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1. 개요
2022학년도 6월 모의평가, 9월 모의평가, 대학수학능력시험의 수학 영역 문제를 해설하는 문서이다.2. 6월 모의평가(2021.06.03.)
2.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)
2.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)
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| 1번 |
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지수법칙으로 푼다.[math(2^{\sqrt 3}\times 2^{2-\sqrt 3}=2^{\sqrt 3+2-\sqrt 3}=2^2=4)]
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| 2번 |
- [해설]
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[math(f'(x)=3x^2-2x)]를 부정적분하면 [math(f(x)=x^3-x^2+\rm C)]이고, [math(f(1)=1)]이므로 [math(\rm C=1)]이다.[math(f(x)=x^3-x^2+1,\;f(2)=5)]
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| 3번 |
- [해설]
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삼각함수의 정의에 의하여[math(\sin\theta=-\dfrac{12}{13},\ \cos\theta=-\dfrac{5}{13})][math(\therefore \sin\theta+\cos\theta=-\dfrac{17}{13})]
수식으로만 본다면 다음과 같다.[math(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{12}{5})][math(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1)][math(\pi<\theta<\dfrac{3}{2}\pi~\rightarrow~\sin\theta<0,~\cos\theta<0)][math(\therefore \sin\theta=-\dfrac{12}{13},\ \cos\theta=-\dfrac{5}{13})]
이후는 위와 같다.
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| 4번 |
- [해설]
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그래프를 해석하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to 0-}f(x)&=-2\\\lim_{x\to 2+}f(x)&=0\\\lim_{x\to 0-}f(x)&+\lim_{x\to 2+}f(x)=-2\end{aligned})]
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| 5번 |
- [해설]
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곱미분을 이용한다.[math(\begin{aligned}g'(x)&=2xf(x)+(x^2+3)f'(x) \\ \\ \therefore g'(1)&=2f(1)+4f'(1)=8\end{aligned})]
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| 6번 |
- [해설]
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방정식 [math(3x^2-x=5x)]를 풀면 [math(x=0)], [math(x=2)]이다. 따라서 곡선 [math(y=3x^2-x)]와 직선 [math(y=5x)]으로 둘러싸인 부분은 위 그림과 같으며, 이차함수 넓이 공식을 이용하여 빠르게 답을 구할 수 있다.[math(\dfrac36\cdot(2-0)^3=4)]
넓이 공식을 몰랐다면 그냥 적분해도 그렇게 시간은 걸리지 않았을 것이다. [math(0<x<2)]에서 [math(y=5x)]가 [math(y=3x^2-x)] 위에 있으므로 넓이를 구하는 식은 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\displaystyle \int_0^2 \left\{5x-\left(3x^2-x\right)\right\} \,{\rm d}x&=\displaystyle \int_0^2 (6x-3x^2) \,{\rm d}x\\&=\left[3x^2-x^3\right]_0^2=4\end{aligned})]
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| 7번 |
- [해설]
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[math(\{a_n\})]은 첫째항이 [math(2)]인 등차수열이므로 [math(a_n=(n-1)d+2)]로 쓸 수 있다.
한편, [math(S_3-S_2=a_3)]이므로 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}a_6&=2a_3\\5d+2&=2(2d+2)=4d+4\\ \therefore d&=2\end{aligned})]
그러면 [math(a_n=2(n-1)+2=2n)]이므로[math(\begin{aligned}S_n&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k\\&=\sum_{k=1}^n 2k\\&=2\cdot\dfrac{n(n+1)}2\\&=n(n+1) \\ \therefore S_{10}&=110\end{aligned})]
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| 8번 |
- [해설]
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먼저, 함수 [math(\{f(x)\}^2)]은 다음과 같다.[math(\{f(x)\}^2=\begin{cases}\;(-2x+6)^2\quad &(x<a)\\\;(2x-a)^2\quad &(x\geq a)\end{cases})]
이 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [math(x=a)]에서 연속이라는 것만 보장되면 된다. 따라서 다음과 같이 [math(a)]에 관한 방정식을 세울 수 있으며, 서로 다른 실근의 합이 문제의 답이다.[math(\begin{aligned}(-2a+6)^2&=(2a-a)^2\\\rightarrow a^2-8a+12&=(a-2)(a-6)=0\end{aligned})]
따라서 [math(a=2)] 또는 [math(a=6)]이므로 답은 [math(2+6=8)]이다. 근과 계수의 관계를 생각하여 이차방정식을 보고 바로 답이 8인 것을 알아낼 수도 있다.
2.1.2. 9번~15번(객관식 4점)
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| 9번 |
- [해설]
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수열의 규칙성을 찾는 문제이다. 문제의 조건에 따라 처음 항들을 구해 보면 다음과 같다.[math(a_1,\;\dfrac1{a_1},\;\dfrac8{a_1},\;\dfrac{a_1}8,\;a_1,\;\cdots)]
[math(a_1=a_5)]이고 1과 5는 모두 홀수이다. 따라서 수열 [math(\{a_n\})]은 처음 네 개의 항이 반복되는 수열이다.[math(\begin{aligned}\therefore a_{12}&=a_4=\dfrac{a_1}8=\dfrac12\\a_1&=4\\ \\ \therefore a_1+a_4&=4+\dfrac12=\dfrac92\end{aligned})]
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| 10번 |
- [해설]
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문제에 제시된 두 곡선을 연립하고 정리하면[math(x^2+3x=n)]
이다. 두 곡선이 만나는 점의 [math(x)]좌표가 1보다 크고 2보다 작다는 것은, 위 이차방정식의 해가 1보다 크고 2보다 작다는 것과 같다. [math(1<x<2)]이면 [math(4<x^2+3x<10)]이므로, 문제에서 구하는 [math(n)]의 값은 5, 6, 7, 8, 9이다. 따라서 답은 35
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| 11번 |
- [해설]
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먼저, 문제의 조건에 따르면 닫힌구간 [math([0,\,1])]에서의 함수 [math(f(x))]의 그래프는 위와 같이 그릴 수 있다. 이때, (가)에 따르면 [math(-1<x<0)]일 때 [math(f(x))]의 그래프의 모양은, 위 그림의 모양을 [math(x)]축의 방향으로 [math(-1)]만큼 평행이동하고 [math(x)]축에 대하여 대칭이동한 뒤 [math(y)]축의 방향으로 [math(1)]만큼 평행이동한 것이 된다. 따라서 그래프의 모양은 다음과 같다.
이때, 색칠된 영역 중 왼쪽 것의 넓이는, 빗금 친 영역의 넓이와 같으므로 [math(1-1/6=5/6)]이다.
한편, (나)에 따르면 함수 [math(f(x))]는 주기가 2인 함수이므로 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\therefore\displaystyle\int_{-3}^2 f(x)\;{\rm d}x&=\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56\\&=\dfrac{17}6\end{aligned})]
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| 12번 |
- [해설]
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[math(\triangle\rm ABD)]에서 코사인법칙을 사용하여 [math(\overline{\rm AD})]를 구하고, 이를 통해 [math(\triangle\rm BDC)]가 이등변삼각형이라는 것을 알아낸 뒤 점 [math(\rm D)]에서 [math(\overline{\rm BC})]로 수선의 발 [math(\rm H)]를 내리고, [math(\triangle\rm DHE)]에서 피타고라스 정리를 이용하여 선분 [math(\rm DE)]의 길이를 구하면 된다.
고등학교 수준에서는 역삼각함수를 가르치지 않기 때문에 [math(\arccos(1/8))]을 계산해서 곧바로 코사인 법칙과 스튜어트 정리를 적용하는 방법은 정석이 아니다. 대신 스튜어트 정리를 쓰고 싶다면 방법은 있다.
[math(\triangle\rm BDC)]가 이등변삼각형임을 이용하는 것까지는 위의 풀이와 같다. [math(\rm BD=4)]이고, 점 [math(\rm B)]에서 [math(\rm AD)]에 수선의 발을 내려 [math(\rm H)]라 한 후 계산하면 [math(\rm AD=1)]임을 알 수 있다. 이를 스튜어트 정리에 대입하여 [math(x=\rm BC)]라 하면 [math(\rm AB^2 \cdot \rm CD+\rm BC^2 \cdot \rm AD=\rm AC \cdot (\rm BD^2 +\rm AD \cdot \rm CD))], [math(64+x^2=100)], [math(x=6)]이 나온다. 사인 법칙을 연이어 적용한다. [math(\dfrac{\sin \angle \rm ACB}{\rm AB}=\dfrac{\sin \angle \rm BAC}{\rm BC})]이므로 [math(\sin \rm \angle ACB =\dfrac{3\sqrt{7}}{12})]. [math(\dfrac{\sin \angle \rm DCE}{\rm DE}=\dfrac{\sin \angle \rm DEC}{\rm DC})]이므로 [math(\rm DE = \dfrac{3\sqrt{7}}{12} \cdot 4 \cdot \dfrac{8}{3\sqrt{7}} = \dfrac{8}{3})]
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| 13번 |
- [해설]
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문제의 조건에 따라 구간 [math((0,\,1])]에서의 함수 [math(f(x))]의 그래프를 그리면 다음과 같다.
이때, [math(f(x+1)=f(x))]이므로 [math(f(x))]는 주기가 1인 함수이다. 따라서 [math(f(x))]의 그래프는 다음과 같다.
그러므로, [math(f(x))]를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.[math(f(x)=\begin{cases}3&\quad(x\textsf{\footnotesize{는 정수가 아님}})\\1&\quad(x\textsf{\footnotesize{는 정수}})\end{cases})][1]
그러면 1부터 20까지의 자연수 중 제곱근이 정수인 것은 1, 4, 9, 16 네 개뿐이므로 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{20}\dfrac{k\times f(\sqrt k)}3&=\dfrac13\left[\left\{f\left(\sqrt1\right)+4f\left(\sqrt4\right)+9f\left(\sqrt9\right)+16f\left(\sqrt{16}\right)\right\}+\left\{2f\left(\sqrt2\right)+3f\left(\sqrt3\right)+5f\left(\sqrt5\right)+\cdots+20f\left(\sqrt{20}\right)\right\}\right]\\&=\dfrac13\{(1+4+9+16)+3(2+3+5+\cdots+20)\}\\&=\dfrac13\left\{3\sum_{k=1}^{20}k-2(1+4+9+16)\right\}\\&=\sum_{k=1}^{20}k-20\\&=\dfrac{20\times21}2-20\\&=190\end{aligned})]
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| 14번 |
- [해설]
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먼저, [math(f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3))]이므로 다음과 같이 함수 [math(f(x))]의 그래프를 그릴 수 있다.
이제 (가)를 해석하자. (가)의 식의 우변은 절댓값을 취하고 있으므로 양변에서 [math(x)]를 약분하면 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(g(x)=\begin{cases}&\!\!\!\!\!|f(x-p)+q|\quad&(x>0)\\-&\!\!\!\!\!|f(x-p)+q|\quad&(x<0)\end{cases})]
[math(g(x))]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로, [math(x=0)]에서도 연속이어야 한다. 따라서 다음이 성립한다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to 0-}g(x)&=\lim_{x\to 0+}g(x)\\=-|f(-p)+q|&=|f(-p)+q|\\&=g(0)\end{aligned})]
여기에서 [math(|f(-p)+q|=t)]라 하면 [math(t=-t)]가 성립해야 하므로 [math(t=g(0)=0)]이다.
한편 [math(f(x-p)+q)]의 그래프는 [math(f(x))]의 그래프를 [math(x)]축의 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(q)]만큼 평행이동한 것이므로, 그래프의 개형에는 변화가 없다. 또한 (나)는 [math(g(x))]의 그래프의 미분불가능점이 한 개라는 뜻이다. 모든 내용을 종합하여, 다음과 같이 네 가지 경우로 나누어 (나)를 만족시키는지의 여부를 판단하면 된다.
