| 7차 교육과정 고등학교 수학 ('02~'08 高1) | |||||||
| 공통 | 수학 10-가/수학 10-나 | ||||||
| 선택 | 수학Ⅰ | 수학Ⅱ | |||||
| 심화 | 미분과 적분 | 확률과 통계 | 이산수학 | ||||
| 과학고 | 고급 수학 | ||||||
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1. 개요
1997년 12월 30일 교육부 고시 1997-15호로 확정 발표된 제7차 교육과정 하에서의 수학Ⅰ의 내용 및 체계 따위를 다룬다. 7차 교육과정부터는 이전의 일시적 전면개정에서 수시부분개정 체제로 전환하였기 때문에 더 이상 몇 차라는 말을 사용하지 않기 때문에 7차 교육과정하의 수학 교육과정은 크게 1997년, 2007년 개정, 2011교과으로 나뉘기 때문에 관습상 그리고 편의상 각 항목을 분리하였다.2. 상세
이 시기 수학Ⅰ의 주요 특징으로는 6차 교육과정 시기에 공통수학에 해당하던 지수와 로그가 이동한 것과 함수의 극한, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법이 수학Ⅱ로 이동되면서 삭제된 것을 들 수 있다. 이외에는 전문계 교과인 수학Ⅲ의 명칭이 '고급 수학'으로 변경되었다는 것 정도?결국 수리영역 나형 응시자는 함수의 극한과 연속성 판정, 기초적인 미분법, 적분법을 배우지 않아 대학에서 큰 혼란을 겪었고 2007개정 교육과정부터는 수리영역 나형 응시 범위에 미적분과 통계 기본[1]이 추가되어 나형 응시자도 (다항함수의) 미적분[2]을 다루게 되었다. 당시에는 중상위권 이상에서는 서울대학교 정도만 문과생에게 수리 가형 응시를 허락해 줬고 다른 대학은 받아 주지 않았다.
3. 목차
3.1. Ⅰ. 지수와 로그
6차 교육과정 시기에는 공통수학에 있었던 개념이다. 지수와 로그, 상용로그 (지표와 가수 포함)에 대해서 배우는 부분으로, 지수함수와 로그함수는 5단원에서 다룬다. 현재는 2015 개정 수학 I로 넘어갔고, 상용로그의 지표와 가수는 삭제되었다.[3][4]이 단원에서는 대체로 쉬운 문제들이 등장하는 편인데 지표와 가수가 출제될 경우 시험난이도가 상승한다. 그리고 상용로그에서 실생활 문제[5] -
3.2. Ⅱ. 행렬
행렬의 개념, 행렬식, 행렬과 연립일차방정식, 영행렬[6], 단위행렬, 역행렬 등을 배웠다. 여기에서 행렬은 2×2 정사각행렬만 다루었고, 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음을 배웠으며, 현재는 고급 수학Ⅰ으로 넘어갔다. 여담으로 당시 수학 I에서 가장 쉬운 단원으로 꼽혔다.[7]수학 10-가의 복소수와 엮일때가 있는데 겁먹을 필요는 없다. 10-가의 복소수 단원에 나오는 온갖 암기사항들을 풀이에 요구하는 경우는 거의 없고 오메가성질도 굳이 외울필요 없이 3차식을 인수분해하여 풀 수 있다. 그래서 사실상 10-가의 복소수 단원은 내신으로 한번 하고 그낭 버리는 단원으로 취급받았다.
3.3. Ⅲ. 수열
등차수열과 등비수열 : 함수와 연관지어 설명하자면, 수열은 함수의 일종으로써 정의역이 자연수의 집합에서만 정의되는 경우를 말한다. 수의 규칙성을 판단하여 이산적인 추론력을 기를 수 있다. 다음 단원의 수열의 극한 파트에서 정줄을 놓을 가능성이 높으니 소홀히 하면 안된다. 등차, 등비수열 및 급수의 응용문제는 확률과 마찬가지로 응용력이 중요한 단원이다. 상대적으로 개념이나 지식적 측면은 많이 필요하지 않으나, 특히 귀납적 사고력이 중요하기 때문에 어떤 학문을 하더라도 필요한 경험적 추론능력을 길러준다.여러 가지 수열 : 점화식, 조화수열, 군수열, 계차수열 등을 다룬다. 수학적 귀납법 파트, 알고리즘과 순서도 파트도 나왔다.[8]
대체로 문제풀이시 노가다를 요구하는 편이다. 노가다 양이 많아질수록 정답률이 폭락하는 경향이 있다. 수열, 수열의 극한에서 킬러가 된 문제들은 대부분 문제 자체가 어렵다기 보다는 노가다 양이 많아서 정답률이 떨어진 케이스가 많다.
