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1. 중력과 휘어진 시공간
특수 상대성 이론은 고전적 범위에서 중력 이외의 힘만을 설명한다. 이제 이 이론에서 중력이 어떤 식으로 설명될 수 있는지, 혹은 어디까지 설명될 수 있는지 알아보자. 다시 말해, 평평한 시공간 모델로 중력을 설명할 수 있는지 확인해보자.1.1. 중력 적색편이
빛이 중력에 의해 어떤 영향을 받는지 살펴보기 위해 지표면에 서 있는(정지해 있는) 탑 위에서 다음과 같은 실험을 수행한다. 탑의 꼭대기를 [math(\rm A)], 바닥을 [math(\rm B)]라 부르고, [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]의 높이 차이를 [math(h)], 중력가속도를 [math(g)]라 하자.이번엔 이 빛을 다시 [math(\rm A)]로 쏜 다음, [math(\rm A)]에 도착한 빛을 통째로 질량으로 바꾸면 당연히 질량 [math(m)]의 공으로 되돌아올 것이다. 안 그러면, 물체는 아무런 일을 주고받지 않고도 에너지를 계속 생성할 것이기 때문이다(에너지 보존법칙). 그러므로, [math(\rm A)]에 도착했던 빛의 에너지는 [math(mc^2)]임을 알 수 있다. 이 때의 빛도 그에 비례하는 진동수 [math(\nu_{\rm A})]를 갖는다.
이 실험에서, 빛은 [math(\rm B)]에서 [math(\rm A)]로 올라오는 동안 에너지를 [math(mgh)] 만큼 잃었다. 직관적으로 보자면, 이 빛은 일반적인 입자와 동일하게 중력을 받아 중력 퍼텐셜 차이만큼의 에너지를 빼앗겼다고 해석할 수 있다. 그런데 빛의 에너지는 진동수에 비례한다. 따라서, 중력에 의한 빛의 적색편이를 다음과 같이 유도할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{\lambda_{\rm A}}{\lambda_{\rm B}} = \frac{\nu_{\,\rm B}}{\nu_{\,\rm A}} = \frac{mc^2 + mgh}{mc^2} = 1 + \frac{gh}{c^2})]
사실, 이것만으로 (혹은 후술할 등가원리를 포함해도) 중력에 의한 적색편이 현상을 충분히 설명할 수 있는지에 대해서는 다소 논란이 있다. 빛의 속도가 일정하다는 등의 추가 전제를 요구하며, 사실 중력장 내에서 빛의 속도는 일정하지 않다. 그러나 완성된 일반 상대성 이론 역시 중력편이 현상을 예측하며, 이는 Pound - Rebka 실험(1960)을 통해 정확하게 검증되었다.[1][2]
이제, 적색편이가 시간 측정에 어떤 영향을 주는지 살펴보자. 빛은 일종의 파동이므로, 각 주기의 마루(crest)마다 하나의 신호가 되어 [math(\rm B)]에서 [math(\rm A)]에 도달한다고 생각해보자. 이 때 빛이 중력의 영향을 받든 안받든, 각각의 신호는 [math(\rm B)]에서 출발했을 때의 시간 간격(주기)을 그대로 유지한 채 [math(\rm A)]에 무사히 도착해야 할 것이다. 중력장은 변하지 않았으므로, 모든 신호가 똑같은 방식과 크기로 중력의 영향을 받았을 것이기 때문이다. 예를 들어 이 신호 간격(주기)이 [math(1)]초라 가정하면 이것은 [math(\rm A)]와 [math(\rm B)]에서 서로 다를 수가 없다. 그런데, 위에서 설명하는 것은 이러한 예상과 전혀 다르다. 이 빛은 [math(\rm B)]에서 [math(\rm A)]로 진행하면서 진동수가 감소하고, 주기가 증가하였다.
