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1. 개요
일반 상대성 이론에서 선형화 중력이론(Linearized Theory of Gravity)은 시공간의 기하를 기술하는 메트릭 텐서장에 섭동 이론(Perturbation theory)을 적용한 것으로, 크기가 작은 중력장을 연구하는 데에 유용하다. 주로 중력파에 관한 이론을 다룬다.2. 중력장의 선형화
일반 상대성 이론에서 중력장의 크기가 작다는 것은 시공간이 "거의 평평하다"는 것을 뜻한다. 따라서, 적당한 좌표를 선택하여 고려하는 시공간 영역 "전체"에서[math(\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}|\ll1)][1] |
이 되도록 할 수 있다고 가정할 수 있다. 이러한 표현은 실제로 블랙홀, 중력 붕괴 등 극단적인 상황을 제외하고는 대부분의 상황을 설명하는 데에 충분하다. 예를 들어 태양계의 경우 [math(\displaystyle |h_{\mu\nu}| \le \frac{2GM_☉}{c^2R_☉} \sim 10^{-6})]이다.[2]
이 식에서 섭동(perturbation) [math(h_{\mu\nu})]를 평평한 시공간 [math(\eta_{\mu\nu})] 위에서 정의된 독립적인 텐서장으로 볼 수 있고, 따라서 약한 중력장은 특수 상대론에서 정의된 2차 대칭 텐서장으로 근사시켜 다룰 수 있다. 이 때 중력장 방정식의 전개 등에 있어서 에 대하여 일차(선형)항만 남기고 이차항 이상은 무시할 수 있다고 가정한다. 이러한 형식화를 선형화 중력(linearized gravity)이라 한다.
물론 둘 다 엄밀히 말해 텐서가 아니며 실제 중력장을 기술하는 건 어디까지나 그 합인 로 정의되는 (실제 메트릭) 텐서이다. 하지만 좌표를 적당히 제한함으로써 가 독립적인 텐서처럼 행동하도록 할 수 있으며, 더 나아가 아인슈타인 방정식을 에 관한 파동 방정식으로 근사시킬 수 있다. 따라서 선형화 이론으로 중력파 이론 전반을 다룰 수 있으며,
- 중력파의 기본적인 성질
- 중력파의 방사
- 중력파의 검출
에 관한 이론으로 나눌 수 있다. 단, 선형화 이론은 처음부터 중력장의 크기가 작은 환경을 가정하므로 파원이 매우 느리게 진동하는 경우, 혹은 파원에서 매우 멀리 떨어진 지점에서만 정확하다는 것을 주의할 필요가 있다.
2.1. 좌표 변환
먼저, 선형 이론에서 사용되는 두 가지 좌표변환을 알아보자. 첫번째는 [math(h_{\mu\nu})]를 텐서로 다루기 위한 좌표 변환이고, 두번째는 아인슈타인 방정식을 파동 방정식의 형태로 전환하는 등 해를 우리가 원하는 형태로 구체화하기 위한 좌표 변환이다.2.1.1. 배경 로렌츠 변환
선형 이론에서는 [math(h_{\mu\nu})]를 평평한 시공간 위에 놓인 텐서처럼 보면 편리하다. 그런데 일반적인 좌표변환에서는 [math(\eta_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변하지 않으므로, [math(h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})] 역시 텐서가 아니다. 따라서 [math(h_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변환되도록, [math(\eta_{\mu\nu})]가 텐서처럼 변하는 로렌츠 변환으로 한정시킬 필요가 있다.예를 들어 [math(x)]축 방향 속도 [math(v)]의 부스트의 경우 로렌츠 변환 행렬은
[math(\Lambda^{\bar \alpha}_{\,\, \beta} = \left[\begin{array} {cccc} \gamma&-\beta\gamma&0&0 \\ -\beta\gamma&\gamma&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}\right])]
이다. 이러한 로렌츠 변환들을 모아, 다음과 같이 약한 중력장에 대한 배경 로렌츠 변환을 정의한다.
[math(x^{\bar \alpha} = \Lambda^{\bar \alpha}_{\,\, \beta}\,x^{\beta})] |
이것을 [math(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu})]에 적용해보면 [math(\,g_{\bar \alpha \bar \beta} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \bar \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \bar \beta}g_{\mu\nu} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \bar \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \bar \beta}\eta_{\mu\nu} + \Lambda^{\mu}_{\,\, \bar \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \bar \beta}h_{\mu\nu})]이고, [math(\,\Lambda^{\mu}_{\,\, \bar \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \bar \beta}\eta_{\mu\nu} = \eta_{\bar \alpha \bar \beta})]이므로
[math(h_{\bar \alpha \bar \beta} = \Lambda^{\mu}_{\,\, \bar \alpha} \Lambda^{\nu}_{\,\, \bar \beta}h_{\mu\nu})] |
를 얻는다.
2.1.2. 게이지 변환
전자기학에서, 전자기장을 기술하는 전자기 퍼텐셜 는 임의의 벡터 가 주어졌을 때A^{(\text{new})}_{\mu} = A^{(\text{old})}_{\mu} + \Psi_{,\mu}</math> |
에 대하여 게이지 불변성(gauge invariance)을 띤다. 이는 와 가 형태는 다르지만 물리적으로 동일한 상황을 기술함을 의미하며, 그 근거는 전자기장 텐서 에 대하여 라는 데서 나온다. 게이지 변환을 이용하면 물리적 상황을 변화시키지 않고 여러 상황을 수학적으로 더욱 단순한, 혹은 의미있는 형태로 변형할 수 있다.
선형화 중력 이론에서도 이와 비슷한 개념을 도입할 수 있는데, 이는 일반 상대론에서 아인슈타인 방정식이 임의의 좌표계에서 동일한 형태를 띤다는 특징을 이용한 것이다. 미세한 좌표 변환은 의 형태를 (섭동 표현을 바꾸지 않는 방식으로) 미세하게 변화시키지만 두 는 동일한 아인슈타인 방정식을 만족시킨다는 점에서 게이지 이론과 개념적으로 통한다. 즉, 우리의 목표는 어떤 (미세한) 좌표변환 에 대하여
[math(h_{\mu'\nu'}(x^{\alpha'}) = h_{\mu\nu}(x^{\alpha}) + f_{\mu\nu}(x^{\alpha}))] 이되 [math(G_{\mu'\nu'}(x^{\alpha'}) = G_{\mu\nu}(x^{\alpha}))] |
인 를 찾는 것이라고 할 수 있다.
