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energy–momentum tensor 또는 stress-energy tensor
1. 개요
에너지-모멘텀 텐서 또는 에너지-운동량 텐서 또는 스트레스-에너지 텐서[1][2]는 에너지와 운동량(모멘텀)의 밀도 및 유량(fluid) 또는 유동선속(flux)을 나타내는 2-텐서(2차 텐서, Rank2)이다. 물질의 운동 및 변형상태에 대응되는 상대론적 모멘텀(momentum)을 담고 있다. 비상대론적 역학의 스트레스 텐서를 상대화한 것으로 볼 수 있다. 기호는 라틴 대문자 [math( T )]다.2. 명칭
아무래도 응력 텐서(stress tensor)로 부터 연유되는 관계로 '응력'이라는 표현이 주로 사용되지만 '변형력'이라는 표현도 자주 사용된다. [3][4] 직역하여 스트레스-에너지 텐서로 곧잘 부른다. 한편 에너지-모멘텀관계에서 에너지-모멘텀 텐서로도 잘 알려져있다.[가]3. 성분
[math(\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\ T_{yx}& T_{yy}& T_{yz}\\ T_{zx}& T_{zy}& T_{zz}\end{bmatrix})](코시)스트레스 텐서에 에너지항을 제1열에 추가하면 자연스럽게 제1행이 모멘텀항으로 확장된 스트레스-에너지 텐서를 얻을수 있다.
[math( T_{ab} = \begin{pmatrix} T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03} \\ T_{10}& T_{11}& T_{12}& T_{13} \\ T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23} \\ T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33} \end{pmatrix} )]
스트레스 텐서의 성분 [math( T_{12}, T_{13} , T_{23})]이 [math( T_{21} , T_{31}, T_{32})]과 동등한 것과는 달리 [math( T_{10} , T_{20}, T_{30})]은 [math( T_{01},T_{02},T_{03})]과 동등하지 않다. 이들은 각각 밀도의 선속(flux)과 운동량의 밀도에 해당한다.
한편
[math( T_0^{ab} = \begin{pmatrix} T_{11}&T_{12}&T_{13}&T_{10} \\ T_{21}&T_{22}&T_{23}&T_{20} \\ T_{31} & T_{32} & T_{33} &T_{30} \\ T_{01}& T_{02}& T_{03}&T_{00} \end{pmatrix} )] 이렇게도 쓸수있다.[가]
3.1. 이상유체
[math( T_{nn}= \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix} )]점성이 없다는 조건을 전제로 에너지-모멘텀 텐서의 성분들을 주대각성분의 에너지밀도와 이상유체의 (수직)압력으로 정리해볼 수 있다.[7][가]
이것은
[math( \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix} )]이므로
[math( \begin{pmatrix} \rho & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \rho(u_nu_n) +0+0+0 )]
[math( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P & 0 & 0 \\ 0 & 0 & P & 0 \\ 0 & 0 & 0 & P \end{pmatrix} = 0+ P(u_nu_n + g_{nn}) )]
따라서
[math( T_{nn} =\rho(u_nu_n)+P(u_nu_n + g_{nn}) )]
[math( T_{nn} =\rho(u_nu_n)+P(u_nu_n) + Pg_{nn} )]
[math( T_{nn} =(\rho+P)u_nu_n +Pg_{nn} )]
3.2. 에너지-모멘텀 텐서 표현식
1943년 리처드 톨먼(Richard Chace Tolman)교수의 에너지-모멘텀 텐서 표현식[가]은 다음과 같다.[math( T^{\mu\nu} =(\rho_{00}+P_0)\dfrac{dx^\mu}{ds}\dfrac{dx^\nu}{ds} -g^{\mu\nu}P_0 )]
4. 여러 표현들
아인슈타인 장 방정식에서 스트레스-에너지 텐서 [math( kT_{\mu\nu} )]는[math( k T_{\mu\nu} = \displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R )]로 표현된다. [math( k)]는 상수이다.
이상유체에서의 열역학적 평형 스트레스-에너지 텐서는 다음과 같다.[10]
[math( T_{ab} = (\rho + p) u_a u_b + pg_{ab} )]
힐베르트 액션을 라그랑주 역학으로 나타낸 스트레스-에너지 텐서[11] [12]는 다음과 같다.
