1. 개요
Feynman-Dyson Series프리드먼-다이슨 시리즈 (Feynman-Dyson Series)는 양자역학과 양자장론에서 시간의존 섭동이론을 설명하는 데 사용되는 무한 급수이다. 이 시리즈는 슈뢰딩거 방정식을 섭동 이론으로 풀 때 등장하며, 파인만 도형과 밀접한 관련이 있다. 이는 양자계의 동역학적 진화를 계산하는 데 핵심적인 역할을 한다.
2. 정의
2.1. 시간 의존 섭동 이론
양자계에서 시간 의존 해밀토니언 [math(H(t) = H_0 + V(t))]이 주어졌을 때, 프리드먼-다이슨 시리즈는 시간 발전 연산자 [math(U(t, t_0))]를 다음과 같이 표현한다:[math(U(t, t_0) = \mathcal{T} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt' \right))]
여기서:
- [math(H_0)]: 자유 해밀토니언 (non-interacting Hamiltonian)
- [math(V(t))]: 시간 의존 섭동 항 (time-dependent perturbation term)
- [math(\mathcal{T})]: 시간 순서 연산자 (time-ordering operator)
2.2. 프리드먼-다이슨 시리즈의 전개
시간 순서 연산자를 확장하여 프리드먼-다이슨 시리즈를 다음과 같이 표현할 수 있다:[math(U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t V(t_1) dt_1 + \left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 V(t_1) V(t_2) + \cdots)]
이는 무한 급수 형태를 가지며, 각각의 항은 섭동 차수를 나타낸다.
3. 성질
3.1. 선형성
프리드먼-다이슨 시리즈는 선형성을 가진다. 즉, 초기 상태의 선형 결합은 시리즈 항의 선형 결합으로 변환된다:[math(U(t, t_0)(a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle) = aU(t, t_0)|\psi_1\rangle + bU(t, t_0)|\psi_2\rangle)]
3.2. 시간 순서 연산자의 역할
시간 순서 연산자는 시리즈의 각 항이 시간 순서대로 정렬되도록 보장한다. 이는 섭동 이론에서 상호작용의 순서를 정확히 유지하는 데 필수적이다.3.3. 수렴성
프리드먼-다이슨 시리즈의 수렴성은 섭동 항 [math(V(t))]의 크기와 시스템의 성질에 따라 달라진다. 일반적으로 고차 항은 작아지지만, 특정 조건에서 급수가 발산할 수 있다.4. 예시
4.1. 1차 섭동
1차 섭동항은 다음과 같이 주어진다:[math(U^{(1)}(t, t_0) = -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t V(t_1) dt_1)]
이는 섭동이 작은 경우에 주된 기여를 한다.
4.2. 2차 섭동
2차 섭동항은 다음과 같다:[math(U^{(2)}(t, t_0) = \left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 V(t_1)V(t_2)]
이는 두 번의 상호작용을 고려한 결과를 나타낸다.