이 경우 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되므로 (나)를 만족시키지 못한다.
이 경우 첨점이 한 개 생기고 [math(x=0)]에서는 [math(g'(0)=0)]이 성립하여 미분가능하므로 (나)를 만족시킨다.
이 경우 첨점이 한 개 생기고 [math(x=0)]에서는 [math(g'(0)=0)]이 성립하여 미분가능하므로 (나)를 만족시킨다.
이 경우 [math(g(x))]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되므로 (나)를 만족시키지 못한다.
이제 (나)를 만족시키는 두 경우에 해당하는 [math(f(x-p)+q)]의 그래프를 [math(f(x))]의 그래프와 비교하여 [math(p)]와 [math(q)]의 값을 구하면 된다.
왼쪽 경우는 점 [math((3,\,-39))]를, 오른쪽 경우는 점 [math((-1,\,-7))]을 점 [math((0,\,0))]으로 평행이동한 것이므로, 왼쪽 경우는 [math(p=-3,\,q=39)]이며 오른쪽 경우는 [math(p=1,\,q=7)]이다. [math(p)]와 [math(q)]는 양수이므로 [math(p=1,\,q=7)]이고 [math(p+q=8)]이다.
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| 15번 |
- [해설]
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[math(\sin ax)]와 [math(\cos ax)]는 적절히 평행이동하면 겹쳐질 수 있는 그래프라는 개념이 필요하다.[2] [math(\sin a(x+\pi/2)=\cos ax)], 즉 사인 곡선을 [math(x)]축 방향으로 [math(-\pi/2)]만큼 평행이동하면 겹쳐진다.
주기는 [math(2\pi/(pi/2)=4)]이다. 따라서 사인 곡선과 코사인 곡선의 개형을 그릴 수 있다. 조건을 해석해보면[math(\sin\left(\dfrac{\pi x}2\right)=t)] 또는 [math(\cos\left(\dfrac{\pi x}2\right)=t)]
일 때 방정식은 근을 갖는다.
ㄱ: [math(t=-1)]일 때를 보자. 코사인 곡선에서 최솟값 [math(2)], 최댓값 [math(3)]이 나온다. 이제 [math(t)]를 [math(0)] 근처까지 평행이동시켜보자. 위에서 언급했듯 [math(\sin ax)]와 [math(\cos ax)]는 겹쳐질 수 있는 그래프이므로 최댓값이 커지는 만큼 최솟값이 작아진다. 즉, 최댓값이 [math(3+\alpha)]라면 최솟값은 [math(2-\alpha)]이다. 그러므로 둘을 더하면 해당 범위 내에서는 항상 [math(5)]가 된다. (참)
ㄴ: [math(t=0)]일 때 코사인 곡선에서 최댓값 [math(3)], 최솟값 [math(0)]을 확인할 수 있다. ㄱ과 동일한 원리로, 기하적 성질에 의해 최댓값은 [math(3+\alpha)], 최솟값은 [math(0+\alpha)]가 되므로 [math(3)]이 성립한다. (참)
ㄷ: ?이면 조건의 <보기>를 만족시킬 수 없다. 그러므로 ?이다. 교점의 좌표를 [math(a)], 거기에 [math(\pi/2)]를 곱한 값은 [math(b)]라 하자. 그러면 [math(\cos b–\sin b=1/2)]이 되는데, 제곱해서 써서 구하면 [math(\sin b\cos b=3/8)]이 되므로 부적절하다. (거짓)
2.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)
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| 16번 |
- [해설]
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로그의 성질을 이용한다.[math(\log_4\dfrac23+\log_4 24=\log_4\left(\dfrac23\times24\right)=\log_4 16=2)]
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| 17번 |
- [해설]
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함수 [math(f(x))]는 다항함수이므로 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 따라서 [math(x=a)]에서 극소이려면 [math(f'(a)=0)]이어야 한다. 곧[math(f'(a)=3a^2-3=3(a+1)(a-1)=0)]
이므로 [math(a=-1)] 또는 [math(a=1)]인데, [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 양수이므로 [math(x=-1)]에서 극대, [math(x=1)]에서 극소가 된다.[math(\therefore a=1,\,f(a)=f(1)=10,\,a+f(a)=11)]
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| 18번 |
- [해설]
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수열 [math(\{a_n\})]은 모든 항이 양수인 등비수열이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(a_n=ar^{n-1}\quad(a>0,\,r>0))][math(a_2=ar=36,\,ar^6=\dfrac13ar^4)][math(\rightarrow r^2=\dfrac13,\,r=\dfrac1{\sqrt 3}\;(\because r>0)\\\dfrac1{\sqrt 3}a=36,\,a=36\sqrt 3)][math(\therefore a_6=ar^5=36\sqrt 3\times\dfrac1{{\sqrt 3}^5}=36\times\dfrac19=4)]
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| 19번 |
- [해설]
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위치를 미분하면 속도이므로 [math(v(t))]의 부정적분 [math(V(t))]는 위치의 방정식이며, 다음이 성립한다.[math(v(t)=3t^2-4t+k\quad\rightarrow\quad V(t)=t^3-2t^2+kt+\rm C)]
이때 [math(V(0)=0,\,V(1)=-3)]이므로 우선 [math(\rm C=0)]이며[math(1^3-2\cdot1^2+k=-3\rightarrow k=-2)][math(\therefore V(t)=t^3-2t^2-2t)]
한편, 시각 [math(t=1)]에서 [math(t=3)]까지 점 [math(\rm P)]의 위치의 변화량은 다음과 같이 구한다.[math(V(3)-V(1)=3-(-3)=6)]
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| 20번 |
- [해설]
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[math(g(x))]의 극값이 하나밖에 없다는 것은, [math(g'(x))]의 그래프가 [math(x)]축과 한 번만 교차한다는 뜻이다. 이를 조사하기 위하여 [math(g(x))]를 적절히 전개하여 미분하면 다음과 같다. 곱미분을 이용한다.[math(\begin{aligned}g(x)&=\displaystyle\int_a^x\{f(x)-f(t)\}\times\{f(t)\}^4\;{\rm d}t\\&=f(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t-\int_a^x\{f(t)\}^5\;{\rm d}t\\ \\ g'(x)&=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t+\{f(x)\}^5-\{f(x)\}^5\\&=f'(x)\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t\end{aligned})]
이때, [math(f'(x)=3x^2-24x+45=3(x-3)(x-5))]이므로, 그래프는 다음과 같이 [math(x)]축과 두 번 교차한다.
주목할 점은, [math(g'(x))]의 그래프는 [math(x)]축과 한 번만 교차하지만, [math(g'(x))]의 인수인 [math(f'(x))]의 그래프는 두 번 교차한다는 점이다. 그렇다면 [math(g'(x))]의 또 다른 인수 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)] 때문에 [math(\boldsymbol x)]축과 교차하는 점이 한 개 줄어들어야 한다는 뜻이 된다. 그런데 이미 [math(f'(x))]가 [math(x-3)]과 [math(x-5)]를 인수로 가지기 때문에 [math(g'(x))] 역시 마찬가지이며, [math(x=3)] 그리고 [math(x=5)]에서 그래프가 [math(x)]축과 만난다. 그래프가 [math(x)]축과 만나면서 교차하지 않으려면 [math(\boldsymbol x)]축과 접하는 수밖에 없으며, 이를 위해서는 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]도 [math(x-3)]과 [math(x-5)] 중 하나를 인수로 가져야만 한다.
이때, [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]를 미분하면 [math(\{f(x)\}^4)]이며 이는 짝수 제곱이므로 항상 0보다 크거나 같다. 도함수가 0보다 크거나 같으면 접선의 기울기가 0 이상이므로 원시함수는 증가함수이며, 원시함수는 [math(a)]부터 [math(x)]까지의 정적분으로 정의된 함수이므로 [math(x=a)]일 때 함숫값은 0이다. 곧, 그래프는 다음과 같다.
그러면 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]가 [math(x-a)]를 인수로 가지므로, [math(g'(x))]의 극값이 하나뿐이도록 하려면 [math(a=3)]이거나 [math(a=5)]이어야 한다. 이 경우 [math(\int_a^x\{f(t)\}^4\;{\rm d}t)]가 [math(x-3)] 또는 [math(x-5)]를 인수로 갖게 되어 [math(g'(x))]가 [math((x-3)^2)] 또는 [math((x-5)^2)]를 인수로 갖게 된다. 따라서 [math(x=3)]과 [math(x=5)] 중 어느 한쪽에서 그래프의 부호 변화가 없게 된다.[3]
따라서 가능한 [math(a)]의 값은 [math(3)] 또는 [math(5)]이며, 답은 [math(3+5=8)]이다.
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| 21번 |
- [해설]
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먼저, (나)에 따라 함수 [math(f(x))]의 그래프의 개형은 다음과 같다.
위 그림과 같이 방정식 [math(f(x)=0)]의 서로 다른 두 실근을 작은 것부터 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면, (가)에 따라 방정식 [math(x^n-64=0)]은 [math(x=\alpha)]와 [math(x=\beta)]를 실근으로 가져야 한다.
이때, 위 그림과 같이 [math(n)]이 홀수이면 해당 방정식의 실근이 한 개이고, [math(n)]이 짝수이면 두 개이므로 [math(n)]은 짝수여야 (가)를 만족시킬 수 있다.
이때, [math(\alpha=-\sqrt[n]{64},\,\beta=\sqrt[n]{64})]이므로, [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 1이고 방정식 [math(f(x)=0)]이 이 둘을 실근으로 갖는 만큼 다음과 같이 쓸 수 있다.[math(\begin{aligned}f(x)&=\left(x+-\sqrt[n]{64}\right)\left(x-\sqrt[n]{64}\right)\\&=x^2-64^{\frac2n}\\&=x^2-2^{6\cdot\frac2n}\\&=x^2-2^{\frac{12}n}\end{aligned})]
따라서 [math(f(x))]의 최솟값은 [math(-2^{\frac{12}n})]이며 이것이 정수가 되도록 하는 짝수 [math(n)]의 값을 구하면 된다. [math(-2^{\frac{12}n})]이 정수가 되려면 [math(\frac{12}n)]가 정수이면 되므로 가능한 짝수 [math(n)]의 값은 [math(2,\,4,\,6,\,12)]이며, 답은 [math(2+4+6+12=24)]이다.
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| 22번 |
- [해설]
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2.2. 선택(23번~30번)
2.2.1. 확률과 통계
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| 23번 |
- [해설]
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다항식 [math((2x+1)^5)]의 전개식에서 삼차항이 나오기 위해서는 [math(2x)]를 세 번, [math(1)]을 두 번 택해야 한다. 그 경우의 수는 [math({}_5\rm C_3={}_5\rm C_2=10)]이고 [math(2x)]를 세 번 택하므로 [math(2^3=8)]을 곱하면 답은 [math(10\times8=80)]이다.
