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1. 개요
힐베르트 액션(Hilbert action) 또는 아인슈타인-힐베르트 액션(Einstein-Hilbert action)은 일반 상대성 이론에서 최소 작용의 원리(액션 원리)를 통해 아인슈타인 방정식을 유도하며, 일반 상대성 이론의 Lagrangian-Hamiltonian formulation의 근간을 이룬다.힐베르트 액션은 라그랑주 역학에 기초하여 뉴턴 역학뿐만아니라 뇌터 정리(Noether theorem), 맥스웰 방정식등 다른 고전역학 분야, 그리고 더 나아가 현대 양자역학 등과의 호환성도 보장한다는 점에서 매우 유용하다.
2. 역사
아인슈타인 방정식의 변분법적 유도는 방정식의 수학적 정합성을 알려주기 때문에 당연히 매우 중요한 요소이고, 물론 아인슈타인도 처음부터 정확한 라그랑지언을 제시하기 위해 노력했다. 그는 1913년과 1915년에 각각 당시 시점에서의 중력장 방정식에 대한 라그랑지언을 제시하였다. 그러나 1913년의 라그랑지언은 본질적인 문제가 있어서 1915년 11월 폐기되고(Entwurf 이론 참고.), 동시에 다음과 같은 라그랑지언으로 대체하였다.[Einstein(1915a)][math(\mathfrak{L} = g^{\sigma\tau}\Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}\Gamma^{\beta}_{\tau\alpha})] |
이 라그랑지언은 구조적으로는 1913년의 라그랑지언과 유사하지만, 중력장의 정의가 달라지면서 방정식이 크게 바뀌었다. 아인슈타인이 이러한 형태를 선택한 것에는 맥스웰 방정식의 라그랑지언에서 참고한 것이라는 지적이 있다.[2] 전자기학에서 전자기 퍼텐셜 [math(A^{\mu})]와 전자기장 [math(F_{\mu\nu})]에 대하여
[math(F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu})] [math(\displaystyle \mathfrak{L} = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})] |
이며 아인슈타인의 중력 이론에서는 중력 퍼텐셜이 [math(g_{\mu\nu})], 중력장이 [math(\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta})]임을 염두에 둔다면 아인슈타인의 라그랑지언과 맥스웰 방정식의 라그랑지언은 매우 분명하게 대응구조를 띤다(라그랑지언 = 장2). 물론 이 식은 좌표에 의존하기 때문에 불완전하다. 아인슈타인은 이로부터 방정식
[math(R_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})] |
를 얻어낸 뒤, 그 후에는 라그랑지언을 뒤로 한 채 이 방정식이 특정 조건([math(T=0)])에서 완전한 좌표 불변성을 얻는다는 것을 발견하고, 다음으로는 이 조건을 제거하면서 중력장 방정식을 완전한 형태로 수정하게 된다.
[math(\displaystyle R_{\mu\nu} = k\left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}T\right))] |
한편, 비슷한 시기에 아인슈타인의 이론을 변분법 기반으로 재구성하려 시도하던 수학자 다비드 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)는 수학적으로 가장 간단한 가능성을 선택하였다. 1915년 11월 20일 논문에서 그는 좌표 불변성을 띠는 가장 간단한 스칼라가 스칼라 곡률 [math(R)]이므로
[math(\mathfrak{L} = R\sqrt{-g})] |
임을 바로 제시했다.[Hilbert(1915)] 힐베르트의 라그랑지언은 아인슈타인의 것과 비교하여 (1) 라그랑지언이 그 자체로 스칼라이므로 좌표에 대해 불변이다. (2) [math(g_{\mu\nu})]의 이계 미분까지 포함해야 하기에 전형적인 라그랑지언이 아니다. 이 액션은 현재의 힐베르트 액션과 동치이기 때문에 그의 이름이 붙은 것이다. 힐베르트 스스로도 일반 상대성 이론을 만든 건 아인슈타인이라고 공을 넘기면서도 액션은 자신의 업적이라고 여러 번 강조했다.([Sauer(1998)] 51p. 참고)
한편 헨드릭 로런츠는 1915년 1월[Lorentz(1915)], 1916년 4월[Lorentz(1916)] 아인슈타인의 각 이론에 맞추어 변분법 전개를 제시했고, 아인슈타인은 1916년 11월에 이르러 변분법 체계를 제시하였다. 아인슈타인의 경우 힐베르트가 물질 과정을 전자기에 한정한 것을 지적하고 (로런츠의 방식과 비슷하게) 보다 일반적인 논의로 바꾸었다.[Einstein(1916)][8]
3. 형태
일반 상대성 이론의 전체 액션(힐베르트 액션)을 다음과 같이 중력 항, 물질 항으로 나눌 수 있다.[math(S = S_G + S_M)]
이 때, 중력 항은 부호 규약(sign convention) [math((-,+,+,+))]을 따랐을 때 다음과 같다.
[math(\displaystyle S_G = \dfrac{1}{2k} \int R\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x )]
여기에서 [math( R )]은 스칼라곡률 , [math( g )]는 거리함수텐서(메트릭 텐서)의 행렬식이며, [math(\displaystyle k = \frac{8\pi G}{c^4})]이다.