벡터장 에 대하여
[math(x^{\alpha '}(p) = x^{\alpha}(p) + \xi^\alpha(p))] |
란 형태의 좌표변환을 생각하자. 만약 가 충분히 작다면 각 점의 [math(h_{\mu\nu})]도 매우 조금 변할 것이며, [math(|h_{\mu\nu}|≪1)]이란 조건도 유지될 것이다. 이를 이용해 게이지 변환을 만들 수 있다. [math(|\xi^{\alpha}_{\,\,,\beta}| ≪ 1)]을 가정한다면
[math(\begin{aligned} \Lambda^{\alpha '}_{\,\,\beta} &= \delta^{\alpha}_{\,\,\beta} + \xi^{\alpha}_{\,\\beta} \\ \Lambda^{\alpha}_{\,\,\beta '} &= \delta^{\alpha}_{\,\,\beta} - \xi^{\alpha}_{\,\\beta} + 0(|\xi^{\alpha}_{\,\,,\beta}|^2) \end{aligned})] |
이다([math(\Lambda^{\alpha '}_{\,\,\beta}\cdot\Lambda^{\beta}_{\,\,\gamma '} = \delta^{\alpha}_{\gamma})]를 [math(1)]차항 범위로 풀어 얻을 수 있다). 이것을 정리하면
[math(\begin{aligned} g_{\alpha '\beta '} &= \eta_{\alpha'\beta'} + h_{\alpha'\beta'} \\ &= \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta} - \xi_{\alpha, \beta} - \xi_{\beta, \alpha} \end{aligned})] |
가 된다. ([math(\xi_{\alpha} = \eta_{\alpha\beta}\xi^{\beta})]로 정의한다.) 따라서
[math(h^{(\text{new})}_{\mu\nu} = h^{(\text{old})}_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu})] |
를 게이지 변환으로 받아들일 수 있다. 실제로 이것을 (선형 항만 남긴) 리만 텐서
[math(\displaystyle R_{\alpha\beta\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(h_{\alpha\nu,\beta\mu} + h_{\beta\mu,\nu\alpha} - h_{\beta\nu,\alpha\mu} - h_{\alpha\mu,\beta\nu}\right))] |
에 대입해보면 임을 확인할 수 있다(게이지 불변). 따라서, 주어진 물질분포 에 대하여 와 가 동일한 (선형) 아인슈타인 방정식 를 만족시킨다는 것은 분명하다. 일반 상대론의 맥락에서 전개된 상기 논의는 좌표 변환을 이용한 것이지만 앞으로 우리는 게이지 불변성을 좌표 변환의 개념이 아닌, 전자기학에서처럼 "주어진 좌표계에서" 동일한 방정식을 만족시키지만 표현이 다른 해들을 나타내는 것으로 이해한다.
2.1.3. 미분동형사상
지금까지 설명한 좌표변환을 일종의 미분동형사상으로 보면 보다 세련되게 설명할 수 있다. 먼저, 배경 민코프스키 공간 [math(M_b)]에서 (아인슈타인 방정식이 결정하는) 공간 [math(M_p)]로 가는 미분동형사상 [math(\phi : M_b \rightarrow M_p)]를 생각하자. 이 사상에 의해 [math(M_b)]와 [math(M_p)]는 서로 동등한 공간이며, [math(\,p \in M_b)]와 [math(\,\phi(p) \in M_p)]가 서로 대응된다. 단, [math(M_b)]의 메트릭은 언제나 [math(g_{\mu\nu}(p) = \eta_{\mu\nu})]이며, [math(M_p)]의 메트릭은 [math(g_{\mu\nu}(\phi(p)))]로 주어진다.우리가 원하는 것은 선형 이론을 평평한 공간 [math(M_b)]를 배경으로 이론을 전개하는 것이므로, [math(M_p)]를 [math(M_b)]로 옮겨와 [math(M_b)] 위에서 텐서 [math(h_{\mu\nu})]를 다루고 싶다. 따라서, pullback [math(\phi^*)]에 대하여
[math(h_{\mu\nu} = (\phi^*g)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu})] |
로 정의한다. [math(h_{\mu\nu})]는 [math(M_b)]에서 정의된 것이다. 만약 중력장이 약한 상황이라면 [math(|h_{\mu\nu}|≪1)]이도록 [math(\phi)]를 정할 수 있다.
한편 [math(M_b)]와 [math(M_p)]를 대응시키는 방법, 즉 [math(\phi)]가 유일하지 않다는 것을 알 것이다. [math(\phi)]를 교체할 수 있도록 미분동형사상 [math(\psi_{\epsilon} : M_b \rightarrow M_b)]를 생성하는 벡터장 [math(\xi^{\mu})]를 생각하자. 이 벡터장은 적분 곡선(integral curve) [math(x^{\mu})]를 만들며, [math(\displaystyle \frac{dx^{\mu}}{dt} = \xi^{\mu})]이다. 이 경로를 따라 [math(\epsilon)]으로 매개되는 미분동형사상 [math(\psi_{\epsilon})]이 연속적으로 정의된다. [math(\epsilon > 0)]을 매우 작은 양수로 가정하면, 이는 게이지 변환에서의 "미세 좌표 변환"을 정의한다. 이제, [math(\xi^{\mu})]는 pullback [math(\psi_{\epsilon *})]에 의해 [math(h_{\mu\nu})]를
[math(\begin{aligned} h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} &= \left[(\phi \circ \psi_{\epsilon})^* g\right]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= \left[\psi_{\epsilon }^*(\phi^*g))\right]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= \psi_{\epsilon}^*(h + \eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= (\psi_{\epsilon}^*h)_{\mu\nu} + (\psi_{\epsilon}^*\eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\ &= (\psi_{\epsilon}^* h)_{\mu\nu} + \epsilon \left[\frac{(\psi_{\epsilon}^* \eta)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}}{\epsilon} \right] \end{aligned})] |
로 바꾼다. 이 때, [math(\epsilon \rightarrow 0)]이면 [math((\psi_{\epsilon}^*h)_{\mu\nu} = h_{\mu\nu})]로 간주할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon \mathcal{L}_\xi \eta_{\mu\nu})] |
이다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} &= h_{\mu\nu} + \epsilon (\xi_{\mu; \nu} + \xi_{\nu; \mu}) \\ &=h_{\mu\nu} + \epsilon (\xi_{\mu, \nu} + \xi_{\nu, \mu}) \end{aligned})] |
를 얻는다. 두번째 등호는 [math(h_{\mu\nu}, \xi_{\mu})] 모두 일차항까지만 고려하기 때문이다. 앞 절에서 이미 살펴보았듯이 [math(h^{(\epsilon)}_{\mu\nu})]는 [math(h_{\mu\nu})]와 물리적으로 동일한 상황을 나타내므로 의 게이지 불변성을 정의한다.
2.2. 아인슈타인 방정식의 선형화
우선, 선형이론에서 쓰이는 몇 가지 기호를 약속하자. 텐서의 첨수를 올리거나 내리는 데 사용되는 텐서 는 로 근사한다. 즉,h^{\mu}_{\nu} = \eta^{\mu\sigma}h_{\sigma\nu}</math> |
로 약속한다. 이 때 임을 고려하면
g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - h^{\mu\nu}</math> |
가 된다.
다음으로 h^2 = h'^2 = 0으로 근사함에 주의하여, 크리스토펠 기호와 리치 텐서를 선형화하면 다음과 같다. (즉, 이다.)
\begin{aligned} \Gamma^{\mu}_{\sigma\tau} &= \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\left(h_{\sigma\nu,\tau} + h_{\tau\nu,\sigma} - h_{\sigma\tau,\nu}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(h_{\sigma\,\\tau}^{\,\,\,\mu} + h_{\tau\,\\sigma}^{\,\,\,\mu} - h_{\sigma\tau}^{\quad,\mu}\right) \\ \\ R_{\mu\nu} &= \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu, \sigma} - \Gamma^{\sigma}_{\mu\sigma, \nu} \\ &= \displaystyle \frac{1}{2}\left(h_{\mu\,\\nu\sigma}^{\,\,\,\sigma} + h_{\nu\,\\mu\sigma}^{\,\,\,\sigma} - h_{\mu\nu,\sigma}^{\quad\,\,\,\sigma}-h_{,\mu\nu}\right)\end{aligned}</math> |
또한, 이다. 따라서 아인슈타인 텐서 는 다음과 같다.
