1. 분류 개요2. 기하학적으로 공정한 주사위
2.1. 대칭과 면의 형태에 따른 분류2.2. 눈의 수에 따른 분류
3. 기하학적으로 공정하지 않은 주사위2.2.1. d12.2.2. d22.2.3. d32.2.4. d42.2.5. d62.2.6. d82.2.7. d102.2.8. d122.2.9. d162.2.10. d202.2.11. d242.2.12. d302.2.13. d482.2.14. d602.2.15. d120
2.3. 특이한 형태의 기하학적으로 공정한 주사위3.1. 백면체 (d100)3.2. 삼각기둥 d53.3. 오각기둥 d73.4. 구면체 d93.5. 목제 주령구 (d14)3.6. 마름모육팔면체 d183.7. 축구공 d323.8. 윷 d2×43.9. 기타
4. 사기 주사위1. 분류 개요
주사위는 기하학적 공정성, 대칭, 면의 수, 사용되는 용도 등에 따라 다양하게 분류할 수 있다.- 기하학적 공정성과 대칭
기하학적 공정성에 따라 분류할 수 있다. 기하학적으로 공정한지, 만약 공정하다면 어떤 대칭을 가졌는지에 따라 분류할 수 있다. 대칭에 대한 설명은 점군 항목을 참고하면 좋다.
- 면의 수
면의 수에 따라 분류할 수 있다. 면의 수가 같고, 모든 면이 나올 확률이 같다면 형태가 달라도 같은 용도로 사용할 수 있다.
- 사용되는 용도
사용되는 용도에 따라서도 분류할 수 있다. 숫자를 반환하는 주사위, TRPG 게임 내에서 어떤 행동을 지시하는 주사위, 술자리 벌칙을 반환하는 주사위 등으로 나눌 수 있다. 대부분의 주사위에는 면의 수만큼의 숫자가 새겨져 있어 무작위 숫자를 반환하지만, 위에서 언급한 '주령구'와 같이 벌칙이 적혀 있는 경우도 있다.
위 영상에서는 거의 쓰이지 않는 특이한 주사위도 많이 등장한다.
이 사이트에는 각양각색 주사위 사진을 모아서 보여준다.
2. 기하학적으로 공정한 주사위
일반적인 주사위 세트에는 d4, d6, d8, d10, d12, d20의 6종의 주사위, 10의 자리 d10까지 포함하면 7종의 주사위가 포함되어 있다. d10을 제외하고는 정다면체 형태로 만드는 것이 일반적이나, 독특한 형태의 주사위도 존재한다. 기하학적으로 공정한 주사위는 면추이[1] 다면체여야 한다. 이 정의에 의해 기하학적으로 공정한 주사위는 자연스럽게 3차원 대칭을 갖게 된다.3차원 면추이 다면체에는 유한군 25종[2] + 무한군 5종[3], 총 30종의 다면체가 존재한다.
정다면체 대칭을 가진 주사위의 경우, 최대 눈으로 분류하면 d4, d6, d8, d12, d20, d24, d30, d48, d60, d120, 총 10종을 만들 수 있다.
- 정다면체 대칭 주사위 - 25종
- 주사위 면의 수에 따른 분류 : d4, d6, d8, d12, d20, d24, d30, d48, d60, d120 - 총 10가지
정다면체는 당연히 면추이 다면체에 속한다. 정다면체 주사위에는 d4, d6, d8, d12, d20가 존재한다. 아르키메데스 다면체의 쌍대 도형인 카탈랑 다면체는 면추이 다면체이므로, 기하학적으로 공정한 주사위의 정의에 부합한다. 카탈랑 다면체 주사위에는 d12, d24, d30, d48, d60, d120가 존재한다. - 정다면체 대칭 중 단일한 주사위
- 정다면체 - 4종
- 카탈랑다면체 - 3종
- 마름모삼십면체 (d30), 마름모사각뿔십이면체(육방팔면체) (d48), 마름모사각뿔육십면체(육방이십면체) (d120)
- 정다면체 대칭 중 여러 종 존재하는 주사위
- 이면군 다면체 주사위 (d2n) - 7종
- 무한군 - 5종
- Dnh 대칭 - n각쌍뿔 (n≥3)
- Dnh 대칭 - 변추이 2n각쌍뿔 (n≥2)
- Dnd 대칭 - 부등변 2n각쌍뿔 (n≥2)
- Dnd 대칭 - 엇n각쌍뿔 (n≥3)
- Dn 대칭 - 비대칭 엇n각쌍뿔 (n≥3)
- 유한군 - 2종
- D2d 대칭 - 정방형 쐐기꼴 (d4)
- D2 대칭 - 사방정형 쐐기꼴 (d4)
쌍각뿔 또는 엇쌍각뿔 등, 이면군에 속하는 다면체 또한 면추이 도형이므로, 짝수 주사위(d2n)는 모두 기하학적으로 공정하게 만들 수 있다. 이들 중 가장 많이 쓰이는 주사위는 엇쌍각뿔 형태의 n=5인 D5d 대칭형 엇오각쌍뿔형 d10이며, 그 다음은 n=8인 D8h 대칭 쌍팔각뿔형 d16이다.
던졌을 때, 엇쌍각뿔은 n이 홀수일 때 면이 위로 오므로 홀수일 때 보기 편리하지만, n이 짝수면 모서리가 위로 오므로 불편하다. 쌍각뿔은 반대로 n이 짝수일 때 면이 위로 오고 n이 홀수일 때 모서리가 위로 온다. 이런 이유 때문에 짝수의 2배인 d4n 주사위는 쌍각뿔로, 홀수의 2배인 d(4n+2) 주사위는 엇쌍각뿔로 만든다.
