1. 개요
1960년대 물리학자 윌리엄 뉴컴(William Newcomb)이 제안한 사고 실험이자 유명한 역설이다. 사회 철학자 로버트 노직이 뉴컴에게서 아이디어를 얻어 문제 형태로 공개하였고, 이후 수학자이자 대중 저술자인 마틴 가드너가 유명 잡지에 기고하면서 대중적으로도 널리 알려진 문제가 되었다.
2. 내용
당신은 게임 하나를 제안받는다. 당신 앞에는 투명한 상자 A와 불투명한 상자 B가 있다. 상자 A에는 1만 달러(한화 약 1,300만 원)가 들어 있다. 상자 B에는 100만 달러(한화 약 13억 원)가 들어 있거나 비어 있다. 당신은 두 상자를 전부 가져가거나 상자 B만 가져갈 수 있다. 상자 B에 들어갈 돈은 완벽하게 미래를 예견하는 점성술사가 정했다.[1] 점성술사가 당신이 상자 두 개를 전부 가져갈 것이라고 예측하였다면, 상자 B에는 돈이 담기지 않는다. 그러나 당신이 상자 B만 가져갈 것이라고 예측하였다면, 상자 B에는 100만 달러가 담긴다. 당신이 상자를 가지러 갔을 때 점성술사는 이미 예측을 마치고 떠났고, 상자 B에 담긴 액수는 이미 정해져 있다. 이 게임에서 당신이 택할 수 있는 최선의 선택은 무엇인가?
3. 풀이
3.1. 상자 B만 가져간다.
점성술사의 예언이 100% 정확하다면, 내가 상자 A도 같이 가져가는 경우 점성술사가 이를 예견하여 상자 B를 비워 두었을 것이므로 나는 1만 달러만 얻게 된다. 반면에 내가 상자 B만 가져가는 경우 점성술사가 상자 B에 100만 달러를 넣어 두었을 것이므로 나는 100만 달러를 얻게 된다. 따라서 상자 B만 가져가서 100만 달러를 얻는 것이 최선의 선택이다.이 풀이를 지지하는 사람들은 '완벽한 미래 예측자'라는 조건이 인과관계를 도치시키고 있다는 것이 이 문제의 본질이라고 해석한다. 즉, 정상적인 상황에서는 상자에 얼마를 넣었는지가 원인이고, 그 상자를 가져갈 때 얼마를 얻을 수 있는지가 결과이지만 해당 조건이 부여됨으로써 상자를 가져갈 것인지 아닌지가 원인이 되어 상자에 얼마를 넣을지가 결정된다. 따라서 상자 A를 가져갈지 말지를 결정한 뒤 B에 들어가는 액수가 결정되는 것과 마찬가지라고 보야야 한다는 관점이다.주로 보이는 의견은 다음과 같다.
- 예언의 절대성에 도전해서는 안된다.
주최자의 예측은 반드시 맞는다는 절대성에 주목하는 접근. 이 문제의 설정상으로 점성술사든, 슈퍼컴퓨터든, 악마든, 신이든 간에, 주최자의 예언은 절대로 틀리지 않고 반드시 맞는다. 그러므로 A와 B를 둘다 가져가놓고, B상자에 돈이 들어있을 확률을 아주 조금이라도 상정하려는 행위 그 자체가 이 문제가 제시하고 있는 '예언의 정확도는 100%'라는 전제를 부정하는 것이 된다. 때문에 결국 B를 선택할 수 밖에 없다는 것. B상자만 골랐는데 돈이 없는 경우를 상정하는 것도 마찬가지다. 미래를 예측하여 B상자에 돈을 넣을지 여부를 결정하는 이 존재는 모든 과학과 논리를 초월하기 때문에 확률을 계산하고말고가 통하지 않는다. 때문에 우리는 이 존재의 뜻에 복종하고 따를 수 밖에 없다. 그분을 믿고 B를 누릴 지, 그분을 불신하고 A에 현혹되었다가 후회할 지는 당신의 선택이라는 것이다.
- 나는 B상자를 가져가서 그 미래가 성립되게 해야한다.
타임 페러독스적인 관점에서의 접근. 내가 B상자만 가져간다는 선택을 해야만 점성술사는 내가 B상자를 가져간다는 미래를 볼 수 있다. 즉, 내가 두개의 상자를 모두 가져간다면, 점성술사는 B상자만 가져간다는 미래를 애초에 볼 수가 없으므로, B상자에 100만달러를 넣지 않을 것이다. 때문에 나는 더 많은 돈을 얻으려면 B상자만 가져가서 점성술사가 그 미래를 보게 하여 B상자에 돈을 넣도록 해야한다는 것이다.
