배수(수학)

1. 개요

2. 배수 판별법

• 1의 배수: 모든 자연수(정수). 1은 곱셈의 항등원이다.
• 2의 배수: '일의 자리'가 0 또는 2의 배수(2, 4, 6, 8), 즉 모든 짝수가 2의 배수다.
• 2의 거듭 제곱(n = 2^m = 2, 4, 8, 16, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.
• {{{#!folding 2의 거듭 제곱의 배수 (다른 판별법) [ 펼치기 · 접기 ]

(n = 2^m = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128...) 배수
• 4의 배수: 십의 자리와 일의 자리가 모두 0인 수, 십의 자리가 홀수면 일의 자리가 2 또는 6, 십의 자리가 짝수면 일의 자리가 0, 4, 또는 8인 수.[4]
• 8의 배수: 십의 자리를 2배한 수를 a라고 놓고 그 a에 일의 자리를 더한 수를 b라고 놓는다. 만약 백의 자리가 홀수이면 b가 4의 배수이되 8의 배수는 아닐 경우, 백의 자리가 없거나 짝수이면 b가 0이거나 8의 배수일 경우 8의 배수다.[5]
  더 간단히 판별하자면, 백의 자리가 없거나 짝수이면 끝의 두 자리(십의 자리와 일의 자리)가 8의 배수일 경우, 백의 자리가 홀수이면 끝의 두 자리만 취한 값에서 4를 더한 값이 8의 배수일 경우 8의 배수다.
• 16의 배수: 우선 끝의 두 자리만 취한 값을 a로 놓는다. 그리고 끝의 네 자리 중 앞의 두 자리(천의 자리와 백의 자리)를 b로 놓고 b를 4로 나눈 다음 그 나머지에 4를 곱해서 a에 더해 본다. 그 결과 a가 0이거나 16의 배수이면 그 수는 16의 배수다.[6]
  다른 방법으로는, 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 bc×4+de=16×k.
• 32의 배수: 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 4(abc)+de=32k.
• 64의 배수: 십만의 자리와 만의 자리와 천의 자리와 백의 자리를 떼어낸 후 4를 곱하고 나서 십의 자리와 일의 자리를 더한다. 예를 들어 abcdef가 있다면 4(abcd)+ef=64k.
  }}}
• 5의 배수: '일의 자리'가 5 또는 0인 수.
• 5의 거듭 제곱(n = 5^m = 5, 25, 125, ...) 배수 : 끝 m자리가 n의 배수인 수.
• 10의 배수: 두 자리 이상이면서 '일의 자리'가 0인 수[7]
• 10의 거듭 제곱(n = 10^m = 10, 100, 1 000, ...) 배수 : 끝 m자리가 모두 0인 수.

• 3의 배수: 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수.[8] 나온 수로도 짐작이 안 될 경우엔 반복하면 된다.
  더 쉽게 판별하려면, 먼저 0, 3, 6, 9를 지운 뒤에 남은 자릿수를 3의 배수가 되도록 묶는다.
• 9의 배수: (3의 배수 중) 각 자릿수의 합이 9의 배수인 수.[9] 한자리 수가 나올 때까지 반복 작업할 경우 최종적으로 9가 나오는 수.
• 11의 배수: 짝수 자리(십, 천, 십만, 천만, ...)의 숫자들의 합과 홀수 자리(일, 백, 만, 백만, 억, ...)의 숫자들의 합의 차가 11의 배수인 수.[10][11]
  다른 방법으로는 일의 자리를 제외한 뒤 남은 숫자에 본래의 수의 일의 자리를 빼서 11의 배수로 나오는 수도 있다.[12][13]

• 6의 배수: 각 자릿수의 합이 3의 배수인 수 중 짝수인 수. 즉 2와 3의 공배수.[14]
  이러한 서로소인 두 수 이상의 곱으로 나타낼 수 있는 수는 해당 수의 유니타리 약수의 공배수임을 이용하면 된다.

