등차수열

이산수학 Discrete Mathematics
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1. 개요2. 일반항3. 등차중항4. 함수로 해석하기5. 성질6. 극한7. 등차수열의 합

7.1. 공식(합 → 일반항)7.2. 함수로 해석하기7.3. 제2항부터 등차수열인 경우7.4. 등차수열의 합의 최대·최소

8. 활용9. 기타10. 관련 문서

1. 개요

等差數列 / arithmetical sequence(progression)

[math(1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,\cdots)]처럼 연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열이라고 한다. 연속한 두 항에서, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값을 공차(common difference, 公差)라고 한다. 일반적으로 등차수열의 첫째 항을 [math(a)], 공차를 [math(d)]로 표기한다. 첫째 항은 초항(初項)이라고도 하며, 문자 [math(d)]는 difference의 머리글자이다.

등차수열은 연속한 두 항의 차가 일정하므로, 그 계차수열의 일반항이 상수식(공차)인 수열이다.

2. 일반항

수열 [math(\{a_{n} \})]이 공차가 [math(d)]인 등차수열이면 임의의 자연수 [math(k)]에 대하여 다음의 점화식이 성립한다.

[math(a_{k+1}-a_k=d)]

이에 따라 등차수열 [math(\{a_n\})]의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라.

[math(a_n=a+(n-1)d)]

꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공차가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등차수열의 일반항을 정할 수 있다.

3. 등차중항

[math(a)], [math(b)], [math(c)]가 등차수열의 연속한 세 항일 때, [math(b)]를 [math(a)]와 [math(c)]의 등차중항이라고 한다.

[math(\begin{aligned} b-a&=c-b \; \to \; b=\dfrac{a+c}{2} \end{aligned})]

곧, 등차수열의 연속한 세 항에서, 등차중항은 나머지 두 항의 산술 평균이다. 예를 들어 등차수열 [math(a_n)]에 대하여 [math(a_6)], [math(a_7)], [math(a_8)]의 등차중항은 [math(a_7={(a_6+a_8)}/2)]이다.

4. 함수로 해석하기

보통 고등학교에서 다루는 수열은 자연수에서 실수로 가는 함수이므로 등차수열 역시 함수로도 생각할 수 있는데, 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 좌표평면에 [math((n,\, a_n))]을 나타내면 다음과 같다.

각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항인지를, [math(a_n)]좌표는 항의 값을 나타낸다. 등차수열의 일반항은 일차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 일직선상에 있다. 나아가, 각 점을 이은 직선의 기울기는 공차와 같다. 이렇게 보면, 등차수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 일차함수이다.

나아가, 등차수열의 연속한 세 항에 대하여, 등차중항을 나타내는 점은 나머지 두 항을 나타내는 점을 이은 선분을 [math(\boldsymbol {1:1})]로 내분하는 점이다.

이에 따라 [math(a_n)]에서 원래 [math(n)]은 자연수이지만, 다음 예와 같이 [math(n)]이 자연수가 아닌 유리수 혹은 실수인 경우로 해석적 연속을 적용하면 아래와 같은 흔치 않은 표기법과 그 활용이 가능하다.

등차수열 [math(a_n=n+4)]에 대하여

[math(a_5)]와 [math(a_6)]의 평균은 [math(a_{5.5}=5.5+4=9.5)]
[math(a_8)]과 [math(a_9)]의 평균은 [math(a_{8.5}=8.5+4=12.5)]
위 두 값의 차는 [math(a_{8.5}-a_{5.5}=(8.5-5.5)d=3\cdot1=3(=12.5-9.5))]

5. 성질

등차수열 [math(\{a_n\})]과 음이 아닌 정수 [math(m)]에 대하여

[math(a_{k+m}-a_k=md)]
[math(a_k+a_l=a_{k\pm m}+a_{l\mp m})] (복부호 동순)

특히, [math(a_k+a_{k+2}=2a_{k+1})] (등차중항)

특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등차수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등차수열의 합을 구하는 문제로 자주 나온다.

[예제]

-----

[문제]

등차수열 [math(\{a_{n}\})]이 [math(a_{5}+a_{7}=14)]를 만족시킬 때, [math(\displaystyle\sum_{k=1}^{11}a_k)]의 값을 구하시오.