대칭성이 가장 높은 n각쌍뿔과 엇n각쌍뿔이 가장 많이 쓰이며, 나머지는 미관상상의 이유로 잘 쓰지 않는다.
- d2, d3 - 면이 평면인 2면, 3면 다면체는 불가능
유클리드 공간에서 가장 적은 수의 면을 가진 다면체가 사면체이기 때문에, d2와 d3는 면이 2, 3개이고 평면인 다면체로는 만들 수 없다. 따라서 d2는 다면체 주사위 대신 동전과 같이 얇은 판 모양의 물체가 자주 쓰이며, d3는 d6로 대체되는 경우가 많다. 면이 반드시 평면이어야 한다는 제약에서 벗어나 곡면을 사용한다면, d2는 물론 d3도 기하학적으로 공정하게 만들 수 있다.
2.1. 대칭과 면의 형태에 따른 분류
주사위를 대칭과 면의 형태에 따라 분류하면 30종류로 나눌 수 있다.| 정다면체 (총 5종) | |||
| 주사위(면의 수) | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| d4 | 정사면체 | 정삼각형 | Td |
| d6 | 정육면체 | 정사각형 | Oh |
| d8 | 정팔면체 | 정삼각형 | |
| d12 | 정십이면체 | 정오각형 | Ih |
| d20 | 정이십면체 | 정삼각형 | |
| 카탈랑 다면체 (총 13종) | |||
| 주사위(면의 수) | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| d12 | 삼방사면체 | 이등변삼각형 | Td |
| 마름모십이면체 | 마름모 | Oh | |
| d24 | 삼방팔면체 | 이등변삼각형 | Oh |
| 사방육면체 | |||
| 연꼴이십사면체 | 연꼴 | ||
| 오각이십사면체 | 좌우대칭 오각형 | O | |
| d30 | 마름모삼십면체 | 마름모 | Ih |
| d48 | 마름모사각뿔십이면체 | 삼각형 | Oh |
| d60 | 삼방이십면체 | 이등변삼각형 | Ih |
| 오방십이면체 | |||
| 연꼴육십면체 | 연꼴 | ||
| 오각육십면체 | 좌우대칭 오각형 | I | |
| d120 | 마름모사각뿔삼십면체 | 삼각형 | Ih |
| 이면군(Dihedral) 다면체 (총 7종) | |||
| 주사위(면의 수) | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| d(2n) (n≥3) | 정n각쌍뿔 | 이등변삼각형 | Dnh |
| d(4n) (n≥2) | 변추이 2n각쌍뿔 | 비대칭 삼각형 | |
| 부등변 2n각쌍뿔 | Dnd | ||
| d(2n) (n≥3) | 엇n각쌍뿔 | 연꼴 | |
| 비대칭 엇n각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | Dn | |
| d4 | 정방형 쐐기꼴 | 이등변삼각형 | D2d |
| 사방정형 쐐기꼴 | 비대칭 삼각형 | D2 | |
| 그 외 정사면체 대칭군 (총 5종) | |||
| 주사위(면의 수) | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| d12 | 연꼴십이면체 | 연꼴 | Td |
| 황철석면체(Pyritohedron) | 좌우대칭 오각형 | Th | |
| 사분면상(Tetartoid) | 비대칭 오각형 | T | |
| d24 | 육방사면체 | 삼각형 | Td |
| Dyakis Dodecahedron | 비대칭 사각형 | Th | |
2.2. 눈의 수에 따른 분류
2.2.1. d1
주사위를 던지는 본래 목적인 '무작위 숫자'의 의미가 없는 물건이기 때문에, 상징적인 의미를 부여하기 위함이 아니라면 굳이 사용하지 않는다. 사용해도 주사위로서의 의미가 없으므로, 정말 아무 물건이나 다 쓸 수 있다.
- 앞과 뒤가 같은 동전
- 1의 눈만 새기거나, 아무것도 새기지 않은 다면체 주사위
- 그 밖의 아무 물건
그럼에도 숫자 1의 의미를 가진, 실제로 기하학적으로 면이 1개인 형태를 찾아보면 다음과 같다.
| 대칭 | 예시 | 비고 |
| O(3) | 구 | 3차원에서 가장 큰 대칭을 가진 형태, 면이 1개인 도형 |
| D∞h | 토러스 | 면이 1개인 도형 |
| C1 | 뫼비우스의 띠 | 겉과 속이 구분되지 않는, 면이 1개인 도형 |
2.2.2. d2
| | |
| D2d 대칭 곡면 d2[4] | 동전 |
- 얇은 판
동전, 딱지 등, 얇은 판 모양의 물체라면 무엇이든지 d2로 쓸 수 있다. 특히 동전의 경우 d6 주사위와 더불어, 수학 교과서의 단골손님이다. 수학적으로 완전한 평면형 물체는 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 1/2 이기에[5], 2면체 주사위로 생각하더라도 전혀 틀림이 없다.
현실세계에서는 두께가 매우 얇은 물체를 제작하는 것은 가능하지만, 아예 두께가 없는 물체를 만드는 것은 불가능하다. 이 때문에 옆면이 나올 확률이 0에 가깝지만 완전히 0은 아니기 때문에, 지극히 낮은 확률로 동전이 꼿꼿하게 서는 경우도 있긴 하다.
- D2대칭 2곡면 d2
위 오른쪽 그림의 D2d 대칭 곡면 주사위와 같이, 곡면을 가진 주사위도 존재한다. 위 D2d 대칭 곡면 d2의 경우, 정육면체와 유사한 형태를 가져 잘 굴러간다.
- 면의 수가 2n (n≥2)인 다면체 이용
일반적인 육면체 주사위에다가 "1"자 3개, "2"자 3개를 써놓는 경우도 있다. 흔한 정육면체 주사위를 대신 사용하기도 하는데, 이 경우는 홀수를 1로, 짝수를 2로 판정하거나, 아니면 1-3을 1로, 4-6을 2로 판정하기도 한다.
