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1. 개요
Twin paradox상대성 이론의 시간 지연 개념과 모순되는 것처럼 보이는 역설. 이 역설이 나온 당시에는 꽤 큰 골칫거리였지만 지금은 깔끔히 해결되었다.
2. 역설의 내용
쌍둥이 역설은 이렇게 전개된다.- 한 쌍의 쌍둥이 중에서 형은 우주선을 타고 우주로 가고 동생은 지구에 남는다.
- 그 우주선은 빛에 가까운 속도로 여행한다.
- 매우 빠른 속도로 움직이는 우주선을 지구에서 보면 시간 지연이 일어나 우주선의 시간이 천천히 흐르는 것으로 보인다.
- 하지만 우주선에 타고 있는 형의 기준계에서는 우주선이 아니라 지구가 빛에 가까운 속도로 자신에게서 멀어진 것이므로 지구의 시간이 더 느리게 흐른 것처럼 보인다.
- 10년후 형이 돌아왔을 때, 지구에 남아있던 동생의 입장(기준계)에서는 형의 나이가 동생보다 어리지만, 우주선을 타고 돌아온 형의 입장에선 동생의 나이가 더 어리다.
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흔히들 쌍둥이 역설이 상대론에 따라 우주선을 타고 갔던 형이 더 젊어보이는 현상이라 생각하지만 이것은 특수 상대성 이론에 따른다면 당연히 벌어지는 결과일 뿐, 그 자체로 역설은 아니다. 역설이 적용되는 건 상대속도에 의해 이 경우 서로가 서로에게 더 젊어보여야 한다는 역설이 포인트다.
2.1. 조건
쌍둥이 역설을 더 구체화하고 오해를 방지하기 위해 약간의 조건이 더 필요하다.- 우선 두 형제는 각자의 관성계에서 서로의 나이를 완벽하게 알고 있다고 가정한다. 즉, 1광년 떨어진 우주선에서 빛이 도달하면 동생은 형의 나이가 지금 보이는 나이보다 1×(우주선의 시간이 흐르는 속도)만큼 더 먹었을 것이라고 유추할 수 있을 것이다. 즉, 여기서부터 후술할 서로의 시점에서 관찰한 상대방은 모두 이러한 유추가 완벽하게 가능하다는 가정 하에 이루어져 있다. 따라서 이 문제는 빛의 도달 시점과는 아무런 관련이 없다.
- 형의 우주선은 지구를 출발하기 이전부터 등속 운동을 하고 있었으며 지구를 스쳐 지나가는 시점에 두 형제의 나이가 같았다고 가정하자(혹은 서로 시계를 동기화했다). 서로가 나이를 다시 맞춰볼 수 있는 시점은 형이 지구에 돌아와 둘이 같은 장소에 다시 모이게 되었을 때이다. 그 이유는 상대성 이론에서는 동일한 위치에 있지 않는 이상 '동시'를 정의할 수 없기 때문이다. 다른 위치에서 일어난 두 사건이 한 관성계에서 동시에 일어난 것처럼 보여도 다른 관성계에서는 동시가 아닐 수도 있다. 동시성의 상대성 참조.
2.2. 역설이 되는 이유
쌍둥이 역설이 문제가 되는 이유는 형 입장에선 동생이 자기보다 어려야 하고 동생 입장에선 형이 자기보다 어려보여야 하는데 이것이 논리적으로 모순이기 때문이다. 형이 우주선을 타고 가면 시간이 느려져서 동생보다 어려지게 된다는 것 때문에 역설인 것이 아니다. 이것은 특수 상대론에 의해 유도되는 자연스러운 시간 지연 현상일 뿐이다. 문제점의 핵심은 "서로의 시점에서 상대방의 시간이 더 느리게 간다는 점"이다. 더 구체적으로 말하면, 서로의 입장에서 둘이 같은 장소에 모였을 때 과연 누가 더 나이를 먹었을지에 대한 해답이 불명확하다는 것이다.출발지인 지구에 있는 동생은 가만히 있고, 형 만이 '우주선을 타고 움직였기' 때문에 당연히 형의 시간이 느려지는 것이 아니냐는 반문을 할 수 있겠지만, 이는 상대성 이론의 본질을 보지 못한 대답이다. 더 간략화된 예시를 들자면, 형과 완전히 똑같은 우주선에 탄 동생이 정지해 있고 다른 우주선에 탄 형이 등속 운동으로 떠나는 장면을 생각해 보자. 여기서 운동 중인 형의 우주선과 정지해 있는 동생의 우주선은 상대성 원리에 의해 물리적으로 동일한 조건에 있다고 볼 수 있으며, 둘을 구분할 수 있는 방법은 존재하지 않는다! 두 개의 우주선은 서로에 대해 멀어지고 있을 뿐 서로 완전한 대칭을 이루고 있기 때문에, 둘 중에 어느 한 쪽의 시간이 더 느리게 간다고 하면 그게 더 이상하다.