[math( T_{ab} = -2k\dfrac{\delta L_{M}}{\delta g^{ab}} + L_{M}g_{ab} )]
이때 거리함수[math( g )]를, 특히 슈바르츠실트 메트릭을 주로 사용한다.
5. 고전 변형력 텐서
스트레스-에너지 텐서(또는 에너지-운동량 텐서)는 고전 뉴튼 역학의 스트레스 텐서(stress tensor 또는 응력 텐서)를 상대성 이론으로 확장해 일반화한 것이다. 물리학에서 고전역학 및 상대성 이론 등에서 주어진 공간에 대한 에너지,스트레스, 운동량, 응력-변형률 들간의 관계를 나타내는 텐서로 다루어진다.5.1. 코시 스트레스 텐서
[math(\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\ T_{yx}& T_{yy}& T_{yz}\\ T_{zx}& T_{zy}& T_{zz}\end{bmatrix})][math(\text{표면력} =\text{응력}(\tau)= \text{수직응력 + 전단응력} )]
[math( T_{\square\square},\square = \square )]이면 수직응력이고
[math( T_{\square\square},\square \neq \square )]이면 전단응력이다.
고전역학에서 스트레스 텐서(stress tensor)는 응력 텐서(應力tensor) 또는 오일러-코시 응력원리(Euler–Cauchy stress principle)로도 잘 알려진 코시 스트레스 텐서(Cauchy stress tensor)를 말한다.
고전역학이나 유체역학등에서 물체의 변형을 설명하기 위하여 도입된 텐서이다. 물체 내부의 가상적인 단위 부피를 설정하여, 그 단위 부피의 표면에서 작용하는 단위 면적당 힘의 크기를 나타내었다. 에너지 보존 법칙을 만족한다는 조건에서 더 나아가 무엇이 물체가 그렇게 움직이도록 하는지에 대한 모멘텀(momentum)을 기술하며 스트레스-에너지 텐서(에너지-모멘텀 텐서)를 이해하는데 중요하다.
5.2. 1827년 코시 스트레스 텐서
1827년 오귀스탱 루이 코시의 스트레스 텐서 표현식[13]에 따르면 점(x,y,z)에서 다음과 같이 표현된다.[math( \begin{Bmatrix} p cos \lambda = A cos \alpha + F cos \beta + E cos \gamma \\ p cos \mu = F cos \alpha + B cos \beta + D cos \gamma \\ p cos \nu = E cos \alpha + D cos \beta + C cos \gamma \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} A & F & E \\ F& B & D \\ E & D & C \end{Bmatrix} )]
만약 탄성체 또는 비탄성체에서 어떤 면들로 이루어진 단단하고 불변한 작은 체적 요소를 가정한다면 이 작은 요소는 자신의 면들과 그 각각의 지점에서 결정된 압력이나 장력을 경험할 것이다. (오귀스탱 루이 코시 1827 고체의 압력 또는 장력)[14]
6. 에너지 - 운동량 보존법칙
상대론에서 에너지와 운동량의 보존법칙은 한 데 합쳐져 에너지-모멘텀 텐서의 보존으로 바뀌는데, 이는 마치 연속 방정식처럼 에너지와 운동량 각각의 시간 변화(감소)량은 각 공간 방향(양쪽)으로의 유출량과 같다는 식으로 표현할 수 있다. 이는 다음과 같이 각각 정리된다.에너지 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{00}}{\partial t} + \frac{\partial T^{10}}{\partial x} + \frac{\partial T^{20}}{\partial y} + \frac{\partial T^{30}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 0} = 0)]
x축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{01}}{\partial t} + \frac{\partial T^{11}}{\partial x} + \frac{\partial T^{21}}{\partial y} + \frac{\partial T^{31}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 1} = 0)]
y축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{02}}{\partial t} + \frac{\partial T^{12}}{\partial x} + \frac{\partial T^{22}}{\partial y} + \frac{\partial T^{32}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 2} = 0)]
z축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{03}}{\partial t} + \frac{\partial T^{13}}{\partial x} + \frac{\partial T^{23}}{\partial y} + \frac{\partial T^{33}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 3} = 0)]
x축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{01}}{\partial t} + \frac{\partial T^{11}}{\partial x} + \frac{\partial T^{21}}{\partial y} + \frac{\partial T^{31}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 1} = 0)]
y축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{02}}{\partial t} + \frac{\partial T^{12}}{\partial x} + \frac{\partial T^{22}}{\partial y} + \frac{\partial T^{32}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 2} = 0)]
z축 운동량 보존 → [math(\displaystyle \frac{\partial T^{03}}{\partial t} + \frac{\partial T^{13}}{\partial x} + \frac{\partial T^{23}}{\partial y} + \frac{\partial T^{33}}{\partial z} = 0)] → [math(\partial_{\mu}T^{\mu 3} = 0)]
이걸 모으면
[math(\partial_{\mu}T^{\mu\nu} = 0)]
으로 압축된다. 따라서, 상대론의 에너지-운동량 보존법칙은 에너지 - 모멘텀 텐서의 발산(Divergence)이 0이라는 표현으로 요약될 수 있다.
