Exponential Idle

1. 개요2. 게임 진행

2.1. 틱2.2. 변수와 업그레이드2.3. 프레스티지2.4. 별2.5. 슈프리머시2.6. 졸업2.7. 이론2.8. 커스텀 이론

3. 스토리 챕터4. 보상

4.1. 미니게임

5. 업적

5.1. 목록

6. 여담

1. 개요

수학에서 영감을 받은 클리커 게임 Exponential Idle에 오신 것을 환영합니다. 여러분들의 목표는 기하급수적인 성장을 통해 돈을 모아가는 것입니다. 보이는 기호들과 숫자들에 놀라지 마세요. 이 게임은 보이는 것보다 훨씬 간단합니다!

설명서의 소개 부분

Exponential Idle은 캐나다의 박사과정 학생 Gilles-Philippe Paillé가 개발한 방치형 게임이다. Exponential은 '지수적인'이라는 뜻이고 Idle은 방치형 게임이라는 뜻이다. 이름에서부터 알 수 있듯이 주된 내용은 수학적인 것들이다.

공식 사이트

2. 게임 진행

게임의 목적은 [math(f(t))]의 값을 늘리는 것이다. 처음에 주어지는 식은 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bxdt})]이다.

게임 내에서 숫자를 표시할 때는 과학적 표기법을 사용한다.
[math(e.g.\ 3 \times 10^6 = 3.0000e6)]
[math(e.g.\ 10^{10^{6.4}} = ee6.4000)]

2.1. 틱

틱은 1/10초마다 한번씩 자동으로 진행되며, t를 dt/10만큼 증가시켜 표기된 식을 통해 f(t)를 계산합니다. 틱은 탭으로도 늘릴 수 있으며, 이 경우 t를 1만큼 증가시킵니다.

2.2. 변수와 업그레이드

함수의 성장 속도는 변수들을 조정하여 향상시킬 수 있습니다. 첫 번째 변수는 무료입니다. 충분한 돈을 얻은 후에는 다른 변수들도 조정할 수 있습니다. 만약 별을 충분히 모았다면 새로운 변수들도 구매할 수 있습니다. 변수들을 여러번 구매하고 싶다면 '비용' 항목을 클릭하여 구매 개수를 바꿀 수 있습니다. 별을 사용해 잠금해제 했다면, '모두 구매' 버튼으로 가능한 모든 변수를 비용이 낮은 순서대로 구매할 수 있습니다. 업그레이드로도 성장 속도를 높일 수 있습니다. 업그레이드를 사용할 수 있게 되면, 변수 목록 위에 있는 두 개의 작은 화살표가 강조 표시됩니다. '자동 구매' 보너스는 변수 및 업그레이드를 '모두 구매'와 같은 방식으로 자동으로 구매합니다.

2.3. 프레스티지

첫 번째 초기화 단계. 진행 상태를 초기화하되, b 값은 증가하고 재화 μ를 얻는다. μ를 이용해 업그레이드를 할 수 있고 이를 프레스티지 업그레이드라고 부른다. [math(dt)]값 증가와 [math(y)]계수 증가의 증가폭을 업그레이드시킬 수 있다. b와 μ의 증가량은 다음과 같다.

[math(\displaystyle db=\frac{\left[\mathrm{log}_{10}(f(t))\right]^{0.8}}{4\times 10^6})]
[math(d\mu =\mathrm{log}_{10}(f(t)))]

2.4. 별

별은 업적을 달성하거나 틱(자동적으로 혹은 탭해서)을 통해서 획득할 수 있습니다. 각 업적은 난이도에 따라 다른 개수의 별을 주고, 각 틱은 일정한 확률로 별을 생성합니다. 초당 별 획득 확률은 sqrt(dt) × 0.04%입니다. 게임이 꺼져 있을 때에도, 게임이 켜져있을 때와 같은 수의 별을 얻게 됩니다. 일단 특정 수준(b=1)에 도달하게 되면, 별을 사용하여 프레스티지에 의해 초기화되지 않는 영구적인 업그레이드를 구매할 수 있게 됩니다. 별을 모으면, 별 아이콘이 강조됩니다.

다음과 같은 방법으로 별을 얻는다.
* 틱/탭마다 확률적으로 별을 얻는다. 이 확률은 [math(\sqrt{dt})]에 비례하며 오프라인 에서도 작동한다.
* 업적을 달성한다.
* 미니게임을 클리어한다. 보상은 난이도와 dt에 비례하며 가속버튼을 통한 dt 부스팅도 적용된다.

별을 사용하여 여러가지 업그레이드를 할 수 있다. 업그레이드는 언제든지 취소할 수 있으며, 프레스티지, 슈프리머시, 졸업을 통해서도 초기화되지 않는다.

2.5. 슈프리머시

두 번째 초기화 단계. b와 프레스티지 업그레이드를 포함한 진행 상태를 초기화하되, 재화 ψ를 얻는다. ψ를 이용해 업그레이드를 할 수 있고 이를 슈프리머시 업그레이드라고 부른다. ψ의 증가량은 다음과 같다.

[math(\displaystyle d\psi=2^{\mathrm{log}_{10}(\mathrm{log}_{10}(f(t)))/25-1}-0.5)]

첫 번째 슈프리머시는 ψ가 1.5 이상일 때, 즉 누적 f(t)가 ee50 이상일 때 할 수 있다. 그리고 f(x)가 처음으로 ee200을 달성하게되면 진행이 막히고 반드시 슈프리머시를 한번 진행해서 스토리를 봐야한다. 이후 상한선이 ee2000까지 올라가서 더 진행할 수 있게 된다.

재화 ψ를 이용해 할 수 있는 업그레이드는 [math(y)] 지수의 증가와 [math(x_{n})][1] 해금 • 추가이다. 각각 40회, 8회 업그레이드할 수 있으며, 두 개 모두 완료 시 [math(z)] 지수 증가 업그레이드가 가능하다.