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| 24번 |
- [해설]
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진로활동 [math(\rm B)]를 선택한 학생의 집합을 [math(\rm B)]라 하고, 1학년생의 집합을 [math(F)]라 하면 구하는 확률은 다음과 같은 조건부확률이다.[math({\rm P}(F\vert B)=\dfrac{{\rm P}(B\cap F)}{{\rm P}(B)}=\cfrac{\dfrac5{20}}{\dfrac9{20}}=\dfrac59)]
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| 25번 |
- [해설]
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먼저 만들 수 있는 전체 자연수의 개수는 [math({}_5\Pi_4)]이고, 그중에서 3500 이상인 것의 개수는 다음과 같이 경우를 나누어 구할 수 있다.- 천의 자리가 [math(3)], 백의 자리가 [math(5)]([math(35\square\square)])
- 천의 자리가 [math(4)], 백의 자리가 [math(1)]([math(41\square\square)])
- 천의 자리가 [math(4)], 백의 자리가 [math(2)]([math(42\square\square)])
- 천의 자리가 [math(5)], 백의 자리가 [math(4)]([math(54\square\square)])
- 천의 자리가 [math(5)], 백의 자리가 [math(5)]([math(55\square\square)])
[math(\vdots)][math(\dfrac{{}_5\Pi_2\times11}{{}_5\Pi_4}=\dfrac{5^2\times 11}{5^4}=\dfrac{11}{25})]
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| 26번 |
- [해설]
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먼저, 3가지 색의 카드를 모두 받는 학생이 무조건 있도록 하기 위하여 3가지 색의 카드를 각각 한 장씩 임의의 한 학생에게 나누어주자. 세 학생 중 한 학생을 택하는 경우의 수는 [math({}_3{\rm C}_1)]이다. 이렇게 카드를 나누어준 뒤에는 빨간색 카드 3장, 파란색 카드 1장이 남게 된다. 빨간색 카드 3장을 3명에게 나누어주는 경우의 수와 파란색 카드 1장을 3명에게 나누어주는 경우의 수는 모두 중복조합으로서, 각각 [math({}_3{\rm H}_3)], [math({}_3{\rm H}_1)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 다음과 같다.[math({}_3{\rm C}_1\times{}_3{\rm H}_3\times{}_3{\rm H}_1=3\times10\times3=90)]
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| 27번 |
- [해설]
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(두 주사위 눈의 곱)=(앞면 동전 개수)의 경우를 분류하여 확률을 구한다.
[1] [math(\boldsymbol{1\times 1=1})]- 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]이 나올 확률은 [math(\dfrac1{36})]
- 동전을 네 번 던져서 한 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{2^4})]
- 구하는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]
[2] [math(\boldsymbol{1\times 2=2})]- 주사위를 두 번 던져 [math(1)]과 [math(2)]가 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
- 동전을 네 번 던져서 두 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_2}{2^4})]
- 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_2}{36\times 2^4})]
[3] [math(\boldsymbol{1\times 3=3})]- 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]과 [math(3)]이 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
- 동전을 네 번 던져서 세 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_3}{2^4})]
- 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_3}{36\times 2^4})]
[4] [math(\boldsymbol{1\times 4=4})]- 주사위를 두 번 던져 모두 [math(1)]과 [math(4)]가 나올 확률은 [math(\dfrac2{36})]
- 동전을 네 번 던져서 네 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{2^4})]
- 구하는 확률은 [math(\dfrac{2\times{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]
[5] [math(\boldsymbol{2\times 2=4})]- 주사위를 두 번 던져 모두 [math(2)]가 나올 확률은 [math(\dfrac1{36})]
- 동전을 네 번 던져서 네 번 앞면이 나오는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_4}{2^4})]
- 구하는 확률은 [math(\dfrac{{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4})]
[math(\begin{aligned}\therefore\dfrac{{}_4{\rm C}_1+2\times{}_4{\rm C}_2+2\times{}_4{\rm C}_3+2\times{}_4{\rm C}_1+{}_4{\rm C}_1}{36\times 2^4}&=\dfrac{4+12+8+2+1}{36\times 16}\\&=\dfrac{27}{36\times 16}\\&=\frac3{64}\end{aligned})]
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| 28번 |
- [해설]
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먼저, 각 주사위 눈에 대응하는 점수를 정리하면 다음과 같다.
곧, 점수가 0이 되는 경우의 수는 3이며, 점수가 1, 2, 3이 되는 경우의 수는 각각 모두 1이다. 한편, 주사위를 네 번 던져서 총 점수가 4가 되는 경우는 다음과 같으며, 위 표를 이용하여 경우의 수를 구할 수 있다. 순서쌍의 경우의 수이므로 순서를 고려하는 순열로 계산해야 한다.<colbgcolor=#efefef,#555555> 주사위 눈 [math(1)] [math(2)] [math(3)] [math(4)] [math(5)] [math(6)] 점수 [math(1)] [math(2)] [math(3)] [math(0)] [math(0)] [math(0)]
[1] 0점, 0점, 1점, 3점
우선 1점과 3점을 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1과 3이 한 번씩 나와야 한다. 그리고 나머지 두 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 이 나머지 두 번이 같은 눈이 나올 수도 있고 다른 눈이 나올 수도 있다.- 같은 눈이 나오는 경우
- 1, 3, 4, 4 또는 1, 3, 5, 5 또는 1, 3, 6, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(12\times3=36)]
- 다른 눈이 나오는 경우
- 1, 3, 4, 5 또는 1, 3, 4, 6 또는 1, 3, 5, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(4!=24)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(24\times3=72)]
[2] 0점, 0점, 2점, 2점
우선 2점을 두 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 2가 두 번 나와야 한다. 그리고 나머지 두 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 이 나머지 두 번이 같은 눈이 나올 수도 있고 다른 눈이 나올 수도 있다.- 같은 눈이 나오는 경우
- 2, 2, 4, 4 또는 2, 2, 5, 5 또는 2, 2, 6, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!2!}=6)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(6\times 3=18)]
- 다른 눈이 나오는 경우
- 2, 2, 4, 5 또는 2, 2, 4, 6 또는 2, 2, 5, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [math(12\times3=36)]
[3] 0점, 1점, 1점, 2점
우선 1점을 두 번, 2점을 한 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1가 두 번, 2가 한 번 나와야 한다. 그리고 나머지 한 번은 4, 5, 6 중 하나가 나와야 한다. 그러면 1, 1, 2, 4 또는 1, 1, 2, 5 또는 1, 1, 2, 6이 나와야 하며 각 경우의 수는 네 숫자를 나열하는 경우의 수이므로 모두 [math(\dfrac{4!}{2!}=12)]이다. 따라서 [3]의 총 경우의 수는 [math(12\times3=36)]
[4] 1점, 1점, 1점, 1점
1점을 네 번 얻기 위해서는 주사위를 던졌을 때 무조건 1이 네 번 나와야 한다. 따라서 [4]의 경우의 수는 [math(1)][math(\therefore 108+54+36+1=199)]
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| 29번 |
- [해설]
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풀이 1
먼저, 서로 이웃한 2개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 12가 되려면 2와 6이 이웃하든지 3과 4가 이웃해야 한다. 이러한 일이 발생하지 않는 경우의 수는, 의자 6개를 원형으로 배열하는 전체 경우의 수에서 이러한 일이 발생하는 경우의 수를 빼면 되며, 식은 다음과 같다.[math(\textsf{\footnotesize{(전체 경우의 수)}}-\textsf{\footnotesize{(2, 6 이웃)}}-\textsf{\footnotesize{(3, 4 이웃)}}+\textsf{\footnotesize{(2, 6 이웃 \& 3, 4 이웃)}})]
2와 6이 이웃하면서 3과 4가 이웃하는 경우의 수를 앞에서 두 번 뺐기 때문에 중복을 피하고자 다시 한 번을 더해 주어야 한다. 각 경우의 수는 다음과 같이 구한다.- 전체 경우의 수
- 서로 다른 의자 6개를 원형으로 배열하며 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 보는 원순열이므로 [math((6-1)!=120)]
- 2, 6 이웃
- 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 5개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((5-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!)]을 곱하면 [math((5-1)!\times2!=48)]
- 3, 4 이웃
- 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 5개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((5-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!)]을 곱하면 [math((5-1)!\times2!=48)]
- 2, 6 이웃 & 3, 4 이웃
- 이웃하는 의자끼리는 한 묶음으로 보아 의자 4개를 원형으로 배열하는 것으로 치면 [math((4-1)!)]이다. 한편 이웃하는 의자끼리 자리를 배열하는 경우의 수 [math(2!\times2!)]을 곱하면 [math((4-1)!\times2!\times2!=24)]
[math(\therefore 120-48-48+24=48)]
풀이 2
여사건을 이용하지 않고 바로 경우의 수를 구할 수 있다.
조합은 순서를 고려하지 않기에, 임의로 조합하는 순서를 정하여도 경우의 수가 같게 나옴을 명심하자.
2,6,3,4,1,5의 순서로 의자를 놓는다고 가정해보자
[A] 6을 2의 맞은편에 놓는 경우
3은 아무데나 놔도 된다.(x4) 단, 4는 3의 옆이 아닌 남은 두자리 중 한 곳에 두어야 한다. (x2) 다음의 1은 빈 두 자리 중 아무데나 놓여도 되고 (x2), 마지막의 5는 선택권이 없다.
[math(n(A)=4*2*2=16)]
[B] 6을 2의 맞은편에 놓지 않는 경우
1) 6은 2의 왼편 한칸 건너, 오른편 한칸 건너에 놓일 수 있다. (x2)2-1) 3을 2와 6사이에 놓을 경우, 4,1,5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x6)1) * 2) = [math(n(B)=2*(6+6+4)=32)]
2-2) 4가 2와 6사이에 놓을 경우, 3,1,5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x6)
2-3) 3과 4 모두 2와 6 사이칸에 오지 않는 경우는 2가지가 있고(3과 4가 각각 2옆 또는 6옆) 이때 1과 5는 아무렇게나 놓여도 된다. (x2x2)
[math(\therefore n(S)=n(A)+n(B)=16+32=48)]
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| 30번 |
- [해설]
- ----
풀이 1
먼저, [math(2\times 3=6)]이기 때문에 확인한 5개의 수의 곱이 6의 배수이기 위해서는 5번의 시행 중 2와 3이 모두 적어도 한 번 나와야 한다. 곧, 구하는 확률은 아래의 표를 이용하여, 1에서 여사건의 확률을 빼어 계산할 수 있다.
곧, 구하는 확률은 다음과 같다.공의 숫자 비고 [math(2)] [math(3)] [math(\bigcirc)] [math(\bigcirc)] 본사건 [math(\bigcirc)] [math(\large\times)] 여사건 [math(\large\times)] [math(\bigcirc)] [math(\large\times)] [math(\large\times)] [math(\bigcirc)]: 나옴, [math(\large\times)]: 나오지 않음 [math(1-\textsf{(2O, 3X)}-\textsf{(2X, 3O)}-\textsf{(2X, 3X)})]
이제 각 경우의 구체적인 확률을 구해 보자.
[1] [math(\textsf{(2O, 3X)})]
이 경우 3은 나오지 말아야 하며 2는 적어도 한 번 나와야 한다. 이 경우의 확률은 다시 다음과 같이 여사건을 이용하여 구할 수 있다.[math(\textsf{\footnotesize{(3이 나오지 않음)}}-\textsf{\footnotesize{(2와 3이 모두 나오지 않음)}})]- 3이 나오지 않음
- 세 개의 공을 5번 뽑는 경우의 수는 [math(3^5=243)]이며, 3이 나오지 않는 경우의 수는 곧 5번의 시행에서 1과 2만 나올 수 있는 것이므로 [math(2^5=32)]이다. 따라서 그 확률은 [math(\dfrac{32}{243})]
- 2와 3이 모두 나오지 않음
- 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{243})]
[2] [math(\textsf{(2X, 3O)})]
이 경우 2는 나오지 말아야 하며 3은 적어도 한 번 나와야 한다. 이 경우의 확률은 다시 다음과 같이 여사건을 이용하여 구할 수 있다.[math(\textsf{\footnotesize{(2가 나오지 않음)}}-\textsf{\footnotesize{(2와 3이 모두 나오지 않음)}})]- 2가 나오지 않음
- 세 개의 공을 5번 뽑는 경우의 수는 [math(3^5=243)]이며, 2가 나오지 않는 경우의 수는 곧 5번의 시행에서 1과 3만 나올 수 있는 것이므로 [math(2^5=32)]이다. 따라서 그 확률은 [math(\dfrac{32}{243})]
- 2와 3이 모두 나오지 않음
- 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{243})]
[3] [math(\textsf{(2X, 3X)})]
이 경우는 2와 3이 모두 나오지 말아야 하고, 이는 곧 5번의 시행에서 모두 1만 나오는 확률이므로 [math(\dfrac1{3^5}=\dfrac1{243})][math(\therefore 1-\dfrac{31}{243}-\dfrac{31}{243}-\dfrac1{243}=\dfrac{180}{243}=\dfrac{20}{27})]
[math(\therefore p=27,\,q=20,\,p+q=47)]
풀이 2
조금 특이한 풀이를 소개한다.
