최근 수정 시각 : 2026-08-01 08:01:36

퀴버


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1. 개요2. 명칭3. 정의
3.1. 내재화
4. 경로와 합성5. 퀴버 준동형 사상6. 퀴버 범주7. 자유 범주
7.1. 예시7.2. 자유 범주 함자7.3. Cat과 Quiv 간 수반쌍7.4. 다이어그램으로써
8. 퀴버 표현9. 기타10. 관련 문서

1. 개요

Für einen solchen 4-Tupel schlagen wir die Bezeichnung Köcher vor, und nicht etwa Graph, weil letzterem Wort schon zu viele verwandte Begriffe anhaften.
Unzerlegbare Darstellungen I[1]
Quiver / Köcher

범주론에서 범주(category) 내 항등 사상(identity morphism)과 사상의 합성 등 성질을 제거한 구조.

2. 명칭

명칭의 어원은 화살통 내지 화살집을 뜻하는 독일어 köcher으로, 1972년 피에르 가브리엘(Pierre Gabriel)이 일반적으로 이산수학에서 쓰이는 그래프와 구분하기 위해 별도로 명명했다. 수학적으로는 비슷한 개념일 수 있어도 graph라는 용어에 붙은 맥락이나 내포하는 의미가 이미 너무 많아 범주론적 용어를 새로 제시한 것. 범주론에서 흔히 사상(morphism)들을 arrow로 부른다는 것을 생각하면 나름 적절한 비유이다.

기본적으로 이산수학의 유향 다중그래프(directed multigraph)와 비슷하게 보아도 문제가 없기 때문에 따로 quiver라고 부르지 않고 graph라고만 하는 교재가 있어 이게 단순 그래프(simple graph)인지 multigraph가 될 수 있는지 주의가 필요하다. 특히 quiver를 class만큼 크게 잡는 경우도 맥락에 따라 있어 quiver라고 별도로 부르는 걸 선호하는 학자도 많다.

본 문서는 음차하여 퀴버(quiver), 또는 더 편하게 quiver라고 표기한다. 굳이 번역하자면 '동개' 정도가 될 것이다.

3. 정의

퀴버(quiver)
퀴버(quiver) [math(Q)]는 다음과 같은 4-튜플 [math(Q = (V, E, s, t))]로 정의한다.
  • [math(V)]: 정점(vertex)의 집합.
  • [math(E)]: 간선(edge)의 집합.
  • [math(s)]: [math(s : E \to V)] 꼴의 함수.
  • [math(t)]: [math(t : E \to V)] 꼴의 함수.

여기서 [math(V)]는 대상(object)들의 모임, [math(E)]는 사상(morphism)들의 모임, [math(s)]와 [math(t)]는 각각 정의역과 공역 할당에 대응된다. 즉, 일반적인 범주(category)의 정의에서 크기가 집합으로 줄어들고 항등 사상(identity morphism)의 존재성과 사상 합성의 존재성, 그리고 그 합성의 결합법칙과 항등 사상의 항등성 등 대부분의 성질을 제거한 버전이다.

참고로 위 정의는 집합 크기의 quiver만을 다룬다. 필요한 경우 각 집합을 모임(class)으로, function을 class function으로 적절히 치환해 주면 된다.

3.1. 내재화

위 정의를 보면 사실상 데이터만 있고 조건이 거의 없음을 알 수 있고, 좀더 머리를 굴리면 Set 안에서

#!latex
E \mathrel{
\begin{matrix}
\xrightarrow{\kern{10pt} s \kern{10pt}} \\[-1.5ex]
\xrightarrow[\kern{10pt} t \kern{10pt}]{}
\end{matrix}
} V

꼴의 다이어그램(diagram)으로 내재화(internalize)할 수 있다. 즉, 저렇게 서로 다른 대상(object) [math(E)], [math(V)]를 가지고 비자명 사상으로 [math(E)]에서 [math(V)]로 가는 서로 다른 [math(s)], [math(t)]만 가지는 작은 범주 [math(\mathbf Q)]를 하나 생각하고 이를 자유 퀴버(free quiver)[2] 또는 walking quiver라고 하자. 이렇게 하면 quiver를 free quiver [math(\mathbf Q)]에서 Set으로 향하는 함자로 정의할 수 있다.

이렇게 하면 다른 범주론적 internalization과 비슷하게 꼭 Set뿐만이 아닌 다른 범주에서도 quiver를 생각할 수 있다는 장점이 딸려온다. 가령 같은 다이어그램을 Top 안으로 internalize하면 위상적인 quiver를 생각할 수 있는 식.