세 번째 슈프리머시 업그레이드가 가능한 f(t)의 값은 다음과 같다. 보유 f(t)가 아닌 누적 f(t)이다.

레벨	변수	ψ	f(t)
1	z	1.00e110ψ	$ee9160.3
2	z	1.00e130ψ	$ee10821.3
3	s	1.00e150ψ	$ee12482.2
4	s	1.00e170ψ	$ee14143.2
5	u	1.00e190ψ	$ee15804.2
6	u	1.00e210ψ	$ee17465.1
7	v	1.00e230ψ	$ee19126.1
8	v	1.00e250ψ	$ee20787.1
9	w	1.00e270ψ	$ee22448.0
10	w	1.00e290ψ	$ee24109.0
11	α	1.00e310ψ	$ee25769.9
12	α	1.00e330ψ	$ee27430.9
13	β	1.00e350ψ	$ee29091.9
14	β	1.00e370ψ	$ee30752.8
15	γ	1.00e390ψ	$ee32413.8
16	γ	1.00e410ψ	$ee34074.8
17	δ	1.00e430ψ	$ee35735.7
18	δ	1.00e450ψ	$ee37396.7
19	ε	1.00e470ψ	$ee39057.7
20	ε	1.00e490ψ	$ee40718.6
21	ζ	1.00e510ψ	$ee42379.6
22	ζ	1.00e530ψ	$ee44040.5
23	η	1.00e550ψ	$ee45701.5
24	η	1.00e570ψ	$ee47362.5

2.6. 졸업

세 번째 초기화 단계로, ee2000에 도달하면 더이상 진행이 불가능하게 되는 대신 졸업 기능이 해금된다. 이때 첫 졸업을 하게 되면 방정식이 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bx_{n}\varphi dt})]으로 변경되고, 5σ를 얻게 된다. 또한 ee2000 이상으로 나아갈 수 있다.[2]졸업은 프레스티지, 슈프리머시 업그레이드를 포함한 진행 상태를 초기화하되, 재화 σ를 얻는다. 재화 σ는 학생 수를 의미한다. 교수가 되어 학생들을 갈아넣는다는 설정이다. 졸업 시 σ의 값은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \sigma=\frac{\mathrm{log}_{10}(\mathrm{log}_{10}(f(t)))-1000}{200})]

즉 ee2000부터 ee200당 1dσ가 증가한다. 쌓인 dσ는 졸업 시 얻을 수 있다. σ를 사용해 이론 활성화나 연구를 진행할 수 있고, 이를 통해 φ값을 늘릴 수 있다.

σ를 사용해서 업그레이드할 수 있는 항목이 8개있고, 별 업그레이드처럼 언제든지 취소해고 재배치할 수 있다. φ의 값은 [math(\varphi_{1})]부터 [math(\varphi_{6})]까지 모든 항의 곱이다.
(n는 해당 항목을 업그레이드한 횟수)

[math(\varphi_{1}=dt^n)]
[math(\varphi_{2}=(1+t)^{(n\times 0.7)})]
[math(\varphi_{3}=(1+★)^n)]
[math(\varphi_{4}=(1+db)^{\frac{n}{\sqrt{100\mathrm{log}_{10}(10+db)}}})](최대 8번 업그레이드 가능)
[math(\varphi_{5}=(1+d\mu)^{\frac{n}{1300}})](최대 8번 업그레이드 가능)
[math(\varphi_{6}=(1+d\psi)^{\frac{n}{225}\times \sqrt{\mathrm{log}_{10}(10+d\psi)}})](최대 8번 업그레이드 가능)
[math(\varphi=\prod_{i}\varphi_{i} \rightarrow \varphi=\prod_{i}\varphi_{i}^{1+n\times 0.1})](최대 6번 업그레이드 가능)
n번째 이론을 해금한다(최대 9번 업그레이드 가능)

업그레이드에 관한 팁을 하자면, 3번째 업그레이드는 유일하게 수식에 관련된 값이 아닌 별을 기반하고 있기 때문에[3] 졸업을 하고 초기화된 식에서도 영향을 받지 않기 때문에 졸업 초반에 극강의 효율을 보여준다. 졸업 후반에 가면 환불받고 더 좋은 업그레이드에 투자하면 된다.

8번째 이론을 해금하게 되면 숨겨진 9번째 업그레이드를 구매할 수 있게 된다. 가격은 레벨 당 10σ.

모든 이론의 수입 × [math((\frac{\sigma_t}{20})^n)] (최대 3회 업그레이드 가능)

2.7. 이론

총 9개의 이론이 있다.

첫 이론을 해금하면 방정식이 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bx_{n}\varphi \tau dt})]로 변경된다. (τ 추가)

본편의 축소판이라고 볼 수 있다. 각 이론은 τ값을 증가시키는데 기여하며, τ 이외에는 본 게임과의 접점이 일절 없고, 각각의 이론과도 서로 상호작용하지 않는다.

이론은 한 번에 하나의 이론만 활성화할 수 있으며, 비활성화된 이론은 비활성화 시점의 진행도와 최종 τ값으로 고정된다. 총 τ의 값(본 방정식에 영향을 주는 값)은 각 이론의 τ 값을 모두 곱한 값이다.

이론은 이론 전용 재화 ρ를 생성하며, 이를 이용해 이론 속 매개변수들을 업그레이드할 수 있다. 또한 ρ의 최대 도달 지점이 τ값이 된다.

이론은 전용 프레스티지인 출판이 있다. 출판은 그 이론의 모든 것을 초기화하는 대신 수입이 증폭되어 이전 진행 상황에 보다 빨리 도달할 수 있게 해준다. 증폭은 곱셈으로 계산된다. (2배 증폭 후 3배 증폭을 할 시 총 6배 증폭으로 계산)

각 이론별로 이정표가 있다. 해당 이론의 τ의 자릿수가 25[4] 증가할 때마다 업그레이드 포인트를 1 주며, 이를 이용해 전용 패널에서 이론의 방정식을 업그레이드할 수 있다. 업그레이드 포인트는 재분배 가능하다.