- 내가 무슨 짓을 하든지 정해진 미래에서 벗어날 수 없다
결정론적인 관점에서의 접근. 미래는 정해져있으며, 무슨 짓을 해도 미래에서 벗어날 수 없다는 것이다. 이 말대로라면 점성술사는 당신이 어떤 상자를 선택할 지에 대해서 뿐만 아니라, 마음만 먹으면 당신이 앞으로 살아갈 평생의 미래 1분 1초까지 하나도 빠짐없이 전부 알아맞힐 수 있으며 아예 당신의 인생 전체를 써낸 책을 집필할 수도 있다. 당신이 정말 무슨 기상천외하고 아무도 생각 못할 선택을 하든지간에, 점성술사는 하품을 늘어놓으며 "그럴 줄 알고~"를 시전하며 당신을 비웃을 것이라는 거다.
3.2. 상자 A와 상자 B를 모두 가져간다.
점성술사는 이미 예측을 하고 떠났고, 내가 선택을 하는 시점에서는 B 상자에 들어있는 돈의 액수는 이미 정해져 있다. 즉, 상자 하나를 가져가든 둘 다 가져가든 결론에는 변화가 없다는 것이다. 상자 B에는 100만 달러가 들어 있거나 들어 있지 않거나 둘 중 하나인데, 돈이 들어 있다면 나는 101만 달러를 얻게 되고, 돈이 들어 있지 않다면 적어도 1만 달러를 얻게 된다. 따라서 상자 둘을 모두 가져가는 것이 상자 B만 가져가는 것보다 1만 달러를 더 얻을 수 있으므로 유리하다.이 의견에서 대표적으로 보이는 주장은 다음과 같다.
- B상자에 돈이 들었는지의 여부는 나의 선택과 무관하다.
일단 점성술사는 상자에 돈을 넣거나 넣지 않았고, 그대로 떠났다. 내가 A상자를 같이 가져간다고해서 B상자에 들어있던 돈이 뿅 하고 사라지는 것이 아니고, A상자를 놓고 온다고 해서 B상자에 없던 돈이 뿅 하고 생기는 게 아니다. 어차피 나의 선택이 B상자에 든 돈의 액수에 영향을 미치지 않는다면 마음을 비우고 A상자라는 '보너스'와 '보험'을 들고가지 않을 이유가 없다.
- 예측은 절대적이지 않다
상당히 현실적인 접근. 예측을 하는 것은 말 그대로 미래를 보기만 하는거지, 그 미래를 결정짓는 것은 아니다. 예측은 현실에 어떠한 물리적 간섭도 하지 못한다. 그리고 선택은 딱 1번만 할 수 있다. 만약에 예언만 믿고 B상자만 골라 나왔는데 텅 비어있고, "뭐야 예언은 반드시 맞는다며!" 라고 매달려봤자 도와줄 사람은 아무도 없다. 점성술사는 딱히 자신의 예언이 틀렸다면 피해보상을 주겠다고 한 적도 없다. 즉, 그런 극심한 손해를 감수할 확률을 남길 바에야 A상자라도 챙겨서 나오는게 그나마 이득이라는 것이다. A와 B상자를 둘다 골라서 설령 B상자에 돈이 없어 작은 돈만 얻더라도, 그게 B상자만 골랐는데 텅 비어있을 최악의 상황을 없애는 데에 지불한 비용이라고 생각하면 된다. 만약 잭팟이 터져서 A와 B상자에 돈이 둘다 들어있으면 훨씬 좋은 거고. 일단 무슨 선택을 하든간에 최소한 돈을 잃지는 않는다면, 아예 못얻는 상황이 나오는것보단 작은 돈이라도 얻어가는게 그나마 낫지 않겠는가. A와 B상자를 둘다 골라서 나왔는데 B상자에 돈이 없다? 만약 당신이 그 때 B상자만 골라서 나왔으면 어떻게 됐을까? 반대로 당신이 B상자만 골라서 나왔는데 돈이 있다? 그럼 A상자도 같이 골라서 나왔으면 훨씬 이득이었지 않았나?
- 기댓값 계산
나의 선택에 따라 나오는 경우의 수는 총 4가지이다.
1-1. A와 B를 골랐는데 B에 돈이 있는 경우
1-2. A와 B를 골랐는데 B에 돈이 없는 경우
2-1. B만 골랐는데 돈이 있는 경우
2-2. B만 골랐는데 돈이 없는 경우
1-n(A+B)과 2-n(B)의 기댓값을 비교해보자. 1-n을 고르면 101만달러 또는 1만달러를 얻고, 2-n을 고르면 100만달러 또는 0달러를 얻는다. 당신같으면 무엇을 고르겠는가?