4. 경로와 합성

이제 경로(path)를 정의하자.
경로(path)
quiver [math(Q)] 내의 정점 [math(v)], [math(v')]와 음이 아닌 정수 [math(n)]에 대해 [math(n)]개의 항을 가지는 다음과 같은 간선열 [math(\hat p)]의 순서쌍 [math(p = (v, v', \hat p))]를 quiver [math(Q)] 내의 정점 [math(v)]에서 시작해 정점 [math(v')]에 도달하는 길이 [math(n)]짜리 경로(path)라 부른다.
  • [math(n = 0)] 일때 [math(v = v')]
  • [math(1 \leq n)] 일때 [math(s (\hat p_1) = v)], [math(t (\hat p_n) = v')]
  • 모든 정수 [math(1 \leq i < n)]에 대해 [math(t(\hat p_i) = s(\hat p_{i + 1}))]

이 경우 공경로(empty path), 즉 길이 0짜리 path는 [math(Q)]의 각 정점과 같고 길이 1짜리 path는 [math(Q)]의 각 간선과 같다. 괜히 시작 정점 [math(v)]를 다루고 empty path를 허용하는 이유는 자유 범주 구성시 항등 사상의 구성에 필수적이기 때문이다.

극한 다이어그램은 길이가 무한할 수 있는데 왜 quiver path는 유한열이냐? 싶을 수 있는데 이 또한 자유 범주의 합성을 잘 정의하기 위해서이다. 즉, 시작과 끝점의 존재가 필수적이다.
경로의 합성(concatenation)
길이 [math(n)]짜리 path [math(p = (v, v', \hat p))]와 [math(m)]짜리 path [math(q = (u, u', \hat q))]가 존재하여 [math(v' = u)]가 성립한다면, 두 path의 합성 [math(p \| q)]는 다음을 만족하는 [math(n + m)]항 간선열 [math(\widehat{ p \| q })]와 [math(v)], [math(u')]의 순서쌍 [math(p \| q = (v, u', \widehat{ p \| q }))]로 정의된다.

#!latex
\left( \widehat{ p \| q } \right)_i = \begin{cases}
\hat p_i & (1 \leq i \leq n) \\
\hat q_{i - n} & (n < i \leq n + m) \\
\end{cases}

경로의 합성이 이항 연산은 아니지만 정의되는 경우에 한해 결합법칙이 성립함을 직관적으로 알 수 있다.

5. 퀴버 준동형 사상

함자와 비슷하게 각 quiver들 간 구조를 보존하는 사상(morphism)을 떠올려 볼 수 있다. 일반적인 그래프와 비슷하게 그래프 준동형 사상(graph homomorphism)을 생각하면 된다.
quiver [math(Q = (V_Q, E_Q, s_Q, t_Q))]에서 [math(P = (V_P, E_P, s_P, t_P))]로 가는 퀴버 준동형 사상(quiver homomorphism)[3] [math(f : Q \to P)]는 다음을 만족하는 두 함수들의 순서쌍 [math(f = (f_V, f_E))]으로 정의된다.
  • 함수 [math(f_V : V_Q \to V_P)]
  • [math(s_P(f_E(e)) = f_V(s_Q(e)))] 및 [math(t_P(f_E(e)) = f_V(t_Q(e)))]를 만족시키는 함수 [math(f_E : E_Q \to E_P)]
functorial하지 않은 functor가 떠오른다면 정답이다

즉, 아래 다이어그램을 가환시키는 두 함수 [math(f_V)], [math(f_E)]의 조합이라고 생각하면 좋다.
#!latex
\begin{CD}
V_Q @< s_Q << E_Q @> t_Q >> V_Q \\
@V f_V VV @VV f_E V @VV f_V V \\
V_P @<< s_P < E_P @>> t_P > V_P \\
\end{CD}
quiver homomorphism의 합성을 위 두 각 함수들의 합성으로 생각했을 때 이들의 합성이 quiver homomorphism임은 쉽게 보여진다. 위 다이어그램을 아래에 이어서 붙힌다고 생각해 보면 각 안쪽 다이어그램이 가환하므로 전체 다이어그램도 가환하여 합성이 quiver homomorphism의 조건을 만족시키기 때문. 비슷하게 결합성도 함수 합성의 결합성에서 바로 유도된다.

두 함수 [math(f_V)], [math(f_E)]를 모두 항등함수로 잡을 경우 위 다이어그램이 가환함은 자명하며, quiver homomorphism의 합성에서 항등 사상이 됨도 보여진다.