이 중에서 [math(L_G = R)]는 라그랑지언, [math(\mathscr L_G = R\sqrt{-g})]는 라그랑지언 밀도이다.
4. 액션의 유도
먼저, 일반 상대성 이론에 맞는 라그랑지언에 대해 살펴보자. 액션은 중력항과 물질항으로 나뉘어져 있으며, 일반 공변성을 띠어야 한다. 또한, 중력항에 대응되는 라그랑지언은 [math(g_{\mu\nu})]와 그 편미분들로만 이루어진 스칼라 함수이다.액션이 일반 공변성을 띠려면, 라그랑지언에 [math(\mathrm{d}^4x)]가 아닌 [math(\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x)]를 곱해야만 한다. 한편, [math(g_{\mu\nu})]와 그 일계 미분 [math(g_{\mu\nu, \sigma})]는 국소적으로 임의로 좌표를 선택함으로써 완전히 제거할 수 있으므로 일계 미분으로만 구성된 라그랑지언은 불가능하다. 이계 미분까지 허용된 스칼라는, 일반적으로 리만 텐서 [math(R^{\sigma}_{\,\,\rho\mu\nu})]만으로 얻어진다는 것이 알려져 있다. 이로부터 만들 수 있는 스칼라는 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu} := R^{\sigma}_{\,\,\mu\sigma\nu})]로부터 얻는 스칼라 곡률 [math(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu})]가 유일함을 알 수 있다. (여기에 상수 함수를 더할 수 있는데, 이는 우주 상수이다.) 따라서, 액션의 중력항을 일반적으로
[math(\displaystyle S_G = \dfrac{1}{2k} \int R\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x )]
의 형태여야 함을 알 수 있다. (계수는 편의적으로 붙인 것이다.) 물질항의 라그랑지언은 특정하지 않고 [math(L_M)]이라 하면, 일반 상대성 이론의 전체 액션은
[math(\begin{aligned} \displaystyle S = S_G + S_M &= \dfrac{1}{2k} \int R\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x + \int L_M\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x \\ &= \int\left[\frac{1}{2k}R + L_M\right]\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4x\end{aligned})]
가 된다.
5. 아인슈타인 방정식 유도
이제, 힐베르트 액션에 최소 작용 원리(least-action principle 또는 stationary-action principle)를 적용하여 아인슈타인 방정식을 유도해보자. 작용을 받는 건 메트릭 텐서이므로, [math(g^{\mu\nu})]에 대하여 변분을 취한다.[math(\begin{aligned} \displaystyle 0 = \delta S &= \int\left[\frac{1}{2k}\frac{\delta (R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}}\right]\delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\ &= \int\left[\frac{1}{2k} \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}}\right]\sqrt{-g}\delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \end{aligned})]
이로부터 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = - 2k\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}})]
먼저, 우변의 물질항은 어떤 물질 관련 텐서로 바로 정의내릴 수 있다. (사실, 스트레스-에너지 텐서이다.) 여기에서 자코비 공식 [math(\delta g = g g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} = -g g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu})]를 이용한다. (과정은 아래에 기술)
[math(\displaystyle T_{\mu\nu} := - 2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2\frac{\delta L_M}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu}L_M)]
그 다음 중력항은 다음과 같이 전개할 수 있다.
[math(\displaystyle \delta(R\sqrt{-g}) = \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} + \sqrt{-g}R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + R\delta \sqrt{-g})]
첫번째 항부터 하나씩 풀어보자. 첫번째 항은, 팔라티니 항등식(Palatini Identity)
[math(\delta R^{\sigma}_{\,\,\rho\mu\nu} = \nabla_{\mu}(\delta\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}) - \nabla _{\nu}(\delta\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}))]
에서부터 시작하여 ([math(\delta \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta})]가 텐서임을 이용하면 얻는 식이다.) 먼저 다음 식을 유도한다.
[math(\begin{aligned} g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu} = g^{\mu\nu}\delta R^{\sigma}_{\,\,\mu\sigma\nu} &= g^{\mu\nu}\nabla_{\sigma}(\delta\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}) - g^{\mu\nu}\nabla_{\nu}(\delta\Gamma^{\sigma}_{\sigma\mu}) \\ &= \nabla_{\sigma}\left(g^{\mu\nu}\delta\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^{\nu}_{\nu\mu}\right) \end{aligned})]
마지막 전개식은 metric compatibility ([math(\nabla_{\sigma}g^{\mu\nu} = 0)])를 이용하고 첨자를 바꿔 표시하면 얻는다. 그런데, [math(V^{\sigma} := g^{\mu\nu}\delta\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^{\nu}_{\nu\mu})]라 두면 이 식은 [math(\sqrt {-g})]를 곱했을 때
[math(\displaystyle \sqrt{-g}\nabla_{\sigma}V^{\sigma} = \sqrt{-g}(\partial_{\sigma}V^{\sigma} + \Gamma^{\sigma}_{\sigma\mu}V^{\mu}) = \sqrt{-g}\left(\partial_{\sigma}V^{\sigma} + \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\mu}}V^{\mu}\right) = \partial_{\sigma}(\sqrt{-g}V^{\sigma}))]
가 되며, 이는 전미분이다. 스토크스 정리에 따라, 그 적분은 경계만이 남게 된다.
