최근 수정 시각 : 2025-05-06 16:00:16

로그함수

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1. 개요2. 그래프의 특징
2.1. 로그 나선
3. 극한값
3.1. 특수한 함수의 극한
4. 미적분5. 기타6. 관련 문서

1. 개요

로그함수(logarithmic function)는 진수에 변수 [math(x)]가 있는 함수를 의미한다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned}
f(x) = \log_ax \qquad (x>0, a>0, a\ne1)
\end{aligned} )][1]로 잡았을 때, [math(\log_{-1}e=\dfrac{\log_e e}{\log_e{-1}}=\dfrac1{\pi i}=-\dfrac i\pi)]이다. 오일러 등식을 적용하면 안 되는 것이, 편각이 주기 [math(2\pi)]인 다가 함수(즉, [math(e^{\pi i}=-1)]이 아니라 [math(e^{(2n+1)\pi i}=-1)])이기 때문이다. 자세한 내용은 복소로그함수 참고.]
꼴로 표현되는 함수를 의미한다. (로그의 정의는 로그(수학) 문서 참고.)

특히, 밑이 [math(a=e)]인 경우에 한해선

[math(\ln x:= \log_e x)]

로 쓰고 자연로그라고 부른다. 그러나 대학 수학 이상에서는 필요한 분야 외에는 상용로그를 쓸 일이 거의 없기 때문에 자연로그를 [math(\log)]라고 쓰는 것이 흔하다. 또한 정보이론이나 컴퓨터과학에서는 밑이 2인 로그 [math(log_2)]를 흔히 쓰므로 이를 [math(\rm lb)] 혹은 [math(\rm lg)][2]로 나타내기도 한다.

지수함수와 마찬가지로 유한 차수 다항식으로 표현할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다.

대한민국의 고교 과정 수학에서는 편의상 함수의 거듭제곱 표기를 함수의 합성을 나타내는 데 사용하지만, 일반적으로 함수의 거듭제곱 표기는 함수의 결과값의 거듭제곱으로 쓰인다. 로그함수도 마찬가지다. 이를테면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\log_a}^2\,x &= (\log_ax)^2 \\
&\ne (\log_a\circ\log_a)(x) = \log_a(\log_ax)
\end{aligned} )]
로그의 합성의 경우, 보통 괄호나 고리점 없이 다음처럼 쓴다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\ln\ln x &= \ln(\ln x) = (\ln\circ\ln)(x) \\
\log\log x &= \log(\log x) = (\log\circ\log)(x)
\end{aligned} )]

고등학교 교육과정 수준에서 자세히 설명한 영상.

2. 그래프의 특징

파일:namu_log_x_a>0.png 파일:namu_log_x_0<a<1.png
[math(\boldsymbol{a>1})]일 때 그래프 개형 [math(\boldsymbol{0<a<1})]일 때 그래프 개형
파일:Complex_log.jpg 파일:Riemann_surface_log.svg
복소평면에서의 그래프 개형[3]
[math(f(x) = \log_ax)]의 그래프는 다음과 같은 성질이 있다.
  • [math(a^0 = 1 \Leftrightarrow \log_a1 = 0)]이므로, [math(a)]의 값에 관계 없이 점 [math((1,0))]을 지난다.
  • [math(a^1 = a \Leftrightarrow \log_aa = 1)]이므로, 점 [math((a,1))]을 지난다.
  • [math(a^{-1} = \dfrac1a \Leftrightarrow \log_a\dfrac1a = -1)]이므로, 점 [math(\biggl(\dfrac1a,-1\biggr))]을 지난다.
  • [math(a>1)]이면 단조증가하고, [math(0<a<1)]이면 단조감소한다.
  • 밑에 관계없이 [math(\log_ax = -\log_a\dfrac1x)]이다.
  • 지수함수 [math(f(x) = a^x)]와 서로 역함수 관계에 있으므로, 해당 그래프와는 직선 [math(y=x)]를 기준으로 대칭이다. 즉, 밑이 [math(0)]보다 크고 서로 같다면 지수함수의 [math(x)]좌표 = 로그함수의 [math(y)]좌표, 지수함수의 [math(y)]좌표 = 로그함수의 [math(x)]좌표인 것이다.
    • [math(a \in (0,1) \cup (1,\sqrt[e]e\,])]일 경우, 밑이 [math(a)]인 지수함수와 반드시 하나 이상의 교점을 갖는다.[4]
      • [math(a \in (1,\sqrt[e]e\;\!))]인 경우, 두 개의 교점을 갖는다.

