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1. 개요
Minkowski diagram독일에서 활동한 수학자 민코프스키(Hermann Minkowski; 1864-1909)[1]가 만든 다이어그램으로, 상대성 이론을 좌표평면상에서 적절히 설명할 수 있게 해주는 다이어그램이다.[2]
상대성 이론을 완벽히 이해하기 위해선 이 공간의 이해가 필수적이다.[3]
2. 상세
상대성 이론에 따르면 고전적인 물리 시점과 달리 공간과 시간이 독립적이지 않다. 그러면 더 이상 한 사건을 공간과 시간 따로 나타낼 것이 아니라 한 번에 나타내어야 한다. 따라서 [math(\mathbb{R} \otimes \mathbb{R}^3)]인 공간을 고려한다.이제 상대성 이론에서 사건이라는 것은 이 민코프스키 시공간의 한 점을 나타내며, 사건 [math(\rm P)]가 [math(t_{0})]일 때, [math(\mathbf{r}_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}))]의 위치에서 일어났다면 민코프스키 시공간에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{P}(ct_{0},\,x_{0},\,y_{0},\,z_{0}) \end{aligned} )]
으로 나타나게 된다. 이 공간은 4차원 공간이기 때문에 그리기가 어렵다. 따라서 이해를 위해 1차원 공간만을 생각하기로 하자. 이 경우 다음과 같이 나타날 것이다.
움직이는 입자 [math(\rm M)]을 하나 관측한다고 생각해보자. 이때, 입자가 다음과 같은 경로를 그렸다고 해보자.
이때 입자가 민코프스키 시공간에 그리는 궤적을 세계선(world line)이라 한다.
이제 [math(t=0)]일 때 원점을 지난 한 관성계에 대해서 [math(v)]의 속력으로 움직이는 입자의 세계선은 어떻게 될까?
[math(\displaystyle \begin{aligned} |x|=vt \quad \Rightarrow \quad ct=\pm \beta^{-1}x \end{aligned} )]
의 직선을 그리게 된다. 여기서 [math(\beta=v/c)]로 광속에 대한 속력의 비를 뜻한다. 따라서 빛의 세계선은 [math(ct=x)]의 그래프를 그리게 된다.
[math(\beta \leq 1)]이기 때문에 입자의 세계선은 회색 영역에만 그려진다. 따라서 흰색 영역에는 세계선이 존재할 수 없다. 따라서 이 빛의 세계선은 사건의 존재 범위를 규정짓는 한 경계로 작용하는데, 이를 광원뿔(light cone)이라 한다. 원뿔이라고 명명된 이유는 2차원 공간을 생각할 경우 세계선의 집합은 원뿔을 그리기 때문이다. 이 광원뿔의 접점보다 위쪽 영역을 입자의 미래, 아래 영역을 과거로 규정하고, 입자의 세계선은 이 영역 내부에만 존재 가능하다. 흰색 영역은 과거도 미래도 아닌 도달 불가능한 영역이다.
각 시간마다 입자의 미래 영역과 과거 영역을 찾으려면 특정 시간의 점을 접점으로 하여 광원뿔을 그린 뒤 생각한다.
지금까지의 내용을 잘 이해했다면, 해당 입자의 세계선은 곧 해당 입자의 시간축이 됨을 짐작할 수 있고, 이것이 (등속도로) 움직이는 입자의 민코프스키 시공간이 된다.
한편 공간축은 빛의 세계선과 대칭이 됨이 알려져 있다.[4] 이를 시각적으로 나타낸 것이 아래 그림과 같은 민코프스키 다이어그램이다.
3. 성질
유클리드 공간에서 '거리'라는 개념을 생각해보자.[math(\displaystyle \begin{aligned} S^2=x^2+y^2+z^2 \end{aligned} )]
으로 정의되며, 이 양은 좌표 변환에 대해 불변량이며, 이것은 곧 (2차원의 경우) 원의 궤적이 그려진다. 그럼 민코프스키 시공간에서 보존되는 양은 무엇일까?
