 풀고 유형을 외워라. 함수의 특징(ex. 대칭성, 극대극소…)을 이용한 문제가 많다. 따라서 고등수학의 함수 단원을 꼭 다시 공부할 것. 수학의 정석 미통기편은 무려 5개 단원을 할애해서 이 부분을 다룬다.[21]. 삼차함수, 사차함수가 어떤 상황에서 어떤 개형을 갖는지 감을 잡아놓으면 편하다. 사실상 미통기에서 가장 크고 아름다운 분량을 차지하는 파트이기 때문에 선행학습을 할 때 가장 귀찮은 고비라고 할 수도 있다. 사실 미적분이 수학A형에서 최종보스 취급받는 이유는 이런 활용파트 때문이라고 보면 된다. 진짜 적분이나 미분자체만 하는 것은 별거 아니다. 실제로 수학 하위권 학생들도 미분이나 적분자체는 잘하지만 함수의 그래프에서 활용을 잘 하질 못해 본의 아니게 미적분과 멀어졌다고 보면 된다. 그러므로 미적분과 통계 기본을 배우기 전에 다항함수의 그래프 관련개념을 먼저 알아두도록 하자.

5.3. 다항함수의 적분법

구분구적법 증명은 정말 수도 없이 나왔고 난이도도 높았다. 미분이 개념 없으면 안되는 수준이면 적분은 개념 없으면 절대, 절대 안 된다. 공식과 유형만 외우면 일반 시험은 어느정도 될지 모르지만 수능에선 절대 안 그렇다. 수리 가형 2005년도 10번 문제를 참고 할것.

5.3.1. 부정적분

구간이 정의되지 않은 적분. 모든 적분의 기본이며 미분의 역연산이다. 미분을 못하면 적분도 못하는 이유. 구분구적법은 반드시 개념적으로 이해하도록 한다. 구분구적법을 외워서는 답이 없다.

5.3.2. 정적분

부정적분을 잘 한다면 정적분은 쉽다. 오히려 정적분 파트 맨 처음에 나오는 구분구적법이 어렵다. 다만 정적분으로 정의된 함수를 미분해서 피적분함수를 알아내는 부분이나, 무한급수를 정적분으로 표현하는 부분에는 주의를 요한다. 문제 패턴은 단순한 편이지만 개념이 이해가 되어야 제대로 풀 수 있다.

5.3.3. 정적분의 활용

보통 그래프의 넓이 구하는 문제가 주로 나온다. 함수값이 음수일 때에는 절댓값을 취해야 한다는 점에 주의해야 한다. 미분과 연계하여, 원함수의 그래프와 접선 사이의 넓이를 구하는 문제가 나올 수 있다. 회전체의 부피는 나오지 않는다.

5.4. 확률

개정전 수학Ⅰ에 있던 '순열과 조합'에서 순열, 조합은 고등수학(하)로 내려갔고, 그 외 원순열, 중복순열, 같은 것이 있는 순열은 적분과 통계로 올라갔다. 그래서 미통기에 남은 것은 새로 추가된 중복조합[22]과 이항정리뿐. 순열과 조합의 난이도를 생각한다면 문과생들에겐 행운일 수도 하지만 2014년도 신입생부터는 확률과 통계에서 순열과 조합 전 과정이 추가되어 문과도 얄쨜없이 배워야한다.그냥 미적분과 통계 기본을 남겨줘ㅠㅠ

5.4.1. 중복조합

서로 다른 nn개의 것들 중에 중복을 허용하며, 순서를 따지지 않고 rr개를 뽑는 경우의 수를 n+r1Cr(=nHr)_{n+r-1}C_r(= _nH_r)이라고 하는데, 이것을 중복조합이라 한다. 난이도에 따라 어려워질 수도 있는 부분이므로 확실히 공부해두자.

5.4.2. 이항정리

(a+b)n=nCranrbr(a+b)^n=_nC_ra^{n-r} b^r을 기억하면 된다. 이항계수의 성질을 배울 때 파스칼의 삼각형이 무엇인지를 알게 된다.

5.4.3. 확률의 뜻과 활용

중학교에서 배웠던 확률의 연장선으로, 크게 수학적 확률, 기하학적 확률[23], 통계적 확률의 세 가지를 배운다. 단연 가장 중요한 것은 수학적 확률. 확률과 집합을 연계하여 생각할 수 있어야 한다.