2.2.3. d3
| | | |
| 삼각기둥형 롱 다이스 d3 | D3 대칭 곡면 d3 | |
- 삼각기둥형 롱 다이스
위 삼각기둥형 롱 다이스와 같이, 삼각기둥을 기본으로 양 끝을 적절히 가공해 3개의 면만 나오게 만드는 경우가 많다.
- D3 대칭 3곡면 d3
위 오른쪽 그림의 D3 대칭 곡면 d3 모델처럼 3개의 곡면을 가진 입체형으로 만들기도 한다. 위의 곡면 주사위의 경우, 정육면체와 유사한 형태를 가져 사용하기 편하다.
- 면의 수가 3n (n≥2)인 다면체 이용
아무 동전이나 잡고 던지면 되는 d2와 달리, 전용 d3 주사위는 비교적 흔하지 않다. 이 때문에 흔한 정육면체 주사위로 대신하는 경우가 많다. 4~6이 나왔을 때 3을 빼거나, 1~2를 1, 3~4를 2, 5~6을 3으로 판정하기도 하며, 아예 1, 2, 3 혹은 4, 5, 6 각각 3개의 숫자를 2개씩 써서 만들 수도 있다.
2.2.4. d4
| d4 | |||
| 유형 | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| 정다면체 | 정사면체 | 정삼각형 | Td |
| 이면체 대칭 (쐐기꼴형) | 정방형 쐐기꼴 | 이등변삼각형 | D2d |
| 사방정형 쐐기꼴 | 비대칭 삼각형 | D2 | |
정다면체 대칭형 1종, 이면체 대칭형(쐐기꼴형) 2종으로, 총 3종 존재한다.
사면체 주사위이며, 'd4'로 표기한다. 정사면체로 주로 만든다.
4개의 면을 지닌 d4의 경우, D2(이면체 대칭, dihedral symmetry) 대칭만으로도 면추이가 성립하므로, 반드시 정사면체일 필요는 없다. 뿐만 아니라, 정사면체가 아닌 D2d 대칭을 가진 정방형 쐐기꼴로 만들 경우에는 던졌을 때 면이 위로 올라오므로 오히려 나온 눈을 읽기 편하다. 그러나 미관상의 이유로, 대다수의 d4는 더 큰 대칭성을 가진 정사면체로 만들어진다.
정사면체는 구조상 면이 아닌 꼭지점이 위로 오기 때문에, 21세기에 생산되는 정사면체 d4는 꼭지점 부분에 숫자가 마킹되어 있다. 반면 20세기에 생산된 구형(舊形) d4는 숫자 표기가 면에 있어 숫자 읽기가 불편했다.
사면체는 구조상 단점이 많아 정팔면체(d8)로 대체하기도 한다.
- 지나치게 안정적인 구조 탓에[6] 잘 구르지 않는다. 이 때문에 던질 때 최대한 많이 돌도록 던져야 하며, 이 특이한 손맛을 싫어하는 사람들은 d4 사용을 더욱 기피한다. 12면체나 8면체를 숫자만 1~4만 써놓고 쓰는 경우도 있다.
위에서 설명한 정사면체 주사위의 단점이 있기 때문에, 이를 보완하기 위해 꼭지점 부분을 조금 잘라내어 깎은 정사면체와 유사한 형태로 만들기도 한다. 이 부분을 둥글게 가공할 경우 좀더 잘 구르게 되고, 아주 낮은 확률이지만 잘못 멈추는 일도 생기지 않으며, 여기에 숫자를 적어 보기도 편하게 된다. 정육면체에서 서로 마주보는 면 2개를 둥글게 만든, 일종의 롱 다이스도 존재한다.
2.2.5. d6
사진은 카지노용 주사위.
| d6 | |||
| 유형 | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| 정다면체 | 정육면체 | 정사각형 | Oh |
| 정다면체 | 정십이면체[8] | 정오각형 | Ih |
| 이면체 대칭 | 정삼각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D3h |
| 엇삼각쌍뿔 | 연꼴 | D3d | |
| 비대칭 엇삼각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | D3 | |
가장 일반적이고 널리 쓰이는 형태의 정육면체 주사위이다. 정육면체 주사위는 다른 주사위와는 다르게 상자에 차곡차곡 넣으면 빈틈없이 꽉 차기 때문에, 주사위를 많이 굴려야 하는 미니어처 게임이나 TRPG, 또는 백개먼 등의 전통적인 놀이에서 많이 사용된다.
흔히 사용하는 정육면체 주사위의 경우 마주보는 면의 숫자를 합하면 7이 되고, 이것을 본떠서 다른 주사위들도 대체로 이렇게 만든다. 20면체 주사위면 합이 21, 12면체면 13이 되는 식이다.
모노폴리나 부루마불과 같이 정육면체 주사위 2개를 동시에 사용하는 경우는 두 주사위의 눈의 합을 사용하기 때문에 1은 나올 수 없고 2~12까지의 값만이 나오게 된다. 이 중 확률적으로 가장 많이 나오는 것은 7이고, 가장 안 나오는 것은 2와 12이다.[9] d6 2개를 사용할 경우 숫자마다 나올 확률이 다르고 1은 나올 수 없다는 점이 마음에 안 드는 일부 플레이어들은 d12 1개로 대체해서 사용하는 경우도 간혹 있다. 이 경우 1~12까지의 숫자들이 모두 같은 확률로 나오게 된다.
