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| 경사도가 표시된 도로교통표지판 |
1. 개요
slope · 傾斜度분율(백분율, 천분율)로 경사를 표현하는 방식이다.
2. 상세
도로에 적혀있는 경사의 경우 퍼센트로 표시되어있는데 이걸 각도로 착각하는 사람들이 있다. 사실은 수직거리/수평거리, 즉 탄젠트값을 백분율로 나타낸 것이다. 즉 경사도 100%의 기준은 45도가 된다([math(\tan 45\degree =1)]이므로). 경사각을 직접 측량하기는 까다롭기 때문에[1] 거리와 높이를 측정하는 방법을 쓰는 것이다. 반대로 경사각을 구하려면 경사도에 아크탄젠트 값을 취하면 나온다.[2]가장 많이 보이는 값인 10%는[3] 대략 5.7° 정도[4]의 다소 가파른 구배이며 20%는 약 11°로 매우 가파른 구배, 30%는 약 16°를 나타낸다. 반대로 30°는 58%로 마찰이 적으면 서있기도 힘든 수준으로 아파트 계단이 33도 정도다. 국내에서 자동차가 통행 가능한 가장 높은 급구배는 경기도 군포시 수리산에 있으며 40%(21.8도)의 경사를 자랑한다.[5] 스키장 등지에서는 50% 이상의 경사도인 곳도 있다.
경사각의 크기가 매우 작다면 경사도와 경사각은 근사적으로 비례한다.[6]
사실 거의 모든 경사도에서 정확한 값의 각도가 나오지 않는다. 그 이유는 변환공식 문단 참고.
2.1. 철도의 구배
철도에서는 퍼센트가 아닌 퍼밀(‰)로 나타내며 수직거리/수평거리를 천분율로 나타낸 것이다. 미세단위를 쓰는 것은 철도 위의 열차들이 도로의 차들만큼 급경사의 구배를 오르내리지 못하는 이유 때문이다.[7]
3. 변환 공식
퍼센트로 표기된 경사도를 각도[8]로 변환하는 공식은 아래와 같다.| [math(\begin{aligned} n \,\% &\triangleq \operatorname{atan2}(n,\,100) \\ &= \arctan \dfrac n{100} \\ &= \operatorname{Arg}(100+ni) \\ &= -\dfrac i2\operatorname{Log}\left(\dfrac{100i-n}{100i+n}\right) \end{aligned})] (단, [math(i triangleq sqrt{-1})]) |
퍼밀로 경사도가 주어졌을 경우, 위 식에서 100을 1000으로 바꾸면 된다.
자명한 경우로, [math(n=0)](완전 수평)또는 [math(n=100)](밑변=높이)인 경우를 생각할 수 있는데 전자는 [math(0{\rm\,rad} = 0\degree)]가 나오고 후자의 경우 [math(\cfrac\pi4{\rm\,rad}(=45\degree))]이 나온다. 또한 경사각이 [math(\cfrac\pi2{\rm\,rad}(=90\degree))]에 가까워질수록 경사도는 무한대로 커지게 된다.[14]
3.1. 역변환
경사도의 정의가 탄젠트값이므로, 각도를 경사도로 바꾸기 위해서는 각도에 탄젠트를 취해주고 분율로 표현하면 된다. 해당 각도가 특수각[15]이 아닐 경우, 환원 불능이 된다.[16]| [math({\displaystyle \tan x = -i \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}})] (단, [math(i triangleq sqrt{-1})]) |
4. 관련 문서
[1] 수평기가 있긴 하지만 길이보다는 정밀한 측정이 어렵다.[2] 이때 경사도가 100%라면 100이 아닌 1에다 아크탄젠트값을 취해야 정상적으로 45도가 나온다.[3] 아무 곳이나 대충 10%로 표기한 곳도 있다.[4] 밑변 100미터, 높이 10미터의 직각 삼각형을 상상하면 된다. 즉 수평으로 100미터 전진하면서 목적지는 그보다 10미터 더 높이 있다는 것이다. 이때 밑각이 5.7°인 것이다.[5] 이보다 더 심한 45%짜리 경사가 존재하나 김포시 민간인통제구역 군사시설 내부에 있는 관계로 민간인은 이용할 수 없다.[6] [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}x \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{x \to 0}\frac{\sec^2 x}{1} = 1)]에서 유도된다. [math(\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}})]는 로피탈의 정리를 적용했음을 나타낸다.[7] 단, 고무차륜열차는 예외적으로 상대적으로 높은 경사도에서도 주행할 수 있다.[8] 이때의 단위는 라디안이다. 도(°) 단위로 보려면 [math(180/\pi)]를 곱해주면 된다.[9] [math(\rm atan2)]는 [math(\arctan)]의 이변수함수 꼴이다.[10] 경사도의 정의와 각도의 관계를 나타내는 가장 근본적인 식이라고 볼 수 있다.[11] 기본적으로 복소로그함수는 다가 함수이므로, 일대일대응이 되게 공역의 범위를 제한할 수 있는데 이를 분지 절단이라고 한다.[12] 즉, 허수단위 [math(\bm i)]를 뺀 상태로 표기할 수 없다.[13] [math(\begin{aligned} \arctan x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-1\right)^n x^{2n+1}}{2n+1} \\ &= x - \frac{x^3}3 + \frac{x^5}5 - \frac{x^7}7 + \cdots\cdots \ (|x| \le 1) \end{aligned})][14] [math(\lim\limits_{x \to (\pi/2)^-} \tan x = \infty)][15] 작도 가능한 각[16] 물론, 특수각이어도 아래처럼 경사도라고 하기 뭣한 것(...)도 존재하긴 하다.
[math(\tan 12\degree = \sqrt{23 - 10\sqrt{5} - 2 \sqrt{3(85 - 38\sqrt{5})}})]
참고로 이 값을 퍼센트로 표기하면 약 21.26%가 된다.
[math(\tan 12\degree = \sqrt{23 - 10\sqrt{5} - 2 \sqrt{3(85 - 38\sqrt{5})}})]
참고로 이 값을 퍼센트로 표기하면 약 21.26%가 된다.