1. 개요
Kaprekar number(constant) · Kaprekar 數(常數)인도의 수학자 D. R. 카프리카[1]가 1955년 발견한 수로, 그의 이름을 따서 카프리카 수라고 한다. 카프리카 수가 가리키는 개념은 두 가지가 있는데, 아래에서 설명하는 내용 중 전자는 확실한 구별을 위해 카프리카 상수라고도 한다.
2. 카프리카 상수
[1] 정의에 따라 초월수가 아닌 대수적 수이다. [math(1)]의 거듭제곱근 중 [math(1)], [math(-1)], [math(i)], [math(-i)]를 제외한 근들은 모두 무리수 실수부 또는 허수부를 가진다. 일반적으로 무리수는 실수의 부분집합으로서만 정의되므로 [math(1)], [math(-1)]을 제외한 [math(1)]의 거듭제곱근은 유리수나 무리수로 구분하지는 않는다.
[math(0)]부터 [math(9)]까지의 정수 중 세 개의 수를 고르되, 같은 수를 세 번 고르지 말아야 한다.[2] 그 세 수를 큰 순서대로 배열하여 세 자리 자연수를 만들고, 작은 순서대로 배열하여 또 다른 세 자리 자연수를 만든다. 그런 다음 이 두 수의 차를 구한다. 두 수의 차가 되는 세 자리 자연수 역시 큰 순서대로 다시 배열하여 새로운 세 자리 자연수를 만든다. 이 자연수의 배열을 역순으로 하여 또 다른 세 자리 자연수를 만들고 이 두 수의 차를 구한다. 단, 두 수의 차가 세 자리가 되지 않는다면, 세 자리가 되기 위해 부족한 자리를 모두 [math(\boldsymbol{0})]으로 간주한다. 이 과정을 계속 반복하면 결국 [math(\boldsymbol{495})]가 반복된다. 만약 처음에 [math(6)], [math(6)], [math(7)]을 뽑았다면 다음과 같이 된다.
| [math(766-667=099)] [math(990-099=891)] [math(981-189=792)] [math(972-279=693)] [math(963-369=594)] [math(954-459=495)] [math(954-459=495)] ⋮ |
이제부터는 계속 [math(495)]가 반복된다.
세 자리가 아니라 네 자리 수로도 카프리카 수를 얻을 수 있다. 마찬가지로 [math(0)]부터 [math(9)]까지의 정수 중 네 개의 수를 고르되, 같은 수를 네 번 고르지 말아야 한다. 만약 처음에 [math(1)], [math(4)], [math(6)], [math(9)]를 뽑았다면 다음과 같이 된다.
| [math(9641-1469=8172)] [math(8721-1278=7443)] [math(7443-3447=3996)] [math(9963-3699=6264)] [math(6642-2466=4176)] [math(7641-1467=6174)] [math(7641-1467=6174)] ⋮ |
이제부터는 계속 [math(6174)]가 반복된다.
이와 같은 계산을 카프리카 루틴(Kaprekar routine)이라고 하며, [math(495)]와 [math(6174)]를 카프리카 수 또는 카프리카 상수(Kaprekar's constant)라고 한다.
2.1. 증명
그렇다면 왜 세 자리 카프리카 수는 [math(495)]가 될까?** 주의 : 아래의 증명은 불완전하다. [math(a\geq{b}>c)] 또는 [math(a>b\geq{c})] 의 경우에 대한 증명이 추가로 필요하다. **
우선, 처음에 뽑은 세 정수를 각각 [math(a)], [math(b)], [math(c)]라고 하자.[math((9\geq{a}>b>c\geq{0}))] 그러면 처음으로 실행하는 연산은 [math((100a+10b+c)-(100c+10b+a))]가 된다. 이를 계산하면 [math(100(a-c)+(c-a))]가 되고, 이는 결국 [math(100(a-c)-(a-c)=99(a-c))]가 된다. [math(a>b>c)]이므로 [math(a-c>0)]이고, [math(99(a-c)>0)]이다.