정육면체가 아닌 찌그러진 육면체인데, '공정한' 주사위도 존재한다. 위 표에서 D3 대칭에 해당하는 비대칭 엇삼각쌍뿔의 형태를 한 주사위들이다. 오히려 그 특이한 모양새 때문에, 럭비공처럼 예측이 어려운 움직임을 보이므로 사기를 치기 어렵다고 한다.
백개먼이란 게임에는 특이한 6면체 주사위가 하나 포함되어 있는데, 각 면이 2,4,8,16,32,64 로 2의 거듭제곱의 값을 가진다. 다만, 이는 굴리는 용도가 아니라 '더블링 큐브'라는 특별한 규칙을 선언하는 용도로 사용된다. 또한 평균값을 내기 위한 여러 가지 육면체 특수 주사위들이 존재하는데, 그 중 대표적인 예제가 퍼지 주사위이다.
2.2.6. d8
정다면체 대칭형 1종, 이면체 대칭형 5종으로, 총 6종 존재한다.| d8 | |||
| 유형 | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| 정다면체 | 정팔면체 | 정삼각형 | Oh |
| 이면체 대칭 | 정사각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D4h |
| 마름모쌍뿔 | 비대칭 삼각형 | D2h | |
| 부등변 마름모쌍뿔 | D2d | ||
| 엇사각쌍뿔 | 연꼴 | D4d | |
| 비대칭 엇사각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | D4 | |
가장 큰 대칭성을 가진 정팔면체가 가장 많이 사용되며, 나머지는 거의 사용되지 않는다. d4 의 구조적인 문제 때문에, 5~8을 각각 1~4로 취급하는 식으로 정팔면체를 이용하는 경우도 있다.
2.2.7. d10
정다면체 대칭형은 없으며, 이면체 대칭형만 3종이다.| d10 | |||
| 이면체 대칭 | 정오각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D5h |
| 엇오각쌍뿔 | 연꼴 | D5d | |
| 비대칭 엇오각쌍뿔 | 비대칭 오각형 | D5 | |
주로 엇쌍각뿔의 형태로 만들어진다.
인류가 십진수를 쓰는 한 10면체 주사위는 반드시 필요하기에, 의외로 많이 쓰인다.
100면 주사위도 존재하지만 이는 너무 구에 가까우며, 기하학적으로 공정하게 만드는 것도 불가능하기 때문에, 10면체 주사위 2개를 조합해서 쓰는 경우가 더 많다. 편의상 처음부터 1의 자리, 10의 자리를 써 놓은 2개의 주사위를 사용한다. 10면체 조합 100다이스 도면 PDF 도면. 예를 들어 [40, 2]가 나오면 42로, [20, 0]이 나오면 20으로, [00, 7]이 나오면 7로 읽는다. 이 때, [00, 0]이 나오면 사전에 설정한 규칙에 따라 0 혹은 100으로 읽는다.[10] 또한 1의 자리를 쓴 d10을 단독으로 사용할 경우 0을 10으로 읽는다.
십면체 주사위부터는 숫자 9가 등장하는데, 6인지 9인지 혼동할 수 있기 때문에, 이를 구분할 수 있도록 점이 찍혀 있거나 또는 밑줄이 그어져 있다.
초기의 주사위 세트에는 d10과 d20이 없었다. 대신 d10은 정이십면체에 같은 숫자가 2번 써져 있었으며 d20은 3판부터 나왔다. 굳이 정다면체 대칭형이 필요하다면, 정이십면체 주사위로 대체 가능하다. 11~20을 1~0으로 간주하고 사용하는 간단한 방법이며 실제로도 그렇게 많이 사용한다.
2.2.8. d12
정다면체 대칭형 6종, 이면체 대칭형 5종으로, 총 11종 존재한다.| d12 | |||
| 유형 | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| 정다면체 | 정십이면체 | 정오각형 | Ih |
| 카탈랑 다면체 | 마름모십이면체 | 마름모 | Oh |
| 기타 | 삼방사면체 | 이등변삼각형 | Td |
| 연꼴십이면체 | 연꼴 | Td | |
| 황철석면체 (Pyritohedron) | 좌우대칭 오각형 | Th | |
| 사분면상 (Tetartoid) | 비대칭 오각형 | T | |
| 이면체 대칭 | 정육각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D6h |
| 변추이 육각쌍뿔 | 비대칭 삼각형 | D3h | |
| 부등변 육각쌍뿔 | D3d | ||
| 엇육각쌍뿔 | 연꼴 | D6d | |
| 비대칭 엇육각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | D6 | |
가장 큰 대칭성을 가진 정십이면체가 가장 많이 사용되며, 그 다음으로는 마름모십이면체도 종종 사용된다.
삼방사면체, 연꼴십이면체, 사분면상과 같이 정사면체 대칭을 가진 다면체의 경우, 명확한 윗면이 없어 눈을 읽기 애매하다는 정사면체 대칭 특유의 문제, 그리고 더 높은 대칭성과 실용성을 가진 d12가 있다는 점 때문에 자주 사용되지 않는다.
2.2.9. d16
정다면체 대칭형은 없으며, 이면체 대칭형만 5종이다.| d16 | |||
| 이면체 대칭 | 정팔각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D8h |
| 변추이 팔각쌍뿔 | 비대칭 삼각형 | D4h | |
| 부등변 팔각쌍뿔 | D4d | ||
| 엇팔각쌍뿔 | 연꼴 | D8d | |
| 비대칭 엇팔각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | D8 | |
주로 정팔각쌍뿔 형태로 만든다.