첫 번째의 이론은 20σ를, 그 후 7개의 이론은 각각 5σ를 필요로 하고, 마지막 이론은 40σ를 필요로 한다.

이론은 순서대로 점화식, 미분방정식, 선형대수학, 다항식, 로지스틱 함수, 적분, 수치해석학, 혼돈 이론, 스포일러[5]이다.

이론은 해금할 수 있으면 바로바로 해금하는 것이 좋다. 다만, 8번째 이론인 혼돈 이론은 초반 성장이 상당히 느리고 해가 직관적이지 않는 복잡한 이론이기에 바로 해금하는 대신 다른 졸업 업그레이드에 투자하다가 여유가 생길 때 해금하고 진행하는 것을 추천한다.

1번째 이론 점화식 (ee5000/20σ)

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ee5000에 도달하면 총20σ를 얻게 되어 점화식을 해금할 수 있다. 기본적인 매개변수는 [math(q_1)], [math(q_2)], [math(c_1)], [math(c_2)]가 있고, 가장 초기의 방정식 형태는 [math(\rho_{n+1}=\rho_n+c_1c_2)]이다. 또한 [math(q_1q_2)]는 틱 속도이다.

점화식의 이정표는 다음과 같다.

[math(\uparrow c_1)]지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
[math(c_2)]에 [math(\times 1+\frac{\ln(p_n)}{100})] (최대 1회)
항 [math(\rho_{n-1}^{0.2})] 추가 (최대 1회)[6]
항 [math(\rho_{n-2}^{0.3})] 추가 (최대 1회)[7]

[math(\rho)]값의 증가량이 현재의 [math(\rho)]값을 참조하는 점화식의 특성으로 인해, 성장 속도가 어느 정도 느려지고 나면 업그레이드를 될 수 있을 때 마다 하는 것은 매우 비효율적이다. 가령 현재 가지고 있는 [math(\rho)]의 값이 1.1e151인 상황에서 1e151의 업그레이드를 지불했다면, [math(\rho)]의 값이 1e150이 되면서 뒤에 있는 모든 항의 수입이 10분의 1로 줄어든다. 물론 이는 시간이 지나면서 [math(\rho)]가 다시 올라가갰지만 이때 자동 업그레이드가 켜져있으면 또 그대로 지불하면서 수입이 떡락해서 성장이 매우 느려진다. 거기에 후반에 갈수록 [math(c_1)]과 [math(c_2)]보다 틱스피드에 해당하는 [math(q_1)]과 [math(q_2)]의 중요도가 더 커져서 [math(q_1)], [math(q_2)]를 우선적으로 지불해야한다.

게임을 적극적으로 플레이하는 스타일이면 자동 업그레이드를 끄고 다음 공식대로 매개변수 업그레이드를 하면된다.

[math(q_1)]: [math(\rho)]의 값이 현재 [math(q_1)]의 가격의 10(e+1)배 이상일 때만 구매
[math(q_2)]: [math(\rho)]의 값이 현재 [math(q_2)]의 가격의 1.1배 이상일 때만 구매
[math(c_1)], [math(c_2)]: 일단 자동을 키고, 식이 업그레이드 때문에 불안정해졌다 싶으면 이때부터 아예 구매하지 않는다. 후반에 갈수록 가치가 떨어지고, 차라리 틱 스피드나 [math(c_3)], [math(c_4)]에 투자할 것.
[math(c_3)]: [math(\rho)]의 값이 현재 [math(c_3)]의 가격의 n[8]배 이상일 때만 구매
[math(c_4)]: 항상 구매한다.

만약에 오프라인 플레이를 주로하거나 이렇게 수동으로 구매하는 것을 귀찮아한다 싶다면 자동을 키되, [math(c_1)]과 [math(c_2)]의 자동 구매기를 끄는 것을 추천한다.

이정표 업그레이드는 다음과 같은 순서를 권장한다.

1e25부터 3 -> 4 -> 2
3e85부터 4 + 3 + 1 -> 2
3e100부터 1 + 1 + 1 + 2
1e106부터 1 + 1 + 3 + 4
3e109부터 1 + 1 + 1 + 2
1e114부터 1 + 1 + 3 + 4
3e115부터 1 + 1 + 1 + 2
3.16e116부터 1 + 1 + 3 + 4
3e118부터 1 + 1 + 1 + 2
1e122부터 1 + 1 + 3 + 4
3e123부터 1 + 1 + 1 + 2 -> 3
1e130부터 1 + 1 + 1 + 3 + 4
3e131부터 1 + 1 + 1 + 2 + 3
1e138부터 1 + 1 + 1 + 3 + 4
3e139부터 1 + 1 + 1 + 2 + 3
1e146부터 1 + 1 + 1 + 3 + 4
3e148부터 1 + 1 + 1 + 2 + 3 -> 4

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\rho_{n+1}=\rho_n+c_1^{1.15}c_2\left(1+\frac{\ln(p_n)}{100}\right)+c_3\rho_{n-1}^{0.2}+c_4\rho_{n-2}^{0.3})]

2번째 이론 미분방정식 (ee6000/25σ)

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ee6000에 도달하면 5σ를 추가로 얻게 되어 미분방정식을 해금할 수 있다. 미분방정식의 기본적인 매개변수는 [math(q_1 q_2)] 그리고 [math(r_1 r_2)]가 있고, 이정표 업그레이드로 추가적으로 얻을 변수는 [math(q_3 q_4)] 그리고 [math(r_3 r_4)]가 있다. 기본적인 식에 사용되는 변수는 [math(q_1 r_1)]뿐이며 식의 기본 형태는 [math(\dot{\rho}=q_1r_1)]이고 그 외 변수는 각각 [math(q_1)]과 [math(r_1)]을 증가시킨다. 증가폭은 다음과 같다.