이 현상은 다음과 같이 설명 가능하다. [math(\rm B)]에서 일어나는 모든 사건은 [math(\rm A)]에서 [math(\displaystyle 1 + gh/c^2)] 배 시간이 느려진 것으로 관찰하게 된다. 따라서, [math(\rm B)]에서 출발한 빛 역시 [math(1)]주기가 [math(\rm A)]에서 [math(\displaystyle 1 + gh/c^2)] 배만큼 늘어난 것으로 측정된 것이다. 즉 [math(\rm A)]에 위치한 관찰자는 자신의 시계가 [math(\rm B)]의 시계보다 [math(\displaystyle 1 + gh/c^2)] 배만큼 빠르게 흐르는 것으로 관찰하게 될 것이다.
정리하자면, 이 실험으로부터 지표면에 정지한 계(지표면계)에서 중력이 있을 때, 높이에 따라 시간의 흐름(측정 간격)이 달라짐을 알 수 있다. 특수 상대성 이론에서 다루는 관성계에서는 이것이 불가능하다. 따라서 지표면은 관성계가 아니다, 또는 지표면계에는 특수 상대성 이론을 적용할 수 없다는 결론을 얻는다.
그렇다면 중력이 있는 상황에서, 특수 상대성 이론은 완전히 실패하는가? 다행히도 아직 우리는 "지표면계는 관성계가 아니다"라는 사실만을 알게 되었다. 사실, 조금만 운동상태를 바꿔보면 곧 관성계와 비슷한 기준계를 찾을 수 있다.
고전역학에서의 등가원리는 모든 질량이 동일한 중력 가속도로 떨어진다는 것을 의미한다. 사실, 위 실험에서 공이 운동에너지를 받는 부분도 이 등가원리를 바탕으로 한 것이다. 한편, 특수 상대성 이론에 의하면 질량과 에너지는 같으므로 에너지 역시 동일한 가속도로 떨어진다고 생각해볼 수 있다. 위 실험은 실제로 에너지의 한 형태인 빛이 동일한 중력가속도를 받는다는 것을 보여준다.
아인슈타인은 이와 같이 지표면계에서 중력에 의해 사실상 모든 물리적 대상(질량, 에너지)이 동일한 가속도를 받는다는 것을 추론하고 "지표면계는 가속계와 물리적으로 동등하다"라는 가설을 세웠다. 이것을 아인슈타인 등가원리(Einstein Equivalence Principle) 또는 줄여서 등가원리라고 한다. 이것이 기존의 등가원리와 다른점은, 고전역학의 등가원리는 입자의 운동학에 한정된 것이라면 아인슈타인 등가원리는 두 계에 모든 물리법칙이 똑같이 적용된다는 것이다.
등가원리가 참이라면, 중력이 있는 환경에서도 지표면 근처에서 자유낙하하는 계를 통해 다시 특수 상대성 이론을 사용할 수 있게 된다. 이는 굉장히 강력한 이점인데, 사실 현대 물리학에서는 특수 상대성 이론이 '어겨서는 안되는' 가장 근본적인 이론이기 때문이다. 이제부터는 이 이점을 활용하기 위해 등가원리를 받아들이기로 하자.
아인슈타인의 등가원리를 받아들였을 때, 중력에 의한 적색편이 현상이 어떻게 설명될 수 있는지 다시 살펴보자. 먼저 자유낙하계는 관성계이므로 적색편이 현상은 일어나지 않는다. 한편 지표면계의 경우, [math(\rm A)]를 향해 빛을 쏘았을 때 이 빛은 탑의 높이 [math(h)]가 크지 않다면(사실, 크면 안 된다.) [math(h/c)]의 시간이 지난 후에 [math(\rm A)]에 도달하게 된다. 등가원리에 의하면 그동안 지표면계는 관성계에 대하여 [math(g)]의 크기로 위로 가속한다. 따라서, 빛이 [math(\rm A)]에 도달할 시점에는 지표면계가 [math(gh/c)]라는 속력을 얻게 되며, 이는 빛이 출발할 때의 [math(\rm B)]에 대하여 빛이 도착할 때의 [math(\rm A)]가 그만큼의 속력으로 멀어지고 있음을 의미한다. 따라서 (상대론적) 도플러 효과에 의해 빛은
[math(\displaystyle \frac{\lambda_{\rm A}}{\lambda_{\rm B}} = \frac{\nu_{\,\rm B}}{\nu_{\,\rm A}} = \sqrt{\frac{c + gh/c}{c - gh/c}} \,\approx 1 + \frac{gh}{c^2})]
만큼 적색편이를 겪게 되어, 기존과 모순되지 않는 결과를 얻게 된다.
