- 다른 상대성 이론 역설: 쌍둥이 역설
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1. 개요
Pole and Barn Paradox상대성 이론의 길이 수축 개념과 모순되는 것처럼 보이는 역설.
쌍둥이 역설과 더불어 상대성 이론의 개념을 불완전하게 이해하면 미궁 속으로 빠져든다.
이 역설 속에는 시공간 상에서 두 사건이 다른 지점에서 일어날 때 좌표계에 따라 동시일 수도 있고 아닐 수도 있다는 사실이 내포되어 있다.
2. 상세
영희는 이 헛간에 길이 [math(10\,{\rm m})]의 막대를 안에 넣고 싶어한다. 영희의 입장에서는 영희에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 물체에는 길이 수축이 일어나므로 막대가
[math(\displaystyle \begin{aligned} 5\,{\rm m}=(10\,{\rm m})\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} \quad \to \quad v=\frac{\sqrt{3}}{2}c \end{aligned} )]
의 속력으로 움직이면 막대를 가둘 수 있다고 생각해 철수를 불러 이 속력으로 움직이며 헛간에 막대를 넣으라고 한다. 이때 영희의 입장에서는 어느 순간 헛간에 완벽히 맞아 들어가게 된다. 이 순간 영희는 버튼을 눌러 동시에 닫는다. 이후 문을 (거의 순간적으로) 다시 열어 철수가 헛간 밖으로 빠져나오게 한다. 이로써 영희는 한 순간만이라도 막대를 가둔 셈이 된다.
그러나 철수의 입장에서 보면, 헛간이 자신에게 다가오는 것으로 관측한다. 따라서 헛간의 길이가 0.5배로 줄어들어 폭이 [math(2.5\,{\rm m})]가 된다. 이로써 막대의 앞이 헛간의 뒷문에 도달했을 때 막대의 뒷 부분은 아직 헛간 안에 들어오지 못한 상태다. 이 상태에서 문을 동시에 닫으면 막대의 뒷부분은 들어오지 못한 게 되므로 막대는 가둬지지 않은 것이 된다.
3. 역설의 풀이
이 역설로 일반인이 생각하는 동시성(simultaneity)이 가루가 된다.이 역설을 풀기 위해 세로축이 [math(ct)], 가로축이 [math(x)]인 좌표계를 생각하자.
막대의 끝 부분이 앞문에 닿아 닫히는 사건을 [math(\rm P)], 뒷 문에 닿아 닫히는 사건을 [math(\rm Q)]라 하자.
(나)에서 그려진 철수의 좌표계를 보자. [math(ct'=0)]을 막대의 끝이 앞문을 통과하는 순간이라 두자. 이때, 헛간의 이동 궤적은 빨간색 영역과 같고, 막대는 가만히 있으므로 막대의 양끝점은 시간축에 평행하게 그려진다. 그런데 이번에는 보면 사건 [math(\rm Q)]가 먼저 일어나고, 즉 뒷문이 닫힌 뒤 열리고 헛간이 계속 다가온 후, 사건 [math(\rm P)]가 일어나 앞문이 닫히게 된다. 잘 보면 사건 [math(\rm P)]가 일어났을 때 막대는 이미 헛간에 다 들어온 상태다. 이후 앞문이 열리고, 뒷문은 이미 열린 상태이므로 헛간은 완전히 막대를 통과한다.
(나)를 다시 풀어서 말하면 막대가 앞문을 통과한 후 먼저 뒷문이 닫힌다. 이후 뒷문이 열리고, 막대는 뒷문을 통과한 후 나중에 앞문이 닫히나 이미 막대는 앞문을 모두 통과한 상태이고 뒷문을 열린 상태이므로 그대로 통과한다는 것이다.
따라서 좌표계에 따라서 동시성이 파괴되는 것이다.
이를 민코프스키 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.
위 그림과 같이 영희의 좌표계에서는 앞문과 뒷문이 [math(t_{\rm PQ})]에서 동시에 닫히지만, 철수의 좌표계에서는 뒷문이 [math(t'_{\rm Q})]에 먼저 닫히고, 이후 앞문이 [math(t'_{\rm P})]에 닫힌다. 이때, [math(t'_{\rm P}>t'_{\rm Q})]이다.