[math(q_1(t+dt)=q_1+q_2dt+\frac{1}{2}q_3dt^2+\frac{1}{6}q_4dt^3)]
[math(r_1(t+dt)=r_1+r_2dt+\frac{1}{2}r_3dt^2+\frac{1}{6}r_4dt^3)][9]

미분방정식의 이정표는 다음과 같다.

[math(q_3)]과 [math(q_4)] 잠금 해제[10] (최대 2회)
[math(r_3)]과 [math(r_4)] 잠금 해제[11] (최대 2회)
[math(\uparrow q_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
[math(\uparrow r_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)

이정표 업그레이드 순서는 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> 3 -> 3 -> 3 -> 4 -> 4 -> 4를 추천한다.

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=q_1^{1.15}r_1^{1.15})]

미분방정식의 차원은 10.2차원으로, 다른 이론들에 비해 압도적으로 크다. 대신 출판 전 ρ를 달성하는 데 긴 시간이 걸리기 때문에, 출판 주기를 길게 잡는 편이 좋다.

3번째 이론 선형대수학 (ee7000/30σ)

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선형대수학의 기본 변수는 [math(b_1)], [math(b_2)]와 [math(c_{11})], [math(c_{12})], [math(c_{21})], [math(c_{22})]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(b_3)]과 [math(c_{13})], [math(c_{23})], [math(c_{31})], [math(c_{32})], [math(c_{33})]을 해금할 수 있다. [math(\tau_3)]의 값은 [math(\rho_1)]의 최댓값이다.[12]

기본적인 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\begin{bmatrix}\dot{\rho_1}\\\dot{\rho_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix})]

변수 구매에 필요한 비용의 증가율이 작은 대신 [math(\rho_1)]이 선형적으로 증가한다는 치명적인 단점이 있다. 따라서 적절한 자동 구매와 짧은 출판 주기로 변수가 최대한 비선형적으로 성장하도록 해야 한다. 또한 선형적으로 증가한다는 것은 방치하고 있으면 성장이 잘 안된다는 뜻이니[13] 잠잘때 같이 게임을 오프라인으로 돌려야할 때는 선형대수학 대신 다른 이론을 켜놓을 것을 추천한다.

이정표 업그레이드 순서는 2 -> 2 -> 3 -> 3 -> 1 -> 4 -> 4로 추천하다.

선형대수학의 이정표는 다음과 같다.

차원 증가
[math(\uparrow b_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 2회)
[math(\uparrow b_2)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 2회)
[math(\uparrow b_3)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 2회)

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\begin{bmatrix}\dot{\rho_1}\\\dot{\rho_2}\\\dot{\rho_3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1^{1.1}\\b_2^{1.1}\\b_3^{1.1}\end{bmatrix})]

4번째 이론 다항식 (ee8000/35σ)

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다항식의 기본 변수는 [math(c_1)], [math(c_2)], [math(c_3)]와 [math(q_1)], [math(q_2)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(c_4)], [math(c_5)], [math(c_6)]을 해금할 수 있다.

[math(q)]와 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle q=\sqrt{2q_1q_2(t-t_0)}-1)] ([math(t_0)]은 적분상수)
[math(\displaystyle \rho=\left(\frac{c_2}{c_1}-c_3\right)t+\frac{2}{3}c_3\sqrt{2q_1q_2}(t-t_0)^{\frac{3}{2}}+C)] ([math(C)]는 적분상수)

다항식의 이정표는 다음과 같다.

[math(q^2)]항, [math(q^3)]항, [math(q^4)]항 추가 (최대 3회)
[math(\uparrow c_1)] 지수를 [math(0.15)]만큼 증가
[math(\times\dot{q})] 2배 (최대 3회)

이정표 업그레이드 순서는 1 -> 1 -> 1 -> 3 -> 3 -> 3 -> 2를 추천한다.

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=c_1^{1.15}c_2+c_3q+c_4q^2+c_5q^3+c_6q^4)]
[math(\displaystyle\dot{q}=2^3q_1q_2\frac{1}{1+q})]

이때 [math(q)]와 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle q=4\sqrt{q_1q_2(t-t_0)}-1)]
[math(\displaystyle \rho=\left(\frac{c_2}{c_1}-c_3-c_4-c_5-c_6\right)t+\frac{8}{3}c_3\sqrt{q_1q_2}(t-t_0)^{\frac{3}{2}}+2c_4\sqrt{q_1q_2}(t-t_0)^{2}+\frac{8}{5}c_5\sqrt{q_1q_2}(t-t_0)^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}c_6\sqrt{q_1q_2}(t-t_0)^{3}+C)]

5번째 이론 로지스틱 함수 (ee9000/40σ)

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로지스틱 함수의 기본 변수는 [math(q_1)], [math(q_2)]와 [math(c_1)], [math(c_2)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(c_3)]을 해금할 수 있다.

[math(q)]와 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle q=\frac{c_2}{1+e^{-\frac{c_1}{c_2}(t-t_0)}})] ([math(t_0)]은 적분상수)
[math(\displaystyle \rho=\frac{1}{c_1}q_1q_2\ln\left(1+e^{\frac{c_1}{c_2}(t-t_0)}\right)+C)] ([math(C)]는 적분상수)

수식에 뺄셈이 등장하는 최초의 이론으로, [math(q)]가 유계이기 때문에 변수 구매에도 전략이 필요하다.[14] 이렇기에 이 이론을 오프라인으로 방치진행하는 것은 극히 추천하지 않는다. 긴 시간동안 방치해야만 한다면 이론 진행을 미분방정식이나 다항식으로 바꿔서 진행해야 손해를 덜 본다.

