플라스틱 상수

수학상수 Mathematical Constants
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[math(^{?})] 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않음

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[1] 정의에 따라 초월수가 아닌 대수적 수이다. [math(1)]의 거듭제곱근 중 [math(1)], [math(-1)], [math(i)], [math(-i)]를 제외한 근들은 모두 무리수 실수부 또는 허수부를 가진다. 일반적으로 무리수는 실수의 부분집합으로서만 정의되므로 [math(1)], [math(-1)]을 제외한 [math(1)]의 거듭제곱근은 유리수나 무리수로 구분하지는 않는다.

1. 개요2. 상수

1. 개요

플라스틱 常數, plastic number, plastic constant

플라스틱 상수는 삼차방정식 [math(x^3 = x+1)]의 실근으로, 그리스 문자인 [math(rho)]로 표기한다. 이 수의 실제 값은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\rho &= \sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}} \\
&\approx 1.3247179572
\end{aligned} )]

2. 상수

플라스틱 수는 파도반 수열(Padovan sequence) 및 페랭 수(Perrin number)의 인접항 비의 극한이고, 피솟-비자야라가브한 수(Pisot number, Pisot–Vijayaraghavan number)이며, 피솟 수 중에서 가장 작은 수이기도 하다.

이 값은 놀랍게도 아래처럼 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수를 사용해 표현이 가능하다.

[math(\displaystyle
\rho = \frac2{\sqrt3} \cosh \biggl( \frac13 \operatorname{arcosh} \biggl( \frac{3\sqrt3}2 \biggr) \!\biggr)
)]

또한, 플라스틱 수는 다음의 대수적 방정식의 실근이기도 하다. 이 방정식들은 [math(x^3-x-1 = 0)]의 양 변에 [math(x^k)]을 곱한 후 정리하면 얻을 수 있다.

[math(x^5 = x^2 +x +1)]
[math(x^5 = x^4 +1)]
[math(x^6 = x^4 +x +1)]
[math(x^6 = x^2 +2x +1)]
[math(x^7 = 2x^5 -1)]
[math(x^7 = 2x^4 +1)]
[math(x^8 = x^4 +x^3 +x^2 +x +1)]
[math(x^9 = x^6 +x^4 +x^2 +x +1)]
[math(x^{12} = 2x^{10} -x^4 -1)]
[math(x^{14} = 4x^9 +1)]

[증명]: -------
[math(\displaystyle \begin{aligned}
x^3 &= x +1 \\
x^4 &= x\cdot x^3 = x(x +1) = x^2 +x \\
x^5 &= x\cdot x^4 = x(x^2 +x) = x^3 +x^2 = (x +1) +x^2 = x^2 +x +1 \\
&= (x^2 +x) +1 = x^4 +1 \\
x^6 &= x\cdot x^5 = x(x^3 +x^2) = x^4 +x^3 = x^4 +x +1 \\
&= (x^2 +x) +x +1 = x^2 +2x +1 \\
x^7 &= x\cdot x^6 = x(x^4 +x^3) = x^5 +x^4 = x^5 +(x^5 -1) = 2x^5 -1 \\
&= 2(x^4 +1) -1 = 2x^4 +1 \\
x^8 &= x\cdot x^7 = x(x^5 +x^4) = x^6 +x^5 = (x^4 +x^3) +(x^2 +x +1) = x^4 +x^3 +x^2 +x +1 \\
x^9 &= x\cdot x^8 = x(x^6 +x^5) = x^7 +x^6 = (x^5 +x^4) +x^6 = x^6 +x^4 +(x^2 +x +1) = x^6 +x^4 +x^2 +x +1 \\
x^{10} &= x^5\cdot x^5 = x^5(x^4 +1) = x^9 +x^5 \\
x^{12} &= x^7\cdot x^5 = (2x^5 -1)(x^4 +1) = 2x^9 +2x^5 -x^4 -1 = 2(x^9 +x^5) -x^4 -1 = 2x^{10} -x^4 -1 \\
x^{14} &=x^7\cdot x^7 = (2x^5 -1)(2x^4 +1) = 4x^9 +2x^5 -2x^4 -1 = 4x^9 +2(x^4 +1) -2x^4 -1 = 4x^9 +1
\end{aligned} )]

플라스틱 상수

1. 개요

2. 상수

분류