5.4.4. 조건부확률

특정한 사건이 일어난다고 가정할 때 또 다른 특정한 사건이 일어날 확률을 구하는 것을 조건부 확률이라 한다. 단순히 공식만 외워서는 절대로 문장제 문제를 풀 수 없다. 꼭 구분구적법처럼 개념적으로 이해하도록 하자. 그 외 독립인 사건이나 배반인 사건, 조건부확률로 제시된 사건 등 이것저것 섞어서 꼬아 놓은 문장제 문제에서 요구되는 식을 제대로 세울 수 있어야 한다. 참고 : 도박사의 오류[24]

5.5. 통계

중학교에서 배웠던 그런 통계라기 보단 확률의 연장 단원이라고 생각해야한다. 사실 확률을 구하는 데 어느 정도 능숙하다면 이 단원은 수학 Ⅰ에서 지수와 로그 다음으로 쉬운 단원이 된다. 다만 역시 개념을 정확히 알아야 한다. 2009학년도 수능에서 출제된 개념 복합형 통계 문제는 정답률이 28%였다.

5.5.1. 확률 분포

이산확률분포와 이항분포, 연속확률분포(현재는 삭제), 그리고 거기서 파생된 표준정규분포 그래프를 배우게 되며, 이때 등급제표준점수의 개념이 어떠한 것인가를 알게 된다. 비중이 큰 편은 아니지만수능의 다른 여러 과목의 등급싸움에도 이 내용이 관련이 되어 있기 때문에 수학을 못하는 학생들도 이 과목만큼은 눈에 불을 켜고 공부할 정도.

5.5.2. 통계적 추정

흔히들 언론에 나오는 신뢰도 n%n\%에 오차 ±x%\pm x\%가 이 부분이다. 거의 맨 끝에 나오기 때문에 수능에서도 그리 비중은 큰 편이 아니다. 정형화된 문제가 나온다. 다만 어려워질 추세이므로 주의할 필요는 있다. 이과와는 달리 모비율의 추정은 다루지 않는다.