2.1. 로그 나선

파일:나무_로그나선.png
상수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 로그함수
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\theta(r)= b\ln(ar)
\end{aligned} )]
를 극좌표에 나타낼 경우 그 그래프는 위와 같은 나선을 그리게 된다. 나선모양 자체는 증가함수나 감소함수가 극좌표상에서 그려지는 일반적인 모양이므로 특별할 것은 아니지만, 야코프 베르누이는 로그함수에 의한 나선모양을 'spira mirabilis', 즉 '경이로운 나선(miraculous spiral)'이라 칭송한다. 이는 로그나선이 가진 자기유사성 때문이다.

구체적으로, 그래프를 원점을 중심으로 확대 혹은 축소하더라도 자기 자신과 합동이 된다. 여러 프랙탈 도형들이 그렇듯 로그나선 또한 자연에서 흔히 나타나는 도형이라고 여겨지고 있다. 대표적으로 앵무조개가 있다.
파일:앵무조개 껍데기.jpg

원점에서 나선 위의 임의의 한 점을 이은 직선과 그 점에서의 접선이 이루는 각은 항상 일정하다. 이때 그 각을 [math(\alpha)]라 하면 위 식에서 [math(b=\tan\alpha)]로 주어진다.

여담으로 야코프 베르누이는 이 경이로운 나선을 자신의 묘비에 새기길 바랐지만, 묘비에는 로그나선 대신 아르키메데스 나선이라는 엉뚱한 나선이 새겨졌다고 한다.

3. 극한값

  • [math(a>1)]인 경우
    • [math(\lim\limits_{x\to\infty} \log_ax = \infty)]
    • [math(\lim\limits_{x\to0^+} \log_ax = -\infty)]
  • [math(0<a<1)]인 경우
    • [math(\lim\limits_{x\to\infty} \log_ax = -\infty)]
    • [math(\lim\limits_{x\to 0^+} \log_ax = \infty)]
  • [math(a>1)]일 때[5], 임의의 실수 [math(p>0)]에 대해 [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\log_ax}{x^p} = 0)]
    • 통계학의 점근이론 등에 쓰이는 중요한 성질 중 하나로, 매우 느리게 증가함을 의미한다. 분자와 분모 둘 다 증가함수지만, 분모가 증가하는 속도가 분자의 증가 속도보다 훨씬 빠르다는 말이다. 여기서 포인트는 [math(p)]가 [math(0)]보다 큰 임의의 실수라는 것. 즉, 로그함수는 직선 [math(y = x)]보다도 느리게 증가하고, 제곱근함수 [math(y = \sqrt x)]보다도 느리게 증가한다.
    • 그래서 역함수인 지수함수는 성질이 정반대이다. 즉, 지수함수의 증가는 어떠한 다항함수의 증가보다도 훨씬 빠르다.
  • [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi(x)}{x/{\ln x}} = 1)] (소수 정리[6][7])
    • 충분히 큰 어떤 양수 [math(x)]에 대해, 그 수보다 작거나 같은 소수의 개수를 [math(x/{\ln x})]의 값으로 근사시킬 수 있다는 의미이다.[8]
  • [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Biggl( \sum_{k=1}^n \frac1k -\ln n \Biggr) \!= \gamma)] (오일러-마스케로니 상수)
    • 반비례 관계 그래프와 접하는 자연수 막대들을 자연로그 그래프 모양으로 잘라낸 조각을 모아 그 넓이를 모두 합하면 특정한 수가 된다는 의미이다.

3.1. 특수한 함수의 극한

다음 극한을 고려해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1)}x
\end{aligned} )]
식을 변형하면, 아래와 같은 극한 값을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1)}x &= \lim_{x\to0} \frac1x \ln(x+1) \\
&= \lim_{x\to0} \ln(x+1)^{1/x} \\
&= \ln \Bigl[ \lim_{x\to0} (x+1)^{1/x} \Bigr] \\
&= \ln e \\
&=1
\end{aligned} )]
식의 전개에서 로그의 성질 및 [math(e)]의 극한을 이용한 정의를 사용했다.