수학 10-가의 나머지 정리와 잘 엮이는 편이다. 기본적으로 수학 10-가, 10-나와 엮이는 경우 준킬러가 되기 마련이다. 왜냐하면 수능의 직접적인 출제범위도 아니고 엮이는 문제도 출제율이 떨어지는 편이라 최상위권 학생이 아니라면 버리는 선택을 하는 경우가 많아서이다. 특히 나형의 경우 표본수준이 좋지 않아 10-가 나 연계 문항을 버려도 1등급을 맞는 경우가 종종 있다. -
이 단원은 자주 나오지는 않고 가끔씩 나오는 문항들이 복병인데 원리합계 문항은 나형에는 자주 나오지만 가형에는 가끔씩만 나와서 갑툭튀 복병이 되기도 했다. 원리합계 자체가 경제학 내용이라 문과에서는 중요하지만 이과에서는 딱히 다룰 필요가 없는 내용이기도 해서 가형에서의 출제율이 떨어졌을 수도 있다. 당연히 가형에 한번 나오는 순간 준킬러가 되어버린다. 자주 안나오니 소홀히 한 학생들이 많아서 그렇다.[9] 물론 방법만 알면 쉬운 문제이고 원리합계 자체를 공식화 시킬수도 있다. 또한 순서도 문제도 나형에는 자주 나오지만 가형에는 가끔씩만 나오는 유형이었다. 사실, 순서도는 컴퓨터 공학에서 중요한 내용이기 때문에 가형에서의 중요도가 훨씬 높음에도 불구하고 나형에 더 자주 출제되었고 가형은 갑툭튀 형식으로만 출제되었다. 아마도 선택과목의 이산수학을 감안한 출제일지도 모른다.
현재는 이 부분이 수학Ⅰ으로 이동했고 계차수열, 순서도 등은 삭제되었다.
3.4. Ⅳ. 수열의 극한
무한수열의 극한, 수렴, 발산, 무한급수, 극한값의 계산 등을 다룬다. 현재는 이 부분이 미적분으로 넘어갔고 무한급수는 그냥 ‘급수’라고 쓴다.도형의 무한등비수열 문항은 가나형 공통으로 자주 나오는 문제였는데 나형 한정 준킬러였고 가형에서는 난이도 중상에도 못미치는 빼도박도 못하는 비킬러였다. 워낙 자주 나오는 문항이고 문제풀이가 정해져 있어서 수준높은 가형 학생들은 내성이 생겨서 다들 잘 풀었다. 계산이 말려서 못푼 날에는 빼도박도 못하게 시험을 망치게 된다. 나형 표본은 워낙 수준이 떨어지고 중하위권 학생들이 이 문제에 공포를 느끼는 경우가 많아 정답률이 떨어졌다. 도형의 무한등비수열 문제가 어렵게 나올 경우 공비를 미지수로 잡고 방정식을 풀어야 한다.
도형쌓기 수열의 극한 문항은 킬러급으로 나형에서 주관식 후반부(24번 또는 25번)에 자주 등장했고 대체로 최종보스 문항이 되는 경우가 많았었다. 가형의 경우 자주 출제되지는 않았지만 11수능에서는 가나형 공통으로 25번에 등장하였다. 도형의 무한등비수열 문항보다 난이도가 높은 편이고 가형의 경우 출제빈도가 낮아서 한번 출제되는 순간 준킬러급 문제가 되기 일쑤였다. 수준이 높은 가형 표본에서도 준킬러가 되는 이유는 자주 출제되는 문항이 아니기 때문에 소홀히 한 학생들이 많아서 그렇다. 나형에서는 거의 매년 출제되지만 가형에서는 2~3년에 한번씩 출제되어 수학Ⅱ와 선택과목까지 공부해야 하는 기형 학생들이 학습량에 대한 부담감 때문에 이 문제를 소홀히 하기 쉬웠다. 가형 학생들 중 수학Ⅱ에 약한 경우 목표대학 때문에 나형으로 돌릴 수 없다면 이런 문제를 노려 수학Ⅱ의 약점을 커버하는 전략을 쓰기도 했다.[10][11] 해법은 점화식을 이용하거나 노가다를 해서 일반항을 찾으면 된다. 어떤 수열이 나올지는 알 수가 없다. 등차수열, 등비수열, 그 이외 기상천외한 수열이 모두 가능하다.