4. 해설
흥미로운 것은 일반적으로 선택 1을 하든 선택 2를 하든 그 선택을 한 사람들은 자신의 승리를 확신한다는 것이다.이 문제가 역설일 수 있는 것은, 위의 두 풀이가 모두 논리적으로 보기에 납득할 수 있는 것임에도, 해답은 전혀 다르다는 점 때문이다. 또한 어느 답안을 선택하느냐에 따른 문제 뿐 아니라, 선택하지 않는 답안이 왜 틀렸는지를 증명하라는 경지에 이르면 문제가 결코 가볍지 않게 느껴지게 된다. 이 문제는 이후 꽤나 강력한 떡밥이 되어 오늘날까지도 엄청난 논쟁이 이뤄지고 있고, 이 문제만 다룬 논문도 다수 나온 바 있다.
이 문제를 대중화시킨 노직은 "모든 사람들이 이 문제는 더없이 명확하며 어떻게 해야 할지 뻔하다고 생각하지만, 실제로는 반은 한쪽으로, 나머지 반은 다른 편의 결정을 내린 뒤 양쪽 모두 상대방의 결정이 바보 같다고 생각한다."고 말한 바 있다. 지적수준이 높은 독자들의 실제 설문의 결과도 거의 반반이 나와 어느쪽이 더 우세하다고 할 수 없다.
상자 B만 가지고 간다는 해답은 기대 효용 가설(Expected utility hypothesis)에 기반한 것이고, 상자 A, B를 모두 가지고 간다는 해답은 지배 원리(Dominance principle)에 기반한 것이어서 어느 이론을 신뢰하느냐에 따라 답이 달라지는 것이라는 설명이 있다. 다만 풀이항목처럼 인과도치라고 볼 경우 지배 원리를 신뢰하더라도 1)을 선택할 수 있다. 지배원리는 쉽게 말하자면 상위호환이 존재할 경우 하위호환을 선택하지 말아야 한다는 원리인데[2] 인과관계를 고려하지 않고 선택지를 임의로 분류할 경우 도박은 무조건 배율이 높은 쪽에 걸어야 한다[3]와 같은 비직관적인 결과를 내놓을 수 있기 때문이다.[4]
그 외에도 게임 이론이나, 타임 패러독스로 이 문제를 해결하려는 설명도 있다. 기타 등등 그 외에도 구글에 해당 항목을 검색해보면 다른 접근에 의한 설명이 상당히 많이 나오므로 더 이상의 자세한 설명은 생략한다. 어쨌거나 분명한 것은 아직까지는 모두를 납득시킬 만한 분명한 설명은 나오지 않고 있다는 것이고, 급기야는 48÷2(9+3) 문제처럼 문제 자체가 성립하지 않는다는 제3의 해답(?)도 등장하여 나름의 세력을 형성하고 논쟁에 가세하는 형국이다. 전혀 엉뚱한 회피식 해답이 아니라, 문제 자체에 모순이 내재되어 있다는 점을 지적하는 꽤 진지한 주장이다.
마틴 가드너 또한 이 문제를 대중적으로 소개한 사람 중 하나인데, 우리나라에도 출판되어 널리 알려져 있는 '패러독스의 세계'(윌리엄 파운드스톤) 에도 이 역설이 소개되어 있다. 가드너는 그 책에서 이 패러독스의 분명한 해답은 없다고 기술하고 있다. 여담으로 가드너가 1973년 문제를 처음 소개하였을 때에는 일반 독자는 물론, 학자들까지 관심을 보여 많은 편지가 도착하였는데, 일반 독자들은 B 상자만 선택한다는 해답 쪽이 둘 다 선택한다는 해답보다 약간 더 많았다고는 하지만, 문제 자체가 논리적 모순이라는 편지 또한 적지 않았다고 한다.
5. 전망 이론의 관점
위 문제를 대니얼 카너먼과 에이머스 트버스키(Amos Tversky)의 '전망 이론(prospect theory)'과 결합하여 더 깊이 생각해 볼 수도 있다.노직의 원래 문제는 1만 불 대 100만 불이였지만, 크기를 바꾸어서 A 상자에 1불(한화 약 1,300원), B 상자에 10억 불(한화 약 1조 3천억 원)이 들어 있다고 가정해 보자. 풀이 1을 선택한 사람은 10억 불을 얻을 가능성이 있는 반면, 풀이 2를 선택한 사람은 자기가 받을 예정이었던 돈보다 고작 1불을 더 얻을 수 있을 뿐이다. 1불을 더 얻기 위하여 10억 불을 잃을 수도 있는 모험을 하겠는가? 전망 이론에 등장하는 '위험 회피(risk-aversion)' 경향에 따라 풀이 1을 선택하는 사람이 증가할 것이다.