또 다른 극한
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{\log_a(x+1)}x
\end{aligned} )]
의 경우, 위 결과에서 로그의 밑이 [math(e)]에서 [math(a)]로 바뀐 형태이므로 간단한 계산을 통해 그 결과를 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{\log_a(x+1)}x &= \lim_{x\to0} \frac1x \frac{\ln(x+1)}{\ln a} \\
&= \frac1{\ln a} \lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1)}x \\
&= \frac1{\ln a} \cdot 1 \\
&= \frac1{\ln a}
\end{aligned} )]

위 결과를 사용하여
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}x
\end{aligned} )]
의 값을 구해보자. [math(e^x-1 = t)]로 치환하면, [math(x\to0)]일 때 [math(t\to0)]이고, [math(x=\ln(t+1))]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}x &= \lim_{t\to0} \frac t{\ln(t+1)} \\
&= \lim_{x\to0} \frac1{\dfrac{\ln(t+1)}t} \\
&= \frac1{\lim\limits_{t\to0} \dfrac{\ln(t+1)}t} \\
&= \frac11 \\
&= 1
\end{aligned} )]
임을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 극한 식이 의미하는 바가 무엇인지 살펴보자. 극한 식을 다음과 같은 형태로 쓰면
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}x = \lim_{x\to0} \frac{e^x-e^0}{x-0}
\end{aligned} )]
이는 곧 함수 [math(y = e^x)]의 [math(x = 0)]에서의 미분계수 혹은 접선의 기울기를 구하는 것과 같다는 것을 알 수 있다.

같은 방법으로, [math(a^x-1 = t)]로 치환하면 [math(x\to0)]일 때 [math(t\to0)]이고, [math(x=\log_a(t+1))]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{a^x-1}x &= \lim_{t\to0} \frac t{\log_a(t+1)} \\
&= \lim_{x\to0} \frac1{\dfrac{\log_a(t+1)}t} \\
&= \frac1{\lim\limits_{t\to0} \dfrac{\log_a(t+1)}t} \\
&= \frac1{\dfrac1{\ln a}} \\
&= \ln a
\end{aligned} )]
임을 얻을 수 있고, 이는 [math(y = a^x)]의 [math(x = 0)]에서의 미분계수 혹은 접선의 기울기를 구한 것과 같다.

이상의 문단을 정리하면 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\lim_{x\to0} \frac{\ln(x+1)}x &= 1 \\
\lim_{x\to0} \frac{\log_a(x+1)}x &= \frac1{\ln a} \\
\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}x &= 1 \\
\lim_{x\to0} \frac{a^x-1}x &= \ln a
\end{aligned} )]

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{{{#!wiki style="display: inline-block"
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[[https://namu.wiki/w/|]]}}}{{{#!if external != "o"
[[]]}}}}}} 문서의 {{{#!if uuid50 == null
'''uuid50 not found'''}}}{{{#!if uuid50 != null
[[https://namu.wiki/w/?uuid=|r]]}}} 판{{{#!if paragraph50 != null
, [[https://namu.wiki/w/?uuid=#s-|번 문단]]}}} ([[https://namu.wiki/history/?from=|이전 역사]])}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

4. 미적분

  • 간단한 꼴의 미분
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x &= \frac1x \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax &= \frac1{x\ln a} \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) &= \frac b{(bx+c)\ln a}
\end{aligned} )]||
  • 도함수의 정의 사용
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(x+h)-\ln x}h = \lim_{h\to0} \frac1h (\ln(x+h)-\ln x) \\
&= \lim_{h\to0} \frac1h \ln\biggl( \frac{x+h}x \biggr) \!= \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac1h} \\
&= \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh \frac1x} = \lim_{h\to0} \frac1x \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh} \\
&= \frac1x \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh} = \frac1x \cdot \ln e \\
&= \frac1x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
  • 한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} \frac{\ln x}{\ln a} = \frac1{\ln a} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x = \frac1{\ln a} \cdot \frac1x \\
&= \frac1{x\ln a} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_au = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \log_au \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} (bx+c) \\
&= \frac1{u\ln a} \cdot b \\
&= \frac b{(bx+c)\ln a} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
}}}||
  • 거듭제곱 꼴의 미분
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln^nx &= \frac{n\ln^{n-1}x}x \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n\,x &= \frac{n\,{\log_a}^{n-1}\,x}{x\ln a} \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}{x\ln^na} \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n(bx+c) &= \frac{bn\,{\log_a}^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln a} \\
&= \frac{bn\ln^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln^na}
\end{aligned} )]||

