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1. 개요
삼각함수와 관련이 있거나 삼각함수로 유도되는 함수들의 목록이다.2. 목록
2.1. 여삼각함수
[math(\mathrm{ver}\,x = 1 - \cos x)]
[math(\mathrm{vcs}\,x = 1 + \cos x)]
[math(\mathrm{cvs}\,x = 1 - \sin x)]
[math(\mathrm{cvc}\,x = 1 + \sin x)]
[math(\mathrm{hvs}\,x = \dfrac{1 - \cos x}{2})]
[math(\mathrm{hvc}\,x = \dfrac{1 + \cos x}{2})]
[math(\mathrm{hcv}\,x = \dfrac{1 - \sin x}{2})]
[math(\mathrm{hcc}\,x = \dfrac{1 + \sin x}{2})]
[math(\mathrm{exs}\,x = \sec x - 1)]
[math(\mathrm{exc}\,x = \csc x - 1)]
[math(\mathrm{arcver}\,x = \arccos(1-x))]
[math(\mathrm{arcvcs}\,x = \arccos(x-1))]
[math(\mathrm{arccvs}\,x = \arcsin(1-x))]
[math(\mathrm{arccvc}\,x = \arcsin(x-1))]
[math(\mathrm{archvs}\,x = \arccos(1-2x))]
[math(\mathrm{archvc}\,x = \arccos(2x-1))]
[math(\mathrm{archcv}\,x = \arcsin(1-2x))]
[math(\mathrm{archcc}\,x = \arcsin(2x-1))]
[math(\mathrm{arcexs}\,x = \mathrm{arcsec}(x+1))]
[math(\mathrm{arcexc}\,x = \mathrm{arccsc}(x+1))]
[math(\mathrm{vcs}\,x = 1 + \cos x)]
[math(\mathrm{cvs}\,x = 1 - \sin x)]
[math(\mathrm{cvc}\,x = 1 + \sin x)]
[math(\mathrm{hvs}\,x = \dfrac{1 - \cos x}{2})]
[math(\mathrm{hvc}\,x = \dfrac{1 + \cos x}{2})]
[math(\mathrm{hcv}\,x = \dfrac{1 - \sin x}{2})]
[math(\mathrm{hcc}\,x = \dfrac{1 + \sin x}{2})]
[math(\mathrm{exs}\,x = \sec x - 1)]
[math(\mathrm{exc}\,x = \csc x - 1)]
[math(\mathrm{arcver}\,x = \arccos(1-x))]
[math(\mathrm{arcvcs}\,x = \arccos(x-1))]
[math(\mathrm{arccvs}\,x = \arcsin(1-x))]
[math(\mathrm{arccvc}\,x = \arcsin(x-1))]
[math(\mathrm{archvs}\,x = \arccos(1-2x))]
[math(\mathrm{archvc}\,x = \arccos(2x-1))]
[math(\mathrm{archcv}\,x = \arcsin(1-2x))]
[math(\mathrm{archcc}\,x = \arcsin(2x-1))]
[math(\mathrm{arcexs}\,x = \mathrm{arcsec}(x+1))]
[math(\mathrm{arcexc}\,x = \mathrm{arccsc}(x+1))]
삼각함수를 정의하는 단위원과 직각삼각형에서 삼각함수를 제외한 나머지 부분에서 정의되는 함수들이다.
2.2. 현 함수
[math(\operatorname{crd}x= \sqrt{\sin^2x +\displaystyle\operatorname{ver}^2x} = 2\sin\dfrac x2)]
[math(\operatorname{acrd}x = 2\arcsin\dfrac x2)]
원의 할선의 길이를 정의하는 함수이다. 단위원 위에서 중심각의 크기가 [math(x)]인 현의 길이를 [math(\operatorname{crd}x)]라고 한다. 이 함수의 역함수, 즉 현의 길이가 [math(x)]일 때 이 현의 중심각의 크기를 [math(\operatorname{acrd}x)]라고 한다.[math(\operatorname{acrd}x = 2\arcsin\dfrac x2)]
2.3. 쌍곡선 함수
2.4. 야코비 타원 함수
2.5. 허수지수함수
오일러 공식을 함수꼴로 만든 것이다.