1.2. 전역적 관성계의 실패
등가원리의 가장 중요한 의의는, 중력이 있는 환경에서도 특수 상대성 이론을 포기하지 않아도 된다는 것이다. 그러나 이에 못지 않게 중요한 사실은 특수 상대성 이론이 "완벽하게" 들어맞지는 않는다는 것이다.이 말의 의미를 정확히 이해하려면 중력장에 대해 다시 고전적인 관점에서 생각해볼 필요가 있다. 중력장은 연속적으로 변하기 때문에 좁은 범위에서는 매우 천천히 변하며, 궁극적으로 무한히 좁은 영역에서는 완전히 균일해진다. 따라서 지표면계에서는 균일한 중력장 모델이 성립한다. 하지만 지구 전체가 눈에 들어올 정도의 넓은 범위에서는 중력장이 확연히 체감할 수 있을 정도로 변화한다. 중력은 언제나 지구 중심이라는 하나의 점을 향하고 있으며, 지구에 가까워질수록 힘의 크기는 커진다. 따라서, 나란히 세운 (수평 방향) 두 입자는 지구에 가까워지면서 수평 성분 상대 가속도로 인해 점점 서로 가까워지며, 세로로 (연직 방향) 세운 두 입자는 연직 성분 상대 가속도 때문에 서로 멀어진다. 이 중 후자를 특히 기조력(tidal force)이라고 한다.
이것을 등가원리의 관점에서 생각해보면 다음과 같다. 먼저 매우 좁은 영역에서는 중력장이 균일하기 때문에 가속계와 쉽게 치환되므로, 자유낙하계를 잡아서 특수 상대성 이론이 성립하는 계를 찾을 수가 있다. 그러나 영역이 넓어지면 중력장이 균일하지 않게 되어 어떤 가속계와도 대응되지 않으며, 어느 한 점을 기준으로 자유낙하를 하더라도 이웃한 점에서는 상대 가속도가 발생한다. 이걸 다른 말로 하면 관성운동하는 물체끼리 서로 가속해버린다는 의미인데, 이는 명백하게 특수 상대성 이론이 적용될 수 없는 환경이다. 다시 말해, 국소적인 영역에서는 언제나 관성계(자유낙하계)를 찾을 수 있지만 전체 영역을 뒤덮는 관성계는 찾을 수 없다.
정리하자면, 중력이 존재하는 상황에서도 시공간 상의 국소적인 영역에서는 적당한 좌표계를 선택하여 특수 상대성 이론이 성립하도록 할 수 있으므로, 이 시공간은 국소적으로 민코프스키 공간과 닮은 4차원 다양체라고 말할 수 있다. 그러나, 중력이 있는 경우 전체를 뒤덮는 관성 좌표계를 잡을 수 없으므로 이 때의 시공간이 휘어있음은 명백하다.
2. 휘어진 시공간에서의 물리법칙
지금까지의 고찰을 통해 우리는 중력을 휘어진 시공간의 언어로 기술할 필요가 있음을 알 수 있었다. 이제부터 우리는 특수 상대성 이론의 평평한 시공간에 곡률을 도입할 것이다. 이 때 가장 먼저 해야 할 작업은 시공간 곡률의 물리적 의미를 규명하고 기존 물리 방정식들을 휘어진 시공간에서 다시 서술하는 것이다.2.1. 등가 원리
곡률을 도입했을 때 가장 걱정해야 하는 것은, 기존의 물리 방정식들이 어떻게 되느냐는 것이다. 이들이 곡률을 만나면 과연 어떤 식으로 달라질까, 혹은 달라지지 않을까? 이것에 대한 답을 등가 원리가 알려준다.아인슈타인 등가 원리
시공간 위의 임의의 각 점에서 적당한 (관성) 좌표계를 선택하면, 중력을 제외한 모든 물리법칙은 "국소적으로" 특수 상대성 이론을 따른다.