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln^nx &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\ln x)^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x \\
&= nu^{n-1} \cdot \frac1x = \frac{n(\ln x)^{n-1}}x \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n\,x &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\log_ax)^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax \\
&= n{\color{#00aa00}u}^{n-1} \cdot \frac1{x\ln a} = \frac{n\,{\log_a}^{n-1}\,x}{x\ln a} \qquad \blacksquare \\
&= n \biggl( {\color{#00aa00}\frac{\ln x}{\ln a}} \biggr)^{\!n-1} \cdot \frac1{x\ln a} \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}{x\ln^na} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n(bx+c) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\log_a(bx+c))^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) \\
&= n{\color{#00aa00}u}^{n-1} \cdot \frac b{(bx+c)\ln a} = \frac{bn\,{\log_a}^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln a} \qquad \blacksquare \\
&= n \biggl( {\color{#00aa00}\frac{\ln(bx+c)}{\ln a}} \biggr)^{\!n-1} \cdot \frac b{(bx+c)\ln a} \\
&= \frac{bn\ln^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln^na} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]}}}
}}}||

적분 상수는 [math(C)]로 나타내기로 한다.
  • 간단한 꼴의 적분
\int \ln x \,{\rm d}x &= x\ln x -x +C \\
\int \log_ax \,{\rm d}x &= \frac{x\ln x -x}{\ln a} +C \\
&= x\log_ax -\frac x{\ln a} +C \\
\int \log_a(bx+c) \,{\rm d}x &= \frac{(bx+c)\ln(bx+c)}{b\ln a} -\frac x{\ln a} +C \\
&= \frac{bx+c}b \log_a(bx+c) -\frac x{\ln a} +C
\end{aligned} )]||

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f(x)g'(x) \,{\rm d}x = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}
[math(f(x) = \ln x)], [math(g'(x) = 1)]이라고 두면, [math(f'(x) = \dfrac1x)], [math(g(x) = x)]이므로
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln x \,{\rm d}x &= \int \ln x \cdot 1 \,{\rm d}x \\
&= \ln x \cdot x -\int \frac1x \cdot x \,{\rm d}x \\
&= x\ln x -\int {\rm d}x \\
&= x\ln x -x +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
  • 한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \log_ax \,{\rm d}x &= \int \frac{\ln x}{\ln a} \,{\rm d}x = \frac1{\ln a} \int \ln x \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln a} (x\ln x -x +C) \\
&= \frac{x\ln x -x}{\ln a} +C \qquad\blacksquare \\
&= x\log_ax -\frac x{\ln a} +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
  • 치환적분을 사용한다. [math(bx+c = t)]라고 두면 [math(b\,{\rm d}x = {\rm d}t)]이므로
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \log_a(bx+c) \,{\rm d}x &= \int \log_at \cdot \frac{{\rm d}t}b = \frac1b \int \log_at \,{\rm d}t \\
&= \frac1b \biggl( \frac{t\ln t -t}{\ln a} +C \biggr) \!= \frac{t\ln t -t}{b\ln a} +C \\
&= \frac{(bx+c)\ln(bx+c) -bx -c)}{b\ln a} +C \\
&= \frac{(bx+c)\ln(bx+c)}{b\ln a} -\frac x{\ln a} +C \qquad\blacksquare \\
&= \frac{bx+c}b \log_a(bx+c) -\frac x{\ln a} +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
}}}||
  • 거듭제곱 꼴의 적분 ([math(n^{\underline k})]는 하강 계승)
\int \ln^nx \,{\rm d}x &= x\ln^nx -n\int \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kn!}{(n-k)!} \,x\ln^{n-k}x +C \\
&= \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \\
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= x\,{\log_a}^n\,x -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}\,x \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{\ln^ka} \,x\,{\log_a}^{n-k}\,x +C \\
\int {\log_a}^n(bx+c) \,{\rm d}x &= \frac{bx+c}b \,{\log_a}^n(bx+c) -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}(bx+c) \,{\rm d}x \\
&= \frac1{b\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} (bx+c) \ln^{n-k}(bx+c) +C \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{b\ln^ka} \,(bx+c) \,{\log_a}^{n-k}(bx+c) +C
\end{aligned} )]||