• 7의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 뺀다.[15] 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-2e=7k[16]. 쉽게 설명하자면 임의의 수 a가 7의 배수인지를 판별하고자 할 때 a를 10으로 나눈 값을 b라고 놓고 그 나머지를 c라고 놓는다면 b에서 c를 2배한 값을 뺐을 때 그 값이 0이거나 7의 배수면 a는 7의 배수가 된다.[17] 이 숫자로도 짐작이 안 간다면 이를 반복, 그 결과가 7의 배수면 여태 거쳐온 숫자들도 전부 7의 배수다.
  다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리 씩 나눠 묶은 뒤 교대로 빼고 더한 값이 7의 배수이면 본래의 수도 7의 배수다(네 자리 수 이상인 경우에만).[18] 자세한 설명은 이 문단 끝에 있는 링크를 들어가서 확인하자. 사실상 너무 어렵기 때문에 직접 나눠보는게 더 빠르다.
• 13의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 일의 자리 숫자를 4배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+4e=13k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
  다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리 씩 나눠 묶은 뒤 교대로 빼고 더한 값이 13의 배수이면 본래의 수도 13의 배수다(네 자리 수 이상인 경우에만).
• 17의 배수: 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-5e=17k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 19의 배수: 7의 배수판정법과 반대이다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+2e=19k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 21의 배수: 7의 배수판정법과 동일하게 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤, 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 빼고, 각 자릿수를 더했을시, 3의 배수가 되면 그 수도 21의 배수이다.
• 23의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자의 2배를 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abcd)-2e=23k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
  다른 방법으로는 일의 자리 숫자를 제외한, 후 이 제외된 숫자에서 일의 자리 숫자의 7배를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+7e=23k. 얼마든지 반복할 수 있다.
• 27의 배수: 9의 배수의 확장 버전. 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 27의 배수이면 된다.
  다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-8e=27k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 29의 배수: 7의 배수판정법과 반대다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+3e=29k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 31의 배수: 7의 배수판정법과 비슷하게, 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-3e=31k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 33의 배수: 27의 배수 판정법과 비슷하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 합이 33의 배수인 경우. 예를 들어 abcde가 있다면 a+bc+de=33k
• 37의 배수: 27의 배수와 똑같이, 4자리 이상일 경우 일의 자리에서부터 수를 세 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 37의 배수이면 된다.
  다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 11배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-11e=37k. 역시 얼마든지 반복할 수 있다.
• 41의 배수: 여섯 자리 수 이상인 경우 다섯 자리씩 나눠 묶은 후 이들을 더한 값이 41의 배수이면 된다.

다른 방법으로는 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 4배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-4e=41k.
• 43의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+13e=43k.
  다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 3배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abc-3(de)=43k.[19] 역시 반복할 수 있다.
• 47의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 14배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-14e=47k.
  다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외하고 남은 숫자를 6배 한 뒤 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 6(abc)+de=47k.[20] 역시 반복할 수 있다.
• 49의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+5e=49k.
  다른 방법으로는 47의 배수 판정법과 마찬가지로 일의 자리와 십의 자리의 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 2배 한 뒤 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 2(abc)+de=49k.
• 51의 배수: 17의 배수판정법과 동일하게 일의 자리 숫자를 제외한 뒤에 이 제외된 숫자를 5배하여 남은 숫자에서 뺀 값이 51의 배수이면 본래의 수도 51의 배수다.
• 53의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 16배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+16e=53k.
  다른 방법으로는 47의 배수 판정법과 반대로 일의 자리와 십의 자리를 제외하고 남은 숫자를 6배 한 뒤 제외된 숫자를 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 6(abc)-de=53k.
• 59의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+6e=59k.
• 61의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 6배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-6×e=61k.
• 67의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 20배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-20e=67k.
  다른 방법으로는 일의 자리와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 2배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abc-2(de)=67k.
• 71의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 7배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-7e=71k.
• 73의 배수: 7의 배수 판정법과 비슷하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=73k
• 77의 배수: 7의 배수 판정법과 동일하게 세 자리 씩 끊어서 교대로 빼고 더한 값이 77의 배수인 경우.
• 79의 배수: 19의 배수 판정법과 비슷하다. 일의 자리 숫자를 제외한 후, 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+8e=79k.
• 81의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 8배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-8e=81k.
• 83의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 25배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+25e=83k.
• 89의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd+9e=89k.
• 91의 배수: 일의 자리 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 9배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-9e=91k.
  다른 방법으로는 7의 배수 판정법과 동일하게 일의 자리부터 세 자리 씩 묶은 뒤 교대로 빼고 더하고를 반복한다.
• 97의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 29배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-29e=97k.
  다른 방법으로는 마지막 두 자리 숫자를 제외한 후, 남은 숫자를 3배하여 제외된 숫자를 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abc)+de=97k
• 99의 배수: 33의 배수 판정법과 동일하게 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 더한 값이 99의 배수인 경우.
• 101의 배수: 일의 자리부터 두 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한다. 예를 들어 abcde가 있다면 de-bc+a=101k.
• 103의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 3배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 3(abc)-de=103k.
• 107의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 7배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 7(abc)-de=107k.
• 109의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 9배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 9(abc)-de=109k.
• 111의 배수: 일의 자리부터 세 자리 씩 끊은 뒤에 더한다. 이 값이 111의 배수이면 본래의 수도 111의 배수다.
• 113의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 13배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 13(abc)-de=113k.
• 121의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 12배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-12e=121k.
• 127의 배수: 일의 자리의 숫자와 십의 자리 숫자를 제외한 뒤 남은 숫자를 27배하여 제외된 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 27(abc)-de=127k.
• 131의 배수: 일의 자리의 숫자를 제외한 뒤 이 제외된 숫자를 13배하여 남은 숫자에서 뺀다. 예를 들어 abcde가 있다면 abcd-13e=131k.
• 137의 배수: 73의 배수 판정법과 동일하게 네 자리 씩 끊어서 오른쪽부터 교대로 빼고 더하고를 반복한다. 예를 들어 abcdefghi가 있다면 fghi-bcde+a=137k