우선 전체 경우의 수가 [math(3^5=243)]임은 쉽게 알 수 있다. ([math(n(S)=243)])
(1) 주머니에 1과 2만 들어있다고 생각해보자, 이제 5번을 뽑는다.
(2) 2를 뽑을 때마다 뽑은 숫자를 3으로 바꿀 수 있는 기회가 주어진다고 하자.
(3) 2와 3이 최소 1번 이상 있기 위해서는 최소한 2를 2번 이상 뽑아야하며, 이때, 1~(2를 뽑은횟수-1)개 만큼의 2를 골라 3으로 바꾸는 경우의 수가 각각 존재한다.
(3)-1 2를 2번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_2*{}_2{\rm C}_1=20)]
(3)-2 2를 3번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_3*({}_3{\rm C}_2+{}_3{\rm C}_1)=60)]
(3)-3 2를 4번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_4*({}_4{\rm C}_3+{}_4{\rm C}_2+{}_4{\rm C}_1)=70)]
(3)-4 2를 5번 뽑았을 때 경우의 수 : [math({}_5{\rm C}_45({}_5{\rm C}_4+{}_5{\rm C}_3+{}_5{\rm C}_2+{}_5{\rm C}_1)=30)]
따라서 문제 조건(사건 A라 하자)을 충족하는 경우의 수 n(A)는 20+60+70+30 이다.
[math(\therefore P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{180}{243}=\dfrac{20}{27})]
[math(p+q=20+27=47)]
풀이 2의 경우 이해 및 일반화하여 적용하기 어렵기 때문에 이러한 풀이도 있다 참고만 하기 바란다.
2.2.2. 미적분
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| 23번 |
- [해설]
- ----[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1{\sqrt{n^2+n+1}-n}&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n^2+n+1-n^2}\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n^2+n+1}+n}{n+1}\\&=\dfrac{\sqrt1+1}1=2\end{aligned})]
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| 24번 |
- [해설]
- ----[math(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\cos t}{e^t- \sin t})]
[math(t=0)]을 대입하면 답은 1
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| 25번 |
- [해설]
- ----
원점에서 곡선 [math(y=e^{\lvert x\rvert})]에 그은 두 접선은 [math(y=ex,\ y=-ex)]이다.(접선의 방정식을 [math(y=mx)]로 두고, 접점을 [math((t,\ mt))]로 잡은 뒤 접점에서의 [math(y)]좌표와 미분계수가 같은 점을 이용하여 [math(m)]을 구하면 된다.) [math(x)]축의 양의 방향과 [math(y=ex)]가 이루는 각, [math(x)]축의 음의 방향과 [math(y=-ex)]가 이루는 각은 같다. 이 각을 [math(\phi)]라고 하면 [math(\tan \phi = e)]이고, 문제에 제시된 각 [math(\theta = \pi - 2\phi)]이다.[math(\begin{aligned}\therefore \tan{\theta}=\tan(\pi-2\phi)&=-\tan{2\phi}\\&=-\dfrac{2\tan\phi}{1-\tan^2\phi}=-\dfrac{2e}{1-e^2}\\&=\dfrac{2e}{e^2-1}\end{aligned})]
양수기울기와 x축의 양의 방향이 이루는 각을 [math(\alpha)], 음수 기울기의 경우를 각 [math(\beta)]로 놓고 [math(\tan(\alpha-\beta))]를 풀면 답이 4번으로 나온다.
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| 26번 |
- [해설]
- ----
부채꼴 [math(\rm O_1A_1B_1)]은 반지름이 [math(1)], 중심각의 크기가 [math(\dfrac{\pi}{4})]이므로 넓이는 [math(\dfrac{\pi}{8})]
삼각형 [math(\rm O_1O_2A_2)]에서 [math(\angle\rm O_2O_1A_2 = \dfrac{\pi}{6})], [math(\angle\rm O_1A_2O_2 = \dfrac{\pi}{4})]([math(\because \angle{\rm A_2O_1A_1})]과 엇각)이다.
사인법칙에 의해 [math(\dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\overline{\rm O_2A_2}}{\sin \dfrac{\pi}{6}})]이 성립하므로, [math(\overline{\rm O_2A_2} = \dfrac{\sqrt2}{2})]
따라서 부채꼴 [math(\rm O_1A_1B_1)]과 부채꼴 [math(\rm O_2A_2B_2)]의 닮음비는 [math(1:\dfrac{\sqrt2}{2})]이고, 넓이비는 [math(2:1)]
[math(\therefore \lim\limits_{n\to\infty} S_n = \dfrac{\dfrac{\pi}{8}}{1-\dfrac12} = \dfrac{\pi}{4})]
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| 27번 |
- [해설]
- ----
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| 28번 |
- [해설]
- ----
[math(\overleftrightarrow{\rm AP})]와 [math(\overleftrightarrow{\rm BQ})]의 교점을 점 [math({\rm S})]라고 하자.
원의 반지름인 [math(\overline{\rm AO}=\overline{\rm OP}=1)], 따라서 [math(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OPA}=\theta)], [math(\angle{\rm AOP}=\pi-2\theta)]
삼각형 넓이 공식 [math(S=\displaystyle{\frac{1}{2}ab\sin C})]을 이용하면 [math(f(\theta)=\triangle{\rm AOP}=\dfrac{1}{2} \times \overline{\rm AO} \times \overline{\rm OP} \times \sin{\angle{\rm AOP}}=\dfrac{1}{2}\sin({\pi-2\theta})=\dfrac{1}{2}\sin2\theta~(\because \sin(\pi-x)=\sin{x}))]
[math(\overline{\rm AB}=2,~\overline{\rm OA}=1)]이고 [math(\angle{\rm BAS}=\theta)]이므로 삼각비의 정의에 의해 [math(\overline{\rm AS}=\dfrac{2}{\cos\theta},~\overline{\rm AP}=2\cos\theta)]
[math(\overline{\rm PS}=\overline{\rm AS}-\overline{\rm AP}=\dfrac{2}{\cos\theta}-2\cos\theta=\dfrac{2(1-\cos^2\theta)}{\cos\theta}=\dfrac{2\sin^2\theta}{\cos\theta})]
[math(\angle{\rm QOB}=2\theta,~\angle{\rm OQB}=\dfrac{\pi}{2}-\theta)]이고 [math(\angle{\rm PQR}=\angle{\rm SQR})]이므로 [math(\angle{\rm PQR}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2},~\angle{\rm PRQ}=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})]
한편, 사인 법칙에 의해 [math(\dfrac{\overline{\rm PR}}{\sin\angle{\rm PQR}}=\dfrac{\overline{\rm PQ}}{\sin\angle{\rm PRQ}})]
[math(\overline{\rm OP}=1,~\overline{\rm OQ}=\dfrac{\overline{\rm OB}}{\cos\angle{\rm BOQ}}=\dfrac{1}{\cos{2\theta}},~\overline{\rm PQ}=\overline{\rm OQ}-\overline{\rm OP}=\dfrac{1}{\cos2\theta}-1=\dfrac{1-\cos2\theta}{\cos2\theta})]
[math(\therefore \overline{\rm PR}=\sin({\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2}}) \times \dfrac{1-\cos2\theta}{\cos2\theta} \times \dfrac{1}{\sin({\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})}}=\dfrac{\sin({\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2}})}{\cos2\theta\sin({\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})}}(1-\cos2\theta))]
[math(\theta \rightarrow 0)]일 때, [math(\dfrac{\sin({\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2}})}{\cos2\theta\sin({\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})}} \rightarrow \dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{1 \times \dfrac{\sqrt2}{2}}=1)]이므로 위의 [math(\dfrac{\sin({\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2}})}{\cos2\theta\sin({\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})}}(1-\cos2\theta) \rightarrow 1-\cos2\theta)]
[math(\therefore \theta \rightarrow 0,~g(\theta)=\triangle {\rm PQR}=\dfrac{1}{2} \times \overline {\rm PQ} \times \overline {\rm PR} \times \sin{\angle {\rm QPR}}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1-\cos2\theta}{\cos2\theta} \times \dfrac{\sin({\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2}})}{\cos2\theta\sin({\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\theta}{2})}}(1-\cos2\theta) \times \sin\theta \rightarrow \dfrac{1}{2}(1-\cos2\theta)^2\sin\theta)]
[math(\therefore \lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{g(\theta)}{\theta^4 \times f(\theta)}=\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{\dfrac{1}{2}(1-\cos2\theta)^2\sin\theta}{\theta^4 \times \dfrac{1}{2}\sin2\theta}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{\theta\to0+} \biggl (\dfrac{1-\cos2\theta}{\theta^2}\biggr)^2 \times \dfrac{2\sin\theta}{\sin2\theta}=\dfrac{1}{2} \times 2^2 \times \dfrac{2}{2}=2)]
| 파일:2022 6평 수학 29 미적.png |
| 29번 |
- [해설]
- ----
함수 [math(f(x))]를 미분하면 [math(f'(x)=\dfrac{2t\ln x}{x}-2x)]이다. [math(x=k)]에서 극대라면 [math(f'(k)=0)]이므로, [math(\dfrac{2t\ln k}{k}-2k=0)], 즉 [math(t \ln k=k^2)]가 성립한다. 참고로, [math(f(x))]의 정의역인 [math(x>0)]에서 생각해보면 방정식 [math(t\ln x=x^2)]의 근은 [math(t>2e)]일 때 두 개가 존재하고, 이 중 작은 값이 극솟값, 큰 값이 극댓값이다.
이때 극댓값이 되는 [math(x)]의 값을 [math(g(t))]라고 하였으므로, [math(t\ln g(t)=\{g(t)\}^2)]가 성립한다는 것도 알 수 있다. 위 식에서 [math(t=\alpha)]를 대입하면, [math(g(\alpha)=e^2)]이므로 [math(\alpha=\dfrac{e^4}{2})]를 얻는다.
위 식을 미분하면 [math(\ln g(t) + \dfrac{tg'(t)}{g(t)}=2g'(t)g(t))]인데, 이 식에 [math(t=\alpha=\frac{e^4}{2})]를 대입하면 [math(g'(\alpha)=\dfrac{4}{3e^2})]도 얻을 수 있다.
구한 값을 이용하여 답을 계산하면 [math(\alpha \times \{g'(\alpha)\}^2=\frac 89)]이므로, [math(p+q=17)]
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| 30번 |
- [해설]
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곡선 [math(y=\ln{(1+e^{2x}-e^{-2t})})]과 직선 [math(y=x+t)]가 만나는 점의 [math(x)]좌표는 방정식 [math(\ln{(1+e^{2x}-e^{-2t})}=x+t)]의 해이고, 이 식은 [math(1+e^{2x}-e^{-2t}=e^{x+t})]와 같다.