7. 관련 문서
[1] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman P141 5.7. SYMMETRY OF THE STRESS-ENERGY TENSOR http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf[2] 9.2: The Stress-Energy Tensor https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Relativity/Book%3A_Special_Relativity_(Crowell)/09%3A_Flux/9.02%3A_The_Stress-Energy_Tensor[3] (APA) On the Physical Meaning of Maxwell Stress Tensor 최홍순, 박일한 and 문원규. UCI : G704-000119.2009.58.4.001 (2009). 맥스웰 응력텐서의 물리적 의미의 고찰. 전기학회논문지ABCD, 58(4), 725-734. https://www.kci.go.kr/kciportal/ci/sereArticleSearch/ciSereArtiView.kci?sereArticleSearchBean.artiId=ART001333314[4] (APA) Method for Determining the Stress Tensor using Fault Slip Data 최범영.(1991).단층자료를 이용한 응력 텐서 계산방법에 대하여.지질학회지,27(4),383-393.https://www.dbpia.co.kr/journal/articleDetail?nodeId=NODE01595451[가] Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Presshttps://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229[가] [7] 아인슈타인의 이론에 따른 질량 점의 중력장에 대해서 (Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie) Royal Prussian Academy of Science (Reimer, Berlin 1916, pp. 189-196) 저자: 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild) https://ko.wikisource.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B8%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8%EC%9D%98_%EC%9D%B4%EB%A1%A0%EC%97%90_%EB%94%B0%EB%A5%B8_%EC%A7%88%EB%9F%89_%EC%A0%90%EC%9D%98_%EC%A4%91%EB%A0%A5%EC%9E%A5%EC%97%90_%EB%8C%80%ED%95%B4%EC%84%9C[가] [가] [10] Gravitation, Charles W. Misner , Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1973)W. H. Freeman §26.5. DYNAMIC EQUATION AND BOUNDARY CONDITIONS d. Einstein Field Equations P693 http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/PGF5292_2021/Misner_Gravitation.pdf[11] (직역:물리학의 기초)Die Grundlagen der Physik . (Erste Mitteilung.) D. Hilbert ,Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1915) Volume: 1915, page 395-408 https://eudml.org/doc/58946[12] Lecture Notes on General Relativity,Matthias Blau,Albert Einstein Center for Fundamental Physics ,Institut f ̈ur Theoretische Physik ,Universit ̈at Bern,CH-3012 Bern, Switzerland(P195)7.5 Energy-Momentum Tensor from Minimal Coupling?(P198)7.6 Covariant Energy-Momentum Tensor: the Source of Gravityhttp://www.blau.itp.unibe.ch/newlecturesGR.pdf[13] A. L. Cauchy. De la pression ou tension dans un corps solide (Ref 1823). Ex. de Math. 2, 42-56, 1827http://www.scienzadellecostruzioni.co.uk/Documenti/Cauchy%20-%20De%20la%20pression%20ou%20tension%20dans%20un%20corps%20solide.pdf P68,69[14] Si, dans un corps solide élastique ou non élastique, on vient à rendre rigide et invariable un petit élément de volume terminé par des faces quelconques, ce petit élément éprouvera sur ses différentes faces et en chaque point de chacune d'elles une pression ou tension déterminée. (A. L. Cauchy 1827 De la pression ou tension dans un corps solide)