출판 직전 [math(c_2)] 자동 구매를 해제해야 하며, [math(c_2)]는 [math(\displaystyle q>\frac{2}{3}c_3^?c_2)]일 때 하나씩 구매한다.
[math(q)]가 상계에 도달하여 더 이상 증가하지 않을 때, [math(c_2)]를 한 번 구매한 후 [math(\displaystyle q>\frac{2}{3}c_1^{?}c_2)]를 만족하는 데 걸리는 시간은 최대 [math(\displaystyle\frac{c_2}{c_1c_3^?}\ln2)]초이다. 자동 구매 간격을 고려할 때, [math(\displaystyle c_2<c_1c_3^?)]일 때까지는 수동 구매하고, [math(\displaystyle c_2>c_1c_3^?)] 달성시 자동 구매한다.
[math(q)]의 증가율이 크게 감소한 상황에서는 [math(c_1)] 구매로 얻을 수 있는 [math(\rho)]의 값이 매우 낮다. [math(c_1)] 구매시 증가량을 [math(\Delta c_1)]이라 할 때, 다른 변수를 구매하기 전까지 추가로 얻을 수 있는 [math(\rho)]의 값은 [math(\displaystyle\frac{q_1q_2\Delta c_1}{c_1\left(c_1+\Delta c_1\right)}\ln\left(\frac{c_2}{q}-1\right))] (이정표 업그레이드 완료 후 [math(\displaystyle\frac{q_1^{1.15}q_2c_3^{2.2}\Delta c_1}{c_1\left(c_1+\Delta c_1\right)}\ln\left(\frac{c_3^{1.1}c_2}{q}-1\right))])보다 작다. 이 값이 [math(c_1)] 구매 비용보다 커지면 [math(c_1)] 구매가 오히려 손해이며, [math(c_2)] 또는 [math(c_3)]을 구매할 때까지 [math(c_1)] 자동 구매를 해제한 후, 두 변수 중 하나를 구매한 다음부터 자동 구매를 다시 켠다.

로지스틱 함수의 이정표는 다음과 같다.

[math(\uparrow q_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
[math(c_3)] 잠금 해제
[math(\uparrow c_3)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 2회)

이정표 업그레이드 순서는 2 -> 1 -> 1 -> 1 -> 3 -> 3을 추천한다.

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=q_1^{1.15}q_2q)]
[math(\dot{q}=(c_1/c_2)q(c_3^{1.1}-q/c_2))]

이때 [math(q)]와 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle q=\frac{c_3^{1.1}c_2}{1+e^{-\frac{c_1c_3^{1.1}}{c_2}(t-t_0)}})]
[math(\displaystyle \rho=\frac{c_3^{2.2}}{c_1}q_1^{1.15}q_2\ln\left(1+e^{\frac{c_1c_3^{1.1}}{c_2}(t-t_0)}\right)+C)]

6번째 이론 적분 (ee10000/45σ)

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적분의 기본 변수는 [math(q_1)], [math(q_2)]와 [math(c_1)], [math(c_2)], [math(c_3)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(r_1)], [math(r_2)]와 [math(c_4)], [math(c_5)]를 해금할 수 있다.

기본적인 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\int_0^q\left(c_1c_2+c_3\bar{q}\right)d\bar{q}-C)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \rho=q\left(c_1c_2+\frac{1}{2}c_3q\right)-C)]

[math(C)]는 적분상수로, 변수 및 영구 효과 구매, 이정표 업그레이드 또는 취소 시 변동되어 보유 [math(\rho)]와 변수 및 영구 효과 구매 비용의 합이 시간에 대한 연속함수가 되도록 한다.

적분의 이정표는 다음과 같다.

차원 증가 ([math(r)] 잠금 해제)
[math(\bar{q}^2)]항 추가
[math(\bar{r})]항 추가
[math(\uparrow c_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)

이정표 업그레이드는 다음과 같은 순서를 권장한다.

1e25부터 2
1e50부터 1 + 3 -> 2 -> 4 -> 4 -> 4

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\rho=\displaystyle\int_0^r\int_0^q\left(c_1^{1.15}c_2+c_3\bar{q}+c_4\bar{q}^2+c_5\bar{r}\right)d\bar{q}d\bar{r}-C)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \rho=qr\left(c_1^{1.15}c_2+\frac{1}{2}c_3q+\frac{1}{3}c_4q^2+\frac{1}{2}c_5r\right)-C)]

7번째 이론 수치해석학 (ee11000/50σ)

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수치해석학의 기본 변수는 [math(q_1)]과 [math(c_1)], [math(c_2)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(c_3)], [math(c_4)], [math(c_5)], [math(c_6)]을 해금할 수 있다.

기본적인 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\max g(\rho_1))]
[math(\displaystyle g(\rho_1)=c_1c_2\rho_1)]
[math(\dot{\Rho}=q_1\triangledown g,\ \Rho=\begin{bmatrix}\rho_1\end{bmatrix})]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \rho_1=q_1c_1c_2t)]

선형대수학에 이어 다시 한 번 일차함수가 등장하나, 이정표 업그레이드를 통해 일차함수에서 벗어날 수 있다.

수치해석학의 이정표는 다음과 같다.