3.5. Ⅴ. 지수함수와 로그함수
* 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 : 사실상 이 단원의 전부. 1단원에서 학습했던 지수와 로그의 개념을 바탕으로 지수함수, 로그함수의 뜻과 그래프, 그리고 그 특징을 배운다. 기초적인 지수함수와 로그함수를 배우고, 평행이동과 대칭이동을 시키면서 다양한 개형을 익히게 된다. 이들 함수의 특징은 무엇인지, 함수의 그래프를 다루는 문제에서 평행이동과 대칭이동의 관계, 역함수 관계인지 알면 문제를 푸는데 편리한 경우가 많다. 그 특징에 대한 풍부한 이해가 필요하다. 지수함수와 로그함수의 개념을 바탕으로 지수·로그 방정식, 부등식을 배운다. 지수/로그함수는 일대일함수이고, 증가 혹은 감소이기 때문에 이러한 성질을 기반으로 하여 방정식과 부등식을 풀 수 있다. 문제를 풀 때 지수 방정식/부등식의 경우 문자를 다루는 과정에서 치환을 하게 되는데 정의역에 따라 치환한 문자의 범위가 달라질 수 있음에 유의하자. 예를 들어 2x를 문자 t로 치환할 때 무작정 t는 무조건 양수라고 외우지 말고 x값에 따라 t의 범위도 달라 질 수 있음을 알아두자. (예 : x>0이라 주어지면 t>1) 정의역에 주의할 것. 로그의 진수나 밑에 문자가 오는 방정식/부등식의 경우 항상 밑 범위,진수 범위에 유의하도록 한다. 방정식을 풀고 나서 이 조건에 의해 근이 될 수 없는 것들도 있기 때문이다. 지수/로그 부등식의 경우 특히 상당수의 학생들이 문제를 풀다 한 번 이상 하는 실수가 있는데, 밑의 범위를 확인하지 않고 양변에 로그를 취하거나 지수로 올리는 것이다. 밑의 범위에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있음을 유의해야 한다.[12]수학 10-가의 부등식의 영역, 수학 10-나의 합성함수와 엮이는 문제를 주의해야 한다.
로그함수의 최솟값, 최댓값을 구하는 문제는 logx를 X로 치환하여 X에 대한 이차방정식을 풀면 된다.[13] 또한 로그함수의 최솟값, 최댓값 문제는 수학 10-가의 절대부등식과 자주 엮인다. 특히 산술-기하평균이 자주 등장한다. 이과생들은 산술-기하평균을 사용하는 로그방정식 문제에서 절대로 음함수의 미분을 하지 말자. 계산이 말릴 것이다.
지수에 로그함수가 합성된 경우 양변에 로그를 취해서 풀면 된다. 쉽게 나오면 그냥 치환으로 풀어도 풀리지만 어렵게 나왔을때 치환으로 풀면 계산이 말리게 된다.
현재는 수학I으로 넘어갔다.
3.6. Ⅵ. 순열과 조합
순열과 조합을 이용한 경우의 수 계산과 이항정리의 성질과 파스칼의 삼각형을 이용한 이항정리 등을 배운다. 경우의 수, 직순열, 원순열, 중복순열, 동자순열, 조합, 이항정리, 파스칼의 삼각형 등을 다룬다. 당시에 중복조합은 이산수학에서 다루었다.현재는 기초적인 부분이 고1 공통수학으로 넘어갔고 세부적인 사항등은 확률과 통계로 이동되었다.
당시에는 이 단원에서 준킬러가 많이 나왔는데 경우의수 문제에서 여사건을 활용하는 유형이나 수형도 그려서 노가다 하는 유형이 나오면 십중팔구는 헬게이트가 열렸다. 객관식이면 어렵지 않지만 주관식에 나오면 실수할 가능성 때문에 정답률이 폭락했다. 심지어 가형에서 정답률 20%가 나오기도 했다.