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\left[h_{\mu\sigma,\nu}^{\quad\,\,\,\sigma} + h_{\nu\sigma,\mu}^{\quad\,\,\,\sigma} - h_{\mu\nu,\sigma}^{\quad\,\,\,\sigma} - h_{,\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}\left(h_{\mu\nu}^{\quad,\mu\nu} - h_{,\mu}^{\,\,\,\,\mu}\right)\right])] |
이 식을 간단하게 만들기 위해서, 다음과 같은 양을 새로이 도입한다.
\bar{h}_{\mu\nu} := h_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h</math> |
이 것을 역대각합(trace-reversed) 라 부르는데, 그 이유는 이기 때문이다.
h_{\mu\nu} = \bar{h}_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}</math> |
를 아인슈타인 텐서에 대입하면 다음을 얻게 된다.
[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = -\frac{1}{2}\left(\bar{h}_{\mu\nu,\alpha}^{\quad\,\,\,\alpha} + \eta_{\mu\nu}\bar{h}_{\alpha\beta}^{\quad,\alpha\beta} - \bar{h}_{\mu\alpha,\,\,\,\nu}^{\quad\alpha} - \bar{h}_{\nu\alpha,\,\,\,\mu}^{\quad\alpha}\right))] |
이 식에서 첫번째 항은 달랑베르 연산자 [math(\square \bar{h}_{\mu\nu} = \eta^{\sigma\tau}\bar{h}_{\mu\nu, \sigma\tau})]이고 선형 중력 이론에서 중요한 역할을 할 것이다. 자연스럽게 나머지 항은 게이지 변환으로 없애고 싶어진다. 게이지 변환 후
[math(\displaystyle \bar{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)] |
이 되도록 만들 수 있으면 이 목적은 달성된다. 이 조건을 로런츠 게이지(Lorenz gauge) 조건 혹은 조화 게이지(harmonic gauge) 조건이라고 한다.
그런데, [math(\bar{h}_{\mu\nu})]의 게이지 변환은 에 대하여
[math(\begin{aligned} \bar h^{(\text{new})}_{\mu\nu} &= {h}^{(\text{new})}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h^{(\text{new})} \\ &= \bar h^{(\text{old})}_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu} + \eta_{\mu\nu}\,\xi_{\alpha}^{\,\,\,, \alpha} \end{aligned})] |
이고, 그 발산은
[math(\bar h^{(\text{new})\mu\nu}_{\quad\quad\,\\nu} = \bar h^{(\text{old})\mu\nu}_{\quad\quad\,\\nu} - \xi^{\mu,\nu}_{\quad\nu})] |
이다. 따라서, 특정 좌표계에서 [math(\square \xi_{\mu} = \bar h_{\mu\nu}^{\quad,\nu})]인 벡터 를 찾아내면 새로운 좌표계에서 조화 게이지 조건이 성립하며, 이러한 방정식의 해는 항상 존재한다. 이제 아인슈타인 방정식은 다음과 같이 정리된다.
| [math(\displaystyle \square \bar{h}_{\mu\nu} = - 2\kappa T_{\mu\nu})] |
이것이 선형화 이론(Linearized theory)의 중력장 방정식이다. 이 때, 지연 퍼텐셜(Retarded potential)을 활용하면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu}(t, \mathbf x) = \frac{\kappa}{2\pi}\int\frac{T_{\mu\nu}(t - \mathbf{|x-x'|}, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
각각의 [math(\mu, \nu)]를 따로 생각해서 16개의 실숫값 함수로 보고, [math(T_{\mu\nu})]가 시변(중력)원천이므로 [math(\bar{h}_{\mu\nu})]가 위치한 점까지 정보가 도달하는 데 걸리는 시간(지연 시간 ; retarded time)을 고려한다고 치면 쉽게 유추할 수 있다.
2.2.1. 뉴턴 극한
위에서 얻은 중력장 방정식은 시변 중력장을 전제한다. 먼저, 이 시변항까지 없앤 정적인 중력장을 알아보자. 즉, (태양계의 경우) 태양이 좌표 원점에 고정되어 있고, 태양 자전 속도를 비롯한 모든 속도가 광속(여기에선 [math(c=1)])보다 크게 작은 상황을 가정한다. 이 때 우리는 뉴턴 중력의 퍼텐셜에 대응되는 완전히 고전적인 해를 얻을 수 있다.먼저, [math(T_{\mu\nu})]는 [math(T_{00} = \rho)]만 남고 나머지는 없어지므로 [math(\bar{h}_{00})]만 고려하면 된다. 또한, 정적인 해를 가정하고 있으므로 [math(T_{\mu\nu})]는 시간에 독립적이고, 지연 시간은 무시할 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \bar{h}_{00}(t, \mathbf x) = 4G\int\frac{\rho(t, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
를 얻는다. 이 중
[math(\displaystyle \Phi := -G\int\frac{\rho(t, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'}\,\rightarrow\,-\frac{GM}{r})] [3]
를 뉴턴 중력의 퍼텐셜에 대응시킬 수 있고, 이 때 [math(\displaystyle \bar{h}_{00} = -4\Phi)]가 된다.
이제 [math(\displaystyle \square \bar{h}_{00} = \nabla^2 \bar{h}_{00} = - 16 \pi G \rho)] 와 푸아송 방정식 [math(\displaystyle \nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho)]의 관계는 명확하다.
마무리로, [math(\displaystyle - 4 \Phi = \bar{h}_{00} = -\bar{h})]와 [math(h_{\mu\nu} = \bar{h}_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h})] 로부터
[math(\displaystyle {h}_{00}=h_{xx}=h_{yy}=h_{zz}=-2\Phi)] (나머지 항은 [math(0)]) 또는
| [math(\displaystyle ds^2=-(1+2\Phi)dt^2+(1-2\Phi)(dx^2+dy^2+dz^2))] |
를 얻는다. 이 공식은 뉴턴 중력과의 관계를 잘 보여주지만 근사를 너무 강하게 적용해서 태양계 내에서 빛의 굴절량이나 중력 적색편이는 충분한 수준으로 설명할 수 있지만 수성의 근일점 이동까지는 설명하기 어렵다.
3. 중력파
3.1. 중력파의 진행
3.1.1. 평면파
쿨롱의 정전기 이론에서 맥스웰의 전자기 이론으로 넘어가면 전자기장의 방사, 즉 전자기파가 생기듯이 뉴턴 중력에서 아인슈타인 중력으로 넘어가면 중력파가 새롭게 유도된다. 일반 상대성 이론의 관점에서 직관적으로 말하자면 중력파는 시공간에 발생한 물결이 주변으로 퍼져나가는 것이라고 말할 수 있다.중력파에 관한 이론은 선형화 이론에서 가장 간단하게 다룰 수 있다. 뉴턴 극한을 유도하기 위해 잠시 제거했던 을 다시 도입하면 "시변" 중력장을 다룰 수 있게 된다. 이 때, 진공 조건에서 [math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu})]는 곧바로 각각의 항마다 다음과 같은 파동 방정식을 만족시키게 된다.