[math((a-c))]의 값이 될 수 있는 수를 알아보자. 우선, 뺄셈의 연산은 정수 집합에 대하여 닫혀 있으므로 [math((a-c))] 역시 정수일 수밖에 없다. 또한, [math(a>b>c)]이므로 [math(a=c)]일 수 없고, [math(a-c=0)]일 수 없다. 또한, [math(a>b>c)]이고 [math(a)], [math(b)], [math(c)]는 정수이므로 [math(a-c=1)]일 수 없다. [math(a-c=1)]이면 정수 [math(b)]의 값을 결정할 수 없기 때문이다. 또한, [math(9\geq{a}>b>c\geq{0})]이므로 [math(a-c\leq{9-0}=9)]이기 때문에 [math((a-c))]의 값은 [math(9)]보다 클 수 없다. 따라서 [math((a-c))]의 값이 될 수 있는 수는 [math(2)], [math(3)], [math(4)], [math(5)], [math(6)], [math(7)], [math(8)], [math(9)]이다.
여기에서 [math(a-c=2)]인 경우에 진행되는 연산을 보자.
| [math(99(a-c)=198)] [math(981-189=792\boldsymbol{(a-c=2, 99(a-c)=198})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=9, 99(a-c)=891}))] [math(972-279=693\boldsymbol{(a-c=3, 99(a-c)=297})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=8, 99(a-c)=792)})] [math(963-369=594\boldsymbol{(a-c=4, 99(a-c)=396})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=7, 99(a-c)=693)})] [math(954-459=495\boldsymbol{(a-c=5, 99(a-c)=495})] [math(\boldsymbol{\sf or})] [math(\boldsymbol{a-c=6, 99(a-c)=594)})] [math(954-459=495)] ⋮ |
이로써 [math((a-c))]의 값이 [math(2)], [math(3)], [math(4)], [math(5)], [math(6)], [math(7)], [math(8)], [math(9)]인 경우 결국 모두 [math(495)]로 도달한다는 것이 자연스럽게 증명되었다. 따라서, 카프리카 루틴에 따라 [math(\boldsymbol{0})]부터 [math(\boldsymbol{9})]까지의 정수 중에서 어떻게 수를 뽑든지 [math(\boldsymbol{495})]로 도달한다.
그렇다면 왜 네 자리 카프리카 수는 [math(6174)]가 될까? 자릿수가 딱 하나 늘어났을 뿐이지만 세 자리의 경우보다 훨씬 복잡해진다. 일반적인 원리로 증명하는 것은 너무 까다롭고, 하나하나 다 해보는 수밖에 없다. 그것을 순서도로 나타낸 것을 참고.
3. 카프리카 수
인도의 수학자 카프리카는 길을 가다가 '3025km'라는 글귀가 쓰인 이정표가 심한 폭풍우 때문에 '30', '25'와 같이 반으로 잘린 것을 보았다. 그러자 카프리카는 [math(30+25=55)]이고, [math(55^2=3025)]라는 점을 발견했다. 그 후 사람들은 55와 같이, 자신의 제곱수를 임의의 두 부분으로 나누어 더하면 다시 원래의 수가 되는 수를 카프리카 수로 부르게 되었다.3.1. 목록
1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 3025, 4879[3], 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170...9, 99, 999… 와 같이 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(10^n-1)] 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다. 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(10^n-1)] 꼴의 수는 10진법으로 나타내었을 때, 9가 [math(n)]개 이어지는 형식인데, 다음과 같이 된다.
| [math(n)] | [math(10^n-1)] | [math((10^n-1)^2)] |
| 1 | 9 | 81 |
| 2 | 99 | 9801 |
| 3 | 999 | 998001 |
| 4 | 9999 | 99980001 |
| 5 | 99999 | 9999800001 |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ |
8+1=9, 98+01=99, 998+001=999, 9998+0001=9999, 99998+00001=99999... 이렇게 되므로 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 [math(10^n-1)] 꼴이 되는 수는 전부 카프리카 수이다.
증명 자체도 간단한데, [math(\left(10^n-1\right)^2=10^{2n}-2\times10^n+1)]이고, 이를 둘로 쪼개면 [math(10^{2n}-2\times10^n=10^n\left(10^{n}-2\right), 1)]이 되므로 [math(\left(10^{n}-2\right)+1=10^n-1)]이 되는 것을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 카프리카 수는 무수히 많다.
4. 여담
- 수학자 이름이 파프리카와 비슷해서 '파프리카 수'로 오해하는 일도 종종 있다.
- 진법이 달라지면 카프리카 수도 달라진다.