3.7. Ⅶ. 확률
순열과 조합 단원과 밀접한 관련이 있으며, 수학적 확률의 계산법과 확률의 덧셈정리와 곱셈정리, 독립시행의 확률 등을 배운다.어렵게 나올 경우 수열과 엮일 수 있다. 또한 노가다성 풀이가 난무하고 모든 경우의수를 하나하나 노가다해서 구하고 거기서 주어진 조건에 해당하는 경우의수를 또 하나하나 노다가해서 확률을 구해야 하는 경우도 많았다.
가형 선택과목 확률과 통계에서도 같은 문제유형이 또다시 등장하기도 해서 노가다를 싫어하는 수많은 이과생들이 가형 선택과목으로 확률과 통계를 기피하고 노가다 없이 수식으로 푸는 미분과 적분을 선호했었다.[14] 미적분에 약한 학생들만 확률과 통계를 선택했기 때문에 그 인원은 3% 밖에 되지 않았다.
현재는 확률과 통계로 넘어갔다.
3.8. Ⅷ. 확률분포와 통계적 추정
통계와 관련된 용어들의 정의와 성질, 이항분포와 정규분포, 통계적 추정 등을 배운다. 여기서 통계는 중학교까지 배웠던 통계와는 차원이 다르고, 이 때 등급제의 개념을 알게 된다.문과생이 미적분을 배우지 않던 시절이라 정적분, 부분적분을 이용하여 구하는 문제가 나오지도 않았다. 적분을 활용하는 문제는 가형 선택과목인 확률과 통계에서만 매우 낮은 확률로 출제되었다. 이 마저도 간단한 다항함수 적분만 출제 가능성이 있었는데 수능에 출제된적은 한번도 없다.
현재는 확률과 통계로 넘어갔고 모비율의 추정이 추가되었다가 15개정 때 다시 삭제되었다.
[1] 2007개정 교육과정에 의거하여 수학Ⅰ과 수학Ⅱ의 내용을 이동하며 신설된 과목. 수학 I에서는 확률과 통계가, 수학 II에서는 함수의 극한과 연속, 다항함수의 미분법, 다항함수의 적분법이 이동되었으며 여기에 중복조합도 추가되었다.[2] 초월함수의 미적분은 이과 전용.[3] 계산기가 발달한 현재는 쓸모없는 내용이기 때문.[4] 지표와 가수에서 킬러문제가 종종 등장하였다. 사실 유형만 알면 어렵지 않은데 무대뽀로 풀게되면 헬게이트가 열리기 때문에 정답률이 상당히 낮은 문제들이 있었다.[5] 이런 문제들을 수학외적문제해결능력 문항이라고 한다. 대부분 주어진 조건대로 풀면 어렵지 않은데 어렵게 출제하면 준킬러가 될 수도 있다. 그러나 상용로그 활용 단원에서 준킬러가 등장하지는 않았다.[6] 행렬의 모든 성분이 0인 행렬.[7] 행렬은 어렵게 내면 한도끝도 없이 어렵게 낼 수 있는 단원이다. 그러나 이 시절 행렬에서 킬러문제가 잘 나오지 않아서 쉬운 단원으로 여겨진 것이다. 그나마 합답형이 변별력이 있는 편이긴 했지만 준킬러 역할은 나형 한정으로 가형에서는 정답률이 60%를 넘는다. 합답형은 반례를 들려고 하면 어려운데 그냥 전개해보고 성립안하면 틀린 것으로 판단하고 넘어가는 방식으로 풀면 웬만하면 맞힌다. 행렬에서 진짜 킬러가 되는것은 소금물 관련 표를 주고 표를 행렬로 바꿔서 푸는 문제인데[15] 실모에서만 가끔 보이고 실제 시험에서는 생각보다 출제확률이 낮아서 행렬의 난이도를 체감하기는 어려웠다. 단순히 내용만 고려했을땐 지수와 로그가 가장 쉬운 단원이다. 그러나 이쪽에서는 킬러문제가 자주 나와서 체감난이도는 어려웠다.[8] 고난도 문제가 많이 나온 2010학년도 6월 모의평가 나형 30번에 갑툭튀해 다른 의미로 학생들을 당황시켰다.