2.2.10. d20
정다면체 대칭형 1종, 이면체 대칭형 5종으로, 총 6종 존재한다.| d8 | |||
| 유형 | 다면체 명칭 | 면의 형태 | 대칭 |
| 정다면체 | 정이십면체 | 정삼각형 | Ih |
| 이면체 대칭 | 정십각쌍뿔 | 이등변삼각형 | D10h |
| 변추이 십각쌍뿔 | 비대칭 삼각형 | D5h | |
| 부등변 십각쌍뿔 | D5d | ||
| 엇십각쌍뿔 | 연꼴 | D10d | |
| 비대칭 엇십각쌍뿔 | 비대칭 사각형 | D10 | |
주로 정다면체 중에서 가장 면이 많은 정이십면체로 만든다.
십면체 주사위가 없을 경우, 이것을 대신 사용하기도 한다. 11~20 이 나올 경우 10을 뺀 값으로 사용하면 되기 때문. 실제로 같은 숫자를 2번 넣어서 만들어 파는 경우도 있다. 20면체 d10 주사위 특히 엇쌍각뿔 형태의 10면체 주사위가 개발되기 전에는 거의 대부분의 d10이 이 형태였다.
2.2.11. d24
| |
| 연꼴이십사면체로 만들어진 d24 주사위 |
- 사방육면체 - 정육면체를 기반으로 하여 각 면을 4분할하여 볼록 튀어나온 모양, Oh(정팔면체) 대칭.
- 삼방팔면체 - 정팔면체를 기반으로 하여 각 면을 3분할하여 볼록 튀어나온 모양, Oh(정팔면체) 대칭.
- 오각이십사면체 - 좌우대칭 오각형 24개로 구성된 모양, O(카이랄 정팔면체) 대칭.
- Dyakis_dodecahedron - 비대칭 사각형 24개로 구성된 모양, Th(황철석면체) 대칭.
유사 연꼴이십사면체라는 도형이 존재하나, 면 자체 모양만 모두 같은 뿐, 면추이 다면체가 아니기에 이 도형으로는 공정한 주사위를 만들 수 없다.
2.2.12. d30
30개의 마름모로 구성된 마름모삼십면체라는 도형이 있는데, 이를 이용하여 만든 주사위도 있다. 모든 면이 동일하고, 수학적으로도 모든 면이 나올 확률이 동일하다.
2.2.13. d48
3각형 48개로 되어있으며 각 면이 나올 확률은 동일하다. 정육면체를 8등분하거나 정팔면체를 6등분 한 모양으로, 육방팔면체라고 부른다.
2.2.14. d60
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| 연꼴육십면체 형태의 d60. |
동일한 삼각형, 사각형 또는 오각형 60개로 구성된 다면체로 4가지 종류가 있다. 모든 면이 동일하고, 수학적으로도 균일하다.
모든 면이 삼각형: 오방십이면체
모든 면이 사각형: 연꼴육십면체
모든 면이 오각형: 오각육십면체
모든 면이 삼각형: 삼방이십면체 - 이 또한 기하학적으로도 공정하긴 하지만, 면이 굉장히 심한 둔각 이등변삼각형이어서 눈을 읽기 어렵기 때문에 위의 3가지보다는 주사위로써 좋은 형태는 아니다.
2.2.15. d120
육방이십면체 구조로, 기하학적으로 공정한 정다면체 대칭형 주사위 중에서 면의 수가 가장 많다.
쌍각뿔/엇쌍각뿔, 또는 롱 다이스 같은 이면체 대칭 형태로도 공정한 120면체 주사위를 만들 수도 있으나, 이면체 대칭형의 경우 주사위 크기에 비해 면이 너무 가늘어져서 읽기 힘들어진다.[11]
d120은 백면체 d100과는 달리 수학적으로 각 면이 나올 확률이 동일하다.
2.3. 특이한 형태의 기하학적으로 공정한 주사위
몇 가지 제약에서 벗어나면 다음과 같이 특수한 형태의 '기하학적으로 공정한 주사위'도 만들 수 있다.- 얇은 판 형태이거나, 곡면을 가진 주사위
면을 4개 이하로 줄일 수 있으므로, d2, d3를 만들 수 있으며, d7, d23과 같이 어떤 수의 면을 가진 주사위든지 만들 수 있다.
- 한 번에 여러 개의 주사위를 던지는 형태
d100(d%), d1000, … d10n 등, 숫자가 매우 큰 주사위로 사용할 수 있다.
- 모든 면을 전부 사용하지 않는 주사위
롱 다이스, 다각뿔 주사위를 만들 수 있다. 이 형태로 d3도 만들 수 있다.
- 같은 수가 여러개 적힌 주사위
정육면체에 1~3을 두번씩 적어서 d3 으로 사용할 수 있다.
정팔면체에 1~4 를 두번씩 적어서 d4 로 사용할 수 있다.
정이십면체에 1~10 을 두번씩 적어서 d10 으로 사용할 수 있다. 또는 1~5 를 4번씩 적어서 공정한 d5 를 만들 수 있다.
그외 n면일 경우 그 약수에 해당하는 주사위를 만들 수 있다.
2.3.1. 롱 다이스 (각기둥, 엇각기둥)
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| 각기둥 d13, d15 롱 다이스 | 여러가지 엇각기둥 롱 다이스[12] |
Long dice
한 방향으로 길쭉한 형태를 형태를 가진, 각기둥이나 엇각기둥 형태의 주사위. 밑면은 나오지 않도록 만든다.
각기둥으로는 d3 이상의 주사위라면 얼마든지 만들 수 있으며, 엇각기둥으로는 6 이상의 짝수 주사위를 만들 수 있다. 이런 형태의 주사위는 던지기보다는 굴러가기 쉬운 방향으로 굴리는 것이 더 편한데, 주사위를 굴리는 것은 눈을 조작하기 쉽기 때문에 권장되지 않는 사용법이다. 이 때문에 양 끝단을 뾰족하거나 둥근 형태로 가공하여, 던지더라도 밑면이 나오지 않도록 해서 불편하지 않게 만드는 것이 보통이다.