또한 정의 문단처럼 quiver를 free quiver [math(\mathbf Q)]에서 Set으로 가는 함자로 정의하면, quiver homomorphism은 자명히 이들 간 자연 변환(natural transformation)이 된다.

6. 퀴버 범주

모든 quiver들의 모임(class)을 생각하고 이들 간 quiver homomorphism을 사상으로 주면 범주를 이룸을 알 수 있으며 이를 [math(\mathbf{Quiv})]라고 표기한다.

앞선 정의 문단처럼 quiver를 함자로 정의하면, [math(\mathbf{Quiv})]는 free quiver [math(\mathbf Q)]에서 Set으로 가는 함자 범주(functor category) [math(\mathbf{Set}^\mathbf Q)], 또는 아예 free quiver [math(\mathbf Q)]에서 [math(E)]와 [math(V)]의 순서를 뒤집고 그 안의 모든 준층들의 범주로 정의하는 것도 가능하다.

7. 자유 범주

free category

앞서 quiver는 범주가 되지 않는다고 했지만 임의의 quiver에 대해 해당 quiver 내 path들을 모으면 범주가 되고, 이런 범주를 항상 유일하게 생성할 수 있어 이를 자유 범주(free category)라 한다.

quiver [math(Q)]에 대해 다음과 같은 구성 [math(F(Q) = (V, \mathrm{Pth}(Q), s, t, 1, \|))]을 생각하자. 각 위치별 요소의 의미는 정의역과 공역을 사용하는 범주의 정의를 참고하자.
  • [math(\mathrm{Pth}(Q))]: quiver [math(Q)] 위 모든 path들의 집합
  • [math(1)]: 각 정점 [math(v)]에 대해 [math(1(v))]를 [math(v)]에서 시작하는 empty path로 대응하는 함수 [math(1 : V \to \mathrm{Pth}(Q))]
  • [math(\|)]: path의 합성

참고로 empty path의 간선열은 사실상 공함수(empty function)이므로 유일함을 알 수 있고, 따라서 empty path의 대응 역시 유일하다. path의 합성이 정의된다면 associative함은 상술한 바 있다.

이렇게 만들어진 자유 범주 [math(F(Q))]에서 두 정점 [math(A)], [math(B)] 간 Hom-set [math(\mathrm{Hom}(A, B))]는 [math(A)]에서 출발해 [math(B)]에 도달하는 모든 path들의 집합이다.

7.1. 예시

  • 공범주(empty category)는 공퀴버(empty quiver), 즉 정점이 하나도 없는 quiver에서 생성되는 자유 범주이다.
  • 자유 모노이드는 정점이 하나뿐인 quiver에서 생성되는 자유 범주이다. 이 경우 간선의 집합을 [math(E)]가 했을 때 자유 범주가 집합 [math(E)]에서 생성되는 자유 모노이드 [math(E^*)]와 같아지기 때문.
  • (작은) 이산 범주(discrete category)는 간선이 하나도 없는 quiver에서 생성되는 자유 범주이다.

7.2. 자유 범주 함자

free category functor

말 그대로 주어진 quiver에서 자유 범주를 생성하는 함자. 위 정의에 따르면 모든 자유 범주는 작은 범주이므로

#!latex
F : \mathbf{Quiv} \longrightarrow \mathbf{Cat}

꼴의 함자로 볼 수 있다. 상술한 대로 대상의 대응은 각 quiver를 그로부터 생성되는 자유 범주로 대응시키는 대응이니 사상의 대응이 functorial함만 보이자.

[math(Q = (V_Q, E_Q, s_Q, t_Q))], [math(P = (V_P, E_P, s_P, t_P))]가 quiver라 하고 [math(f = (f_V, f_E))]가 [math(f : Q \to P)]꼴의 quiver homomorphism이라 하자. 이 때 자유 범주 함자 [math(F)]가 해당 [math(f)]를 다음과 같은 함자 [math(F(f) : F(Q) \to F(P))]로 대응시킨다고 하자.
  • 대상의 대응: 자유 범주 [math(F(Q))], [math(F(P))]의 대상은 [math(Q)], [math(P)]의 정점과 동일하므로 [math(f_V)]와 동일하게 대응.
  • 사상의 대응: 자유 범주 [math(F(Q))], [math(F(P))]의 사상은 [math(Q)], [math(P)]의 path이므로 [math(p = (v, v', \hat p))]가 [math(Q)]의 path일 때 이를 다음을 만족하는 [math(P)]의 path [math(F(f)(p) = (f_V (v), f_V (v'), \hat p'))]로 대응.
    • [math(\hat p'_i = f_E (\hat p_i))]. 즉 path [math(p)]의 각 선분을 [math(f_E)]로 mapping시킨 것이라 보면 된다. [math(f)]가 quiver homomorphism이기 때문에 [math(f_E)]는 시작/끝 정점을 보존하므로 [math(p')] 또한 올바른 [math(P)]의 path가 되고 path의 시작과 끝 또한 보존됨을 알 수 있다.