차원 증가 (변수 [math(\rho_2)] 및 [math(c_4\rho_2)]항 잠금 해제)
[math(\rho_1^{1.5})]항 추가
[math(\rho_2^{1.5})]항 추가 (차원 증가 업그레이드 후에 잠금 해제)
[math(\rho_1^{0.5}\rho_2^{0.5})]항 추가 (차원 증가 업그레이드 후에 잠금 해제)
[math(\uparrow c_1)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)

이정표 업그레이드는 다음과 같은 순서를 권장한다.(차원 증가를 찍지 않는 상태에서는 1, 2, 5밖에 없으니 이때 5가 3번째 업그레이드를 뜻하는 것도 주의)

1e25부터 2
1e50부터 2+5
1e66부터 5+5
1e75부터 1+2+5
1e81부터 1+5+5
1e100부터 1+2+3+4
1e116부터 1+5+5+5
1e125부터 1+2+3+4+5
1e141부터 1+3+5+5+5
1e150부터 1+2+3+4+5+5
1e166부터 1+3+4+5+5+5
1e175부터 1+2+3+4+5+5+5

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\max g(\rho_1,\rho_2))]
[math(\displaystyle g(\rho_1)=c_1c_2\rho_1+c_3\rho_1^{1.5}+c_4\rho_2+c_5\rho_2^{1.5}+c_6\rho_1^{0.5}\rho_2^{0.5})]
[math(\dot{\Rho}=q_1\triangledown g,\ \Rho=\begin{bmatrix}\rho_1&\rho_2\end{bmatrix})]

이는 연립 비선형 미분방정식으로, [math(\rho)]의 해는 구하기 어렵다.

8번째 이론 혼돈 이론 (ee12000/55σ)

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혼돈 이론의 기본 변수는 [math(q_1)]과 [math(c_1)], [math(c_2)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(c_3)], [math(c_4)], [math(c_5)], [math(c_6)]을 해금할 수 있다.

기본적인 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=\frac{c_1c_2}{100}\sqrt{c_3\dot{x}^2+c_4\dot{y}^2+c_5\dot{z}^2})]
[math(\dot{x}=10(y-x))]
[math(\dot{y}=x(28-z)-y)]
[math(\dot{z}=xy-\dfrac{8}{3}z)]

[math(x)], [math(y)], [math(z)]는 로렌즈 방정식에서 [math(\rho=28)]인 경우를 나타내며, 다른 [math(\rho)]에 비해 특히 복잡한 변화를 보인다. 이 게임에서는 위와 같이 정의된 점 [math((x,y,z))]의 속도에 비례하여 [math(\rho)]의 값이 증가한다.
[math(\rho)]의 증가량이 워낙 불규칙적이고, [math(\rho)]의 그래프도 화면에 표시되지 않아 [math(\rho)]의 평균적인 증가량을 파악하는데는 어려움이 있다. 다만, [math(x)], [math(y)], [math(z)] 모두 유계이기 때문에 [math(\rho)]도 선형적으로 증가한다.
이 이론을 해금하면 모든 이론의 수입을 [math(\dfrac{\sigma_t}{20})]배 증가시키는 연구를 해금할 수 있다. 학생을 85명 모은 후 이 이론을 진행하면 짧은 이정표 간격에 힘입어 [math(\tau_8)]을 폭발적으로 증가시킬 수 있다.

혼돈 이론의 이정표는 다음과 같다. [math(\tau_8)]의 자릿수가 20 증가할 때마다 업그레이드 포인트가 1 제공된다.

첸 끌개 잠금 해제
뢰슬러 끌개 잠금 해제 (첸 끌개 잠금 해제 후)
[math(\uparrow c_3)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
[math(\uparrow c_4)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
[math(\uparrow c_5)] 지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)

[math(c_{3,4,5})]는 [math(\rho)]가 1e20인 시점에 약 2.4배 증폭을, 1e40인 시점에 약 6.6배 증폭을 제공하는 반면, 첸 및 뢰슬러 끌개는 약 10배의 증폭을 제공한다. 1e60인 시점부터는 [math(c_{3,4,5})]에서 17배 이상의 증폭이 이루어져, 이때부터 혼돈 이론의 진행이 수월해진다.

따라서, 이정표 업그레이드는 우선적으로 1,2를 진행하고 5->5->5->3->3->3->4->4->4로 진행하는 것이 가장 효율적이다.
다만, 뢰슬러 끌개에서 x,y,z의 변화 속도의 평균값이 대략 2:2:3 정도로 계산되기 때문에, [math(c_3)] 나 [math(c_4)]를 먼저 업그레이드 해도 큰 차이는 없다. 게다가, z의 변화는 간헐적으로만 일어나기 때문에, [math(c_5)]를 우선적으로 업그레이드 할 경우, 화면을 계속 보고있으면 답답할 수 있다.

첸 끌개의 방정식은 다음과 같다.

[math(\dot{x}=400(y-x))]
[math(\dot{y}=-120x-10xz+280y)]
[math(\dot{z}=10xy-30z)]

뢰슬러 끌개의 방정식은 다음과 같다.

[math(\dot{x}=-500(y+z))]
[math(\dot{y}=500x+50y)]
[math(\dot{z}=50+500z(x-14))]

게임 내에 표시된 첸 끌개와 뢰슬러 끌개의 식은 원래의 미분방정식의 우변에 각각 10 및 500을 곱한 형태로 주어져있는데, 이 식을 그대로 적분해도 게임에서 나타나는 x,y,z의 변화를 재현할 수 없다. 제작자의 의도는 원래의 식으로 변화 속도를 구한 뒤 그 속도를 각각 10배 및 500배 하여 [math(\rho)]의 변화 속도식에 반영하는 것인데, 이것을 게임으로 옮길 때 착각이 있었던 듯 하다.

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=\frac{c_1c_2}{100}\sqrt{c_3^{1.15}\dot{x}^2+c_4^{1.15}\dot{y}^2+c_5^{1.15}\dot{z}^2})]

====# 9번째 이론 ???? (ee20000/95σ) #====
[math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty)]
9번째 이론 수렴판정은 총 7개의 보조정리를 증명해야 한다. 여기서 얻은 ρ는 τ에 합산되지 않으며, 자동 구매 또한 불가능하니 ~~논문 한 편 쓴다는 느낌으로~~ 모든 변수를 일일이 구매해야 한다. 대신 변수 구매를 취소하여 사용한 ρ을 돌려받을 수 있다. 또한, 진행이 너무 막힌다 싶으면 해당 보조정리를 초기화할 수 있으나, 출판과 다르게 ρ의 배수는 그대로다.