[1] 현재는 개칭되어 사잇값의 정리[2] +수열의 극한(舊 수학Ⅰ)[3] 이과에서만 배우던 롤의 정리, 평균값의 정리, 사잇값의 정리가 수학Ⅱ로부터 건너왔다.[4] +경우의 수(舊 고등수학)[5] 이과에서만 배우던 모비율이 추가되었다.[6] 정확히 해설하자면 이전 7차에서 지엽적으로 나오기도 하는 부분들이 이번 개정으로 쉬워지거나 빠져서 문과 수험생들 입장에서는 꽤 편리해졌는데 미통기의 미적분은 다항함수의 미적분만 배우는거라 의외로 쉽고 확률과 통계는 개인차가 워낙 큰데 미통기에 미적분과 함께 들어오면서 줄어들었기 때문이다. 이후 문과생들은 3과목으로 늘어나고 확통이 아예 한 과목으로 10문제나 차지하면서 확통에 약한 문과생들에게는 헬게이트가 열렸다.이과생들은 약간 애매한데 4과목이나 봐야 하기때문에 1년 동안 4과목을 한꺼번에 2학년때 배우는게 아닌이상 배울시간이 매우 빡빡하기 때문이다. 문제는 이후에 한과목이 줄어들면서 악명 높은 기하와 벡터의 문제수가 늘어나버렸다.[7] 그러나 상경계 학생들이 배우는 경제수학에는 초월함수의 미적분도 들어간다. 상경계 지망자에게는 대학 들어가고 나서는 좋은 것만은 아니라는 의미.[8] 그런데 수리 가형을 공부해 본 학생이면 알겠지만 이과생들이 수리 나형으로 도망치는 이유는 첫째, 가형과 나형의 표준점수 차이가 너무 나기 때문이고(…) 둘째, 미적분이 무서운 게 아니라 공간좌표, 공간도형, 벡터가 싫기 때문이다. 이과 미적분 자체는 복잡하고 시간이 오래 걸리긴 하지만 일단 익히면 크게 유형 변화가 없어서 다른 단원보다는 낫다. 그렇지만 평가원 기출문제를 보면 점점 이과 미적분에서도 고난도문제를 내는 경향이 강해지고 있다.[9] 그러나 7차 교육과정 당시 경영대학이나 경제학과 등 상경계열 학과에게 수리 가형 응시를 허가한 곳은 중상위권 대학 이상에서는 서울대가 유일했으며, 그 외의 다른 대학들은 지가 문과생에게 수리 가형 응시를 허락하지 않은 주제에 요즘 문과생들은 미적분도 못 한다고 적반하장으로 까대기에 바빴다.[10] 당시 수학 Ⅰ의 목차는 다음과 같다. 1. 행렬 2. 수열 3. 극한 4. 다항함수의 미분법 5. 다항함수의 적분법 6. 확률 7. 통계. 상당히 깔쌈하다. 지수와 로그는? 공통수학(고1 과정)이었다.[11] 평가원에서 발행하는 자료에 따르면 nHr_nH_r은 문과과정에 포함되지 않는다. 다만 nHr_nH_r라는 기호를 안 배울뿐, 중복조합의 기호는 nHr_nH_r이 맞다.교과서 및 수능교재에서는 죄다 n+r1Cr_{n+r-1}C_{r} 이라고 적혀 있어서 풀이과정 보기가 좀 곤란하다. 공부하다 보면 불편해서라도 nHr_nH_r이라고 쓰게 된다(...) 이런 괴현상은 새 교육과정에서 확률과 통계가 문이과 공통교재가 되면서 해소되었다.[12] 이산수학에서 미통기로 이동하며 이산수학은 폐지[13] 이산수학에서 수학Ⅰ으로 이동하며 이산수학은 폐지[14] 이론적으로 그것이 가능하다는 것을 뒷받침해주는 사례로, 일부 학교의 문과반에서 내신 과목으로 지구과학Ⅰ, 생명과학Ⅰ과 같은 과탐 과목을 이수하는 경우가 있다는 것이다.[15] 여기서 '사회 과정'은 상경계열 등 대학에서 수학을 필요로 하는 문과생들이 이수하는 과정을 가리킨다.[16] 물론 아예 수포자라면 이야기가 다르긴 하다.[17] 물론 말이 그렇다는 것이다. 시험 난이도에 따라 다른 것은 당연지사.[18] 여담으로, 근을 직접 구하기 위해서는, 4차 이하의 다항방정식의 경우 근의 공식을 쓰거나, 5차 이상의 다항방정식의 경우(유리수 범위의 인수분해가 되거나, 유한 번 사칙연산과 제곱근 기호만을 사용하여 풀 수 있다고 증명된 특수한 방정식은 제외. 예를 들면 xn1=0 x^n - 1 = 0 (n은 자연수))나 방정식의 수치해를 구하는 경우 뉴턴법을 이용해야 한다.[19] 예를 들어, "h→a 일 때 {f(3h+a)-f(a)}/(h-a)의 극한값" 를 제시하고 f'(a)를 묻는 문제에서, 미분계수의 정의를 이용해 풀자면 제시된 식을 변형해 3×(h→a 일 때 {f(h+a)-f(a)}/(h-a)의 극한값) 꼴임을 알아내야 한다. 하지만 로피탈의 정리를 쓰면 바로 분모와 분자를 h에 대해 미분하는 것으로 주어진 식=3f'(a)를 뽑아낼 수 있다. 그런데 문제는 f(3h+a)를 h에 대해 미분하면 (3h+a)'×f'(3h+a)=3×f'(3h+a)임을 알아야 한다는 점이다.[20] 곱의 미분법으로 유도할 수도 있고, 합성함수의 미분법으로 유도할 수도 있다. 다만 미적분과 통계 기본에서는 합성함수의 미분법을 다루지 않도록 되어 있기 때문에 보통 교재에서는 곱의 미분법으로 유도한다. 수학적 귀납법으로 이 공식을 유도하라는 문제도 있다.[21] 접선과 미분, 극대/극소와 미분, 최대/최소와 미분, 방정식/부등식과 미분, 속도와 가속도[22] 정확히는 7차 이산수학에 있었던 내용이다.[23] 정규 교육과정에는 없으나 수학의 정석 등의 참고서나 교과서에 딸린 익힘책에서 심화 내용으로 다루고 있다.[24] 독립시행의 정리를 이해하는 데에 도움이 될 수 있다.

분류