위와 같은 사상 대응의 경우 empty path는 성분이 하나도 없으니 반드시 empty path로 대응되어 보존되고, path의 합성 또한 자명히보존되므로 [math(F (f))]가 자유 범주 [math(F (Q))], [math(F (P))] 간 함자임을 알 수 있다.

이제 [math(F)]가 quiver homomorphism을 자유 범주 간 함자로 대응함을 알았으므로 functorial한지만 확인하면 된다. 정의역과 공역이 보존됨은 위에서 자동으로 보여지며, [math(f)]가 quiver [math(Q)]의 identity quiver homomorphism이라면 정점의 대응, 간선의 대응 모두 항등함수이므로 함자 [math(F (f))]의 대상의 대응 또한 항등함수, [math(F (f))]의 사상의 대응 역시 항등함수가 되어 항등 사상이 보존된다. 합성의 보존도 쉽게 보일 수 있다.

참고로 정확히 똑같은 걸 single-object quiver들의 category ([math(\mathbf{Quiv})]의 full subcategory) 위에서 하는 게 사실상 자유 모노이드 함자(free monoid functor)다. 일반적인 free monoid functor에선 domain을 Set으로 주는데, single-object quiver들의 category는 Set과 아예 isomorphic하기 때문.

7.3. Cat과 Quiv 간 수반쌍

대부분의 자유 함자가 그렇듯 망각 함자의 left-adjoint가 되어 수반쌍(adjunction)을 이룬다. 즉, [math(F)]를 위에서 정의한 자유 범주 함자, [math(U)]를 각 범주를 quiver로 보는 망각 함자라 했을 때

#!latex
\begin{array} c
\mathbf{Cat} \\[0.2em]
\mathllap F \bigg \uparrow \kern-0.3em \dashv \kern-0.3em \bigg \downarrow \mathrlap U \\[0.8em]
\mathbf{Quiv}
\end{array}

와 같은 수반 관계를 이룬다.

둘다 locally small하므로 간단히 quiver [math(Q)]와 small category [math(C)]를 잡고 아래와 같은 transposition을 생각해 보자.

#!latex
\overline{ (-) } : \mathrm{Hom}_\mathbf{ Cat } ( F (Q), C ) \longrightarrow \mathrm{Hom}_\mathbf{ Quiv } ( Q, U (C) )

[math(\overline{ (-) })]가 자유 범주 [math(F (Q))]에서 [math(C)]로 가는 함자 [math(K : F (Q) \to C)]를 다음과 같은 quiver homomorphism [math(\overline{ K } : Q \to U (C))]로 대응시키도록 잡자.
  • [math(\overline{ K }_V : V_Q \to \mathrm{Ob} (C))]: 함자 [math(K)]의 대상의 대응 [math(K_\mathrm{Ob})].
  • [math(\overline{ K }_E : E_Q \to \mathrm{Mor} (C))]: [math(Q)]의 path들 전부를 대응시키는 함자 [math(K)]에서 [math(E_Q)]에 대한 restriction.

앞선 자유 범주 함자에서 path 간 대응을 성분(간선) 간 대응에서 generate함을 생각하면 간선에 대한 restriction이 같다면 원래의 함자도 같을 수밖에 없어 단사이고, 마찬가지로 자유 범주 함자 때문에 모든 quiver homomorphism [math(\overline{ K } : Q \to U (C))]에 대해 위 조건을 만족하는 함자 [math(K)]가 반드시 존재하여 위 transposition은 Hom 간 전단사이다.

여기서 임의의 범주 [math(C')]로의 함자 [math(K' : C \to C')]를 생각하고 정점의 대응은 둘다 [math(K'_\mathrm{Ob} K_\mathrm{Ob})] 꼴로 나옴이 자명하므로 간선 대응만 살펴보자. quiver homomorphism [math(\overline{ K' K })]의 간선 대응은 합성 [math(K' K)]의 사상의 대응에서 [math(E_Q)]에 대한 restriction이고, [math(U (K') \overline{ K })]의 사상의 대응 역시 앞에 걸린 [math(\overline{ K })] 때문에 [math(E_Q)]로 restrict되므로 양쪽이 같음을 알 수 있다. 반대 방향도 비슷하게 보이면 자유 범주 함자 [math(F)]와 범주 망각 함자 [math(U)]가 수반쌍(adjunction) 관계임을 알 수 있다.