위 식을 [math(e^x)]에 대해 정리하면 [math(e^{2x}-e^te^x-e^{-2t}+1=0)]
근의 공식을 이용하여 [math(e^x)]의 해를 구하면[math(e^x= \dfrac{e^t\pm\sqrt{e^{2t}+4e^{-2t}-4}}{2} = \dfrac{e^t\pm(e^t-2e^{-t})}{2})]
([math(t>\frac12\ln 2)]라는 조건에 의해 근의 공식으로 구한 두 근이 모두 양수이므로, [math(x)]의 근도 두 개이다.)
즉 [math(x=\ln e^{-t})] 또는 [math(x=\ln (e^t-e^{-t}))]
따라서 문제의 곡선과 직선이 만나는 서로 다른 두 점의 [math(x)]좌표의 차는 [math(\ln \frac{e^t-e^{-t}}{e^{-t}}=\ln (e^{2t}-1))]
이때 두 점은 직선 [math(y=x+t)] 위에 있으므로, 두 점 사이의 거리는 [math(x)]좌표의 차의 [math(\sqrt2)]배이다. 즉 [math(f(t)=\sqrt2\ln (e^{2t}-1))]
위 식을 미분하면 [math(f'(x)=\sqrt2 \dfrac{2e^{2t}}{e^{2t}-1})]
[math(\therefore f'(\ln 2)=\dfrac83\sqrt2)] ,\ [math(p+q=3+8=11)]
2.2.3. 기하
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| 23번 |
- [해설]
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어떤 실수 [math(t)]에 대하여 [math(\vec a = t\vec b)]가 성립하므로, [math((k+3,\ 3k-1)=(t,\ t))]이다. 따라서 일차방정식 [math(k+3 = 3k -1)]을 세울 수 있고, 해를 구하면 [math(k=2)]이다.
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| 24번 |
- [해설]
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타원의 접선 공식에 따라 타원 [math(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1)] 위의 점 [math((2, \sqrt2))]에서의 접선의 방정식은 [math(\dfrac{2x}{8}+\dfrac{\sqrt2y}{4}=1)]
위 방정식에서 [math(y=0)]을 대입하면 [math(x=4)]
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| 25번 |
- [해설]
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[math(\lvert \overrightarrow{\rm AB}\rvert = \sqrt{4^2+3^2} = 5)]이므로, [math(\lvert \overrightarrow{\rm OP} - \overrightarrow{\rm OA}\rvert = \lvert \overrightarrow{\rm AP}\rvert = 5)]
여기서 [math(\rm A)]는 정점, [math(\rm P)]는 동점이므로 점 [math(\rm P)]가 그리는 도형은 점 [math(\rm A)]에서 5만큼 떨어져 있는 점들의 집합, 즉 반지름이 5인 원이다. 따라서 점 [math(\rm P)]가 나타내는 도형의 길이는 [math(10\pi)]
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| 26번 |
- [해설]
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벡터 합 문제이므로 풀이는 다양하다.
[1] 좌표 설정
[math(\overleftrightarrow{\rm CD})]를 [math(x)]축으로, [math(\overleftrightarrow{\rm AC})]를 [math(y)]축으로 하여 좌표를 설정한다.[math(\overrightarrow{\rm AE}=\left(~\dfrac{3}{2},~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~\right),~\overrightarrow{\rm BC}=\left(~\dfrac{1}{2},~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~\right))]
[math(\therefore \overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BC}=(2,~-\sqrt3),~\lvert \overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BC}\rvert=\sqrt7)]
[2] 중점 벡터를 이용
[math(\overline{\rm CD})]의 중점을 [math(\rm M)]이라고 하면, [math(\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{\rm BD})]이므로 [math(\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm BD}+\overrightarrow{\rm BC}=2\overrightarrow{\rm BM})]
파푸스의 중선 정리를 이용하여 [math(\overline{\rm BM})]의 길이를 바로 구할 수도 있고, 중선 정리를 모른다면 점 [math(\rm B)]에서 [math(\overline{\rm CD})]에 내린 수선의 발을 점 [math(\rm H)]라고 한 후, [math(\overline{\rm BH}=\dfrac{\sqrt3}{2},~\overline{\rm HM}=1)]인 걸 알아내 피타고라스 정리로 [math(\overline{\rm BM})]의 길이를 구할 수 있다. 어떻게 구하든 [math(\overline{\rm BM}=\dfrac{\sqrt7}{2})]가 나와 답은 [math(\sqrt7)].
[3] 식을 제곱하여 내적을 이용
구하는 식을 제곱한다.[math({\lvert \overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BC}\rvert}^2={\lvert \overrightarrow{\rm AE}\rvert}^2+2\overrightarrow{\rm AE}\cdot\overrightarrow{\rm BC}+{\lvert \overrightarrow{\rm BC}\rvert}^2)]
[math(\overline{\rm BC})]가 [math(\overline{\rm EF})]와 평행하므로 [math(\overline{\rm BC})]가 [math(\overline{\rm AE})]와 이루는 각은 [math(\angle{\rm AEF}=\dfrac{\pi}{6})]이다.[math(\lvert \overrightarrow{\rm AE}\rvert=\sqrt3,~\lvert \overrightarrow{\rm BC}\rvert=1,~\overrightarrow{\rm AE}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=\lvert \overrightarrow{\rm AE}\rvert \lvert \overrightarrow{\rm BC}\rvert\cos{\dfrac{\pi}{6}})]
[math(\lvert \overrightarrow{\rm AE}\rvert=\sqrt3,~\lvert \overrightarrow{\rm BC}\rvert=1,~\overrightarrow{\rm AE}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=\lvert \overrightarrow{\rm AE}\rvert \lvert \overrightarrow{\rm BC}\rvert\cos{\dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{3}{2})]
따라서 구하는 식의 제곱 값이 [math(7)]이므로, 정답은 [math(\sqrt7)]이 된다.
[4]코사인 법칙 이용 (점 G 잡기)
BC를 평행이동 시켜 EG 벡터를 만들자.
그러면 벡터의 덧셈에 의해 AG 벡터를 구하면 된다.
코사인법칙을 적용하면 루트7이 정답이 된다.
[5] 코사인 법칙 이용 (중점 O 잡기)
[4]랑 동일하게, 하지만 벡터 BC를 O로 평행이동 시켜주면 된다.
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| 27번 |
- [해설]
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점 [math(\rm P)]에서의 접선의 방정식은 [math(\dfrac{4x}{a^2}-\dfrac{ky}{b^2}=1)]이다. 이 직선의 [math(x)]절편은 [math(\dfrac{a^2}{4})]이고, [math(y)]절편은 [math(\dfrac{b^2}{k})]이므로 점 [math(\rm Q)]의 좌표는 [math(\left(\dfrac{a^2}{4}, 0\right))], 점 [math(\rm P)]의 좌표는 [math(\left(0, \dfrac{b^2}{k}\right))]이다. 따라서 삼각형 [math(\rm QOR)]의 넓이 [math(A_1=\dfrac{a^2b^2}{8k})]이다.
한편, 삼각형 [math(\rm PRS)]의 넓이는 밑변과 높이가 같은 삼각형 [math(\rm POS)]의 넓이와 같고, 삼각형 [math(\rm POS)]의 넓이는 [math(\frac12 \times 4 \times k=2k)]이므로 [math(A_2=2k)]이다.
[math(A_1=\dfrac 94 A_2)]이므로 [math(\dfrac{a^2b^2}{8k}=\dfrac 92 k)]이다.
또한, 점 [math(\rm P)]가 쌍곡선 [math(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1)] 위에 있으므로 [math(\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{k^2}{b^2}=1)]이 성립한다.
위의 방정식에서 비례식으로부터 구한 식을 [math(k^2)]에 대해 정리한 결과인 [math(k^2=\dfrac{a^2b^2}{36})]을 대입하면, [math(\dfrac{16}{a^2}-\dfrac{a^2}{36}=1)]이 된다. 따라서 [math(a^2=12)]이고, 주축의 길이 [math(2a=4\sqrt3)]이다.
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| 28번 |
- [해설]
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| 29번 |
- [해설]
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| 30번 |
- [해설]
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3. 9월 모의평가(2021.09.01.)
3.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)
3.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)
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| 1번 |
- [해설]
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지수법칙으로 푼다.[math(3^{-0.25}\times 3^{-1.75}=3^{-2}=\dfrac{1}{9})]
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| 2번 |
- [해설]
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| 3번 |
- [해설]
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| 4번 |
- [해설]
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| 5번 |
- [해설]
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| 6번 |
- [해설]
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| 7번 |
- [해설]
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| 8번 |
- [해설]
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3.1.2. 9번~15번(객관식 4점)
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| 9번 |
- [해설]
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| 10번 |
- [해설]
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| 11번 |
- [해설]
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| 12번 |
- [해설]
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| 13번 |
- [해설]
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| 14번 |
- [해설]
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| 15번 |
- [해설]
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3.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)
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| 16번 |
- [해설]
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| 17번 |
- [해설]
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| 18번 |
- [해설]
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| 19번 |
- [해설]
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| 20번 |
- [해설]
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| 21번 |
- [해설]
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| 22번 |
- [해설]
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3.2. 선택(23번~30번)
3.2.1. 확률과 통계
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| 23번 |
- [해설]
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이항분포 [math(B(n,p))]의 평균은 [math(E(X)=np)] 이므로
[math(E(X)=60*\dfrac{1}{4}=15)]
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| 24번 |
- [해설]
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전체 [math(\{a,b\})]의 경우의 수 [math(n(S))] 는 [math(4*4=16)]
조건을 만족하는 순서쌍은 [math(\{5,8\},\{7,6\},\{7,8\})], 따라서 조건을 만족하는 순서쌍 [math(\{a,b\})]의 개수 [math(n(A)=3)]
[math(\therefore P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{16})]
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| 25번 |
- [해설]
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[math((x^2+\dfrac{a}{x})^5={}_5{\rm C}_0x^{10}+a*{}_5{\rm C}_1x^7+a^2*{}_5{\rm C}_2x^4+a^3{}_5{\rm C}_3x+a^4{}_5{\rm C}_4x^{-2}+a^5{}_5{\rm C}_5x^{-5})]
[math(10*a^3=5*a^4)]
[math(\therefore a=2, (\because a>0))]
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| 26번 |
- [해설]
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주사위의 눈이 5이상인 사건을 A, 흰색 공을 2개 뽑는 사건을 B라고 하자
꺼낸 공이 모두 흰색일 때 (전제 : 사건 B), 주사위의 눈이 5 이상일 확률(사건 A)은
[math(P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B|A)*P(A)}{P(A \cap B)+P(A^c \cap B)}=\dfrac{P(B|A)*P(A)}{P(B|A)*P(A)+P(B|A^c)*P(A^c)})]이고
[math(P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}, P(A^c)=1-P(A)=\dfrac{2}{3})]
[math(P(B|A)=\dfrac{{}_2{\rm C}_2}{{}_6{\rm C}_2})=\dfrac{1}{15})]
[math(P(B|A^c)=\dfrac{{}_3{\rm C}_2}{{}_6{\rm C}_2})=\dfrac{3}{15})]
[math(\therefore P(A|B)=\dfrac{\dfrac{1}{15}*\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{15}*\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{15}*\dfrac{2}{3}}= \dfrac{1}{7})]
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| 27번 |
- [해설]
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중심극한정리에 의하면 [math(\bar X\sim\mathrm N(\mu,\dfrac{\sigma^2}n))]이다.