4. 문을 열지 않는다면?
만약 영희가 문을 닫은 채로 열지 않는다면 철수의 막대는 뒷문에 부딪히게 된다.영희의 입장에서는 앞문과 뒷문이 동시에 닫히면서 막대는 헛간안에 갇히게 되고, 뒷문에 부딪혀서 속도가 줄어들기 때문에 길이가 증가, 헛간 문을 뚫는다. 철수 입장에서는 뒷문에 부딪힌 것은 아직 앞문이 닫히기 전이다. 따라서 막대는 우선 뒷문에 부딪히고, 막대 자체가 문에 부딪혀 찌그러진다. 농담이 아니고, 아무리 튼튼한 막대라도 찌그러지는 것을 피할 수 없다. 문에 부딪힌 효과 역시 빛의 속도보다 빠른 속도로 전달될 수 없는데, 막대 자체가 빛의 속도에 가까운 엄청난 속도로 움직이고 있는지라 문에 부딪힌 결과가 막대의 반대쪽까지 전달되기 전에 막대의 다른 부분들이 상당한 거리를 진행할 수밖에 없기 때문이다.[1] 이렇게 찌그러진 막대가 일시적으로 헛간 안으로 들어왔다가 다시 원래 길이로 돌아가면서 헛간 문을 뚫는다. 그러나 이 부분에서 철수는 급격한 가속도를 겪기 때문에 사실 철수에게 보이는 상황은 분석하기가 어렵다.
여기에 대해서 그렇다면 뒤쪽 끝을 잡아당겨서 막대를 멈추는 것은 어떤가라는 의문이 들 수 있는데, 이는 불가능하다. 즉 막대 뒤쪽 끝을 잡는다고 해도 그 효과가 막대의 앞쪽 끝에 전달되기 전에 이미 막대의 앞쪽 끝은 항상 문에 부딪힌다. 이 부분도 상대적인데, 영희의 입장에서는 막대 뒤쪽 끝을 잡았으나 막대의 앞쪽 끝이 미처 멈추지 않고 벽에 부딪힌 것이지만, 철수의 입장에서 보면 앞쪽이 부딪힌 사건 쪽이 뒤쪽 끝이 잡힌 것보다 시간적으로 앞선다. 그렇다면 막대의 앞쪽 끝이나 뒤쪽 끝과 같은 특정한 위치가 아닌 막대의 각 부분에서 동시에 감속해서 막대의 길이를 유지한다면? 그에 대한 답은 철수와 영희의 입장에서 모두 '동시에'라는 것은 있을 수 없다는 것이다. 철수 입장에서 막대를 동시에 가속하는 것으로 보이는 경우, 영희에게는 막대 뒤쪽이 먼저 가속하면서 막대의 길이를 잡아늘이는 것으로 보인다. 그렇기에 영희가 보기에도 막대는 헛간 안에 완전히 들어가지 않는 것이 된다.
5. 여담
6. 관련 문서
[1] 만약 절대 찌그러지지 않는 막대가 존재한다면, 한쪽에서 막대를 밀고 당기는 즉시 반대쪽에 힘이 전달되므로 광속을 넘어 무한대의 속도로 정보전달이 가능하게 된다. 하지만 이는 모순이다. 실제로 물질을 통해 전달되는 지진파의 속도는 광속보다 훨씬 느리다.[해답] 정답은 3번 ㄱ,ㄷ이다. 이 문서의 내용을 잘 이해했다면 어렵지 않게 풀 수 있었을 것인데, 먼저 ㄱ을 보면 [math(\rm A)]의 관성계에서 우주선의 길이는 [math(L)]보다 짧은지 물어보았는데, 당연히 길이 수축이 일어나므로 맞는 선지가 된다. 다음으로 ㄴ을 보면 [math(\rm B)]의 관성계에서 자신은 가만히 오고 헛간이 오는 것으로 판단하므로 헛간에 대해 길이 수축이 일어나는데, 길이 수축이 일어나지 않은 상태에서도 우주선의 길이는 창고의 길이보다 길었기에 명백히 틀린 선지가 된다. ㄷ선지는 위 문단의 그림으로 설명이 된다.