7.4. 다이어그램으로써

범주론에서 다이어그램(diagram)이란 indexing category에서 사상을 가지고 있는 범주로의 함자를 말한다. 이 때 형태가 될 정의역이 반드시 범주여야 하는데, 다이어그램을 그릴 때 항등 사상이나 사상의 합성 등을 빼놓고 일부 화살표만, 즉 quiver 형태로만 그리기도 한다.

이 경우에도 quiver 형태의 다이어그램을 생각할 수 있는데, 해당 quiver [math(Q)]에서 생성되는 자유 범주(free category) [math(F (Q))]를 생각한 다음 이를 indexing category로 사용하는 함자를 quiver 형태의 다이어그램으로 생각할 수 있다. 또는 아예 quiver [math(Q)]에서 범주 [math(C)]로 향하는 quiver homomorphism [math(D : Q \to C)]를 다이어그램으로 생각해도 되는데, 상술한 수반 관계 덕분에 이런 [math(D)]에 사실상 동일하게 대응하는 함자 [math(\overline{ D } : F (Q) \to C)]를 찾을 수 있기 때문. 이런 식으로 quiver 형태를 가지는 다이어그램을 자유 다이어그램(free diagram)이라고도 부른다.
파일:상세 내용 아이콘.svg   자세한 내용은 다이어그램(범주론) 문서
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를
#!if 문단 != null & 앵커 == null
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의 [[다이어그램(범주론)#정의|정의]] 부분을}}}
참고하십시오.

8. 퀴버 표현

quiver representations

말 그대로 대수의 표현론을 떠올리면 좋다. 적당한 체(field) [math(k)]를 고정했을 때 quiver [math(Q)]의 각 정점마다 벡터 공간을 주고, 각 간선마다는 그 벡터 공간 사이 선형 변환을 준 것을 해당 quiver [math(Q)]의 표현(representation)이라 한다. 좀더 formal하게, 다음과 같이 정의할 수 있다.
quiver의 표현(representation)
체(field) [math(k)]와 quiver [math(Q)]에 대해, 다음을 만족하는 두 첨수 집합족의 순서쌍 [math(V = (\set{ V_x }_{ x \in V_Q }, \set{ V^a }_{ a \in E_Q }))]를 [math(Q)]의 [math(k)] 위에서의 표현(representation)이라 한다.

즉 이는 [math(Q)]에서 [math(k)]-벡터 공간들의 범주 Vectk로 향하는 quiver homomorphism이며, 상술한 자유 수반쌍 관계를 따르면 [math(F (Q) \to \mathbf{Vect}_k)] 꼴의 함자로 사실상 동일하게 볼 수 있다.

이제 자연스럽게 representation 간 사상(morphism)을 정의할 수 있다.
표현 간 사상(morphism)
체 [math(k)]를 고정했을 때, [math(V)], [math(W)]가 모두 quiver [math(Q)]의 representation이라 하자. 모든 [math(a \in E_Q)]에 대해 아래 다이어그램이 가환하게 하는 첨수 사상족 [math(\phi = \set{ \phi_x : V_x \to W_x }_{ x \in V_Q })]을 [math(V)]에서 [math(W)]로의 사상(morphism) [math(\phi : V \to W)]라고 한다.
#!latex
\begin{CD}
V_{ s (a) } @> \phi_{ s (a) } >> W_{ s (a) } \\
@V V^a VV @VV W^a V \\
V_{ t (a) } @>> \phi_{ t (a) } > W_{ t (a) } \\
\end{CD}

이 경우, 앞선 수반 관계에 의해 자유 범주 [math(F (Q))]에서 [math(\mathbf{Vect}_k)]로 가는 두 함자 간 자연 변환이 됨을 알 수 있다.

9. 기타

10. 관련 문서

[1] Gabriel, P. (1972). Unzerlegbare Darstellungen I. Manuscripta mathematica, 6(1), 71–104. https://doi.org/10.1007/BF01298413[2] Durkin, P. A. (2014). Geometry Of Quivers.[3] Riehl, E. (2016) Category Theory in Context. Mineola, NY: Dover Publications, p. 4

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