제1 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}b>0)]
제1 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e10이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=c_1\left(c_2\left(\sin(q)+\frac{1}{2}\right)+c_3\right))]
[math(\dot{q}=1)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\displaystyle \rho=c_1\left(\frac{c_2}{2}+c_3\right)q-c_1c_2\cos(q)+C)] (단, [math(C)]는 적분상수)

특별한 어려움 없이 변수를 착실히 구매하면 보조정리를 증명할 수 있다. [math(c_2)]를 많이 구매할 경우, ρ가 잠시 음수가 되는 경우가 있다. [15]

제2 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}dt>0)]
제2 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e8이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=\frac{c_1c_2+c_3c_4}{q^{0.01n}})] ([math(n)]은 전체 변수 구매량)
[math(\dot{q}=1)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\rho=\begin{cases}\dfrac{1}{1-0.01n}(c_1c_2+c_3c_4)q^{1-0.01n}+C&(n\neq 100)\\(c_1c_2+c_3c_4)\ln q+C&(n=100)\end{cases})]

ρ는 일차함수보다도 느리게 성장한다. 변수를 많이 구매할수록 ρ의 성장도 눈에 띄게 더뎌지며, 100개를 초과할 경우 ρ가 수렴해버린다. 최소한의 변수 구매로 목표치를 달성하고 다음으로 넘어가는 게 관건이다.
최적의 루트는 다음과 같다. 변수 구매 속도를 고려하지 않았기 때문에, 실제 진행할 때는 조금 빠르게 구매를 시작하는 것이 좋다.

[math(c_1)] 레벨 3 달성 후 15ρ가 모이면 [math(c_1)]을 1개 환불한 후 1번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 5 달성 후 33.75ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 2번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 7 달성 후 109.69ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 3번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 10 달성 후 142.38ρ가 모이면 [math(c_1)]을 5개 환불한 후 4번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 12 달성 후 851.93ρ가 모이면 [math(c_1)]을 6개 환불한 후 5번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 15 달성 후 1793.13ρ가 모이면 [math(c_1)]을 6개 환불한 후 6번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 18 달성 후 2677.35ρ가 모이면 [math(c_1)]을 9개 환불한 후 7번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 19 달성 후 7825.16ρ가 모이면 모두 환불한 후 [math(c_3)] 9개, [math(c_4)] 8개 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 17 달성 후 11768.8ρ가 모이면 [math(c_3)]을 9개 환불한 후 9번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 20 달성 후 6738.45ρ가 모이면 [math(c_3)]을 12개 환불한 후 10번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 22 달성 후 51068.0ρ가 모이면 [math(c_3)]을 12개 환불한 후 11번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 25 달성 후 53520.4ρ가 모이면 [math(c_3)]을 14개 환불한 후 12번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 2418.88ρ가 모이면 [math(c_3)]을 17개 환불한 후 13번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 1.026e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 17개 환불한 후 14번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 1.237e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 3개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 33 달성 후 274112ρ가 모이면 [math(c_3)]을 21개 환불한 후 15번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 1.237e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 3개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 35 달성 후 1.722e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 23개 환불한 후 16번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 1.237e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 3개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 36 달성 후 7.969e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 24개 환불한 후 17번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 28 달성 후 1.237e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 3개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 36 달성 후 2.287e7ρ가 모이면 [math(c_3)]을 5개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 41 달성 후 1.477e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 30개 환불한 후 18번째 [math(c_4)]를 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 27 달성 후 1.476e6ρ가 모이면 [math(c_3)]을 3개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 36 달성 후 2.287e7ρ가 모이면 [math(c_3)]을 5개 추가 구매한다.
[math(c_3)] 레벨 41 달성 후 3.162e6ρ가 모이면 모두 환불한 후 보조정리를 증명한다.

약 15분 정도로 증명을 완료할 수 있다.

제3 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}x>0)]
제3 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e20이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=(-2)^{c_1}c_2+c_3q)]
[math(\dot{q}=q_1q_2)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\rho=(-2)^{c_1}c_2t+c_3qt-\dfrac{1}{2}c_3q_1q_2t^2+C)] (단, [math(C)]는 적분상수, [math(t)]는 실제 시간)

[math(c_1)]은 반드시 짝수 개를 유지해야 한다. [math(c_1)]의 가격 증가율이 3배이므로, 보유 ρ가 [math(c_1)] 가격의 4배 이상일 때 [math(c_1)]을 구매하면 된다.
[math(q_1)] 32개, [math(q_2)] 11개, [math(c_1)] 32개, [math(c_2)] 25개, [math(c_3)] 9개를 구매 완료한 후, 2.325e19ρ가 모이면 모두 환불한 후 보조정리를 증명한다.
[math(c_1)]이 홀수일 경우 ρ가 음수로 내려가는 경우가 있다. 이럴 때는 [math(c_1)]을 한 개만 환불하고 다시 기다린다. 환불하지 않더라도 언젠가는 양수로 올라오기는 하지만, 정말 한세월 걸린다.[16]

제4 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\varphi>0)]
제4 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e10이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=c_1c_2\left(c_3q-\frac{q^2}{5}\right))]
[math(\dot{q}=1)]

이때 [math(\rho)]의 해는 다음과 같다.

[math(\rho=c_1c_2q^2\left(\dfrac{c_3}{2}-\dfrac{1}{15}q\right)+C)] (단, [math(C)]는 적분상수)

제2 보조정리에 이어 [math(c_3)]을 빠르게 구매해야 한다. 605초 안에 증명을 완료하지 못하면 진행 상황을 초기화해야 하는 스피드전.
최적의 루트는 다음과 같다. 변수 구매 속도를 고려하지 않았기 때문에, 실제 진행할 때는 조금 빠르게 구매를 시작하는 것이 좋다.