시공간 위의 임의의 각 점에서 적당한 (관성) 좌표계를 선택하면, 중력을 제외한 모든 물리법칙은 "국소적으로" 특수 상대성 이론을 따른다.
이로부터, 우리는 기존의 물리법칙들을 임의의 좌표계에 대한 표현으로 일반화할 수 있다. 예를 들어, 에너지-운동량 보존법칙은 다음과 같은 과정을 통해 일반화된다.
(1) 평평한 시공간에서, [math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]이다.
(2) (등가 원리) 휘어진 시공간에서, 각 점에서 적당한 좌표계를 선택하면 국소적으로는 여전히 [math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]이다.
(3) 이것을 임의의 좌표계에서 성립하는 표현으로 변형한다.
[math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = \nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]
이제, [math(\nabla_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)] 휘어진 시공간에 놓인 임의의 좌표계에서 성립하는 (국소적) 에너지-운동량 보존법칙이다. 사실 굉장히 기계적인 과정으로 이루어져 있는데, 이것을 가능하게 해주는 것이 등가 원리이다. 언뜻 자명해보이는 과정이지만 이것이 자명하지 못한 방정식도 있다.
2.2. 메트릭 텐서의 측정
메트릭 텐서의 각 성분은 다음과 같이 자와 시계를 이용하여 측정할 수 있다.[math(ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}, \quad d\tau^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu})]
2.3. 아인슈타인 방정식
메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]는 시공간의 기하학적 정보를 담고 있으므로, 앞서 내린 결론에 따라 중력장을 표현함과 동시에 중력원이 되는 물질 - 에너지와 연결되어 있다. 한편, 물질 - 에너지는 상대성 이론에서 스트레스 - 에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]로 일반화된다.
따라서, 아인슈타인 방정식의 유도는 메트릭릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})] 와 그 미분으로만 구성된 텐서 [math(G?_{\mu\nu})]와 스트레스 - 에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]를 어떻게 연결짓느냐의 문제가 된다. 이 때, 아인슈타인 방정식은 어떤 상수 [math(k)]에 대하여
[math(G?_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
가 된다. 가장 간단한 메트릭 텐서의 미분 텐서는 곡률을 표현하는 리만 텐서이다. 하지만 리만 텐서는 차수가 스트레스 에너지 텐서와 맞지 않아서 바로 사용할 수 없다. 아인슈타인 방정식에 들어갈 아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]는 다음 세 가지 조건을 만족시켜야 한다.
(1) 시공간이 평평할 때 [math(G_{\mu\nu} = 0)]이다.
(2) 계량 텐서와 리만 텐서만으로 얻어진다.
(3) 리만 텐서에 대해 선형이며, [math(T_{\mu\nu})]가 만족시키는 기본적인 수학적 성질(대칭성, 2차 텐서)과 공변 보존([math(\nabla_{\mu}G^{\mu\nu} = 0)])을 만족시킨다. 이 공변 보존은 에너지 - 운동량 보존법칙을 표현한 것이다.
공변 보존 조건을 제외한 나머지 조건을 만족시키는 텐서는 언제나 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})]와 리치 스칼라 [math(R)]에 대하여 [math(\displaystyle R_{\mu\nu} + \alpha Rg_{\mu\nu})] 꼴이며, 이러한 꼴의 텐서 중에 공변 보존을 만족시키는 텐서는 아인슈타인 텐서 [math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})] 하나 뿐이다. 즉, 아인슈타인 방정식은[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
가 된다.