[math(\displaystyle \int_U \partial_{\sigma}(\sqrt{-g}V^{\sigma})\mathrm{d}^4x = \oint_{\partial U} (n^{\mu}n_{\mu})n_{\sigma}V^{\sigma} \sqrt{|\gamma|}\mathrm{d}^3x)]
여기에서 [math(n^{\sigma})]는 적분 영역의 경계에 수직인 단위 벡터장이고, [math(\gamma)]는 induced metric, 즉 [math(\partial U)]에 한정했을 때의 메트릭 텐서에 대한 행렬식이다. 적분하는 영역이 닫혀있는 경우(구표면처럼), 경계가 없으므로 이 항은 저절로 사라진다. 경계가 있을 경우, 경계에서 [math(\delta g^{\mu\nu})]를 제거하고 특정 경계 항을 추가하면 적분값을 사라지게 할 수 있다는 것이 알려져 있다. 따라서, 첫번째 항은 일반적으로 무시할 수 있다.
한편 두번째 항은 이미 [math(\delta g^{\mu\nu})]에 대해 전개되어 있으므로 추가적인 전개가 필요하지 않는다. 세번째 항은 자코비 공식에 따라
[math(\displaystyle \delta \sqrt{-g} = -\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{-g}}\delta g = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{-g}}g g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})]
이다.
이들 결과를 종합하면
[math(\begin{aligned} \displaystyle \delta(R\sqrt{-g}) &= \sqrt{-g}R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} -\frac{1}{2} R \sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \\ &= \sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu} -\frac{1}{2} R g_{\mu\nu}\right)\delta g^{\mu\nu}\end{aligned})]
이므로,
[math(\displaystyle \frac{\delta(R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = \sqrt{-g}\left(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}\right))]
를 얻는다. 이로부터, 다음 방정식
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = k\left[-2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}}\right])]
[math(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
[math(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
을 얻으며, 이는 아인슈타인 방정식과 동치이다.
6. 우주 상수
힐베르트 액션을 일반 상대성 이론의 범위 내에서 수정할 수 있는 유일한 방법은 라그랑지언에 상수를 더하는 것이다. 이는 현재의 우주 상수(Cosmological Constant)이다. 우주 상수 [math(\Lambda)]를 포함한 액션은 다음과 같다.[math(\displaystyle S_{\Lambda} = \dfrac{1}{2k} \int (R - 2\Lambda)\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x + \int L_M\sqrt{-g}\,\mathrm{d}^4 x )]
우주 상수 항은 중력항으로 봐도 좋고, 물질항으로 봐도 좋다. 우주 상수 항만 계산하면
[math(\displaystyle \delta (\Lambda \sqrt{-g}) = \Lambda \delta \sqrt{-g} = -\Lambda\frac{1}{2}\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu})]
이다. 따라서 전체 방정식은
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (R\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} - 2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(\Lambda \sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}} = k\left[-2\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (L_M\sqrt{-g})}{\delta g^{\mu\nu}}\right])]
[math(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
[math(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
가 된다.
7. 관련 문서
[Einstein(1915a)] A.Einstein, "Zur allgemeinen Relativitätstheorie", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin by Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin (November 4, 1915) 778-786 #[2] Jurgen Renn, "Einstein’s 1913 Vienna Lecture: Modeling Gravitational Theory on Electrodynamics", 2015 youtube 강연[Hilbert(1915)] David Hilbert, "Die Grundlagen der Physik (Erste Mitteilung.)", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1915) : 395-408[Sauer(1998)] Tilman Sauer, "The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics", Arch.Hist.Ex.Sci. 53 (1999) : 529-575 #[Lorentz(1915)] H.A.Lorentz, “Het beginsel van Hamilton in Einstein’s theorie der zwaartekracht.” Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Wisen Natuurkundige Afdeeling. Verslagen van de Gewone Vergaderingen 23 (1914-15): 1073-1089. #[Lorentz(1916)] H.A.Lorentz, "Over Einstein’s theorie der zwaartekracht I~IV", Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Wisen Natuurkundige Afdeeling. Verslagen van de Gewone Vergaderingen 24, 25#[Einstein(1916)] A.Einstein, “Hamiltonsches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie,” Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften (Berlin). Sitzungsberichte (1916) : 1111–1116. #[8] 아인슈타인이 좌표 제한([math(\sqrt{-g} = 1)])을 제거하고 변분법 체계를 다시 제시하는 데 거의 1년이 걸린 것에 대해서는 (힐베르트와 다르게) 물질 과정을 일반화하는 것, 그리고 라그랑지언(스칼라 곡률)에 이계 미분이 포함된다는 점이 가장 어렵다고 말한 바 있다. 그는 부분적분을 통해 일계 미분으로 바꾸는 방법으로 문제를 돌파했다.###