특히 각기둥으로 만들 경우 임의의 홀수 주사위를 만들 수 있다는 장점이 있다. 실제로 모든 면이 나올 수 있는 공정한 정다면체형 주사위들은 짝수 개의 면을 가졌으므로, 홀수 주사위를 만들 수 있다는 점은 큰 장점이다. 물론 옆면의 개수가 홀수일 경우 면이 아닌 모서리가 위로 오기 때문에 숫자를 면이 아니라 모서리 쪽에 표시해야 보기가 편하다.
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| 고대 유럽, 롱 다이스(대부분 d4) | 조선시대, 윤목 (d5) |
롱 다이스는 정육면체 주사위와 함께 역사가 가장 오래되었고, 많이 사용된 주사위 중 하나다. 최소한 기원전 2000~3000년 경 인도에서는 정육면체 d6와 함께 각기둥 형태의 주사위가 사용되었으며, 조선시대, 한반도에서는 승경도 놀이에 윤목(輪木)이라고 불리는 오각기둥 형태의 주사위가 사용되었다.
육기둥형 몸통의 연필 또한 롱 다이스의 형태를 가졌으므로, d6 대용품으로 쓸 수 있다.
홀수 각기둥의 경우 밑면에 대응하는 부분이 모서리이기 때문에 위의 사진처럼 숫자를 보기 편하게 가공해서 사용한다.
롱 다이스의 변형으로 팽이처럼 만든 것도 있다. 일명 티토텀(teetotum). 잘해야 몇 바퀴 회전하고 끝나는 일반 롱 다이스와 달리 수십~수백 바퀴를 회전한 뒤 멈추므로, 주사위를 컨트롤하는 방식으로 사기를 치기 어렵다. 드레이들에 사용되는 사각 팽이 주사위가 대표적이다.
2.3.2. 다각뿔
그냥 다각뿔 이라기 보다는, 다각뿔에 반구를 합쳐놓은 형태이다. 이 경우도 홀수 주사위도 가능하다. 위의 이미지는 트럼프(카드)로 쓰기 위한 13면 주사위이다.[13]
2.3.3. d100 (퍼센타일 다이스)
퍼센타일 다이스(percentile dice), 약자로 d%라고도 한다.
일의 자리와 십의 자리로 따로 나뉘어진, 2개의 엇오각쌍뿔 모양의 주사위를 동시에 던진다. 일의 자리 주사위에는 0, 1, 2, … 9가 적혀있고, 십의 자리 주사위에는 00, 10, 20, ..., 90이 적혀있다. 던진 후 일의 자리와 십의 자리 주사위 각각에 나온 눈을 합해 결과를 산출한다. 예를 들어 30과 6이 나왔으면 36, 00과 6이 나왔으면 6으로 읽는다. 단, 0과 00이 나왔을 경우는 (사전에 설정한 바에 따라) 0 혹은 100으로 간주하기 때문에 0 ~ 99 또는 1 ~ 100의 범위를 가지게 되어 0 ~ 100이 되지는 않는다.
이렇게 여러 개의 주사위를 조합하는 방식을 이용하면 d1000, d10000, ..., d10n은 물론, 서로 다른 주사위를 함께 던져 임의의 매우 큰 수의 주사위도 만들 수 있다. 단순하게 동전을 n번 던져서 2진수로 계산만 하더라도 2n 면을 가지는 주사위와 동일해진다.
백면체 d100과 달리 기하학적으로 공정성이 보장되며, 지나치게 구면에 가깝지도 않기 때문에 읽기도 편하다. 단, 반드시 2개의 주사위를 세트로 사용해야 하며, 하나라도 없어질 경우 d10을 2번 던져서 각각 십의 자리, 일의 자리로 세게 된다.[14]
3. 기하학적으로 공정하지 않은 주사위
3.1. 백면체 (d100)
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| 공 | 억지로 공을 피한 100면체 |
100면체 주사위(d%)의 경우 구 수준의 곡면을 자랑하며 실제로는 거의 그냥 공이다. 여기에 쉽게 구르고 잘 멈추지 않는데다, 최초의 회전방향에 없는 눈은 나올 확률이 적다는 단점이 있다. 굳이 이를 써야 하겠다면 그냥 던지는 것이 아니라 다이스 컵에 넣고 잘 흔들어서 내려놓으면 된다.
이 100면체 주사위는 Lou Zocchi 라는 사람이 만들었는데, 그 이름을 따서 Zocchihedron이라고도 부른다.
인간이 쓰는 수 체계가 일반적으로 10진법이기 때문에 100이라는 상징적인 숫자를 사용하긴 했지만, 수학적으로 각 면이 나올 확률이 균일하지는 않다.
공정한 d100이 필요하다면 상술한 퍼센테일 다이스와 같이 d10 2개를 각각 십의 자리와 일의 자리에 할당하는 방식으로 사용할 수 있다.
3.2. 삼각기둥 d5
5면체 주사위(d5)도 존재는 하지만, 기하학적으로 공정하지 않다.
10면체 주사위에 같은 숫자 2개를 적어서 공정성을 보장할 수는 있다. 또는, 20면체 주사위에 같은 숫자를 4개씩 써넣은 주사위도 있다.