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f(x)g'(x) \,{\rm d}x = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}
[math(f(x) = \ln^nx)], [math(g'(x) = 1)]이라고 두면, [math(f'(x) = \dfrac{n\ln^{n-1}x}x)], [math(g(x) = x)]이므로
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln^nx \,{\rm d}x &= \int \ln^nx \cdot 1 \,{\rm d}x \\
&= \ln^nx \cdot x -\int \frac{n\ln^{n-1}x}x \cdot x \,{\rm d}x \\
&= x\ln^nx -n\int \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \qquad\blacksquare \\
&= x\ln^nx -n \biggl( x\ln^{n-1}x -(n-1)\int \ln^{n-2}x \,{\rm d}x \biggr) \\
&= x\ln^nx -nx\ln^{n-1}x +n(n-1)\int \ln^{n-2}x \,{\rm d}x \\
&= x\ln^nx -nx\ln^{n-1}x +n(n-1)x\ln^{n-2}x -n(n-1)(n-2)\int \ln^{n-3}x \,{\rm d}x \\
&= \cdots \\
&= x\ln^nx -nx\ln^{n-1}x +n(n-1)x\ln^{n-2}x -n(n-1)(n-2)x\ln^{n-3}x +\cdots \\
&\quad +(-1)^{n-2}n(n-1)\cdots5\cdot4\cdot3x\ln^2x +(-1)^{n-1}n(n-1)\cdots4\cdot3\cdot2\int\ln x\,{\rm d}x \\
&= x\ln^nx -nx\ln^{n-1}x +n(n-1)x\ln^{n-2}x -n(n-1)(n-2)x\ln^{n-3}x +\cdots \\
&\quad +(-1)^{n-1}n(n-1)\cdots4\cdot3\cdot2\cdot(x\ln x-x) \\
&= x\ln^nx -nx\ln^{n-1}x +n(n-1)x\ln^{n-2}x -n(n-1)(n-2)x\ln^{n-3}x +\cdots \\
&\quad +(-1)^{n-1}n(n-1)\cdots4\cdot3\cdot2x\ln x +(-1)^nn(n-1)\cdots4\cdot3\cdot2\cdot1x +C \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kn!}{(n-k)!} \,x\ln^{n-k}x +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
여기서 [math(\dfrac{n!}{(n-k)!})]은 하강 계승 [math(n^{\underline k})]와 같으므로 위 식은 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln^nx \,{\rm d}x &= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^kn!}{(n-k)!} \,x\ln^{n-k}x +C \\
&= \sum_{k=0}^n (-1)^kn^{\underline k}\,x\ln^{n-k}x +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
  • 한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= \int \biggl( \frac{\ln x}{\ln a} \biggr)^{\!n} \,{\rm d}x = \frac1{\ln^na} \int \ln^nx \,{\rm d}x
\end{aligned} )]}}}
로 나타낼 수 있고, 위에서 이 적분에 대해 유도한 첫 번째 공식을 사용하면
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= \frac1{\ln^na} \int \ln^nx \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \biggl( x\ln^nx -n\int \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \biggr) \\
&= x\,{\log_a}^n\,x -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}\,x \,{\rm d}x \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
세 번째 공식을 사용하면 (두 번째 공식은 하강 계승의 자리에 간단히 분수를 대입해서 얻을 수 있으므로)
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= \frac1{\ln^na} \int \ln^nx \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \Biggl( \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \Biggr) \\
&= \frac1{\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \qquad\blacksquare \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{\ln^ka} \frac{x\ln^{n-k}x}{\ln^{n-k}a} +C \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{\ln^ka} \,x\,{\log_a}^{n-k}\,x +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
  • 치환적분을 사용한다. [math(bx+c = t)]라고 두면 [math(b\,{\rm d}x = {\rm d}t)]이므로
    {{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n(bx+c) \,{\rm d}x &= \int {\log_a}^n\,t \cdot \frac{{\rm d}t}b = \frac1b \int {\log_a}^n\,t \,{\rm d}t
\end{aligned} )]}}}
로 나타낼 수 있고, 위에서 이 적분에 대해 유도한 첫 번째 공식을 사용하면
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n(bx+c) \,{\rm d}x &= \frac1b \int {\log_a}^n\,t \,{\rm d}t \\
&= \frac1b \biggl( t\,{\log_a}^n\,t -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}\,t \,{\rm d}t \biggr) \\
&= \frac{bx+c}b \,{\log_a}^n(bx+c) -\frac n{b\ln a} \int {\log_a}^{n-1}(bx+c) \cdot b\,{\rm d}x \\
&= \frac{bx+c}b \,{\log_a}^n(bx+c) -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}(bx+c) \,{\rm d}x \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
두 번째 공식을 사용하면
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n(bx+c) \,{\rm d}x &= \frac1b \int {\log_a}^n\,t \,{\rm d}t \\
&= \frac1b \Biggl( \frac1{\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,t\ln^{n-k}t +C \Biggr) \\
&= \frac1{b\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} (bx+c) \ln^{n-k}(bx+c) +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
세 번째 공식을 사용하면
{{{#!wiki style="text-align:center"