[math(\displaystyle \begin{aligned} S^2=\red{\boldsymbol{-c^2 t^2}}+x^2+y^2+z^2 \end{aligned} )]
예상과 달리 시간축에 대한 것이 음수가 붙는다. 이것에 유의하여야 한다. 이 양을 시공간 간격(spacetime interval)이라 한다. 유클리드 공간과 달리 이 시공간 간격은 0이 될 수도, 심지어 음수 또한 가능하다. 한편, 해당 시공간 간격의 부호에 따라
- [math(\boldsymbol{S^2>0})]: 공간꼴 간격(spacelike interval)
- [math(\boldsymbol{S^2=0})]: 빛꼴 간격(lightlike interval)
- [math(\boldsymbol{S^2<0})]: 시간꼴 간격(timelike interval)
2차원의 경우 유클리드 공간에서는 이 '거리'가 보존되는 점의 집합은 원으로 나타났다. 하지만 민코프스키 시공간에서는 시공간 간격이 보존되는 점의 집합은
[math(\displaystyle \begin{aligned} S^2=-c^2 t^2+x^2 \end{aligned} )]
으로 주어지는데 이러한 도형을 기술하는 것은 쌍곡선이다. 따라서 민코프스키 공간은 유클리드 공간과 같은 방법으로 다루면 안된다는 것을 시사하고 있다.
4. 로런츠 변환
운동하는 입자의 민코프스키 시공간의 사건의 좌표와 그 입자를 관측하는 관찰자의 민코프스키 시공간의 사건의 좌표 사이에는 로런츠 변환으로 연결되어 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned}\begin{bmatrix} ct'\\ x' \\ y' \\z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\
-\beta \gamma & \gamma &0 &0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct\\ x \\ y \\z \end{bmatrix} \end{aligned} )]
간단한 분석을 위해 1차원 공간만을 생각하자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}\begin{bmatrix} ct'\\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\gamma & -\beta \gamma \\
-\beta \gamma & \gamma
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct\\ x \end{bmatrix} \end{aligned} )]
한편, [math(\gamma^2-\beta^2\gamma^2=1)]인데, 우리가 일반적으로 [math(x^2+y^2=1)]을 만족할 때, [math(x=\cos{x})], [math(y=\sin{x})]로 쓰는 것 처럼 이 경우도 쌍곡선 함수를 사용하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \gamma&=\cosh{\chi} \\ \beta \gamma &=\sinh{\chi} \end{aligned} )]
로 쓸 수 있다. 따라서 로런츠 변환은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} ct'\\ x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cosh{\chi} & -\sinh{\chi} \\
-\sinh{\chi} & \cosh{\chi}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} ct\\ x \end{bmatrix} \end{aligned} )]
의 형태로 쓸 수 있다.
결국 [math(\chi)]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \beta=\tanh{\chi} \end{aligned} )]
의 관계로 얻을 수 있으며, 이 값은 움직이는 입자의 세계선의 기울기의 역수이다.
5. 활용 예
이 민코프스키 시공간을 이용하면 막대와 헛간 역설을 해결할 수 있다. 이것 뿐만 아니라 여러 역설 또한 해결 가능하다.또한, 2022년 기준 물리학 I에서 특수 상대성 이론을 다루게 되는데, 많이 어렵게 나왔다 싶은 모의고사 문제는 (민코프스키 시공간을 이해했다는 전제하에) 좀 더 객관적이고 쉽게 풀 수 있다.
[1] 리투아니아 카우나스에서 태어났으나, 어렸을 때 가족이 러시아 당국의 유대인 탄압을 피해 쾨니히스베르크로 이주했다.[2] 참고로, 민코프스키는 아인슈타인의 취리히 공대 학부 시절 교수였다. 민코프스키는 아인슈타인이 불성실한 학생이라서 싫어했고, 취업을 위한 추천서를 써주지도 않는 등 사이가 그리 좋지 않았다. 그런데 아인슈타인의 상대성 이론에 민코프스키의 다이어그램이 꼭 맞게 사용되는 것은 아이러니한 일이다.[3] 이 문서에서 사용된 용어들은 한국물리학회 용어집에 따랐다.[4] 초급적으로 증명한 것은 이곳에서 볼 수 있다.