[math(\displaystyle \square \bar{h}_{\mu\nu} = \biggl( - \frac{\partial ^2}{\partial t^2} + \nabla^2 \biggr) \bar{h}_{\mu\nu} = 0)] |
이 방정식의 해 는 그 자체로 파동, 즉 중력파를 나타낸다. 이 방정식을 살펴보는 과정은 전자기파를 다룰 때와 거의 동일하다. 먼저
[math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu} = A_{\mu\nu} e^{i k_{\alpha} x^{\alpha}})] |
와 같이 어떤 복소수해를 가정한 다음 마지막에 그 실수부를 취한다. 여기에서 와 는 상수이며, 전자는 진폭 행렬(Amplitude matrix), 후자는 파동 벡터(wave vector)라 부른다. 이것을 평면파(plane wave)라 한다. 가장 먼저 파동 벡터에 관한 한 항등식을 얻을 수 있는데, 평면파 해를 방정식에 대입하면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= \eta^{\sigma\tau}\left[A_{\mu\nu}e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}}\right]_{,\sigma\tau} \\ &= A_{\mu\nu}\eta^{\sigma\tau}ik_{\sigma}\left[e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}}\right]_{,\tau} \\ &= -A_{\mu\nu}\eta^{\sigma\tau}k_{\sigma}k_{\tau}e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}} \\ &= -k^{\sigma}k_{\sigma}A_{\mu\nu}e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}} \\ &= -k^{\sigma}k_{\sigma}\bar{h}_{\mu\nu}\end{aligned})] |
여기에서 가 언제나 사라지지는 않으므로,
k^{\sigma}k_{\sigma}=0</math> |
여야 한다. 이 방정식은 평면파의 파동 벡터가 언제나 null-vector임을 보여준다. 그 의미는 간단히 말해서 중력파의 속력이 빛과 같다는 뜻으로, 그 이유는 다음과 같은 과정으로 보다 자세하게 살펴볼 수 있다.
[math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu} = A_{\mu\nu}e^{i k_{\alpha} x^{\alpha}})]는 [math(\displaystyle k_{\alpha} x^{\alpha})]가 상수인 면에서 일정하다는 것을, 즉 각각의 초평면 [math(\displaystyle k_{0}t + (k_{1}x + k_{2}y + k_{3}z) = C)]가 [math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu})]의 등위면을 형성한다는 것을 알 수 있다. 시간 성분 [math(k^{0})]을 파동의 주파수 [math(\omega)]라 두고, 공간 성분 [math((k^{1}, k^{2}, k^{3}))]을 파수 벡터 [math(\bold k)]라 두면 벡터 [math(k^{\alpha})]는 [math((\omega, \bold k))]라 둘 수 있다. null-vector [math(k^{\alpha})]에 나란하게 진행하는 빛을 하나 잡고, 이 빛의 경로(세계선)를 매개변수 [math(\lambda)]에 대하여 [math(x^{\mu} = k^{\mu}\lambda + l^{\mu})]라 두면 [math(k_{\mu}x^{\mu})]가 상수가 된다. 이는 빛이 [math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu})]의 등위면에 고정됨을, 즉 [math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu})]가 만드는 파동에 그대로 실려 간다는 것을 의미하며, 반대로 말하면 파동 [math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu})]가 빛의 속도로 이동한다는 것을 알 수 있다.
위에서 가정한 평면파 해는 물론 파동 방정식의 일반해가 아니며 와 를 임의로 부여한 평면파들을 중첩(superposition)시켜도 모두 파동 방정식의 해가 된다. (거꾸로 일반해는 평면파들의 중첩으로 얻어진다.) 그러나 위에서 살펴본대로 중첩되는 평면파들은 모두 빛의 속력으로 전파된다는 공통점이 있다. 한편 와 가 하나로 정해지지 않는다는 것을 알 수 있는데, 이는 게이지 자유도를 모두 사용하지 않았기 때문이다. 현 시점에서 이 방정식에 제약을 가하는 것은 조화 게이지 조건
[math(\displaystyle \; \bar{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)] |
뿐이다. 이것을 사용하면 [math(A_{\mu\nu})]는 조건
[math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)] |
을 만들게 된다. 따라서, 파동 벡터 [math(k^{\mu})]는 진폭 행렬 [math(A_{\mu\nu})]에 수직이다. 이로써 진폭 행렬의 자유도는 10개에서 6개로 감소하였다. 추가적으로 자유도를 제한하는 가장 간단한 방법은 TT-게이지(Transverse-Traceless Gauge)가 제공한다.
3.1.2. TT(Transverse-Traceless) 게이지
중력파의 성질을 보다 구체적으로 살펴보기 위해, 이번에는 (평면파의) 진폭 행렬 [math(A_{\mu\nu})]의 게이지 변환을 유도한 다음 어떤 식으로 게이지 자유도를 추가로 줄일 수 있는지 알아보자. 조화 게이지 조건 [math(\displaystyle \; \bar{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)]은 [math(h_{\mu\nu})]의 게이지 변환에 사용된 벡터 [math(\,\xi^{\mu})]에[math(\square \xi^{\mu} = \bar{h}^{\mu\nu},_{\nu} = 0)] |
이란 조건을 부여한다. 따라서 마찬가지로
[math(\displaystyle \xi_{\mu} = B_{\mu}e^{i k_{\alpha} x^{\alpha}})] |
라 둘 수 있다. 물론 [math(B_{\mu})]는 상수이고, 평면파에서 유도했듯이 [math(k^{\mu})]는 null-벡터이다. 마지막에 실수부를 취해야 한다는 점도 동일하다. 이제 [math(A_{\mu\nu})]의 게이지 변환은
[math(\bar h^{(\text{new})}_{\mu\nu} = \bar h^{(\text{old})}_{\mu\nu} - \xi_{\mu, \nu} - \xi_{\nu, \mu} + \eta_{\mu\nu}\,\xi_{\alpha}^{\,\,\,, \alpha})] |
에
[math(\bar{h}_{\mu\nu} = A_{\mu\nu} e^{i k_{\alpha} x^{\alpha}})] [math(\xi_{\mu} = B_{\mu}e^{i k_{\alpha} x^{\alpha}})] |
을 대입하면 다음과 같이 어렵지 않게 구해진다. (여기에서 [math(k^{\mu})]는 [math(A_{\mu\nu})]와 [math(\xi^{\mu})]에 공통이다.)
[math(A^{(\text{new})}_{\mu\nu} = A^{(\text{old})}_{\mu\nu} - iB_{\mu}k_{\nu} - iB_{\nu}k_{\mu} + i\eta_{\mu\nu}B^{\alpha}k_{\alpha})] |
따라서, [math(A_{\mu\nu})]의 게이지 자유도를 부여하는 것은 ([math(\xi^{\mu})]로부터 나오는) [math(B_{\mu})]와 [math(k^{\mu})]이다. 여기에 적절한 게이지 변환을 가하면,
[math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0, \quad A_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)] |
이 성립하도록 할 수 있다. ([math(\vec U)]는 어떤 시간꼴 벡터이다.) 이 둘과 [math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)]을 합해서 TT(transverse-traceless) 게이지라고 한다. 이 때 Transverse는 중력파가 횡파임을 나타내고, traceless란 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0)]을 두고 말하는 것이다.