[math(\begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^{11} a_k&=(a_1+a_{11})+(a_2+a_{10})+(a_3+a_9)+(a_4+a_8)+(a_5+a_7)+a_6\\&=\dfrac{11(a_5+a_7)}2=77\end{aligned})]

6. 극한

등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d)]에 대하여 공차가 양수이면 등차수열의 항은 점점 커지고, 음수이면 점점 작아지며, 0이면 일정하므로

[math(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\; &(d>0)\\&a\; &(d=0)\\-&\infty\; &(d<0)\end{aligned}\end{cases})]

7. 등차수열의 합

등차수열의 합은 첫 항과 마지막 항을 더한 뒤 항의 개수를 곱하고 2로 나눈 값인데, 그 이유는 다음과 같다. [math(S_{n})]을 구할 때 첫째 항부터 [math(n)]번째 항까지 차례대로 더하든지 역순으로 더하든지 상관이 없다. [math(a_{n}=l)]이라 하면, [math(l=a+(n-1)d)]이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&a+d&+&a+2d&+&\cdots&+&a+(n-2)d&+&a+(n-1)d&\\ + & S_{n}&=&l&+&l-d&+&l-2d&+&\cdots&+&l-(n-2)d&+&l-(n-1)d&\\ \hline &2S_{n}&=&(a+l)&+&(a+l)&+&(a+l)&+&\cdots&+&(a+l)&+&(a+l) \\ & &=& n(a+l) \end{matrix})]

[math(S_{n})]에 대하여 정리하면,

[math(\displaystyle S_n=\dfrac{n(a+l)}{2} )]

각각 첫 항과 마지막 항을 뜻하는 [math(a)]와 [math(l)]은 [math(n)]에 관한 일차식이 되므로 [math(S_n)]은 이차식이다. [math(l=a+(n-1)d)]를 사용하면, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

[math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]

한편, 수열의 합 공식으로 유도하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n \{a+(k-1)d\}\\&=\displaystyle\sum_{k=1}^n (dk-d+a)\\&=\dfrac{n(n+1)}2d+(a-d)n\\&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n \\ &=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2}\\&=\dfrac{n( a+l )}{2}\end{aligned})]

이 공식은 카를 프리드리히 가우스가 9살 때 스스로 알아내 답한 것으로 유명하다(최초로 발견한 것은 아니었다). 당시 교사가 학생들에게 1부터 100까지 모든 자연수의 합을 구하라고 했는데, 이는 초항이 1이고 제100항이 100이며 등차가 1인 수열의 합을 구하라고 하는 말과 똑같으므로, 이 문단의 맨 위에서 서술한 방법을 생각해, (100×101)/2 = 5050이라는 답을 순식간에 내 버렸다고 한다.

7.1. 공식(합 → 일반항)

여기에서 등차수열의 합에서 등차수열의 일반항을 구하는 유용한 공식이 나온다.

[math(a_n={S_n}'-\dfrac12d)]

쉽게 말해 [math(S_n)]을 미분한 뒤 [math(S_n)]의 최고차항의 계수를 빼면 [math(a_n)]이라는 것이다. 주의할 점은 [math(S_n)]이 첫째 항부터 [math(n)]번째 항까지 더한 값이며, 등차수열의 합이라는 것이다. [math(S_n)]이 첫째 항부터 더한 값이 맞는지 확인해야 하며, 등차수열이 아닌 수열에는 이 공식이 적용되지 않는다. 또한, 엄밀히 말해 이는 미분이 아니다. 미분이란 본디 접선의 기울기를 구하는 계산인데, 이 공식은 그것과 아무 상관이 없기 때문이다. 다시 말해 우연히 미분과 계산이 비슷해진 것일 뿐, 미분의 메커니즘이 수열의 합과 결부되어 나타나는 공식은 결코 아니라는 말이다. 오히려 차분과 거의 동일한 계산 원리다.

7.2. 함수로 해석하기

등차수열의 합 역시 함수로 생각할 수 있는데,

[math(\begin{aligned}S_n&=\dfrac12dn^2+\left(a-\dfrac12d\right)n\end{aligned})]

에 대하여 좌표평면에 [math((n, \, S_n))]을 나타내면 다음과 같다.

각 점의 [math(n)]좌표는 몇 번째 항까지의 합인지를, [math(S_n)]좌표는 합의 값을 나타낸다. 등차수열의 합은 이차식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 이차함수의 그래프 위에 있다. 이렇게 보면, 등차수열의 합은 자연수만을 정의역으로 하는 상수항이 0인 이차함수이다.

7.3. 제2항부터 등차수열인 경우

앞서 밝혔듯이 등차수열 [math(a_n=a+(n-1)d\;(ad\neq 0))]의 합은

[math(S_n=\dfrac{n\{ 2a+(n-1)d \}}{2})]

이기 때문에 [math(S_n)]은 상수항이 없는 이차식이다. 그렇다면 [math(S_n)]이 상수항이 있는 이차식이면 어떨까?

