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1. 개요
포식자-피식자 모델(Predeator-prey model)은 생물 종에서 어떤 한 종이 다른 한 종을 잡아먹거나(포식자), 잡아 먹히는(피식자) 관계에서 양적 부분을 규명한 모델이다.2. 설명
기본적안 구조는 로트카-볼테라 방정식으로 모델링되며, 포식자 수와 피식자 수의 관계에 대해 규명한 식이다.포식자와 피식자에 대한 정의는 범주적 구분을 통해서 분류하기에 대단히 힘들 정도로, 수리과학적 엄밀성을 명확히 이룰 수 없는 문제가 발생할 개연성이 있다. 즉, '어디까지를 포식자로 볼 것인가'에 대한 그 기준이 명확하지 않다는 말이다.
예를들면 초식동물은 광의의 의미의 포식자에 포함되기도 하지만, 그보다 더 강한 육식동물에 입장에선 초식동물은 피식자에 포함된다. 즉, 이러한 계층적 구조는 곧 절대 범주가 아닌 상대 범주로 다루어야 한다는 개념으로써, 포식자와 피식자는 상대론적 개념으로 다루어진다.
3. 로트카-볼테라 방정식
전문적으로는 두 종의 개체 수의 관계를 아래와 같은 연립미분방정식으로 나타낸다. 고안자의 이름을 따서 로트카-볼테라 방정식이라고 한다.[math(\displaystyle \left\{\begin{matrix} {\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = x(\alpha - \beta y) \\ {\mathrm{d}y \over \mathrm{d}t} = - y (\gamma - \delta x) \end{matrix}\right.)]
여기서 [math(\alpha , \beta , \gamma , \delta)]는 각 동물 사이의 개체수를 나타내는 상수값이며, [math(x)]는 피식자, [math(y)]는 포식자를 나타내는 변수이다.
이를 풀면 다음과 같다.
[math(\displaystyle {\mathrm{d}y \over \mathrm{d}x} = -{y \over x}{\delta x - \gamma \over \beta y - \alpha} = \mathrm{d} \ln y (\alpha - \beta y) - \mathrm{d} \ln x (\gamma - \delta x) = -\delta x + \gamma \ln x -\beta y + \alpha \ln y)]
이것을 가지고 그래프를 그리면 아래처럼 나온다.
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3.1. 위상도의 관점
위상도(Phase)의 관점에서 로트카-볼테라 함수를 표현하면 직관적인 도식은 다음과 같이 나타난다.파일:로트카-볼테라 함수의 Phase.jpg
위 그래프에서 figure (a)가 위상도다. 여기서 x축은 피식자 수, y축은 포식자 수를 의미한다. figure (b)는 시간을 매개로한 함수로써, 포식자와 피식자간 양적 관계를 시간을 매개로해서 표현할 수 밖에 없다는 한계를 가지고 있지만, 위상도는 순수히 포식자 수와 피식자 수의 관계를 다룰 수 있단 점에서 매우 용이하게 사용할 수 있다.
화살표는 시간에 따른 변벡터를 의미하며, 벡터공간에서의 연산자가 통용되지 않음을 주의해야한다.
3.2. 생태학적 의미
위 식이 함의하는 바를 간단히 풀어 설명하자면, 포식자는 피식자가 너무 적으면 먹을 게 없어 개체수가 줄어들게 되고, 피식자가 많으면 먹을 게 많아서 번성하게 된다.그러다 피식자는 포식자가 많아지면 너무 많이 잡아먹혀 개체수가 줄고, 이에 따라 포식자 수도 줄어들게 되는데, 일정 수준 이하로 줄어들면 다시 피식자라 불리는 개체수가 증가하여 번성하게 된다. 이렇게 포식자의 개체수와 피식자의 개체수는 서로 상호작용하며, 그래프의 두 선이 서로 반비례하며 상호작용하는 것으로부터 이를 확인할 수 있다.