[9] 분명히 시험범위에 포함되는데도 불구하고 자주 나오지 않는 내용들은 상위권 학생들은 소홀히 하지 않지만 중위권 이하 학생들이 소홀히 하기 쉽다. 그래서 상위권 학생들은 다 맞히지만 중위권 학생들이 많이 틀려 정답률이 떨어지게 된다. 이렇게 가끔씩만 나오는 문제 때문에 수학Ⅰ에 약한 이과생이 발생하게 된다.[10] 이렇게 수학Ⅱ이 약한데 나형으로 바꿀 수 없는 경우는 선택과목으로 확률과 통게를 고르고 수학Ⅰ의 킬러 문제는 모두 맞히는 전략으로 간다. 이런 학생들은 가형 3등급 내외의 성적을 목표로 삼는다. 3등급이 목표인 이유는 가형 4등급 이하는 나형으로 돌리는게 이득이고 중상위권~중위권에 해당하는 가형 지정대학의 경우 수시이든 정시이든 3등급 이상을 맞아야 합격할 수 있기 때문이다. 분명 가형 응시자인데 나형 실모를 산더미같이 쌓아두고 있는 학생들이 이런 경우이다. 전략상 최대한 수학Ⅰ에서 뽕을 뽑아야 되기 때문에 수학Ⅰ을 매우 깊이있게 공부하는 것이다. 당시 수리가형 난이도상으로는 3등급컷이 60~70점 정도였기 때문에 수학Ⅰ과 선택과목인 확률과 통계를 모두 맞히면 수학Ⅱ은 비킬러만 다 맞혀도(심지어 수학Ⅱ에서 비킬러 몇문제를 못풀어도) 3등급을 맞을 수 있었다. 심지어 수학Ⅱ 킬러에서 찍신대박이 터지면 2등급도 가능했다. 당시 수학시험이 준킬러 비중이 높아서 가능했던 일이다. 2010년대 중후반들어 등장한 비킬러 27 + 킬러 3 구조에서는 빵구난 단원이 있으면 절대로 3등급이 불가능했던 것과 비교해보자...[11] 이런 학생들에게 나형 시험지를 갖다주면 50분컷 100점이 나올 것이다. 일반적인 가형 3등급 수준으로 나형시험지 풀면 시간 다 쓰고 백분위 96~97정도 1등급이 나온다. 수학Ⅰ으로 커버쳐서 3등급 맞는 경우는 가형 3등급 주제에 웬만한 가형 1등급짜리보다 수학Ⅰ을 잘할 것이다.[16] 구조적으로 그럴 수 밖에 없다.[12] 부등식의 영역과 엮이는 경우가 많은데 진수 조건을 고려하지 않으면 헬게에트가 열리게 된다.[13] 이과생들 중에 수학Ⅰ이 약하고 수학Ⅱ에 강한 경우[17] 로그함수를 미분하여 구하는 학생들도 간혹 있었는데 치환을 할 줄 몰라서일 수도 있고 그냥 미분이 편해서 일수도 있다. 그러나 이 경우 심화선택과목인 미분과 적분의 내용까지 활용해야 하기 때문에 풀이법에 대한 진입장벽이 매우 높으므로 웬만하면 정석대로 치환하여 풀자. 그리고 실제로 미분을 해보면 뻘짓이라는 것을 알 수 있다. 미분을 하더라도 결국은 이차방정식을 풀어야 하기 때문에 그냥 치환하여 푸는것이 낫고 치환하여 풀면 심지어 암산도 가능하다. 교육과정 개정 후에는 선택과목 없이 30문제가 다 섞이기 때문에 수학Ⅰ의 로그함수 문제인데 수학Ⅱ의 미분 문제로 착각하여 종종 발생하는 뻘짓이었다.[14] 서울대학교가 미분과 적분을 지정한 것도 한 몫 했었다. 그러나 그 이외 대학교들은 가형의 선택과목까지 지정하지는 않았음에도 불구하고 미분과 적분 선택자가 96%나 되었기 때문에 서울대가 미분과 적분을 지정한거 하나만으로 미분과 적분 선택자가 96%나 되는 현상을 설명하기에는 개연성이 부족하다.