TT 게이지의 성질을 알아보기 전, 이러한 선택이 가능함과 동시에 게이지 자유도가 남김없이 사용된다는 것은 살펴볼 가치가 있다. 먼저 [math(A^{\text{(new)}\mu}_{\quad\quad\mu} = 0)]을 의 게이지 변환에 대입하면
[math(0 = A^{\text{(old)}\mu}_{\quad\quad\mu} - 2ik_{\mu}B^{\mu} + 4ik_{\mu}B^{\mu})] [math(A^{\text{(old)}\mu}_{\quad\quad\mu} = -2ik_{\mu}B^{\mu})] |
를 얻는다. 다음으로 [math(A^{(\text{new})}_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)]을 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\nu} - iB_{\mu}k_{\nu}U^{\nu} - iB_{\nu}k_{\mu}U^{\nu} + iU_{\mu}k_{\alpha}B^{\alpha} \\ &= A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\nu} - iB_{\mu}k_{\nu}U^{\nu} - iB_{\nu}k_{\mu}U^{\nu} -\frac{1}{2}U_{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha} \end{aligned})] |
인데, 이 식은 [math(B^{\mu})]를 완전히 결정하지 않고 3가지 제한만을 가한다. 여기에 [math(k^{\mu})]를 내적하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= (A^{(\text{old})}_{\mu\nu}k^{\mu})U^{\nu} - iB_{\mu}k_{\nu}k^{\mu}U^{\nu} - iB_{\nu}(k_{\mu}k^{\mu})U^{\nu} -\frac{1}{2}U_{\mu}k^{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha} \\ &= -\frac{1}{2}k^{\mu}\left(2iB_{\mu}k_{\nu}U^{\nu} + U_{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha}\right) \\ &= -\frac{1}{2}k^{\mu}U_{\mu}\left(2iB^{\nu}k_{\nu} + A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha}\right) \\ &\equiv 0 \end{aligned})] |
이므로 방정식 자체가 하나의 항등식을 포함하기 때문이다. 따라서 두 식은 [math(B^{\mu})]의 네 값을 결정(1+3)하면서 게이지 자유도를 모두 소진하게 된다. 구체적으로, [math((A^{\text{(new)}}_{\mu\nu}U^{\nu})U^{\mu} = 0)]을 풀면
[math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu} - iB_{\mu}k_{\nu}U^{\mu}U^{\nu} - iB_{\nu}k_{\mu}U^{\mu}U^{\nu} + iU_{\mu}U^{\mu}k_{\alpha}B^{\alpha} \\ &= A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu} - 2i(B_{\mu}U^{\mu})k_{\nu}U^{\nu} - \frac{1}{2}U_{\mu}U^{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha}\end{aligned})] |
이므로
[math(\displaystyle B_{\mu} = \frac{i}{k_{\alpha}U^{\alpha}}\left(-A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\nu} + ik_{\mu}B_{\nu}U^{\nu} + \frac{1}{2}U_{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha}\right);)] [math(\displaystyle B_{\nu}U^{\nu} = \frac{i}{4k_{\alpha}U^{\alpha}}\left(U_{\mu}U^{\mu}A^{(\text{old})\alpha}_{\quad\quad\alpha} - 2A^{(\text{old})}_{\mu\nu}U^{\mu}U^{\nu} \right))] |
가 된다. 따라서, TT 게이지의 두 조건식 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0, \,\, A_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)]은 [math(A^{\text{(old)}}_{\mu\nu}, U^{\mu}, k^{\mu})]를 통해 [math(B_{\mu})]를 완전히 결정하게 된다.
지금까지의 과정을 정리하면, 우리는 조화 게이지 또는 [math(k^{\mu})]를 통해 [math(A_{\mu\nu})]의 4개의 자유도를 사용한 다음, 추가적으로 TT 게이지 또는 [math(B^{\mu})]를 통해 [math(A_{\mu\nu})]의 자유도 4개를 추가로 사용함으로써 게이지 자유도를 모두 사용하였으며, [math(A_{\mu\nu})]에는 최종적으로 2개의 독립적인 성분이 남게 된다. 마지막으로 중력파를 기술하는 로런츠 좌표계의 방향을 결정함으로써 중력파의 성분을 가장 구체적인 형태로 표현할 수 있다. 앞으로 TT 게이지를 따르는 중력장 성분을 [math(h^{\text{TT}}_{\mu\nu}, \, \bar{h}^{\text{TT}}_{\mu\nu})] 따위로 쓰기로 한다.
먼저, 지금까지 간결성을 위해 [math(h_{\mu\nu})] 대신 [math(\bar{h}_{\mu\nu})]를 사용하였지만 TT 게이지에서는 Traceless 조건 때문에 그럴 필요가 없다. 즉, [math(\bar{h} = \bar{h}_{\mu}^{\mu} = A^{\mu}_{\mu}e^{ik_{\alpha}x^{\alpha}} = 0)]이므로
[math(\bar h_{\mu\nu}^{\mathrm {TT}} = h_{\mu\nu}^{\mathrm {TT}})] |
이다.
다음으로, 로런츠 좌표계의 방향을 정해줌으로써 [math(\vec{U}, \vec{k})]의 성분을 구체화한다. 먼저 [math(\vec U)]가 시간 기저벡터가 되도록 하면 [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]가 되며, 이 때 [math(A_{\mu\nu}U^{\nu} = 0)]에 의해 [math(A_{\mu 0} = 0)]임을 알 수 있다. 이번엔 공간 좌표축을 회전시켜 [math(k^{\alpha} = (\omega, 0, 0, \omega))]가 되도록, 즉 중력파 [math(h_{\mu\nu})]가 [math(z)]축 방향으로 흐르도록 하자. 그렇다면 [math(A_{\mu\nu} k^{\nu} = 0)]에 의해 [math(A_{\alpha z} = 0)]이 된다. 이를 모두 정리하면, [math(A_{\mu\nu})]에는 [math(A_{xx}, A_{yy}, A_{xy} = A_{yx})]만이 남는다. 그리고 [math(A^{\mu}_{\, \mu} = 0)] 조건을 활용하면 [math(A_{xx} = -A_{yy})]임을 알 수 있다. 지금까지 설명한 TT 게이지 하의 [math(A_{\mu\nu})]를 행렬성분으로 나타내면 다음과 같다.
[math(A^{\mathrm{TT}}_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0&0&0&0 \\ 0&A_{xx}&A_{xy}&0 \\ 0&A_{xy}&-A_{xx}&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix})]
이로부터, [math(z)] 방향으로 흐르는 평면 중력파는 진동수 [math(\omega)] 및 [math(A_{xx}, \, A_{xy})]에 의해 완전히 결정됨을 확인할 수 있다.
임의의 게이지로 표현된 평면파 성분을 TT 게이지화 하는 것은 쉬운 일이다. 평면파의 성분들을 투영시키는 투영 텐서(projection tensor)를 다음과 같이 정의한다.