3. 역설의 풀이
결론부터 얘기하자면, 가속을 경험[1]한 쪽인 형의 나이가 더 젊어 보이게 된다.
한 방향으로만 움직이는 등속 운동만으로는 지구를 떠난 우주선이 다시 돌아오는 것은 불가능하다. 즉, 필연적으로 우주선이 가속을 통해 운동 방향을 지구로 되돌리는 순간이 있어야 하며 그 결과 우주선의 시간이 더 느려지게 된다.
이에 대해 가속하는 우주선의 시간이 느려지기 때문이라는 이유를 붙이는 경우가 많은데, 일반 상대론을 끌어오지 않고 특수상대론의 틀 안에서도 설명이 가능하다. 우주선의 입장에서는 관측자의 속도가 변함으로써 민코프스키 시공간상에서의 동시선의 기울기가 바뀌기 때문에 멀리 떨어진 지구의 시간대가 변화하는 것처럼 보인다.
즉, 실제로 일어나는 일은 다음과 같다.
- 우주선 관찰자는 지구에서 멀어지는 동안 / 가까워지는 동안 두 구간 모두 지구 관찰자의 시간이 자기보다 느리게 가는 것으로 인식한다.
- 하지만 우주선이 지구로 귀환하기 위해 방향을 전환하는(이동했던 방향의 반대 방향으로 가속하는) 동안 지구의 시간대가 순식간에 미래로 점프한다!
아래는 지구 관측자 시점에서의 우주선의 좌표 변화를 단순화하여 시공간 좌표계에 나타낸 그래프이다. 지구가 그리는 궤적이 수직선이고 우주선이 대각선의 궤적을 그린다. 방향 전환 전/후의 우주선의 동시선은 각각 푸른색/붉은색 선으로 표시되어 있다. 방향 전환을 한 이전과 이후의 동시선의 기울기가 달라 우주선이 인식하는 주변 공간의 시간대가 변화하며, 멀리 떨어진 대상일수록 그 변화량이 커진다.
물론 시간대의 점프는 우주선이 순간 방향을 정반대로 틀었다는 가정에서 도출되는 해일 뿐이다. 일정 시간 동안 일정하게 가속하는 현실적인 상황을 설정하면 위의 시간선 그래프는 오른쪽으로 볼록한 곡선이 되며, 우주선의 동시선 기울기가 연속적으로 변화하여 지구 시간 역시 점진적으로 빨라진다.
우주선이 실제로 관측하는 지구의 모습은 우주선에 도달하는 지구의 빛에 의해 결정되며, 이 빛의 진동수가 높을수록 지구의 시간은 더 빠르게 흐르는 것으로 '보인다'. 이는 빛의 상대론적 도플러 효과를 통해 계산할 수 있다. 우주선에서 실제로 관측되는 지구의 영상은 다음과 같다.
- 우주선이 지구로부터 멀어지는 동안은 적색편이에 의해 슬로우모션처럼 느리게 움직이는 지구의 모습을 관측하게 된다.
- 우주선이 방향을 틀어 지구로 향하기 위해 가속하는 동안 동시선의 기울기가 변화하며 이로 인해 슬로우모션처럼 보이던 지구의 영상이 점진적으로 빨리감기로 변한다.[2]
- 이후 지구를 향해 등속운동하는 동안 지구의 영상은 청색편이에 의해 빨리감기 상태를 유지한다. 최종적으로 도착했을 시점의 시간은 우주선보다 더 흐른 상태가 된다.
학생들이 간혹 형의 우주선이 방향 전환 없이 지구로 돌아오는 상황을 만들기 위해 “태양을 중심으로 공전하는 궤도“, “은하 중심을 중심으로 공전하는 궤도“ 등의 원운동을 하는 우주선이라면 어떻게 되는지 질문하기도 하는데, 중력이 존재하는 환경에서는 반대로 정지한 물체가 가속을 필요로 하는 비관성 좌표계가 되며 중력을 따라 운동하는 물체만이 관성 좌표계로 유지될 수 있다. 즉, 궤도를 따라 원 운동을 한 형보다 정지해 있기 위해 중력의 반대 방향으로 가속해야 하는 동생 쪽이 나이를 덜 먹게 된다.
3.1. 우주선의 시간 지연 계산
우주선이 '가속'된다는 것을 단지 한 관성계(우주선이 등속도로 지구에서 멀어지는 관성계)에서 다른 관성계(우주선이 등속도로 지구로 가까워지는 관성계)로의 전환으로 생각하면, 여전히 우주선의 좌표계는 관성 좌표계 2개를 합쳐 놓은 것이다. 전체 구간으로 봤을 때 우주선의 관성계가 비관성 좌표계인 것은 사실이지만, 그렇다고 해서 이 '역설'이 특수 상대론으로는 해결되지 않는 일반 상대론의 영역이라고 말해버리는 것에는 무리가 있다. 우주선이 감/가속을 하는 기간이 무시할 정도로 짧다고 가정하면 우주선의 운동은 두 개의 관성계로만 이루어져 있으므로, 각 구간별로 특수 상대론을 적용하는 것이 가능하다.참고로 우주선의 속력을 [math(V)]라 하고 감/가속에 걸리는 시간이 없다고 가정했을 때(즉, 무한대의 가속도로 가속을 했을 때), 지구로 돌아오기까지 우주선에 탄 아이의 시간은 아래 관계를 가진다.