2.4. 뉴턴 중력의 유도
가장 중요한 것은 물론 방금 유도한 방정식이 뉴턴 중력과 잘 대응된다는 것을 보이는 것이다. 먼저, 뉴턴 중력이 성립하는 조건은 매우 느린 속도, 작은 질량(중력장)에 해당함을 알 수 있다. 즉, [math(\displaystyle v^j = \frac{dx^j}{dt} \ll c, dt \approx d\tau)] 등을 이용하면[math(\displaystyle \begin{aligned}\frac{d^2x^i}{dt^2} &= \frac{d^2x^i}{d\tau^2} \\ &= -\Gamma^i_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d \tau}\frac{dx^{\nu}}{d \tau} \\ &\approx -\Gamma^i_{00} \end{aligned})]
을 얻는다. 이제, [math(\partial_i\Phi = -\Gamma^i_{00})]라 두면
[math(2\partial_i\Phi \approx -\partial_i g_{00})]
가 된다. 따라서 [math(g_{00} \approx -c^2 - 2\Phi)]라 둘 수 있다. 한편, [math(T_{\mu\nu})]는 [math(00)] 성분
[math(\displaystyle T_{00} = \rho c^4)]
만이 남고 나머지는 사라진다. 따라서 [math(T = g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} \approx g^{00}T_{00} \approx -\rho c^2)]이다.
아인슈타인 방정식에 의하면
[math(\displaystyle R_{00} = k\left(T_{00} - \frac{1}{2}g_{00}T\right) \approx \frac{1}{2}k\rho c^4)]
을 얻으며, 중력장이 작으므로 접속계수가 매우 작다고 생각할 수 있다. 즉, 접속계수의 제곱이 모두 사라진다고 보면 [math(R_{00} = \partial_i\,\Gamma^i_{00})]로 간단화될 수 있다. 이제 둘을 조합하면
[math(\displaystyle \partial_i^2 \Phi = \nabla^2 \Phi = \partial_i\,\Gamma^i_{00} = \frac{1}{2}k\rho c^4)]
이 된다. 이제 뉴턴의 중력장 방정식과 비교하면
[math(\displaystyle k = \frac{8\pi G}{c^4})]
임과 동시에 뉴턴 중력이 유도된다.
2.5. 뉴턴 중력의 기하학적 표현
일반 상대성 이론이 중력을 기하학적으로 표현할 수 있듯, 뉴턴 중력도 기하학적 표현이 가능하다.뉴턴 중력의 운동 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{d^2x^i}{dt^2} + \frac{\partial\Phi}{\partial x_i} = 0)]
카르탕(Cartan; 1923, 1924)은 이것을 평평한 공간에서의 휘어진 경로가 아니라 휘어진 시공간에서의 측지선으로 바꾸어 기술하였다. 기존 시공간에서의 보편적 시간(universal time) [math(t)]를 아핀 매개변수 [math(\lambda)]로 매개화하면 [math(\lambda = at + b)]라 둘 수 있다. 이제, 운동 방정식은 다음과 같이 기술된다.
[math(\displaystyle \frac{d^2t}{d\lambda^2} = 0, \quad \frac{d^2x^i}{d\lambda^2} + \frac{\partial\Phi}{\partial x^i}\left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 = 0)]
이것을 측지선 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d \lambda}\frac{dx^{\beta}}{d \lambda} = 0)]
과 비교하면 접속계수는
[math(\displaystyle \Gamma^i_{00} = \frac{\partial\Phi}{\partial x^i}\quad)] (나머지는 0)
임을 알 수 있고, 리만 텐서에 대입해보면
[math(\displaystyle R^i_{\,\,0j0} = - R^i_{\,\,00j} = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i \partial x^j}\quad)] (나머지는 0)
를 얻는다. 마지막으로 중력장 방정식
[math(\displaystyle \nabla^2\Phi = \sum_i \partial_i^{\,2}\Phi = 4\pi G\rho)]
에 리치 텐서를 대입하면
[math(R_{00} = 4\pi G\rho \quad)] (나머지는 0)
를 얻는다.
3. 참고 자료
- Sean M. Carroll (2003), "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity", Addison Wesley
- Bernard Schutz (2009), "A First Course in General Relativity Second Edition", Cambridge University Press
- Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), "Gravitation", W. H. Freeman, Princeton University Press
- Robert M. Wald (1984), "general relativity", The University of Chicago Press
[1] Pound, R. V.; Rebka Jr. G. A. (November 1, 1959). "Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance". Physical Review Letters. 3 (9): 439–441.[2] Pound, R. V.; Rebka Jr. G. A. (April 1, 1960). "Apparent weight of photons". Physical Review Letters. 4 (7): 337–341.