[math(P_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} - n_{\mu}n_{\nu})] |
이 텐서는 벡터들을 단위 벡터 [math(n_{\mu})]에 수직인 초평면으로 투영시킨다. 여기에서 [math(n_{\mu})]는 공간꼴 단위 벡터로, 중력파의 진행 방향([math(k_{i})])에 나란하도록 설정할 수 있다.
[math(\displaystyle n_0 = 0,\quad n_i = \frac{k_i}{\omega})] |
이 때, [math(h_{\mu\nu})]의 Traceless 성분은 [math(P_{\mu}^{\sigma}P_{\nu}^{\tau}h_{\sigma\tau})]가 되며, TT 성분은 다음과 같이 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle h^{\text{TT}}_{\mu\nu} = P_{\mu}^{\sigma}P_{\nu}^{\tau}h_{\sigma\tau} - \frac{1}{2}P_{\mu\nu}P^{\sigma\tau}h_{\sigma\tau})] |
한편, 임의의 중력파는 TT 게이지로 설정하는 것이 가능하지만, 파동이 아닌 형태의 [math(h_{\mu\nu})]는 TT 게이지로 설정이 불가능할 수 있다. 예를 들어 회전하는 구형 천체의 외부 중력장(아래)은 평면파의 중첩으로 유도될 수 없으며, TT 게이지가 존재하지 않는다.
[math(\displaystyle h_{00} = \frac{2M}{r}, \quad h_{ij} = \frac{2M}{r}\delta_{ij}, \quad h_{0i} = - 2\epsilon_{ijk}\frac{S^jx^k}{r^3})] [4] [math(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2})] |
3.1.3. 중력파의 입자에 대한 영향
모든 중력파는 평면파의 중첩으로 표현된다. 파동이 [math(z)] 방향으로 흐를 경우, 모든 평면파를 [math(h_{xx}^{\mathrm{TT}})]와 [math(h_{xy}^{\mathrm{TT}})]로 표현할 수 있다. 한 배경 좌표계에 정지해 있던 입자가 중력파를 만나게 되면, (TT 게이지를 선택할 경우 => [math(\vec U)]가 입자의 초기 속도 벡터), 이 입자는 측지선 방정식[math(\displaystyle \frac{d}{d\tau}U^{\mu} + \Gamma^{\mu}_{\,\,\alpha\beta} U^{\alpha}U^{\beta} = 0)]
을 만족시킨다. 입자는 처음에 정지해있으므로, [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]이다. 입자의 초기 가속도는
[math(\displaystyle \frac{d}{d\tau}U^{\mu} = - \Gamma^{\mu}_{\,\,00} = - \frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}(h_{\sigma 0, 0} + h_{\sigma 0, 0} - h_{00, \sigma}))]
이다. 그런데, TT 게이지에서 [math(h_{\sigma 0}^{\mathrm{TT}} = \mathrm{Re} \Bigl[A_{\sigma 0}^{\mathrm{TT}}\,\mathrm{exp}(ik_{\alpha} x^{\alpha}) \Bigr] = 0)]이므로, 초기 가속도는 그냥 [math(0)]이다. 그러므로, 다음 순간 입자의 속도는 [math(\vec U = (1, 0, 0, 0))]를 유지한다. 이는 초기 상태와 동일하다. 따라서 이런 상황이 반복되어 입자는 이 좌표계에서 영원히 정지할 것이다. 이로부터, 이 TT 게이지는 [math(z)] 방향 중력파의 영향을 받는 각각의 입자를 정지상태로 만드는 좌표계를 선택한 것임을 알 수 있다.
물론, 입자가 어떤 움직임을 보이더라도 입자와 함께 움직이는 좌표계를 선택하여 입자를 정지하게 만들 수 있다. 하지만, 일반 상대성 이론에서 중력이 만드는 것은 가속도가 아니라 "상대" 가속도, 즉 기조력이다. 이것을 측정하기 위해선 두 개의 입자가 필요하다.
한 입자는 원점에 두고, 또 다른 입자는 [math((x, y, z) = (\epsilon, 0, 0))]에 두자. 각각은 TT 게이지 좌표계에서 정지해 있으므로, [math((t, 0, 0, 0))]과 [math((t, \epsilon, 0, 0))]에 고정되어 있다. 둘 사이의 "고유" 거리는
[math(\displaystyle \Delta l \equiv \int|ds^2|^{1/2} = \int|g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}|^{1/2})]
[math(\displaystyle \quad\,\, = \int^{\epsilon}_{0}|g_{xx}|^{1/2} \approx \epsilon|g_{xx}(x = 0)|^{1/2})]
[math(\displaystyle \quad\,\, = \int^{\epsilon}_{0}|g_{xx}|^{1/2} \approx \epsilon|g_{xx}(x = 0)|^{1/2})]
[math(\displaystyle \quad\,\, \approx \epsilon \biggl[1 + \frac{1}{2}h_{xx}^{\mathrm{TT}}(x = 0) \biggr])]
이다. 이 때 [math(h_{xx}^{\mathrm{TT}})]은 일반적으로 [math(0)]이 아니므로, 고유 거리는 시간에 따라 변할 것이다. 이처럼, 중력파는 어느 한 입자에 대한 영향이 아니라, 두 입자의 상대 가속도 혹은 상대 거리에 대한 영향을 통해 그 존재를 확인할 수 있다.
이 공식을 좀 더 깊이 분석해보면, 두 입자는 [math(\epsilon)], 즉 서로에 대한 거리가 멀수록 훨씬 큰 거리 변화를 만든다. 중력파 검출기가 그토록 큰 이유이기도 하다. LIGO의 경우 검출장치의 한쪽 길이가 [math(\mathrm{4km})]이다. 우주 공간에서는 인공 위성을 임의로 떨어뜨려 수백만 [math(\mathrm{km})] 만큼 벌려놓기도 한다.
그러나, 중력파의 이러한 효과는 [math(h_{ij}^{\mathrm{TT}})]에 비례하며 매우 작다. 이들의 크기는 일반적으로 약 [math(10^{-21})] 이하이다. 따라서, 중력파 검출기는 [math(10^{21})]분의 [math(1)]에 해당하는 상대 거리의 변화를 검출할 민감도를 확보할 수 있어야만 한다.
