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1. 개요
일반 상대성 이론에서 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker Metric, FLRW 계량)[1]은 공간에 대한 균질성과 등방성을 만족시키는 계량 텐서장으로, 물리 우주론에서 우주의 기하학적 특성을 설명하기 위한 기초 모형이다.2. 내용
FLRW 계량은 일반 상대성 이론의 이론적 프레임 내에서 현재 알려진 우주의 기하학적, 혹은 운동학적 특성(우주 원리, 허블-르메트르 법칙, 공간의 곡률)을 충분히 담아낼 수 있도록 일반화된 모형이다. 예를 들어 아인슈타인의 실린더 계량(정적 우주론 참고)은 FLRW 계량의 특수한 경우로 우주 원리를 만족시키지만 허블-르메트르 법칙은 표현할 수 없다.FLRW 계량으로는 우주의 운동학적 현상을 표현할 수는 있지만 그것의 역학을 설명할 수 없다. 그 동역학을 결정지을 우주 내 물질을 연결하려면 아인슈타인 방정식에 계량과 물질을 각각 대입하여 얻는 해를 확인해야 한다. 그 결과로 얻는 것이 프리드만 방정식이다.
3. 유도
현대 우주론의 대전제인 우주 원리(cosmological principle)에 따르면, 우주는 거시적 수준에서 균일(homogeneous)하고 등방(isotropic)적이라고 가정할 수 있다. 이는 우주의 구성 물질 뿐 아니라 우주 배경을 나타내는 시공간 또한 그러해야 한다. 여기에, 관측 법칙인 허블-르메트르 법칙을 추가할 수 있다.위의 전제들을 좀 더 구체적으로 표현하면 다음과 같다.
1. 시공간을 각각의 시간 [math(t)]에 대하여 균일하고 등방적인 3차원 초곡면 [math(\Sigma_t)]로 나눌 수 있다. 이는 우리가 사용할 우주 좌표계의 동시성을 정의한다. (특수 상대성 이론에 따라, 다른 동시성에서는 이 전제가 깨질 수 있다. 우리는 우주 원리가 성립하는 특수하고 간편한 좌표계를 원한다.)
2. 위와 같이 정의된 동시성에서 우주의 물질 전체는 허블-르메트르 법칙을 잘 따르며 평균적으로 정지해 있다. 이것을 실질적으로는 우주배경복사(CMB)가 정지한 좌표계로 해석할 수 있다.
2. 위와 같이 정의된 동시성에서 우주의 물질 전체는 허블-르메트르 법칙을 잘 따르며 평균적으로 정지해 있다. 이것을 실질적으로는 우주배경복사(CMB)가 정지한 좌표계로 해석할 수 있다.
이로부터 기본적인 계량의 구조를 추정할 수 있다.
[math(ds^2 = -dt^{2} + a^{2}(t)h_{ij}dx^{i}dx^{j})]
따라서 적당히 정한 [math(t = t_{0})]에 대하여 기준 scale [math(h_{ij}(t_0))]을 정하고, 여기에 시간에 따른 scale factor [math(a(t))][2]를 곱해 위와 같은 공간 성분 계량을 유도해낼 수 있다. 또한 시간 축은 각 초곡면에 수직일 것이므로[3] 시간축과 공간축의 내적은 [math(g_{0i} = 0)]이다.
이제, [math(h_{ij})]를 구해보자. metric 자체가 등방적이므로, [math(h_{ij})]는 원점에 대한 구 대칭이어야 한다. 한편 구 대칭 계량(공간 성분)의 일반형은
[math(\displaystyle dl^2 = e^{2\Lambda(r)}dr^2+r^2d\Omega^2)]
으로 주어진다. 여기에는 균질성 조건을 넣지 않은 상태인데, 이는 (3차원 공간, 즉 [math(dl^2)]에 대한) 리치 스칼라 [math(R = R^{\,i}_i)]가 균일하다는 조건으로 바꿀 수 있다. 이 자체는 우주의 균질성을 만족시키기 위한 필요조건이지만, 결과적으로 충분조건이 된다. 이제 이 일반형으로 3차원 리치 스칼라를 계산하면
[math(\displaystyle R = \frac{2}{r^2}[1 - (re^{-2\Lambda})'] = 6k)]
라 둘 수 있다. [math(k)]는 곡률 상수라 부른다(딱봐도 스칼라 곡률의 배수이다. 아인슈타인 방정식의 비례상수 [math(\kappa)]와 혼동하지 말 것). 여기서 [math(\displaystyle dl^2(t_{0}) = h_{ij}dx^{i}dx^{j} = \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2)]이라 두면
[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
를 얻는다. 이것이 FLRW 계량이다. 이제 우주의 전체 (공간) 구조를 [math(k = -1, 0, 1)] 세 경우에 대한 계량으로 분류할 수 있다. (이외는 함수 계수를 바꾸면 이 셋 중 하나로 바뀐다.)
| [math(k)] | 치환 | 초곡면 계량 | 우주 모델 |
| [math(k = 0)] | - | [math(dl^2 = a^2(t)(dr^2 + r^2 d\Omega^2))] | 평평한 우주 |
| [math(k = 1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 - r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sin}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 닫힌 우주 |
| [math(k = -1)] | [math(\displaystyle d\chi^2 = \frac{dr^2}{1 + r^2})] | [math(dl^2 = a^2(t)(d\chi^2 + \mathrm{sinh}^2 \chi \,d\Omega^2))] | 열린 우주 |