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n(bx+c) \,{\rm d}x &= \frac1b \int {\log_a}^n\,t \,{\rm d}t \\
&= \frac1b \Biggl( \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{\ln^ka} \,t\,{\log_a}^{n-k}\,t +C \Biggr) \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{b\ln^ka} \,(bx+c) \,{\log_a}^{n-k}(bx+c) +C \qquad\blacksquare
\end{aligned} )]}}}
}}}||

5. 기타

  • 미적분학에서는 [math(x^{-1})]의 정적분으로 자연로그의 밑 [math(e)]와 자연로그함수를 먼저 정의하고 이것의 역함수로 지수함수 [math(e^x)]를 정의한 후, 다시 미적분을 활용해서 [math(a^x)]를 정의하기도 한다. 마치 수 체계를 확장해나가듯, 특정한 규칙과 그 속성을 유지하는 [math(e)]와 [math(\ln x)]가 먼저 정의되고 이 값들에 대해 일반화된 함수를 나중에 정의하는 셈. 역사적으로 지수함수보다 로그함수가 먼저 발명되었으므로 이는 역사적인 순서를 따라 정의하는 방법이라 할 수 있다. 그러나 로그함수와 지수함수는 근본적으로 동일한 현상이며 동전의 양면이기 때문에 어느 것을 먼저 정의하든 논리적 정합성만 지킨다면 상관 없다. 일례로 대한민국의 고등학교 수학 교육 과정에서는 지수함수를 배운 뒤 그 역함수로 소개하며 외국의 미적분학 교과서도 흔히 이 순서를 따른다. 당연하지만 지수는 중학교 때도 배워서 익숙한 개념이지만, 로그는 당장 처음 배워야 하기 때문이다.
  • 일본에서는 로가리듬을 '대수([ruby(対,ruby=たい)][ruby(数,ruby=すう)])'라고 하므로 로그함수 역시 '대수함수'[10]라고 한다. 이는 중국에서도 마찬가지[11]이다.
  • 소수에서 상당히 중요한 함수로, 다름 아닌 소수 계량 함수와 깊게 엮여 있기 때문이다. 자세한 사항은 소수 정리 문서를 참고하자.
  • 일반화된 버전으로 폴리로그함수가 있다. 자세한 내용은 해당 문서 참고.
  • [math(y=x^x)]이나 무한 지수 탑 함수처럼 괴상한 함수들의 미분이나 복잡한 부정형의 극한을 구할 때 자연로그함수의 미분을 많이 쓴다. [math(\ln x)]의 미분이 [math(1/x)]여서 계산이 여러모로 용이해지기 때문이다.
  • 밑에 상관없이 차수가 0이다.

6. 관련 문서

[1] 복소함수론에서는 [math(a<0)]인 로그도 정의할 수 있다. 복소수 [math(z=re^{i\theta})]의 편각 [math(\arg z=\theta)]의 범위를 주값인 [math((-\pi,\,\pi])[2] ISO 표준에서는 밑이 [math(10)]인 로그이므로 주의[3] 우측은 리만 곡면으로 나타낸 것이다.[4] 이 집합은 무한 지수 탑 함수 [math(y = -\dfrac{W(-\operatorname{Log}x)}{{\operatorname{Log}x}})]가 실수 공역을 갖는 집합이기도 하다.[5] [math(0<a<1)]의 경우도 동일한 결과가 성립한다. 그러나 설명의 편의와 의의 전달을 위해 증가하는 경우를 상정함.[6] [math(\pi(x))]는 소수 계량 함수이다. [math(x)]보다 작거나 같은 소수의 개수이다.[7] 이 식은 18세기 말에 가우스와 르장드르에 의해 추측되었고 훗날 증명된 정리이며, 최근에는 로그 적분 함수 [math(\displaystyle \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{\ln t})]를 이용한 식 [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)} = 1)]이 더 엄밀하다는 것이 알려져 있다.[8] 소수의 개수까지만 알려줄 뿐, 구체적으로 어떤 소수가 있는지는 알 수 없다. 그 실마리를 찾는 것이 그 유명한 리만 가설이다.[9] [math(x=1)]에서 특이점을 가지므로 코시 주요값을 이용해야 한다.[10] '함수'를 보통 函数가 아닌 関数(관수)로 쓰는데, 단순히 函이 일본에서 상용한자가 아니기 때문에 발음이 かん으로 같은 関으로 대체해서 쓰는 것이다.[11] 중국에서는 函이 상용한자 범위에 있기 때문에 한국과 똑같이 函数라고 한다.

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