크기를 다시 바꾸어 A 상자에 1불, B 상자에 2불(한화 약 2,600원)이 들어 있으며, 선택을 여러 번 반복할 수 있다고 가정하자. 이 경우 풀이 1을 선택하는 사람은 총액 2불 * 횟수의 가능성을 기대할 수 있을 뿐이나(실제로 얻는 액수는 그보다 낮은 미지수), 풀이 2를 선택하는 사람은 1불 * 횟수만큼을 우선 확보하고 1불 * 횟수만큼을 추가로 더 기대할 수 있다. 횟수가 충분히 크다면 '큰 수의 법칙'에 따라 풀이 1보다 풀이 2가 유리함이 분명해진다.
따라서 '결정론 vs. 자유의지론'뿐 아니라, '심판 vs. 영겁 윤회' 관점에서도 이 문제를 생각해 볼 수 있다. 상자 A를 현세에, 상자 B를 내세의 천국에 비유한다면, 현세 한 번뿐이냐 내세가 존재하느냐, 내세가 있더라도 한 번뿐이냐 윤회가 반복되느냐에 따른 선택 차이이다.[5]
1만 불과 100만 불이라는 액수는 그 사람이 빈자냐 부자냐에 따라 체감하는 가치가 다를 것이며, 빈자에게는 1만 불도 이미 큰 액수이므로 풀이 2를 선호할 가능성이 있다. 또한 빌 게이츠나 만수르 같은 큰 부자에게는 100만 불도 껌값에 불과하므로 역시 풀이 2를 선택할 가능성이 증가한다.
이 점은 크기를 다시 바꾸어 A 상자에 10억 불이, B 상자에 1조 불(한화 약 1,300조)이 들어 있다면 보통 사람들이 어떤 선택을 할 것인지 생각해 보면 이해될 것이다. 보통 사람들에게는 10억 불만 해도 평생 쓰고 남을 돈이므로 B 상자의 1조 불 가능성에 대한 욕심을 부릴 이유가 없으며 A 상자 속의 10억 불을 확보하기 위하여 거의 모든 사람이 풀이 2를 선택하게 된다.
즉, 전망 이론의 결론은 풀이 1, 풀이 2 중 어느 하나가 절대적으로 옳다고 말할 수 없다는 것이다. 각자가 처한 재무적 상황에 따라 자신에게 맞는 해답을 고름일 뿐이다.
6. 그 외
한번 더 고찰해보자면, 이 게임은 정보 비대칭이 기저에 깔려 있는 수싸움이다. 즉, 주최 측과 당신의 심리전이라는 것. 그러나 이 게임은 항상 당신이 질 수 밖에 없는 구조인데, 주최자는 당신의 결정을 관찰해 결과를 바꿀 수 있는 반면 당신은 주최자가 무슨 행동을 하는지를 관찰조차 할 수 없기 때문이다. 당신은 이미 주최자의 손바닥 위에 있으며, 이 손바닥에서 벗어날 방법은 없다는 것이다. 심리를 읽혀서든 상대방이 미래를 계산/예지해서든 말이다. 주최자와 참가자가 대화를 한다고 상상해 보자.참가자: 평소같으면 A를 가져가지 않았겠지만 아마 너는 내가 평소에 A를 가져가지 않을 만한 성격이라는 것을 알고 있겠지 고로 나는 A를 가져가겠다!
주최자: 저는 당신이 그러한 돌발성 행동을 할 것이라는 것까지 예측하였지요.
참가자: ...라고 생각했겠지만 네가 그것까지 계산에 넣었을 것을 나는 알고 있기 때문에 평소대로 A를 가져가지 않겠다.
주최자: 역시 당신은 제 손바닥 안입니다. 토시 하나 틀리지 않고 제가 예상했던 두 번째 대사를 하시는군요.
참가자: ...