[math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn})]이면

[math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 1)})]

[math(\boldsymbol{S_n=an^2+bn+c\;(c\neq 0)})]이면

[math(a_n)]은 등차수열 [math(\boldsymbol{(n\geq 2)})]
[math(a_1=S_1)]

전자와 후자를 비교해 보자. [math(a_n=S_n-S_{n-1})]이므로 뒤에 [math(+c)]가 붙든 안 붙든 [math(a_n=2an+b-a)]로 똑같은 값이 된다. 그러나 [math(S_0)]이란 정의되지 않기 때문에 [math(\boldsymbol{a_n=S_n-S_{n-1}})]로 [math(\boldsymbol{a_1})]을 구할 수가 없고, [math(\boldsymbol{a_1=S_1})]임을 이용해야 한다. 따라서 [math(a_1)]의 값은 [math(S_1)]과 마찬가지로 [math(c)]만큼의 차이가 나며, [math(a_2)]부터는 모든 항이 같다.

다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.

[math(S_n=n^2+n)]	[math(a_1(=S_1))]	[math(a_2)]	[math(a_3)]	[math(a_4)]	[math(\cdots)]
[math(S_n=n^2+n)]	[math({\color{red} 2})]	[math(4)]	[math(6)]	[math(8)]	[math(\cdots)]
[math(S_n=n^2+n+{\color{red} 1})]	[math(a_1(=S_1))]	[math(a_2)]	[math(a_3)]	[math(a_4)]	[math(\cdots)]
[math(S_n=n^2+n+{\color{red} 1})]	[math({\color{red} 3})]	[math(4)]	[math(6)]	[math(8)]	[math(\cdots)]

[math(a_n)]의 다른 모든 항은 같고 [math(a_1)]만이 1의 차이가 나므로 [math(S_n)] 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.

7.4. 등차수열의 합의 최대·최소

앞서 밝혔듯이 등차수열의 합 [math(S_n)]은 이차식이므로, 최댓값 또는 최솟값이 존재한다. 일반적인 이차함수라면 무조건 최댓값 혹은 최솟값이 존재하지만, 등차수열의 합 [math(S_n)]은 자연수만을 정의역으로 하는 함수로 간주해야 하기에 성격이 다른 점만 주의하면 된다.

[math(\boldsymbol{S_n})]이 감소하다가 증가

[math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 음수이다가 양수가 됨
공차가 양수
최솟값이 존재
최댓값은 존재하지 않음

[math(\boldsymbol{S_n})]이 증가하다가 감소

[math(k)]가 커지면 [math(a_k)]의 값이 양수이다가 음수가 됨
공차가 음수
최댓값이 존재
최솟값은 존재하지 않음

[math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 증가

공차가 양수
최솟값은 [math(S_1)]
최댓값은 존재하지 않음

[math(\boldsymbol{S_n})]이 계속 감소

공차가 음수
최댓값은 [math(S_1)]
최솟값은 존재하지 않음

[math(\boldsymbol{S_n})]이 일정

모든 항이 0, 공차도 0
최솟값과 최댓값은 모두 0

공차가 양수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 양수이므로 그래프가 아래로 볼록하고, 공차가 음수이면 [math(S_n)]의 최고차항의 계수도 음수이므로 그래프가 위로 볼록하다. 실수 전체를 정의역으로 하여 [math(S_n)]의 그래프를 그리면, 최댓값 혹은 최솟값이 존재하는 경우에 한하여 [math(x)]좌표가 자연수이고 꼭짓점과의 [math(y)]좌표의 차가 가장 작은 점의 [math(y)]좌표가 등차수열의 합의 최댓값 혹은 최솟값이 된다.

8. 활용

자세한 내용은 원리합계 문서 참고하십시오.

9. 기타

[math(a_n)]이 등차수열이면 0이 아닌 상수 [math(k)]에 대하여 [math(k^{a_n})]은 등비수열이다.
초등학교 때 뛰어 세기를 통해 같은 수를 반복적으로 더하는 조작을 체득하고, 이를 밑바탕으로 하여 2015 개정 교육과정에 따라 고2 이상에서 수학Ⅰ에서 등차수열을 배운다.
등차수열의 합 공식을 유도하는 과정에 대한 에피소드가 유명하다. 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스가 어릴 적에 '1부터 100까지 다 더하라'는 선생의 지시에 이 아이디어를 떠올리고 금방 5050이라고 답했다고 한다.
좌표평면에서 이차함수의 그래프 위의 점들을 이은 다각형에 대하여, 꼭짓점의 개수와 좌우 양끝 점의 [math(x)]좌표가 고정되어 있을 때 다각형의 넓이가 최대가 되려면 다각형의 모든 꼭짓점의 [math(x)]좌표가 등차수열을 이루어야 한다. 특히, 삼각형에 대해서는 양끝 점이 고정되어 있을 때 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 나머지 한 점의 [math(x)]좌표는 양끝 점의 [math(x)]좌표의 평균이다. 이에 대한 자세한 설명은 다항함수/공식 참고.