2.1. 법칙

• 서로소인 자연수 a₁, a₂, ..., a_n과 음이 아닌 정수 b₁, b₂, ..., b_n에 대하여 어떤 자연수 c가 a₁^b₁×a₂^b₂×...×a_n^b_n의 배수일 필요충분조건은 c가 a₁^b₁, a₂^b₂, ..., a_n^b_n의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 어떤 자연수가 200=2³×5²의 배수일 필요충분조건은 그 자연수가 8=2³의 배수이면서 25=5²의 배수여야 한다는 것이다.
• 2 이상의 자연수 n에 대하여 n진법에서 (n-1)의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 (n-1)의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 십진법에서는 9의 배수일 필요충분조건은 각 자릿수의 합이 9의 배수여야 한다는 것이다.
• n진법에서 1부터 수를 세어 나가면 1, 2, 3, ..., (n-1), 10, 11, ...이 되는데, 여기서 값이 1 증가할 때 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌지 않으면 각 자릿수의 합은 1 증가한다. 또 특정 자릿수의 값이 (n-1)에서 0으로 바뀌는 경우, 나머지 자릿수 중 값이 1 증가하는 것이 하나 있기 때문에 각 자릿수의 합을 (n-1)로 나눈 나머지는 1 증가한다. 여기서 (n-1)은 (n-1)의 배수이므로 이것이 성립한다.
• 이를 확장하면 n진법에서 n^k-1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 99=10²-1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 그 수들의 합이 99의 배수이면 99의 배수인 것이고, 이로부터 당연히 그 약수인 11의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 15048은 두 자리씩 묶으면 1, 50, 48이고 1+50+48=99이므로 15048은 99의 배수이다. 위의 27, 37도 999의 약수이며, 303, 909의 배수, 41, 123, 271의 배수판정법 역시 이를 이용할 수 있다. 이론상 n진법에서 n과 서로소인 모든 수[21]에 적용이 가능하지만 그 수의 순환마디가 너무 긴 경우 적용하기 곤란해진다.[22]
• 이와 비슷하게 n진법에서 n^k+1(k는 자연수) 또는 그 약수의 배수인지를 판정할 수 있다. 예를 들어 십진법에서 101=10²+1의 배수인지를 판정하려면 일의 자리부터 두 자리씩 묶어서 오른쪽부터 나열한 뒤 빼고 더하고를 교대로 반복한 값이 101의 배수이면 101의 배수임을 알 수 있다. 예를 들어 34643을 두 자리씩 묶은 뒤 오른쪽부터 배열하면 43, 46, 3이고 43-46+3=0이므로 34643은 101의 배수이다. 위의 7, 11, 13, 77, 91, 143의 배수 판정법도 이 방법을 이용할 수 있으며, 73, 137, 9091 역시 이 방법을 이용한 것. 이 방법은 n진법에서 n과 서로소인 자연수여서 역수를 소수로 표현하면 순순환소수가 되면서 순환마디가 짝수인 모든 수에 적용할 수 있다. 물론 순환마디가 너무 길 경우 이 방법을 적용하기 어렵다.[23]
• 2ⁿ 또는 5ⁿ 꼴의 경우 일의 자리부터 n개 자리의 값, 즉 그 수를 10ⁿ으로 나눈 나머지가 그 수의 배수여야 한다. 예를 들어 112800은 일의 자리부터 만의 자리까지 5개 자리의 값이 12800이고, 이는 32의 배수이므로 2⁵=32의 배수이다.

3. 관련 문서

• 최소공배수
• 약수(수학)
• 소인수분해
• 산술의 기본정리