3.1.4. 중력파의 편파(偏波)
중력파가 시공간에 미치는 영향은 입자의 운동으로 쉽게 확인할 수 있다. 다만, 위에서 살펴보았듯이 입자의 좌표는 TT 게이지에서 고정되도록 만들 수 있다. 따라서 측지선 방정식(운동 방정식)이 아니라 측지선 편차 방정식(equations of geodesic deviation), 또는 입자 간의 기조력(tidal force)에 관한 방정식이 필요하다.[math(\displaystyle \frac{D^2}{d\tau^2}\xi^{\mu} = R^{\mu}_{\,\,\alpha\beta\nu}U^{\alpha}U^{\beta}\xi^{\nu})] |
여기에서 [math(U^{\mu} = \text{d}x^{\mu}/\text{d}\tau)]는 시험 입자의 속도 벡터, [math(\xi^{\mu})]는 두 시험 입자의 분리 벡터(separation vector)이다. 양변을 [math(h_{\mu\nu})]의 일차항 범위로 근사시켜보자. 먼저, 입자들이 매우 느리게 움직인다고 가정하면 입자의 고유시간 [math(\tau)]는 좌표계의 시간 [math(t)]로 근사시킬 수 있다. 또한, 우변에서
[math(\displaystyle R_{\alpha\beta\mu\nu} = \frac{1}{2}\left(h_{\alpha\nu,\beta\mu} + h_{\beta\mu,\nu\alpha} - h_{\beta\nu,\alpha\mu} - h_{\alpha\mu,\beta\nu}\right))] |
는 이미 [math(h_{\mu\nu})]의 일차항 범위이므로, [math(U^{\mu})]에 의한 일차항 이상의 보정은 무시할 수 있다. 따라서 [math(\vec{U} = (1, 0, 0, 0))]이라 둘 수 있으며, 기조력 방정식은 다음과 같이 간단화된다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{\mu} = R^{\mu}_{\,\,00\nu}\xi^{\nu})] |
따라서, 오직 [math(R^{\mu}_{\,\,00\nu})] 성분만 계산하면 된다.
[math(\displaystyle R_{\alpha 00\nu} = \frac{1}{2}\left(h_{\alpha\nu,00} + h_{00,\nu\alpha} - h_{0\nu,\alpha 0} - h_{\alpha 0,0\nu}\right))] |
에서, TT 게이지에 의해 [math(h_{0\mu} = 0)]이므로
[math(\displaystyle R_{\alpha 00\nu} = \frac{1}{2}h_{\alpha\nu,00})] |
가 된다. 중력파가 [math(z)]축 방향으로 진행한다면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} R^{1}_{\,001} &= R_{1001} = \frac{1}{2}h^{\text{TT}}_{xx,00} \\ R^{1}_{\,002} &= R_{1002} = \frac{1}{2}h^{\text{TT}}_{xy,00} = \frac{1}{2}h^{\text{TT}}_{yx,00} = R_{2001} = R^{2}_{\,001} \\ R^{2}_{\,002} &= R_{2002} = \frac{1}{2}h^{\text{TT}}_{yy,00} = -\frac{1}{2}h^{\text{TT}}_{xx,00} \end{aligned})] |
여기에서
[math(A^{\text{TT}}_{xx} = -A^{\text{TT}}_{yy} = A_+)] [math(A^{\text{TT}}_{xy} = A^{\text{TT}}_{yx} = A_{\times})] |
라 쓰자. (기호의 의미는 곧 드러난다.) [math(A_{+})]와 [math(A_{\times})]의 영향을 각각 알아보기 위해, 먼저 [math(A_{\times} = 0)]인 경우를 살펴보면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{x} = \frac{1}{2}\xi^x\frac{\partial^2}{\partial t^2}(A_{+}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}))] [math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{y} = \frac{1}{2}\xi^y\frac{\partial^2}{\partial t^2}(A_{+}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}))] |
이 방정식은 가장 낮은 차수에서 다음과 같이 풀린다.
[math(\displaystyle \xi^x = \left(1 + \frac{1}{2}A_+e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}\right)\xi^x(0))] [math(\displaystyle \xi^y = \left(1 - \frac{1}{2}A_+e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}\right)\xi^y(0))] |
따라서, 처음에 [math(x)]축 방향으로 분리되어 있던 두 입자는 [math(x)]축 방향으로 진동하며, [math(y)]축 방향으로 분리되어 있던 경우에는 [math(y)]축 방향으로 진동한다. 즉, [math(x-y)] 평면에 고리 형태로 놓인 입자들은 다음과 같이 "+" 모양으로 진동하게 된다.
| "+" polarization |
[math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{x} = \frac{1}{2}\xi^y\frac{\partial^2}{\partial t^2}(A_{\times}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}))] [math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{y} = \frac{1}{2}\xi^x\frac{\partial^2}{\partial t^2}(A_{\times}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}))] |
그러므로, [math(\xi)]의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{x} = \xi^x(0) + \frac{1}{2}A_{\times}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}\xi^y(0))] [math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2}\xi^{y} = \xi^y(0) + \frac{1}{2}A_{\times}e^{ik_{\sigma}x^{\sigma}}\xi^x(0))] |
이 경우, 처음에 [math(x)]축 방향으로 분리되어 있던 두 입자는 [math(y)]축 방향으로 진동하며, [math(y)]축 방향으로 분리되어 있던 경우에는 [math(x)]축 방향으로 진동한다. 즉, [math(x-y)] 평면에 고리 형태로 놓인 입자들은 다음과 같이 "x" 모양으로 진동하게 된다.
| "x" polarization |
[math(\displaystyle A_R = \frac{1}{\sqrt{2}}(A_+ + iA_{\times}))] [math(\displaystyle A_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(A_+ - iA_{\times}))] |
중력을 양자화하였을 때, 중력파의 편파 상태는 어떤 입자(중력자, graviton)에 대응된다. 예를 들어, 전자기파의 편파(편광)는 평면 상에서 두 개의 독립적인 벡터로 기술되며, 어떤 단일 편광 상태는 평면 상에서 360도 회전시켰을 때 다시 얻게 된다. 이는 질량이 없고 스핀이 1인 광자(photon)에 대응된다. 일반적으로, 스핀 [math(s)]는 단일 편파 상태가 [math(\theta)]만큼 회전시켰을 때 불변이라면 [math(s = 2\pi/\theta)]와 같은 관계를 갖게 된다. 중력파의 경우 빛의 속력으로 전파되므로 질량이 0이어야 하며, 각 편파 상태는 180도만큼 회전시켰을 때 불변이므로 중력자의 스핀이 2임을 예측할 수 있다.
3.2. 중력파의 생성
3.2.1. 고전 역학적 해석
전자기학에서는 전기 쌍극자 모멘트에 의해 전자기파가 생성될 수 있다. 한편 중력에서는 중력파의 원천(source)가 될 수 있는 물리량이 어떤 것이 될 수 있는지 살펴보자. 먼저 고전 역학적 관점에서 중력에 대응되는 여러 모멘트를 생각하면 다음과 같다. 먼저, 단극자 모멘트(monopole moment)는 중력에서 단순히 질량의 합과 같다.\displaystyle m = \sum_{\text{particles}\,A} m_A</math> |
전자기력에서와 마찬가지로 단극자 모멘트의 미분은 질량 보존 법칙에 의해 사라지며, 중력파를 생성할 수 없다. 다음으로, 전기 쌍극자 모멘트를 생각하면 다음과 같다.
\displaystyle \mathbf{d} = \sum_{A} m_A \mathbf{x}_A</math> |
(중력) 전기 쌍극자 모멘트의 일계 미분은 다음과 같이 파원의 총 운동량이 된다.
\displaystyle \dot{\mathbf{d}} = \sum_{A} m_A \dot{\mathbf{x}}_A = \sum_{A}m_A \mathbf{v}_A = \sum_{A}\mathbf{p}_A</math> |
따라서, 쌍극자 모멘트의 이계 미분은 운동량 보존법칙에 의해 사라진다(). 즉, (전기) 쌍극자 모멘트에 의한 중력 복사는 존재할 수 없다.
