정규 분포

1. 개요

2. 설명

2.1. 정의

[증명]

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임의의 실수 [math(\mu)], [math(\sigma\;(\sigma>0))]에 대하여 [math(\mathbb{R})]에서 정의된 함수

[math(\displaystyle N(x|\mu,\,\sigma^{2}) \equiv \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp{\left[ -\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}} \right]})]

의 구간 [math([-\infty,\;\infty])]에서의 정적분

[math(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp{\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]}\,\mathrm{d}x)]

에서 [math(x\equiv\sqrt2\sigma t)]로 치환하면

[math(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp{\left[ -\left( t-\frac{\mu}{\sqrt{2}\sigma} \right)^{2} \right]}\,\mathrm{d}t)]

으로 나타낼 수 있다.

실수 전체에 대한 정적분에서의 피적분 변수의 평행이동은 적분값에 영향을 주지 않으므로, 간략화를 위해 [math(u\equiv t-\mu/(\sqrt{2}\sigma))]로 치환하면

[math(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-u^2)\,\mathrm{d}u)]

이는 가우스 적분에 계수가 붙은 형태로, 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\displaystyle\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^\infty \exp (-u^2)\,\mathrm{d}u=\frac1{\sqrt\pi}\cdot\sqrt\pi=1)]

따라서 정규분포 [math(N(x|\mu,\,\sigma^2))]를 나타내는 확률 밀도 함수는 [math(\mu)]와 [math(\sigma)]의 값에 관계없이

[math(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty N(x|\mu,\,\sigma^2)\,\mathrm{d}x=1 )]

이 성립한다.

2.1.1. 정규 분포 곡선의 성질

• 기본적으로 [math(N(x|\mu,\,\sigma^{2}))]은 가우스 함수 [math(f(x)=e^{-x^{2}})]를 [math(x)]축 방향으로 평행 이동시킨 함수이므로 가우스 함수와 같이 종모양의 곡선이 나타나며, 좌우 극단으로 갈수록 급격하게 수치가 낮아지는 특징이 있다. 즉, 다음이 성립한다.
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} N(x|\mu,\,\sigma^2)= \lim_{x \to \infty} N(x|\mu,\,\sigma^2)=0)] }}}

• [math(x=\mu)]에 대하여 대칭이다. 즉, [math(\delta)]를 임의의 양수라 할 때, 다음이 성립한다.
  {{{#!wiki style="text-align: center"
  
  [math(\displaystyle N(\mu+\delta |\mu,\,\sigma^{2})=N(\mu-\delta|\mu,\,\sigma^{2}) )] }}}

• 변곡점은 2개, 곧 [math(x=\mu \pm \sigma)]에 존재하며, [math(\sigma)]의 값이 증가할수록 변곡점 사이의 폭은 증가한다.

2.2. 누적 분포 함수

2.3. 그래프

2.4. 중심 극한 정리

3. 표준 정규 분포

{{{#!folding [ 표준 정규 분포표 펼치기 · 접기 ]

[5]

}}}

3.1. 표준화

4. 로그 정규 분포

5. 이용 사례

5.1. 성적표

• 원점수가 전체 중 상위 몇%인지 → 백분위
• 백분위에 대응되는 평균 100, 표준편차 20의 정규 분포값 → 표준점수
• 표준점수의 범위(스테나인 점수) → 등급

5.1.1. 내신 전교등수 추정하기

• 표준점수: [math( \displaystyle 20\times\frac{\small\textsf{(원점수)}-\small\textsf{(평균)}}{\small\textsf{(표준편차)}}+100 )]
  
• 백분위: [math( \displaystyle \frac{\small\textsf{(원점수)}-\small\textsf{(평균)}}{\small\textsf{(표준편차)}} )]의 값이
• 양수라면 정규 분포표로 그 값에 해당하는 확률을 구한 후 0.5에서 빼고 100을 곱한다.
• 음수라면 0.5에 그 값을 더하고 100을 곱한다.


• 전교 등수: [math( \displaystyle \frac{\small\textsf{(이수 전교생 수)}\times\small\textsf{(백분위)}}{100} )]

6. 기타

• 식스 시그마라는 용어도 여기에서 비롯한 것이다. 표준편차 6배 바깥의 범위([math( \mu\pm6\sigma )])는 0.0000002%, 즉 약 5억분의 1 정도의 극히 희귀한 확률이다.[12] 즉 부품 10억 개 중에서 단 2개만 6시그마를 벗어난다는 말로 사실상 불량률 제로를 추구하는 말이다. IQ로 치면 SD 15 기준 10 이하 또는 190 이상에 해당하는 지수가 바로 6시그마이다.
• 수학에 관심있는 사람들이 좋아하는 분포다. 공학에서도 아주 많이 쓰이고, 수학자들이 사랑하는 무리수인 자연로그의 밑과 원주율 외의 다른 무리수는 들어가지 않기 때문이다. 그리고 통계학을 처음 배울 때 가장 중요하게 배우는 모집단의 평균벡터와 그 다음으로 중요하게 배우는 모집단의 공분산행렬이 정해지면 구체적인 함수가 결정되는 분포다. 수리통계학적으로 볼 때 매력적인 분포일 수밖에 없는 것.
• 정수론에서도 간혹 사용되는 경우가 있다. 일정 자리수 이상의 자연수에 대하여 해당 자연수의 서로 다른 소인수의 개수를 분석하면, 그 서로 다른 소인수의 개수는 정규분포를 따른다는 정리인 에르되시-카츠 이론(Erdős–Kac theorem)이 대표적.[13]
• 중국에서는 이과만 정규분포를 배우는데, 중국 교육과정상 정규분포는 선수2-3에서 배우는데 이 과목은 이과만 배우는 과목이기 때문이다.

6.1. 통계학에서의 중요성

6.2. 짤방: 세상은 정규 분포

6.2.1. 세상은 정말로 정규분포인가?

7. 관련 문서

• 수학 관련 정보
• 통계학
• 확률 분포
• [math(t)]-분포
• [math(F)]-분포
• [math(chi^{2})]-분포
• 오차함수
• 가우스 적분
• Microsoft Excel/함수 목록: 간단한 통계학 계산은 엑셀이나 Calc로 할 수 있다.