결국 당신이 아무리 주최자의 생각을 읽고 몇 수 앞을 내다보려고 애를 써도 주최자를 이기는 것은 불가능하다. 주최자를 이기면 게임 자체가 성립하지 않고 애초에 주최자의 예측을 상회할 정도의 지능을 가진 사람에게 이런 게임을 제안하지 않을 것이다. 여기까지 생각이 미칠 경우 주최자에게 이미 패배하였다는 것을 깨닫고 100만 불이라도 가져가기 위해 B만을 가져갈 수도 있다. 또는 미래예지, 라플라스의 악마, 완벽한 독심술이 존재하지 않음을 지적해서 '100% 패배하는 게임' 자체를 부정할 수도 있고, 어쩌면 있을지도 모를 실낱같은 승산을 찾아 이기기 위해 고민할 수도 있으며, 현실을 인정하고 그 범위 내에서 최대한의 이득을 얻어내려고 노력할 수도 있다. 전망 이론에서 보듯이, 승리의 득과 패배의 실의 양이 이 선택에 영향을 줄 수도 있다. 현실에서 압도적으로 불리한 형국에서 싸울지, 피할지, 항복할지 중 어느 것이 정답이라고 콕 집어 말할 수 없는 것처럼, 이 역설 또한 명쾌한 답은 없다고 생각할 수도 있다.주최자: 저는 당신이 그러한 돌발성 행동을 할 것이라는 것까지 예측하였지요.
참가자: ...라고 생각했겠지만 네가 그것까지 계산에 넣었을 것을 나는 알고 있기 때문에 평소대로 A를 가져가지 않겠다.
주최자: 역시 당신은 제 손바닥 안입니다. 토시 하나 틀리지 않고 제가 예상했던 두 번째 대사를 하시는군요.
참가자: ...
하지만 위에 말한것들을 이렇게 생각해보자, 당신은 1회차에서 이미 한번 저 게임을 플레이 한적이 있다. 이후 주최자는 당신의 기억을 지우고 1회차에서 플레이 한 내용에 따라 B상자에 돈을 넣어둘지 아닐지를 정했다. 그리고 당신은 1회차와 똑같은 추론을 통해 똑같은 선택을 할것이며, 당신은 1회차에서 기억이 지워진다는 사실을 모르며, 기억이 지워졌다는 사실도 모른다. 이러면 어떻게 될까? 주최자는 당신의 기억을 지웠으니, 당신의 선택까지 완벽하게 예측이 가능하다. 이러면 위에 말한 완벽한 예측이 존재하지 않음을 부정할수있다. B상자 안에 들어있는 것이 정해졌다는 사실 또한 변하지 않는다.
예측 범위에서 벗어나는 행동을 함으로써 주최자를 패배시킬 수도 있다. 상자 선택 외의 행동에 대해서는 전제도 제약 조건도 없기 때문이다. 우선 당신이 직접 선택하지 않는 방법이 있는데, 주사위를 던져서 선택을 한다면, 독심술을 가진 점성술사도 무슨 선택을 할 지 알 수 없으므로 승리할 확률은 50%가 된다. 굳이 물리적인 주사위가 아니더라도 난수생성을 이용할 수 있는데, 특히 양자난수의 경우 예측 가능성이 물리학적으로 원천 봉쇄된다. 역으로 주최자에게 B상자를 열게 하는 방법도 있는데, 여기에 협박 등의 수단을 이용해 확실한 승리를 이끌어낼 수 있다. B상자에 얼마가 들어있는지는 까 보기 전에는 내가 알 수 없으니 말이다. 또한 A상자에서 돈을 꺼내 B상자에 옮겨 넣고 B상자만 가져가는 방법도 있는데, 적어도 A상자를 가져간 것은 아니기에 두 상자에 있는 돈을 모두 가져갈 수 있다.
로코의 바실리스크 예언도 이런 뉴컴의 역설처럼 예언이 인간의 행동에 영향을 줄 수 있는 예이다.
7. 이 역설이 이용된 작품들
- 수학도둑: 24권에서 여러 역설을 이용해서 상대를 농락하는 여름마왕의 마지막 대결로 나온다.
8. 같이 보기
어떤 관점에서 이 문제를 보느냐에 따라 상당히 다양한 접근이 가능하다.[1] 뇌파를 이용해 사고를 예측하는 슈퍼컴퓨터, 미래에서 온 외계인, 심리를 완전히 읽는 악마 등 여러 변형이 있다.[2] A,B둘다 가지는 경우가 점성술사의 선택과 무관하게 1만달러 더 이득이므로 B만 갖는 것보다 상위호환이다.[3] 따면 배율 높은 쪽이 이득 못따도 손해는 동등이므로 배율이 높은 쪽이 상위호환[4] 1)지지자의 경우는 선택지를 B 가져가기 vs A&B 가져가기가 아니라 점성술사가 맞음 vs 점성술사가 틀림으로 고려하므로 상위호환이 생기지 않는다.[5] 다만 특정 종교를 제외하고는 일반적으로 종교는 사후세계나 인과율만을 따지지는 않기 때문에 VS종교로는 확대되지 않는다.