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1. 개요
期待値 / Expected value어떤 확률 과정을 무한히 반복했을 때, 얻을 수 있는 값의 평균으로서 기대할 수 있는 값. 보다 엄밀하게 정의하면 기댓값은 확률 과정에서 얻을 수 있는 모든 값의 가중 평균이다.
확률 변수 [math(X)]가 어떤 모집단 분포를 따를 때 [math(X)]의 기댓값을 (모)평균(population mean)이라고도 부른다. 예컨대 다음과 같은 표현을 많이 접할 것이다.
[math(X)]가 평균 [math(\mu)], 표준편차 [math(\sigma)]인 정규분포를 따른다고 하자.
2. 정의
2.1. 이산 확률 변수
이산 확률 변수 [math(X)]의 확률분포표가 다음과 같다고 하자. ([math(p(x))]는 확률 질량 함수)| [math(X)] | [math(x_1)] | [math(x_2)] | [math(\cdots)] | [math(x_n)] | |
| [math(p(x))] | [math(p_1)] | [math(p_2)] | [math(\cdots)] | [math(p_n)] | |
[math(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^{n}{x_ip_i})]
이산 확률 변수 [math(X)]가 취하는 값의 개수가 무한한 경우, 즉 자연수 집합과 일대일 대응 되는 경우에도 비슷하게 정의된다.[math(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^{\infty}{x_ip_i})]
단, 이 급수가 절대수렴해야 한다. 다시 말해서 각 항에 절댓값을 씌운 급수 [math(\displaystyle\sum_{i= 1}^\infty|x_ip_i|)]가 무한대로 발산하는 경우는 기댓값이 정의되지 않는다. 이는 리만 재배열 정리 때문이다.2.2. 연속 확률 변수
연속 확률 변수 [math(X)]의 확률 밀도 함수가 [math(f(x))]라고 할 때 [math(X)]의 기댓값은 다음과 같이 정의한다.[math(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\, \mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}} xf(x)\,\mathrm{d}x)]
이산 확률 변수의 경우와 마찬가지로 [math(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}|xf(x)|\,\mathrm{d}x)]의 값이 무한대라면 기댓값이 정의되지 않는다.
이렇게 '정의되지 않음'은 기댓값의 고유한 특성이 아니라, 르베그 적분(Lebesgue integral)의 정의에서 오는 것이다. 위 이산 확률 변수의 경우도 이산 측도에서의 르베그 적분이므로[2] 마찬가지인 것이며 이상적분(improper integral)과는 다르다.
예컨대 코시 분포(Cauchy distribution)[3]는 다음과 같은 확률밀도함수를 가진다.
[math(\displaystyle f(x)= \frac{1}{(1+ x^2)\pi})]
이 확률밀도함수는 표준정규분포와 유사하게 종 모양을 가지고 0을 중심으로 대칭이지만, 직관과는 달리 기댓값은 0이 아니고, 정의되지 않는다. 즉, 평균이 없는 분포다.[4] 이와 관련해서는 이상적분 항목 참조.
2.3. 응용
어떤 함수 [math(g)]에 대해 [math(g(X))]의 기댓값, 즉 [math(\mathbb{E}(g(X)))]는 다음과 같이 정의된다.- 이산 확률 변수 : [math(\displaystyle \mathbb{E}g(X))=\sum_{i=1}^{n}{g(x_i)p_i})]
- 연속 확률 변수 : [math(\displaystyle \mathbb{E}(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx)]
예를 들어 [math(X)]의 분산 [math(\text{V}(X))]는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\text{V}(X)=\mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)=\mathbb{E}(X^2)-\{\mathbb{E}(X)\}^2)]
3. 성질
상수 [math(a)]의 기댓값은 [math(a)]이다.- [math(\mathbb{E}(a)=a)]
기댓값은 선형성을 가진다. 즉, 다음이 성립한다. ([math(X, Y)]는 확률변수, [math(a)]는 상수)
- [math(\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y))]
- [math(\mathbb{E}(aX+b)=a \mathbb{E}(X)+b)]
- [math(\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y))]
보통 이런 경우 확률변수 [math(X,\ Y)]가 서로 독립이라고 여기는 경우도 많으나, 비상관이지만 독립은 아닌 경우도 있다. 대표적으로 [math(X)]의 분포가 짝함수이고 [math(Y=|X|)]인 경우가 있다.
4. 기타
동의어인 '기대치'라는 단어는 일상적으로 생각보다 많이 쓰이는데, "기대치가 너무 높다"라던가 "기대치에 못 미쳤다"와 같이 '바라는 정도'의 맥락으로 쓰이는 경우가 많다.도박과 관련한 업계에서는 환수율이라는 말로 많이 쓰인다. 의미는 수학에서의 기댓값하고 동일하다. 카지노 회사가 돈을 벌려면 게임에서 환수율은 수학적으로 1을 넘길 수 없다.