그냥 10면체 주사위가 있다면, 이를 대신 사용해도 된다. 6~10 이 나오면 5를 빼주면 된다. d6을 사용하고 6이 나올 경우 다시 던지는 식으로 사용할 수도 있다.[A]
3.3. 오각기둥 d7
d5 와 마찬가지로 기하학적으로 공정하지는 않다. 롱 다이스 형태로 만들거나, 칠각쌍뿔 혹은 엇칠각쌍뿔 형태로 14면체 주사위를 만든 뒤 1~7까지의 숫자를 2번씩 써넣으면 공정한 d7을 만들 수 있으며, d8을 사용하고 8이 나올 경우 다시 던지는 식으로 사용할 수도 있다.[A]
3.4. 구면체 d9
정사각형 1개, 오각형 4개, 연꼴 4개로 이루어진 구면체 주사위3.5. 목제 주령구 (d14)
주령구는 안압지 주사위로 잘 알려진, 통일신라시대의 유물로, 8개의 육각형 면과 6개의 사각형 면, 총 14개의 면을 가지고 있다. 출토된 주령구는 깎은 정팔면체와 유사한 형태를 갖고 있다.
주령구는 공정한 게임이 아닌 술 게임 벌칙을 위해 만들어진 것이므로 애초에 확률이 같을 필요가 없다. 그래도 출토된 주령구는 사각형과 육각형의 크기를 잘 조절해서 각 면이 나올 확률이 거의 비슷하도록 만들어졌다.
3.6. 마름모육팔면체 d18
마름모육팔면체라는 도형을 적당히 가공하여 만든 18면체 주사위가 있다. 마름모육팔면체의 18개의 정사각형 면에만 숫자를 새기고, 삼각형 면은 둥글게 가공하여 멈추지 않게 만든 것이다. 위의 5면체, 7면체 주사위보다는 훨씬 그럴듯하게 생겼으며, 숫자가 쓰인 면의 형태가 정사각형이어서 얼핏 보면 공정해 보이지만 정사각형 부분만 따져도 기하학적으로 공정하지 않다. 정사각형으로 한정해도 삼각형에 인접한 면이 확률이 더 높아진다.
정구각쌍뿔, 엇구각쌍뿔 및 십팔각기둥 모양의 롱 다이스를 만들면 공정한 d18을 만들 수 있다.
3.7. 축구공 d32
축구공 모양의 32면체도 있다. 이쪽은 12개의 오각형과 20개의 육각형으로 구성되어 있으며, 기하학적인 이름은 깎은 정이십면체이다.
오각형과 육각형의 크기가 다르므로 공정한 주사위는 아니다. 만약 육각형 면에만 숫자를 쓰거나, 오각형 면에만 숫자를 쓴다면 공정한 주사위가 되지만, 그러면 결국 d20 혹은 d12가 되어 버린다. d20과 d12는 이미 정이십면체와 정십이면체라는 훌륭한 형태가 존재하기 때문에 굳이 축구공 모양의 주사위를 사용할 이유가 없어진다.
참고로 60개의 탄소 원자로 구성된 풀러렌도 동일한 모양이다.
3.8. 윷 d2×4
윷놀이에 사용되는 윷가락은 던지면 윷가락 하나가 앞면과 뒷면 중 하나가 나오지만, 둥글게 되어 있는 앞면의 면적이 더 넓어서 뒷면이 나올 확률이 더 높기 때문에 기하학적으로 공정하지 않다. 다만 이건 애초에 그걸 위해 일부러 그렇게 만들어진 거다. 안 그러면 도와 걸, 윷과 모의 확률이 동일하기 때문. 경우의 수를 보면 개가 나오는 경우의 수가 6가지로 가장 많은데도 실제로 던져보면 그보다 적은 4가지 경우의 수의 걸이 더 많이 나오는데, 이는 뒷면이 나올 확률이 더 높은 특성 때문.
3.9. 기타
경우에 따라 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ...짜리 주사위가 필요한 경우도 있고, 실제로 이러한 면을 가진 주사위도 존재한다. 다만 '기하학적으로 공정하지는 않다'. 실제로 인터넷을 찾아 보면 7면 주사위, 9면 주사위, 11면 주사위, 14면 주사위, 18면 주사위, 심지어 50면 주사위도 존재하는 것을 알 수 있다. shapeway에 들어가면 144면체 주사위도 있다 한다. 이런 주사위들은 제조사에서 최대한 동일한 확률로 각 면이 나오도록 설계하긴 했으나, 수학적으로 공정성을 보장받는 주사위는 아니다.
하지만, 공정한 주사위가 필요한 경우라면, 예를 들어 d5, d7, d15가 필요할 때에는 같은 숫자가 2개씩 적힌 d10, d14[17], d30을 사용하고, 2개의 면을 같은 수로 하는 것이 공정하다. 그외에 d5의 경우 정이십면체(1-6-11-16을 모두 1로 간주하는 방식)으로 공정한 주사위를 만들 수도 있다.
다른 방법으로 지정된 숫자면이 아니면 다시 던지기를 하는 방법도 있다. 예를 들어 d7의 경우 정팔면체에서 8이 나오면 "다시 던지는 방법"으로 공정한 주사위를 만들수 있다. d9 의 경우도 십면체 주사위에서 0(또는 10)이 나오면 다시 던지기를 할 수도 있다. 이론상 무한히 8만 나오는 경우가 발생할 수는 있지만, 그 확률은 0에 수렴하므로, 실질적으로 언젠가는 다시 던지기가 끝나게 된다.
민자 주사위라고 해서 아무 숫자도 새겨지지 않은, 그냥 정육면체 블록도 있다. 제일 위에 'd1'용으로 사용되는 주사위 이다. 그런데, 이 주사위의 각 면에, 사용자가 숫자를 직접 기입해서 특수한 주사위를 만들 수도 있다. 정육면체를 기준으로 숫자를 중복해서 기입하면 6의 약수가 d2, d3 주사위를 만들 수 있다. 이렇게 깎아내지 않고 만든 주사위의 경우, 일반적으로 사용되는 양산형 주사위와 달리 눈을 새기기 위해 깎아내는 부분이 없어 공정성이 높은 편이다. 이런 주사위에 한면에는 1, 2개면에는 2, 남은 3개면에는 3을 적어서, 1:2:3 비율의 주사위를 만들 수도 있다.