다음으로는, 자기 쌍극자 모멘트에 대응하는 물리량을 생각해볼 수 있다. 이는 위치와 전류의 외적, 혹은 위치와 운동량의 외적
\displaystyle \mathbf{m} = \sum_{A}\mathbf{x}_A \times \mathbf{p}_A = \sum_{A}\mathbf{J}_A</math> |
즉 각운동량이 된다. 이 역시 운동 상수이므로, 중력파는 방사될 수 없다.
이러한 차이는 전자기력의 원천이 벡터이고, 중력의 원천이 텐서인 것과 관련있다. 각 종류의 퍼텐셜에 대응하여 전자기력에는 전하량 보존 법칙([math(J^{\nu}_{\,\,,\nu}=0)])이, 중력에는 질량(에너지)과 운동량 보존 법칙([math(T^{\mu\nu}_{\quad,\nu}=0)])이 존재한다.
따라서, 중력 복사를 만들 수 있는 것은 사중극자 모멘트(quadrupole moment) 부터가 된다. 사중극자가 만드는 전자기파의 강도는 다음과 같다.
\displaystyle L = \frac{1}{20}\overset{\cdot\cdot\cdot}{\mathbf{Q}}^2 := \frac{1}{20}\overset{\cdot\cdot\cdot}{Q}_{ij}\overset{\cdot\cdot\cdot}{Q}_{ij}</math> |
중력 사중극자의 경우, 텐서 계산을 통해 다음과 같이 인수를 일부 조정한 동일 결과를 얻을 수 있다.
\displaystyle L = \frac{1}{5}\left<\overset{\cdot\cdot\cdot}{I^2}\right> := \frac{1}{5}\left<\overset{\cdot\cdot\cdot}{\sout{I}}_{ij}\,\overset{\cdot\cdot\cdot}{\sout{I}}_{ij}\right></math> \displaystyle \sout{I}_{ij} := \sum_A m_A\left(x_{Ai}x_{Aj} - \frac{1}{3}\delta_{ij}r_A^2\right) = \int \rho\left(x_ix_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}r^2\right)d^3\mathbf{x} |
3.2.2. 유도
선형화 아인슈타인 방정식[math(\displaystyle \square \bar{h}_{\mu\nu} = -2\kappa T_{\mu\nu})]
에서부터 시작한다. 지연 퍼텐셜을 이용하면 이 방정식의 해는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu}(t, \mathbf x) = \frac{\kappa}{2\pi}\int\frac{T_{\mu\nu}(t - \mathbf{|x-x'|}, \mathbf{x'})}{\mathbf{|x - x'|}}\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
이 때 적분범위는 사건 의 과거 빛원뿔 전체가 된다. 일반적으로, 파원의 공간적 범위는 파원과 고려하는 의 위치(field point) 사이의 거리에 비해 매우 작다고 할 수 있다. 따라서, 원점이 파원 안에 놓인다고 하면
가 성립하며, 는 단순히 원점과 사이의 거리 로 근사할 수 있다. 은 우변의 적분에 대하여 상수이므로 다음과 같이 정리된다.
[math(\displaystyle \bar{h}_{\mu\nu}(t, \mathbf x) \approx \frac{\kappa}{2\pi r}\int T_{\mu\nu}(t - \mathbf{|x|}, \mathbf{x'})\mathrm{d^3} \mathbf{x'})]
이는 가 대략 에 비례하여 작아짐을 의미한다.
이 방정식에 따르면, 는 중력파원 를 파원 전체에 대하여, 지연을 고려하여 (3차원) 적분한 결과에 의존한다. 의 적분을 계산하기 위해서는 에너지-운동량 보존법칙 을 반복 이용하면 된다.
먼저 의 경우, 조화 게이지 조건 을 이용하면 된다. 정확히 말하자면, 각각의 에 대하여
이므로 우리는 만 계산하면 된다. 이를 위해서는 다음 계산 과정이 필요하다.
에 3차원 적분 및 부분적분을 취하면
이고, 따라서
를 얻는다. 다시
에 3차원 적분 및 부분적분을 취하면
을 얻게 된다. 결과적으로
[math(\displaystyle 2\int T^{ij}\mathrm{d^3}\mathbf{x} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\int x^ix^jT^{00}\mathrm{d^3}\mathbf{x})]
가 성립하는데, 여기에서 파원의 변화가 매우 느리면, 로 근사시킬 수 있다.
[math(\displaystyle I^{ij}(t) := \int T^{00}(t)x^ix^j\mathrm{d^3}\mathbf{x})]
를 흔히 사중극자 모멘트 텐서(Quadrupole moment tensor)라 한다. (정의는 책마다 다르다.) 그러면,
[math(\displaystyle \bar{h}_{ij}(t, \mathbf x) = \frac{\kappa}{4\pi r}\ddot{I}_{ij}(t-r))]
를 얻는다. 나머지 는 상술한 대로 조화 게이지 조건을 이용하여 얻을 수 있다.
여기에서 좀 더 파동의 형태를 간단하게 제한하자면, 위에서 언급했듯이 Transverse - Traceless(TT) 게이지를 선택할 수 있다. 먼저
[math(\displaystyle \sout{I}_{ij} := I_{ij} - \frac{1}{3}\delta_{ij}I^l_l)]
이라 정의하면, 이 (Trace-free 또는 Reduced) 사중극자 모멘트는 대각합이 이다. 이를 이용하면, 측정점에서 [math(z)]축 방향으로 진행하는 중력파에 대하여 (TT 게이지를 선택했을 때)
[math(\begin{aligned} \bar{h}^{\text{TT}}_{zi} &= 0 \\ \bar{h}^{\text{TT}}_{xx} &= -\bar{h}^{\text{TT}}_{yy} = \frac{\kappa}{8\pi r}(\ddot{\sout{I}}_{xx} - \ddot{\sout{I}}_{yy}) \\ \bar{h}^{\text{TT}}_{xy} &= \frac{\kappa}{4\pi r}\ddot{\sout{I}}_{xy} \end{aligned})]
를 얻는다.
4. 참고 자료
- Bernard Schutz (2009), "A First Course in General Relativity Second Edition", Cambridge University Press: 189 - 212
- Sean M. Carroll (2003), "Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity", Addison Wesley: 274 - 322
- Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman,Princeton University Press
[1] 시공간 계량은 [math((-, +, +, +))] 부호수를 따르므로 특정 텐서의 "작은 정도"를 자연스럽게 측정하는 노름을 정의할 수 없다. 여기에서 두 메트릭이 서로 가깝다는 것은 g_{\mu\nu}</math>의 각 성분이 에 가깝다는 의미이다.[2] 물론, 모든 좌표계가 허용되는 일반 상대성 이론에서는 시공간이 실제로 거의 평평하더라도, 아니 완전히 평평하더라도 좌표를 아무렇게나 잡아서 가 상수가 되지 않도록 둘 수 있다. 하지만 좌표 변환으로 서로 유도되는 해들은 모두 같은 해를 표현하므로 가장 물리적으로 의미있는 좌표계를 선택하는 것이 바람직하다.[3] 원점에서 충분히 멀 때[4] [math(M)]은 천체의 질량, [math(S)]는 천체의 각운동량.