2.6. 코사인 사인 합 함수
[math(\mathrm{cas}(x) = \cos x + \sin x)][1]
단순하게 사인값과 코사인값을 더한 것으로 정의되는 함수이다. 함수 이름자마저도 cosine and sine이다(...).'이런 거에까지 함수를 따로 정의해줘야 할까?' 하는 생각이 들 것이지만, 사실 이 함수의 주요 용도는 하틀리 변환이라는, 푸리에 변환과 유사한 변환식이다.
[math(\displaystyle \{\mathcal{H}f\}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} f(t)\, \mathrm{cas}(\omega t)\, \mathrm{d}t)]
2.7. 싱크 함수(sinc function)
- 비정규화 싱크함수(unnormalized sinc function)
[math(\mathrm{sinc}\left(x\right) \triangleq \dfrac{\sin x}x)] - 정규화 싱크함수(normalized sinc function)
[math(\mathrm{sinc}\left(x\right) \triangleq \dfrac{\sin\pi x}{\pi x})]
사인함수의 변형으로, 원점에서 멀어질수록 진폭이 작아지는 특성 때문에 주로 디지털 음향학에서 자주 쓰인다. [math(x=0)]일 경우 값을 정의할 수 없지만, 이 문단에서 알 수 있듯이 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x = 1)]이기 때문에 편의상 [math(1)]로 잡는다.[2][3]
어원은 Sinus Cardinalis(Cardinal Sine)이다.
사인 적분 함수는 이 싱크함수의 적분으로 정의된다.
구형파 함수를 푸리에 변환할 경우 얻을 수 있는 함수다.
- [math(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\mathrm{rect}(x)\, e^{-2\pi i \xi x}\mathrm{d}x=\frac{\sin(\pi \xi)}{\pi\xi})]
2.8. 바이어슈트라스 함수
| [math(\displaystyle f\left(x\right) = \sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x))] |
카를 바이어슈트라스가 모든 실수에서 연속함수이지만 모든 실수에서 미분이 불가능한 함수로 고안한 것이다. 최초의 프랙털로도 알려져 있다.[4]
2.9. 셀레리에 함수
| [math(f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin( a^{k}x)}{ a^k})] |
2.10. 위상수학자의 사인곡선
[math(f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac 1x, & \textsf{if }x \ne 0 \\ 0, & \textsf{if }x = 0 \end{cases})]연결 공간의 반례로 자주 등장하는 함수이다.
2.11. 디리클레 함수
| [math(\displaystyle \bold1_{\mathbb Q}\left(x\right) = \lim_{m \to \infty} \left\{\lim_{n \to \infty} \cos^{2n}\left( m! \pi x \right)\right\})] |
2.12. 에어리 함수
2.13. 클라우젠 함수
| [math(\displaystyle \mathrm{Cl}_2(x) = -\int_0^x \ln\left|2 \sin\frac x2\right| \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin kx}{k^2})] |
2.14. 구데르만 함수
2.15. 볼테라 함수
[1] 삼각함수의 합성 공식을 이용해 변형하면 [math(\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right))][2] 로피탈의 정리를 이용해도 같은 결과가 나온다.
[math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1)][3] [math(\mathrm{sinc}(x)= \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\mathrm{cos}\left(\frac{x}{2^n}\right))]으로 정의하면 [math(\mathrm{sinc}(0)=1)]로 잘 정의된다.[4] 단, 프랙털이라는 개념은 이 함수보다 나중에 나왔고 그에 따라 이 함수가 프랙털임이 밝혀진 것이다.
[math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}x \xlongequal{\textsf{l'H\^opital}} \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1)][3] [math(\mathrm{sinc}(x)= \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\mathrm{cos}\left(\frac{x}{2^n}\right))]으로 정의하면 [math(\mathrm{sinc}(0)=1)]로 잘 정의된다.[4] 단, 프랙털이라는 개념은 이 함수보다 나중에 나왔고 그에 따라 이 함수가 프랙털임이 밝혀진 것이다.