0.1587=0.5-0.3413 이므로
[math(220-1.0*{\dfrac{\sigma_x}{n}}=215, \dfrac{\sigma_x}{n}=5)]
[math(P(\bar Y ≥ 235)=P(\bar Y ≥ 240-z*\dfrac{1.5*\sigma_x}{3n})=P(\bar Y ≥ 240-2.5*z))]
[math(z=2)]
[math(\therefore P(\bar Y ≥ 235) = 0.5+0.4772 = 0.9772)]
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| 28번 |
- [해설]
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조건(가)를 충족하는 순서쌍 {f(3),f(4)}는 {1,4},{2,3},{3,2},{4,1},{4,6},{5,5},{6,4} 총 7가지 이다.
[A] {1,4}
조건(나)를 충족 시킬 수 없다. n(A)=0
[B]{2,3}
조건(나)를 충족 시키는 순서쌍 {f(1),f(2)}의 개수는 1*1, 조건(다)를 충족 시키는 순서쌍{f(5),f(6)}의 개수는 3*3
n(B) = 1*9 = 9
[C}{3,2}
조건(나)를 충족 시키는 순서쌍 {f(1),f(2)}의 개수는 2*2, 조건(다)를 충족 시키는 순서쌍{f(5),f(6)}의 개수는 4*4
n(C) = 4*16 = 64
[D}{4,1}
조건(나)를 충족 시키는 순서쌍 {f(1),f(2)}의 개수는 3*3, 조건(다)를 충족 시키는 순서쌍{f(5),f(6)}의 개수는 5*5
n(D) = 9*25 = 225
[E}{4,6}
조건(다)를 충족 시킬 수 없다. n(E) = 0
[F}{5,5}
조건(나)를 충족 시키는 순서쌍 {f(1),f(2)}의 개수는 4*4, 조건(다)를 충족 시키는 순서쌍{f(5),f(6)}의 개수는 1*1
n(F) = 16*1 = 16
[G}{3,2}
조건(나)를 충족 시키는 순서쌍 {f(1),f(2)}의 개수는 5*5, 조건(다)를 충족 시키는 순서쌍{f(5),f(6)}의 개수는 2*2
n(G) = 25*4 = 100
[math(\therefore n(S)=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)+n(E)+n(F)+n(G) = 414)]
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| 29번 |
- [해설]
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[math(V(X)=E(X^2)-E(X)^2)]
[math(E(X)=E(Y))]이므로 (분포가 대칭인 점으로 부터 쉽게 파악할 수 있다.)
[math(V(Y)-V(X)=E(Y^2)-E(X^2)=\displaystyle\sum_{Y=1}^9 P(Y)*Y^2-\displaystyle\sum_{X=1}^9 P(X)*X^2=\displaystyle\sum_{Y=1}^9 (P(Y)-P(X))*Y^2)]
[math(V(Y)-V(X)=\dfrac{1}{20}*1^2-\dfrac{1}{10}*5^2+\dfrac{1}{20}*9^2=\dfrac{8}{5})]
[math(V(Y)=V(X)+(V(Y)-V(X))=\dfrac{31}{5}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{39}{5})]
[math(\therefore 10*V(Y)=78)]
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| 30번 |
- [해설]
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직관적으로 받아들이기 위해 A,B,C,D가 받는 사인펜의 개수를 각각 A,B,C,D라고 하자
(가) 조건을 쉽게 생각하기 위해 각자에게 사인펜을 1개씩 준 다음 남은 10개를 분배한다고 생각할 수 있다.
[가]조건
A'=A-1≥0, B'=B-1≥0, C'=C-1≥0, D'=D-1≥0
A' + B' + C' + D' = A+B+C+D-4 = 10
[나]조건
A'=A-1≤8, B'=B-1≤8, C'=C-1≤8, D'=D-1≤8
[가]&[나]
4명에게 10개의 사인펜을 나눠주는 중복 조합 문제이다.
이때, (나)조건으로 인해 한명이 9개 또는 10개를 받는 사건을 제외하여야 한다.
*한명이 9개를 받는 경우의 수 : (9개를 받을 사람과 1개를 받을 사람을 각각 정하는 경우의 수) = 4*3 = 12
*한명이 10개를 받는 경우의 수 : (10개를 받는 사람을 정하는 경우의 수)= 4[math(n(가 \cap 나) = {}_{4}{\rm H}_{10}-16 = 270)][다]조건
(다)의 여사건은 모두가 홀수개의 사인펜을 받는 사건이다.
A',B',C',D'이 모두 짝수이면 A,B,C,D는 모두 홀수가 된다.
4명에게 10개의 사인펜을 짝수개로 분배하는 사건은 사인펜 2개짜리 세트 5개를 분배하는 사건과 같다,
이때, 세트 5개를 모두 주게 되면 (나)조건에 위배되므로 이를 제외하여야 한다.[math(n(가 \cap 나 \cap 다^c) = {}_{4}{\rm H}_5-4 = 52)]
[math(\therefore n(가 \cap 나 \cap 다)=n(가 \cap 나)-n(가 \cap 나 \cap 다^c)=270-52=218)]
3.2.2. 미적분
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| 23번 |
- [해설]
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| 24번 |
- [해설]
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| 25번 |
- [해설]
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| 26번 |
- [해설]
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| 27번 |
- [해설]
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| 28번 |
- [해설]
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| 29번 |
- [해설]
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| 30번 |
- [해설]
- [math(\lim\limits_{x\to\infty}\sin(\pi \times f(x))=0)]임을 알 수 있다. [math(f(x))]는 삼차함수이므로 모든 실수 [math(x)]에 대해 정의되므로, [math(\sin(\pi \times f(x)))]는 실수 전체에서 미분 가능한 함수이고 [math(\sin(\pi f(0))=0)]이다.즉, [math(\sin(\pi \times f(x))=h(x))]라 하면 [math(h'(0)=\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{\sin(\pi \times f(x))-\sin(\pi f(0))}{x-0}=\lim\limits_{x\to\infty}\displaystyle\frac{\sin(\pi \times f(x))}{x}=0)], [math(h'(x)=\pi f'(x)cos(\pi \times f(x)))]이고 [math(|cos(\pi \times (f(0)))|=1)]이므로 [math(f'(0)=0)]이다. [math(f'(x)=27x(x-2\alpha))]라고 놓으면 함수 [math(f(x))]는 [math(0, 2\alpha)]에서 극값을 가짐을 알 수 있다.적절한 상수[math(C)]에 대해 [math(f(x)=9x^3-27 \alpha x^2+C)]이고, [math(g(x))]의 조건에서 [math(f(1)=\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}g(x)=g(1)=g(0)=f(0))]이므로 [math(f(1)=f(0))], 즉 [math(\alpha=\dfrac{1}3)], [math(2\alpha=\dfrac{2}3)], [math(f(x)=9x^3-9x^2+C)]임을 알 수 있고 위에서 구한 [math(f(x))]의 극값을 유도하는 두 수를 [math(f(x))]에 대입하면 [math(C \times (C-\dfrac{4}{3})=5)], [math((3C+5)(C-3)=0)]이다. [math(f(0)=C)]에 대해 [math(\sin(C\pi)=0)]이므로 [math(C)]는 정수, 즉 [math(C=3)]이다.
이제 수학적 귀납법을 활용하면 임의의 정수 [math(n)]에 대해 [math(g(x+n)=g(x))]임을 알자.(정의역 [math(x \geq 0)] 위에서) 그러면 [math(\displaystyle \int_0^5 xg(x) \, {\rm d}x=\sum_{k=0}^{4} \displaystyle \int_k^{k+1} xg(x) \, {\rm d}x=\sum_{k=0}^{4} \displaystyle \int_k^{k+1} (x-k+k)g(x-k) \, {\rm d}x=\sum_{k=0}^{4} \displaystyle \int_k^{k+1} (x-k)g(x-k) \, {\rm d}x+\sum_{k=0}^{4} \displaystyle \int_k^{k+1} kg(x-k) \, {\rm d}x=\sum_{k=0}^{4} \displaystyle \int_0^1 xg(x) \, {\rm d}x+\sum_{k=0}^{4} k\displaystyle \int_0^{1} g(x) \, {\rm d}x=5\displaystyle \int_0^1 xg(x) \, {\rm d}x+10\displaystyle \int_0^1 g(x) \, {\rm d}x)]이다. [math(\displaystyle \int_0^1 g(x) \, {\rm d}x=\displaystyle \int_0^1 f(x) \, {\rm d}x=\displaystyle \int_0^1 9x^3-9x^2+3 \, {\rm d}x=\biggl. \biggl(\dfrac{9}{4} x^4 -3x^3+3x \biggr) \biggr|_0^1=\dfrac{9}{4})], [math(\displaystyle \int_0^1 xg(x) \, {\rm d}x=\displaystyle \int_0^1 9x^4-9x^3+3x \, {\rm d}x=\biggl. \biggl(\dfrac{9}{5} x^5 -\dfrac{9}{4}x^3+\dfrac{3}{2}x \biggr) \biggr|_0^1=\dfrac{21}{20})]을 대입하면 [math(5\displaystyle \int_0^1 xg(x) \, {\rm d}x+10\displaystyle \int_0^1 g(x) \, {\rm d}x=\dfrac{45}{2}+\dfrac{21}{4}=\dfrac{111}{4})], [math(p+q=111+4=115)]
3.2.3. 기하
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| 23번 |
- [해설]
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| 24번 |
- [해설]
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| 25번 |
- [해설]
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| 26번 |
- [해설]
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| 27번 |
- [해설]
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| 28번 |
- [해설]
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| 29번 |
- [해설]
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| 30번 |
- [해설]
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4. 대학수학능력시험(2021.11.18.)
문항번호는 홀수형 기준이다.4.1. 공통(수학Ⅰ· 수학Ⅱ)
4.1.1. 1번~8번(객관식 2~3점)
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| 1번 |
- [해설]
- ----
지수법칙으로 푼다.[math((2^{\sqrt3+2})^{\sqrt3-2}=2^{{\sqrt3}^2-2^2}=2^{-1}=\dfrac{1}{2})]
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| 2번 |
- [해설]
- ----
다항함수의 미분법으로 푼다.[math(f'(x)=3x^2+6x+1)][math(f'(1)=10)]
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| 3번 |
- [해설]
- ----[math(\dfrac {a_4+a_6}{2}=a_5=18)][math(\dfrac {a_5-a_2}{3}=d=4)][math(a_{10}=a_5+5d=18+4*5=38)]
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| 4번 |
- [해설]
- ----
그래프를 해석하면 다음과 같다.[math(\begin{aligned}\displaystyle\lim_{x\to -1-}f(x)&=3\\\lim_{x\to 2}f(x)&=1\\\lim_{x\to -1-}f(x)&+\lim_{x\to 2}f(x)=4\end{aligned})]
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| 5번 |
- [해설]
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규칙을 찾으면 된다.
[math(a_1=1,\, a_2=2,\, a_3=4,\, a_4=8,\, a_5=1)] 즉, [math((1,2,4,8))]이 반복이 된다.
제1항부터 제 n항까지의 합을 [math(S_n)]이라 하면 [math(S_8=(1+2+4+8)*2=30)]
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| 6번 |
- [해설]
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[math(k)]를 우변으로 이항시킨 후, [math(f(x)=2x^3-3x^2-12x)]라고 하면, [math(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1))]
증감표를 그려보면
서로 다른 실근의 개수가 3이려면, [math(-k)]가 극댓값과 극솟값 사이에 있어야 한다.[math(x)] [math(-1)] [math(2)] [math(f'(x))] [math(+)] [math(0)] [math(-)] [math(0)] [math(+)] [math(f(x))] [math(7)] [math(-20)]
[math(-20<-k<7)]이므로, [math(-7<k<20)]이다. 이를 만족하는 정수 [math(k)]의 개수는 [math(7-(-20)-1=26)]
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| 7번 |
- [해설]
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| 8번 |
- [해설]
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4.1.2. 9번~15번(객관식 4점)
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| 9번 |
- [해설]
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| 10번 |
- [해설]
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| 11번 |
- [해설]
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| 12번 |
- [해설]
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| 13번 |
- [해설]
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| 14번 |
- [해설]
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| 15번 |
- [해설]
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AO2의 길이는 직각삼각형 ABO1에서 피타고라스 정리에 의해 (가)에 들어갈 식은 [math(f(k)=3k)]이다.