백개먼에서는 2,4,8,16,32,64 를 면으로 가지는 정육면체의 '더블링 큐브'가 존재한다. 다만, 굴리는 용도가 아니라,게임 도중 2배 4배... 게임을 제안할 때 쓰인다.
4. 사기 주사위
사기(詐欺)를 위해 제작된, 의도적으로 공정하지 못하게 설계된 주사위.주사위는 보통 도박에 자주 등장하는 물건이다 보니, 주사위가 만들어진 이래로 주사위 자체를 비정상적으로 만드는 사기수법은 동서고금을 막론하고 존재했다. 처음 제작 의도부터 공정한 게임과는 거리가 먼 주사위이므로, 겉보기에는 공정해 보이지만 실제로는 그렇지 않다.
- 의도된 수의 눈만 적힌 주사위
주사위 절반에 의도된 수의 눈만 적혀있고, 반대편에는 같은 수의 눈이 새겨진 사기 주사위. 한 사람의 시선에서는 주사위의 절반만 보이고 반대쪽은 보이지 않는다는 점을 악용한 주사위이다.[18] 만화 도박묵시록 카이지에 등장한 456 주사위가 이 경우에 속한다. 이런 사기를 방지하기 위해, 카지노 전용 주사위는 투명한 재질을 사용해 반대쪽 면이 보이도록 만든다.
- 무게중심을 주사위의 중앙에서 벗어나게 만든 주사위
주사위 내부에 다른 물질을 넣어 일부러 한 쪽만 무겁게 만든 주사위. 무거워진 면이 아래로 갈 확률이 높다는 점을 악용한 주사위이다. 플라스틱 주사위를 살짝 녹였다 굳혀서 무게중심을 바꾸는 경우도 있다. 이런 주사위를 영어로는 Loaded Dice라고 한다.
역사가 굉장히 오래된 사기 주사위로, 폼페이에서는 한쪽 면이 파여있는, 상아로 된 사기 주사위 유물이 발굴됐다. 일명 납주사위로 불리는, 한쪽 면의 주사위눈을 파내고 납과 같은 중금속을 넣은 주사위도 있다.
- 자석이나 금속을 넣은 주사위
평소엔 일반 주사위와 동일하지만 전자석 등을 세팅해 놓은 테이블에서 굴릴 경우 로디드 다이스와 유사한 효과를 낼 수 있다.
- 정육면체가 아닌 주사위
겉보기엔 티가 안나게 미묘하게 찌그러진 주사위. 그냥 던질 때는 랜덤하지만, 특수한 컵에 담아서 흔들면 원하는 눈금이 나온다.
[1] 임의의 한 면에 인접한 모든 면의 구성이 같음[2] 면의 개수가 같음.[3] 면의 개수가 다름. 모두 이면군(dihedral group)에 속한다.[4] 야구공 접합부의 기하학적 구조와 같다.[5] 엄밀히 따지자면 보통 화폐로 사용되는 동전은 양 면에 새겨진 형태가 달라서 무게중심이 약간 어긋나기 때문에 정확히 50%는 아니며, 종류에 따라서는 각 면이 나올 확률의 차이가 꽤 많이 벌어지는 경우도 있다. 그래서 스포츠 경기 등에서 주사위로서 동전을 사용할 경우는 주화가 아니라 처음부터 주사위 용도로 만들어진 전용 동전을 사용하는 것이 보통이다.[6] 질량중심이 주사위 전체 높이의 1/2 지점에 있는 상하대칭형 다면체들과 달리, 모든 사면체는 질량중심이 주사위 전체 높이의 1/4 지점에 있어 물리적으로 안정적이다.[7] 그나마 21세기에 생산되는 d4들은 가급적 모서리와 꼭지점을 둥글게 깎아서 나오지만, 그래도 실수로 밟았을 때 아픈 건 똑같다. 특히나 해외에선 3D 프린터의 발달로 각종 디자인 주사위들이 쏟아져나오는데, 그 중에는 역으로 진짜 마름쇠를 더 닮게 만들어서 평범한 정사면체보다 더 위험해 보이는 d4들도 보인다.#1 #2#3#4[8] 12면체에 1부터 6까지만 표기해 d6로 만드는 경우도 있다. 페이트 주사위(=d3), d4, d2까지도 가능하다.#[9] 7이 만들어지는 조합은 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1이기 때문에 확률은 6/36이 되며, 2와 12가 만들어지는 조합은 각각 1/1과 6/6밖에 존재하지 않기 때문에 확률은 1/36이 된다.[10] 즉, 0~99 혹은 1~100의 범위를 갖게 된다.[11] 이면체 대칭형으로 만들면 한 축을 중심으로 60각형 대칭이 되어야 하기 때문에, 사실상 쌍원뿔 형태가 되어버린다.[12] 단, 왼쪽 상단의 d4는 각기둥이다.[13] 자세히 보면 숫자 1 옆에는 A가, 숫자 12 옆에는 Q가 적혀있는 걸 확인할 수 있다.[14] 물론 이때 자릿수를 세는 순서도 위의 0/100의 경우와 마찬가지로 사전에 정해놓는다.[A] 다만 후자의 경우 아주 여러번 다시 던져야 하는 경우가 생길 수 있다. 이론상으로는 무한히 다시 던지게 되는 경우도 있지만 현실적으로 그러한 일이 발생하기는 대단히 어렵다.[A] [17] 물론 사진에 나온 것이 아니라 엇칠각쌍뿔 형태의 d14.[18] 예외적으로 사면체 주사위는 4개 중 3개의 면이 보이기 때문에, 이 수법을 쓸 수 없다.