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1. 개요
Length contraction특수 상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나로, 간단히 말해 관측자의 입장에서 등속운동하는 대상의 길이가 줄어드는 현상이다.
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다.
고유 길이가 [math(L')]인 어떠한 관성계에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 물체의 길이는 해당 관성계에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=L' \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2 }\\&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
로 관측된다. [math(\gamma)]는 로런츠 인자이다.
2. 역사
길이 수축 가설은 1887년 수행된 마이컬슨-몰리 실험의 결과를 설명하기 위해 등장하였다. 1889년 조지 피츠 피츠제럴드, 1892년 헨드릭 안톤 로런츠가 각기 해당 가설을 제안하여 로런츠-피츠제럴드 수축(Lorentz-Fitzgerald Contraction)이라 불리게 된다. (푸앵카레는 로런츠 수축이라 불렀다.) 당시의 길이 수축은 몇가지 측면에서 비판을 받았는데, 첫번째로 앙리 푸앵카레는 길이 수축이 (공식대로) 일어나려면 분자 결합력이 전자기장과 동일한 방식으로 변환되어야 한다는 것을 짚었는데, 당시에는 이에 대한 자연스러운 설명이 부재했기 때문에 Ad Hoc 가설로 여겨졌다. 푸앵카레는 푸앵카레 변형력이라는 개념을 새로 도입했으나 이 역시 Ad Hoc에서 벗어나지 못했다. 두번째는 길이 수축이 "에테르에 대한 속도"에 의해 결정된다는 것이다. 따라서, 상대성 원리를 받아들인다면 길이 수축은 매우 부자연스러운 것이었다.길이 수축에 대한 올바른 설명을 처음 제공한 것은 아인슈타인으로, 1905년 특수 상대성 이론을 발표하면서 상대성 원리 및 광속 불변의 원리에 의거해 로런츠의 이론을 재구성하여, 길이 수축이 로런츠 변환에 따라 자연스럽게 일어나는 운동학적 현상임을 논증했다. 길이 수축은 처음에 언급했듯이 마이컬슨-몰리 실험에 의해 자동으로 검증된다.
3. 유도
3.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명
어떤 관성계를 기준으로 [math(v)]의 속력으로 등속 직선 운동하는 상자를 고려하자. 이 상자의 길이는 상자와 같이 움직이는 좌표계에서 측정했을 때, [math(L')]이고, 해당 관성계에서 측정했을 때, [math(L)]이다.시간 지연 문서에 나온 사고 실험을 쓸 것이나, 이번에는 레이저와 거울을 각각 왼쪽 벽과 오른쪽 벽에 운동방향과 수직으로 설치한다. 마찬가지로 레이저에서 광자 1개 정도가 나가는 펄스를 방사한다.
상자 내부에 있는 관찰자는 (가)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때, 빛이 레이저를 떠나 거울을 지난뒤 다시 레이저까지 오는데 걸린 시간은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\frac{2L'}{c} \end{aligned} )]
이번에는 상자 외부에 있는 관찰자는 (나)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때는 계산해야 할 시간을 두 부분 [math(T_{1})], [math(T_{2})]로 나누고, 이를 각각 레이저에서 거울까지 가는데 걸린 시간, 거울에서 반사돼 레이저까지 되돌아가는데 걸린 시간으로 정의한다. 상자는 빛이 이동 중에도 계속 이동하고 있음을 유의하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{1}=\frac{L+vT_{1}}{c} \quad \to \quad T_{1}=\frac{L}{c-v} \end{aligned} )]
빛이 반사되어 되돌아가는 시간에도 상자는 이동 중이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{2}=\frac{L-vT_{2}}{c} \quad \to \quad T_{2}=\frac{L}{c+v} \end{aligned} )]
이 좌표계에서 관측한 레이저까지 다시 빛이 돌아오는 데 걸린 시간은 [math(T_{1}+T_{2})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T&=\frac{2Lc}{c^2-v^2}\\&=\frac{1}{1-\left(\dfrac{v}{c} \right)^2} \frac{2L}{c}\\ &=\gamma^2 \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편, 시간 지연에 따라 [math(\Delta T=\gamma \Delta T')]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\gamma \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편, [math(\Delta T'=2L'/c)]임에 따라 이것을 대입하고, 상수인 광속을 약분시키면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} L=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 [math(35\,{\rm km/h})]에 이르는 부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 [math(180\,{\rm cm})]인 사람은 밖에서 보기에 [math(9.465 \times 10^{-14}\,{\rm cm})]가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다.
3.2. 로런츠 변환을 이용한 설명
길이의 측정은 일정 시간 동안 정지한 자를 고려해야 하는데, 로런츠 변환에 의해 공간축이 회전하기 때문이다. 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\mathcal{O}')]에 정지한 자의 양 끝을 [math({\rm P}(ct_{\rm P}',\,x_{\rm P}'))], [math({\rm Q}(ct_{\rm Q}',\,x_{\rm Q}'))]이라 하자. 이 때 각각의 [math(t' = t'_0)]에 대하여 [math(L'=x_{\rm Q}'-x_{\rm P}')]가 고유 길이가 된다.한편, [math(\mathcal{O})]에서는 양 끝이 로런츠 역변환에 따라 다음과 같은 좌표로 바뀐다.
[math(\displaystyle {\rm P}\left(\gamma\left(ct_{\rm P}' + \frac{v}{c^2}x_{\rm P}'\right), \gamma\left(x_{\rm P}' + vct_{\rm P}'\right)\right))]
[math(\displaystyle {\rm Q}\left(\gamma\left(ct_{\rm Q}' + \frac{v}{c^2}x_{\rm Q}'\right), \gamma\left(x_{\rm Q}' + vct_{\rm Q}'\right)\right))]
이 좌표계에서 길이를 재려면 시간 좌표가 같은 양 끝을 골라야 한다. 즉
[math(\displaystyle \gamma\left(ct_{\rm P}' + \frac{v}{c^2}x_{\rm P}'\right) = \gamma\left(ct_{\rm Q}' + \frac{v}{c^2}x_{\rm Q}'\right))]
라 두면
[math(\displaystyle c\left(t_{\rm P}' - t_{\rm Q}'\right) = \frac{v}{c^2}L')]
을 얻으며, 이 때 자의 길이는
[math(\displaystyle \begin{aligned} L &= \gamma\left[\left(x_{\rm Q}' - x_{\rm P}'\right) - vc\left(t_{\rm P}' - t_{\rm Q}'\right)\right] \\ &= \gamma\left(L' - \frac{v^2}{c^2}L'\right) \\ &= \frac{L'}{\gamma} \end{aligned})]
이것을 민코프스키 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.