(나)에 들어갈 값은 [math(\dfrac {2{\sqrt2}}{3})]
(다)는 코사인법칙을 활용하여 계산하면,
[math(8k^2+g(k)^2-k^2)]=2×[math(2{\sqrt2k})]×[math(g(k))]×[math(\dfrac {2{\sqrt2}}{3})]
[math(7k^2+g(k)^2)]=[math(\dfrac {16kg(k)}{3})]
양변에 3을 곱하여 인수분해하면 다음과 같은 결과가 나온다.
[math(21k^2)]-[math({16kg(k)})]+[math(3g(k)^2)]=([math(3k-g(k))])([math(7k-3g(k))])
그런데, 원의 지름이 3k이므로, g(k)는 3k가 될 수 없다. 따라서, [math(g(k)=\dfrac{7k}{3})]
위에 (가)와 (다)에 들어갈 주어진 식을 계산하면, [math(f(k)×g(k)=7k^2)]이다.
이후, k값은 (나)에 들어갈 [math(\dfrac {2{\sqrt2}}{3})]을 대입하면,
[math(f(\dfrac {2{\sqrt2}}{3})×g(\dfrac {2{\sqrt2}}{3})=7×(\dfrac {2{\sqrt2}}{3}^2)=\dfrac{56}{9})]이 나온다.
따라서 정답은 홀수형 2번(짝수형 4번)이다.
4.1.3. 16번~22번(단답형 3~4점)
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| 16번 |
- [해설]
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로그의 성질을 이용하여 푼다.[math(\log_2120-\log_215=\log_28=\log_22^3=3)]
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| 17번 |
- [해설]
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부정적분하여 적분상수를 구한 후, 1을 대입하여 구한다.
[math(\int (3x^2+2x) dx=x^3+x^2+C=f(x))],\ [math(f(0)=2)] 이므로, [math(C=2)] ,\ [math(f(x)=x^3+x^2+2,\ f(1)=1+1+2=4)]
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| 18번 |
- [해설]
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| 19번 |
- [해설]
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| 20번 |
- [해설]
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| 21번 |
- [해설]
- ----[math(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{10} a_n - 2 \times\displaystyle\sum\limits_{a_n<0,~ 1\leq n \leq10} a_n = -14)]
에서[math(2046 - 2 \times\displaystyle\sum\limits_{a_n<0,~1\leq n \leq10} a_n = -14)], [math(\displaystyle\sum\limits_{a_n<0, ~1\leq n \leq10} a_n = 1030)]
이다.
이때 1030=1024+4+2이므로,[math(a_n<0, ~1\leq n \leq10)]
인 자연수 [math(n)]은 1, 2, 10뿐이다.
따라서 구하고자 하는 값은[math(-2+8+32+128+512=678)]
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| 22번 |
- [해설]
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4.2. 선택(23번~30번)
4.2.1. 확률과 통계
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| 23번 |
- [해설]
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이항정리를 이용하여 푼다. [math({}_7{\rm C}_2)]*[math(2^2)][math(=84)]
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| 24번 |
- [해설]
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[math(V(2X)=2^2*V(X))]
이항 분포의 분산은 [math(V(X)=np(1-p))]이므로
[math(V(X)=10=n*\dfrac{1}{3}*\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}n)]
[math(\therefore n=45)]
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| 25번 |
- [해설]
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(나)의 조건을 만족하는 (a,b)는 (3,2),(2,3) 두가지 이다 ([math(n(가)=2)])
a+b=5, c,d,e는 모두 1보다 크므로
[math((c-1)+(d-1)+(e-1)=c'+d'+e'=12-5-3=4)]이다.
중복 조합 공식을 이용하면
[math(n(나|가)={}_3{\rm H}_4={}_6{\rm C}_4=15)]
[math(\therefore n(가\cap 나)=n(가)*n(나|가)=2*15=30)]
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| 26번 |
- [해설]
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가장 작은 수가 7이상인 확률은 7,8,9,10 중 세 자연수를 뽑을 확률로 다음과 같다.[math(P(A)=\dfrac{{}_4{\rm C}_3}{{}_{10}{\rm C}_3}=\dfrac{1}{30})]가장 작은 수가 4이하인 사건의 여사건은 가장 작은 수가 5 이상인 경우이다.
여사건의 확률(5,6,7,8,9,10 중 뽑을 확률)을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.[math(P(B)=1-\dfrac{{}_6{\rm C}_3}{{}_{10}{\rm C}_3}=\dfrac{5}{6})][math(\therefore P(A)+P(B)=\dfrac{1}{30}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{13}{15})]
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| 27번 |
- [해설]
- ----중심극한정리에 의하면 [math(\bar X\sim\mathrm N(\mu,\dfrac{\sigma^2}n))]이다.[math(n=100)]인 표본평균 [math(\bar {x_1})]의 95% 신뢰구간은[math(\bar {x_1}-1.96*{\dfrac{\sigma}{10}}≤m≤\bar {x_1}+1.96*{\dfrac{\sigma}{20}})]이고,[math(n=400)]인 표본평균 [math(\bar {x_1})]의 99% 신뢰구간은[math(\bar {x_2}-2.58*{\dfrac{\sigma}{20}}≤m≤\bar {x_2}+2.58*{\dfrac{\sigma}{20}})]이므로[math(\bar {x_1}-1.96*{\dfrac{\sigma}{10}}= \bar {x_2}-2.58*{\dfrac{\sigma}{20}})]
[math(\bar {x_1}- \bar {x_2} = 1.34 = (0.196-0.129)* \sigma)][math(\therefore \sigma = 20,)][math(b-a = 1.96*2*{20\over10} = 7.84)]
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| 28번 |
- [해설]
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[math(1) f(1)=1)]a) f(5)=4 일 때, f(2),f(3),f(4)는 4 또는 k (k는 2 또는 3)[math(2) f(1)\not=1)][math(n(A)=2*(2^3-1)=14)]b) f(5)=3 일 때, f(2), f(3), f(4)는 3 또는 k (k는 2 또는 4)
n(A) = (k를 정하는 경우의 수)X(f(2),f(3),f(4) 함수값의 경우의 수)
(단, f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=4 인 경우, 치역 원소 개수가 2이므로 제외하여야 한다)[math(n(A)=2*(2^3-1)=14)]
n(B) = (k를 정하는 경우의 수)X(f(2),f(3),f(4) 함수값의 경우의 수)
(단, f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=3 인 경우, 치역 원소 개수가 2이므로 제외하여야 한다)c) 치역은 \{2,3,4\}이어야 하고, f(5)는 3 또는 4 이어야 한다.[math(\therefore n(A)+n(B)+n(C)=14+14+100=128)][math(n(C)=2*(3^4-2*2^4+1)=2*(81-32+1)=100)]
n(C) = (f(5)를 정하는 경우의 수)X(f(1),f(2),f(3),f(4) 함수값의 경우의 수)
(단, 치역의 원소 개수가 2인 경우를 제외 하여야 하며,
중복 제외되는 경우(치역의 원소 개수가 1인 경우)는 다시 더하여야 한다.)
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| 29번 |
- [해설]
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확률밀도함수를 정의역 전체에서 적분한 값은 1이어야 한다.
[math(\displaystyle \int_{0}^{6}\{f(x)+g(x)\}dx=\int_{0}^{6}kdx=6k)]
[math(\displaystyle \int_{0}^{6}\{f(x)+g(x)\}dx=\int_{0}^{6}f(x)dx+\int_{0}^{6}g(x)dx=1+1=2)]
[math(\therefore k=\dfrac{1}{3})]
[math(k=\dfrac{1}{3})]을 대입하면, 구하는 확률은 P(2≤Y≤5) 이므로,
[math(P(2≤Y≤5) = \displaystyle \int_{2}^{5}\{\dfrac{1}{3}-f(x)\}dx=\displaystyle\int_{2}^{5}\dfrac{1}{3}dx-\displaystyle \int_{2}^{5}f(x)dx=1- \dfrac{17}{24}= \dfrac{7}{24})]
[math(\therefore p+q = 7 + 24 = 31)]
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| 30번 |
- [해설]
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이므로 정답은 60+131=191이다.
4.2.2. 미적분
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| 23번 |
- [해설]
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| 24번 |
- [해설]
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합성함수의 미분법을 사용하면 된다.
[math(f(x^3+x)=e^x)]를 미분하면 [math((3x^2+1)f'(x^3+x)=e^x)]이다. 양변에 [math(x=1)]을 대입하면 [math(4f'(2)=e)]이므로, [math(f'(2)=\dfrac{e}{4})]
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| 25번 |
- [해설]
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| 26번 |
- [해설]
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| 27번 |
- [해설]
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| 28번 |
- [해설]
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| 29번 |
- [해설]
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반원의 중심(=선분 AB의 중점)을 O라 하자. 그러면 f(θ)는 부채꼴 AOQ + 삼각형 QOB - 삼각형 RAB 와 같다.
먼저, 부채꼴 AOQ의 반지름은 1이고 중심각은 4θ이므로 넓이는 [math(\dfrac{1}{2} \times 1^2 \times 4θ = 2θ)]이다.
둘째로 삼각형 QOB의 넓이는 [math(\dfrac{1}{2} \times 1 \times 1 \times \sin 4\theta = \dfrac{1}{2} \sin 4\theta)]이다.
마지막으로 삼각형 RAB의 넓이는
이 공식에 의해 [math(\dfrac{2^2 \sin\theta\sin2\theta}{2 \sin 3\theta}=\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이다.
따라서 [math(f(\theta)=2\theta+ \dfrac{1}{2} \sin 4\theta-\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이며, [math(\lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{f(\theta)}{\theta}=\dfrac{8}{3})]이다.
다음으로 g(θ)를 구하자. 정삼각형의 한 변의 길이를 편의상 2a라 하면 a는 θ에 대한 함수이며, [math(g(θ)=\sqrt{3}a^2)]이다. 우리는 a와 θ의 관계식을 구해야 한다.
R에서 AB, UT에 내린 수선의 발을 각각 H, I라 하면, [math(AB×RH=2×△RAB=\dfrac{4 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이다.
즉 [math(RH=△RAB=\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이다. 이때 RI:UT=RH:AB이므로
[math(RI=\dfrac{UT×RH}{AB}=a \times\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})].
따라서 [math(HI=\sqrt{3}a=RH-RI=\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta}-a \times\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이고, [math((\sqrt{3}+\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta} )a~=~\dfrac{2 \sin\theta\sin2\theta}{\sin 3\theta})]이다.
그러므로 [math(\lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{a}{\theta}=\dfrac{4}{3\sqrt{3}})]이다.
즉 [math(\lim\limits_{\theta \to 0}\dfrac{g(θ)}{\theta^2}=\sqrt{3}a^2=\dfrac{16}{27}\sqrt{3})]이며, 구하고자 하는 값은 [math(\lim\limits_{\theta \to 0}\dfrac{g(θ)}{\theta\times f(\theta)}=\dfrac{\dfrac{16}{27}\sqrt{3}}{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{2}{9}\sqrt{3})]. 따라서 정답은 11이다.