[math(\displaystyle \Delta t_{\text{Y}} \geq \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\Delta t_{\text{Earth}},\ \Delta t_{\text{Y}}<\Delta t_{\text{Earth}})]
위 식으로 시간 지연 효과를 계산할 수 있다. 그 속력이 광속의 3분의 2(초속 20만km)라면 지구에서 10년 흐를 때 우주선 Y에서는 7.5년 흐른다.
3.2. 결론
요약하자면 다음과 같다.- 우주선과 지구 양쪽 모두 상대방의 시간이 느리게 가는 것처럼 보인다.
- 하지만 우주선이 가속하지 않고 관성계로 계속 유지되는 한, 두 관측자는 절대 만날 일이 없으므로 모순은 발생하지 않는다.
- 우주선이 방향을 되돌려 지구로 가속하는 과정에서 우주선에 탄 사람 입장에선 지구의 시간이 매우 빠른 속도로 미래를 향해 흐르는 것으로 느끼게 된다.
- 결국 지구에서 둘이 만난 경우 가속을 경험한 쪽인 형의 나이가 더 젊다.
3.3. 일반화
쌍둥이 역설은 결국 관성 운동과 비관성 운동을 구분하는 강력한 원리를 제공한다.시공간 위의 두 사건 A와 B를 연결하는 임의의 경로[3] 중에서 "최장 거리(최장 소요시간)"를 갖는 것은 관성운동에 해당하는 경로이다.
[math(\displaystyle \delta \int d\tau = 0)]
이 식은 사실 미분기하학에서 측지선을 나타내는 방정식인데, 특정 좌표를 선택하여 풀어내면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0)]
이것을 관성 운동의 정의로 받아들여도 된다. 관성 운동하는 물체는 4차원 시공간 상에서 측지선, 즉 직선에 해당하는 경로를 타고 이동하는 것이다. 이 관점의 장점은, 굳이 "관성좌표계"를 따로 구해서 운동을 비교하지 않아도 스스로 소요된 고유시간을 계산하여 운동상태를 비교할 수 있다는 것이다. 또한 "최대 고유시간"은 좌표계에 의존하지 않는 표현이므로 관성 운동과 비관성 운동이 단지 좌표계의 선택으로 상호 호환되지 않는, 물리적으로 확연하게 구분되는 상태임을 알려준다.
다시 쌍둥이 역설로 돌아오면, 지구에 남아있던 관찰자가 우주여행을 한 관찰자보다 나이를 더 많이 먹었으므로, 우주여행을 한 관찰자는 가속 운동을 더 많이 한 것이다. 한편 (지구의 공전과 자전 효과를 무시하면) 지구 관찰자는 관성운동을 하였으므로 우주여행을 나간 관찰자가 중간에 뭘 하더라도 무조건 나이를 더 많이 먹었을 것이다.
마치 최소 작용의 원리와 비슷한데, 신기하게도 상대성 이론에서는 "최소"가 아니라 "최대"가 된다.
3.4. 중력 시간 지연과의 관계
쌍둥이 역설의 일반화가 말해주는 것은 "입자의 세계선이 측지선(관성 운동)에 가까울수록 시간이 빠르게 흐르고, 측지선에서 벗어날수록 시간이 느리게 흐른다"는 것이다.(어디까지나 비교의 개념이기 때문에 비교할 대상을 두고 출발점과 도착점을 미리 맞춰놔야 한다.) 항성에 가까울수록, 혹은 더 무거운 항성 근처에 있을수록 중력은 강해지고, 중력 가속도도 크다. 이 가속도를 따라 그대로 떨어지면 그것이 바로 측지선이고, 시간이 가장 빠르게 흐르는 경로를 타게 된다. 만약, 자유낙하를 거부하고 그 위치에 가만히 있으려고 하면(보통은 행성 주위로 차곡차곡 쌓인 땅이 그 역할을 한다.) 중력가속도에 저항한 만큼 시간이 느리게 흐르기 시작하는데, 이로 인해 중력이 강한 곳에선 더 강한 중력 가속도를 거슬러 올라가게 되고, 그만큼 측지선에서 더 많이 벗어나는지라 시간이 더 많이 느려진다.4. 여담
5. 관련 문서
[1] 방향전환을 하려면 가속해야만 한다.[2] 상대론적 도플러 효과가 이러한 좌표계 변환의 개념을 이미 포함하므로 따로 계산할 필요 없이 도플러 효과만 고려하면 된다.[3] 물론, A와 B는 time-like하게 떨어져 있다.[4] 나중에는 특정 캐릭터에 대한 중요한 복선으로 작용한다.