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| 30번 |
- [해설]
- [math(g(x))]와 [math(f(x))] 간의 성질에 따라 [math(g(2^n)=2^n f(1)=2^n)]이다.([math(n)]은 0 이상의 정수,수학적 귀납법에 의해 자명하다.) (나) 조건을 좀 더 간편한 식으로 재정리한다. 우선 (나)의 조건식의 양변에 함수 [math(f)]를 취하면 [math(2x=f(2f(x)))]이다. 이 성질을 사용하기 위해 함수 [math(f)]가 단조증가함수임을 보인다. 함수 [math(f)]는 역함수를 가지므로 단조증가함수이거나 단조감수이다. [math(f(1)=1)]이고 [math(\displaystyle \int_1^2 f(x) \, {\rm d}x>f(1){\cdot}(2-1))]이므로 평균값 정리에 의해 구간 [math((1,2))] 이내의 적절한 실수 [math(c)]에 대해 [math(f(c)>1=f(1))]이 성립한다. 즉, 함수 [math(f(x))]는 [math(x\ge 1)]에 대해 단조증가함수이다. 이 성질에 의해 앞에서 구한 [math(2x=f(2f(x)))]에 임의의 1 이상의 실수를 나타내는 [math(t)]를 도입해 [math(x=g(t))]로 놓을 수 있고 이를 대입하면 [math(2g(t)=f(2t))]이다.
어떤 [math(n)]에 대해 [math(\displaystyle \int_{2^n}^{2^{n+1}} f(x) \, {\rm d}x=A)]라 하고 [math(x\ge 2)]인 [math(x)]에 대해 [math(x=2T)]라 하면 [math(\displaystyle \int_{2^{n+1}}^{2^{n+2}} f(x) \, {\rm d}x=2\displaystyle \int_{2^n}^{2^{n+1}} f(2T) \, {\rm d}T=2\displaystyle \int_{2^n}^{2^{n+1}} 2g(T) \, {\rm d}T=4(2^{2n+1}-(\displaystyle \int_{2^n}^{2^{n+1}} f(T) \, {\rm d}T-2^{2n}))=4(3\cdot2^{2n}-\displaystyle \int_{2^n}^{2^{n+1}} f(T) \, {\rm d}T)=3\cdot2^{2n+2}-4A)]이다. 이를 문제의 식에 대입하면 [math(\displaystyle \int_{1}^{8} xf'(x) \, {\rm d}x=\biggl[ xf(x) \biggr]_1^8-\displaystyle \int_{1}^{8} f(x) \, {\rm d}x=8f(8)-f(1)-(\displaystyle \int_{1}^{8} f(x) \, {\rm d}x)=63-(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \, {\rm d}x+\displaystyle \int_{2}^{4} f(x) \, {\rm d}x+\displaystyle \int_{4}^{8} f(x) \, {\rm d}x)=63-(\dfrac{5}4+3\cdot(2)^2-4\cdot\dfrac{5}4+3\cdot2^{4}-4\cdot(3\cdot(2)^2-4\cdot\dfrac{5}4))=63-(\dfrac{5}4+7+20)=\dfrac{139}4)]. 정답은 [math(139+4=143)]
4.2.3. 기하
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| 23번 |
- [해설]
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| 29번 |
- [해설]
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벡터의 해석문제다. 벡터의 덧셈, 벡터의 위치벡터화, 중학도형의 기본상황 이해를 깔끔하게 구사하여야 풀 수 있는 문제이다.
조건 (가)에서 점 [math({\rm P})]는 평행사변형 [math({\rm OACB})]위의 점임을 알 수 있다.
조건 (나)에서 벡터를 위치벡터화시켜 벡터방정식을 정리하면,
[math( \vec{p} \cdot \vec{c} = 3)]을 얻는다. ([math(\because \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OA})])
한편, [math(\overline{OC})]를 크게 두가지 방식으로 구할 수 있겠다. (결국 같은 얘기긴 하다.)
① 점 [math({\rm C})]에서 선분 [math(\overline{OA})]의 연장선에 내린 수선의 발을 점 [math({\rm H})]라 하면, 점 [math({\rm H})]는 선분 [math(\overline{OA})]의 3:1 내분점임을 알 수 있고, 삼각형 [math({\rm CAH})]가 [math({\rm B})]에서 내린 수선의 발을 점 [math({\rm I})]라 할때 생성되는 삼각형인 [math({\rm BOI})]과 합동이므로 높이가 같다는 것을 알 수 있다. 그러므로 삼각형 [math({\rm COH})]에서 피타고라스의 정리에 의해, [math(\overline{OC} = 2\sqrt{3})]이다.
② 사각형 [math({\rm OACB})] 가 평행사변형이므로, [math(\angle{COA} + \angle{CAO} = \pi)] 임을 이용해, [math(\angle{CAO})]를 끼인각으로 하는 코사인법칙을 계산하면, [math(\overline{OC} = 2\sqrt{3})]이다.
그렇다면, 조건 (나)의 [math( \vec{p} \cdot \vec{c} = 3)]에서 [math( |\vec{c}| = 2\sqrt{3})] 이므로, [math(\vec{p})]의 [math(\rm OC)]위로의 정사영의 길이는 [math(\frac{\sqrt{3}}{2} )]이다. 즉, 점 [math({\rm P})]는 다음의 초록색 자취([math({\overline{AL}})])를 가진다. (단, 최대와 최소를 구함에 있어 논리적 증명은 아래의 추가서술을 참고할 것.)
점 [math({\rm X})]는 원 위의 점이므로, 합 또는 차의 연산에서 구하는 값이 최대 또는 최소가 되려면 점 [math({\rm P})]의 방향과 이루는 각이 [math(\pi)] 또는 [math(\rm 0)]이어야 할 것이다. 그러므로 [math( | 3\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OX} |)] 가 최대일 때 점 [math({\rm P})]는 점 [math({\rm K})]이고, 최소일 때 점 [math({\rm P})]는 점 [math({\rm A})]에 위치할 것이다. 즉, [math(\rm Max = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2})] 이고, [math(\rm min = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2})] 이므로, [math(\rm Max \times min = 6\sqrt{6} - 8)] 이다.
[math(\therefore a^2 + b^2 = 100)]
(추가서술)
점 [math({\rm P})] 의 자취를 나타내는 직선이 점 A를 지나는 것을 직관을 통해 의심했다면 논리로 검증할 수 있는데, 이는 삼각형 [math({\rm COA})] 에서의 각([math(\rm \theta_1)])을 코사인법칙으로 코사인값을 파악하면 점 [math({\rm K})]를 지나고 [math(\overline{OC})]에 수직인 직선이 점 [math({\rm A})]를 지나는 것을 논리적으로 확인할 수 있다. 이 과정에서 최대최소 논증(피타고라스 법칙)이 현장에서 가능했을 듯 싶다.
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| 30번 |
- [해설]
- 평면 [math({\rm OPC})]의 방정식을 구한다. 평면 [math({\rm OPC})]가 [math(z)]축 위의 두 점을 지나므로 방정식의 꼴은 [math(ax+by=0)]이다. 점 [math({\rm C})]의 좌표를 대입하면 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]이다. 즉 점 [math({\rm Q_1})]은 [math(xy)]평면 위의 직선 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]에 놓이고 점 [math({\rm R_1})]은 조건에 따라 [math(xy)]평면에 평행한 평면이 구를 지나게 할 때 가장 반지름이 긴 원이 그려진다면(이를 성립시키는 평면은 [math(z=5)]임은 자명하다.) [math({\rm R_1})]는 이 원 위에서 평면 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]에 가장 먼 점 [math({\rm R})]의 정사영이어야 하고 [math({\rm Q_1})]는 이 정사영 위에서 원점과 가장 먼 점이어야 한다. 이를 간편하게 다시 말하면 구를 [math(xy)]평면에 정사영한 원을 [math({\rm C'})]이라 하면 [math(C')]위에서 직선 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]에 가장 먼 점이 [math({\rm R_1})]이다. [math({\rm C':(x-2)^2+(y-\sqrt{5})^2=25, z=0})]이다. 여기에서 직선 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]에 수직이면서 점 [math({\rm C})]인 교점은 [math((2,\sqrt{5},0))]을 지나는 직선 [math(l:2x+\sqrt{5}y=9)]를 도입하자. 앞에서 구한 직선과 [math({\rm C'})]의 교점을 구하기 위해 매개변수 [math(t)]를 도입해 앞에서 구한 직선 [math(l')]의 해를 [math(x=\sqrt{5}t+2, y=-2t+\sqrt{5})]로 풀어 원 [math(C')]의 방정식에 대입하면 [math(9t^2=25)], [math(t=\dfrac{5}3)]이라고 하면(서로 다른 [math(x)]의 두 해로 구해지는 서로 다른 두 [math({\rm R_1})]의 좌표는 평면 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]에 대칭이고 이는 [math({\rm R})]도 그러하므로 문제의 값을 구하는 데에 차이는 없다.) [math(x=2+\dfrac{5\sqrt{5}}3, y=\sqrt{5}-\dfrac{10}3)]이다. 이를 대입하면 [math({\rm R_1}=(2+\dfrac{5\sqrt{5}}3,\sqrt{5}-\dfrac{10}3,0))], [math({\rm R}=(2+\dfrac{5\sqrt{5}}3,\sqrt{5}-\dfrac{10}3,5))]. 한편 원 [math({\rm C'})]의 방정식에 직선 [math(\sqrt{5}x-2y=0)]을 대입하면 교점 중 원점과 거리가 더 큰 쪽이 [math({\rm Q_1})]이고 이를 구하면 [math({\rm Q_1}=(\dfrac{16}3,\dfrac{8\sqrt{5}}3,0))],[math({\rm Q}=(\dfrac{16}3,\dfrac{8\sqrt{5}}3,5))]이다. 이제 평면 [math({\rm OQ_1 R_1})]과 [math({\rm PQR})] 사이의 각을 구하자. 평면 [math({\rm PQR})]의 방정식을 구해야 한다. 점 [math({\rm Q})], 점 [math({\rm R})]의 [math(z)]좌표가 같은 점에서 착안해 [math(a'x+b'y+c(z-5)=d)] 꼴이라 하면 [math(a=10+5\sqrt{5}, b=5\sqrt{5}-10)]이라 가정할 수 있고, 이때 [math(d=120)]. 여기에 점 [math({\rm P})]의 좌표를 대입하면 [math(c=-30)], 즉 평면 [math({\rm PQR})]의 방정식은 [math((10+5\sqrt{5})x+(5\sqrt{5}-10)y-30(z-5)=120)]. 이제 평면 [math({\rm PQR})]과 평면 [math({\rm OQ_1 R_1})] 사이의 각을 구하자. 평면 [math({\rm PQR})]과 평면 [math({\rm OQ_1 R_1})] 사이의 각은 둘의 법선벡터 간의 각과 같고 이 각을 [math(\theta)]라 하면 [math(cos\theta=|\dfrac{(10+5\sqrt{5}, 5\sqrt{5}-10, -30)\cdot(0,0,1)}{|(10+5\sqrt{5}, 5\sqrt{5}-10, -30)|\cdot|(0,0,1)|}|=\dfrac{30}{\sqrt{1350}}=\dfrac{\sqrt{6}}3)]. [math(\triangle {\rm OQ_1 R_1}=\dfrac{1}2 \overline{\rm OQ}\cdot5=20)]이므로 문제에서 요구하는 넓이는 [math(\triangle {\rm OQ_1 R_1}\cdot cos\theta=\dfrac{20\sqrt{6}}3)]. 즉 답은 [math(20+3=23)].