[math(c_1)]을 구매하고, 1ρ가 모이면 1번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 3 달성 후 7.13ρ가 모이면 [math(c_1)]을 1개 환불한 후 2번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 6 달성 후 8.52ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 3번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 8 달성 후 178.59ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 4번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 9 달성 후 2574.71ρ가 모이면 [math(c_1)]을 4개 환불한 후 1번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 10 달성 후 3234.12ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 5번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 11 달성 후 30023.07ρ가 모이면 [math(c_1)]을 4개 환불한 후 2번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 12 달성 후 48873.26ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 6번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 13 달성 후 253266.3ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개, [math(c_3)]을 1개 환불한 후 3번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 12 달성 후 48873.26ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 6번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 14 달성 후 578874.2ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 7번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 16 달성 후 218921.3ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개, [math(c_3)]을 1개 환불한 후 4번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 14 달성 후 578874.2ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 7번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 16 달성 후 6.5312e6ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 8번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 18 달성 후 7.9593e6ρ가 모이면 [math(c_1)]을 4개, [math(c_3)]을 1개 환불한 후 5번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 16 달성 후 6.5312e6ρ가 모이면 [math(c_1)]을 2개 환불한 후 8번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 19 달성 후 1.0616e7ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 9번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 20 달성 후 1.3608e8ρ가 모이면 [math(c_1)]을 4개, [math(c_3)]을 1개 환불한 후 6번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 19 달성 후 1.0616e7ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 9번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 21 달성 후 2.6375e8ρ가 모이면 [math(c_1)]을 3개 환불한 후 10번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 22 달성 후 2.5624e9ρ가 모이면 [math(c_1)]을 1개, [math(c_3)]을 1개 환불한 후 7번째 [math(c_2)]를 구매한다.
[math(c_1)] 레벨 21 달성 후 2.3518e8ρ가 모이면 [math(c_1)]을 5개 환불한 후 10번째 [math(c_3)]을 구매한다.
[math(c_1)] 22개, [math(c_2)] 7개, [math(c_3)] 10개를 구매 완료한 후, 1.1270e9ρ가 모이면 모두 환불하고 보조정리를 증명한다.

위와 같은 루트로 6분 20초 안에 증명에 필요한 ρ를 모두 모을 수 있으며, 720초까지 계속 진행해보면 약 2.708e10ρ까지도 모을 수 있다.

제5 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\tau>0)]
제5 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e25이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=\sum_{i=1}^8c_i^4(2i^2-c_i)q)]
[math(\dot{q}=q_1q_2)]

[math(c_i^4(2i^2-c_i))]가 최대가 되는 [math(c_i)]들을 찾는 것이 관건이다. [math(c_1=1)], [math(c_2=6)], [math(c_3=14)], [math(c_4=26)], [math(c_5=40)], [math(c_6=58)], [math(c_7=78)], [math(c_8=102)]에서 최대가 된다. 최대를 초과해서 구매하면 ρ가 오히려 감소하기 시작하며, 특히 [math(c_1)]이 무료라고 해서 광클했다면 ρ가 매우 빠르게 감소하면서 음수가 되어 아예 진행이 불가능해진다.

제6 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{bx_{i}\varphi\tau}>1)]
제6 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e15이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=q\frac{c_1-c_2}{c_3-c_4})]
[math(\dot{q}=q_1q_2)]

[math(c_3)]과 [math(c_4)]의 값이 특이하게 주어져 있는데, 레벨 [math(L)]일 때 [math(c_3=L^{\frac{1}{e}})]이고 [math(c_4=L^{\frac{1}{\pi}})]이다. 또한, [math(c_3)]은 초기에 레벨 2로 시작하며, 그 미만으로 환불할 수는 없다. 주어진 범위 내에서 [math(c_3-c_4)]를 최소화하는 방법은 다음과 같다.

[math(c_3)] 레벨 2, [math(c_4)] 레벨 1 : [math(c_3-c_4=0.29045465)] (비용 1.0000e6ρ)
[math(c_3)] 레벨 2, [math(c_4)] 레벨 2 : [math(c_3-c_4=0.04358566)] (비용 1.1500e6ρ)
[math(c_3)] 레벨 5, [math(c_4)] 레벨 6 : [math(c_3-c_4=0.03888394)] (비용 1.1196e7ρ)
[math(c_3)] 레벨 7, [math(c_4)] 레벨 9 : [math(c_3-c_4=0.03340472)] (비용 1.2357e7ρ)
[math(c_3)] 레벨 8, [math(c_4)] 레벨 11 : [math(c_3-c_4=0.00367162)] (비용 1.0223e7ρ)
[math(c_3)] 레벨 19, [math(c_4)] 레벨 30 : [math(c_3-c_4=0.00166510)] (비용 4.8488e8ρ)
[math(c_3)] 레벨 28, [math(c_4)] 레벨 47 : [math(c_3-c_4=0.00105428)] (비용 4.5476e9ρ)
[math(c_3)] 레벨 40, [math(c_4)] 레벨 71 : [math(c_3-c_4=0.00081481)] (비용 1.327e11ρ)
~~[math(c_3)] 레벨 79, [math(c_4)] 레벨 156 : [math(c_3-c_4=0.00005406)] (비용 1.962e16ρ)~~

[math(q_1)] 19개, [math(q_2)] 13개, [math(c_1)] 15개를 구매 완료한 후, 3.171e14ρ가 모이면 모두 환불하고 보조정리를 증명한다.

[math(c_3-c_4)]가 음수인 경우도 이용할 수 있다. 이 경우에는 [math(c_2)]를 더 크게 구매하면 된다. 다만 이 과정에서 ρ가 음수가 되지 않도록 먼저 [math(c_1)]을 모두 환불해야한다.

[math(c_3)] 레벨 39, [math(c_4)] 레벨 69 : [math(c_3-c_4= -0.00003444)]

제7 보조정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{e^tf(e^t)}{f(t)}>1)]
제7 보조정리를 증명하기 위해 필요한 ρ는 1e15이다.
주어진 식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle\dot{\rho}=\frac{q}{\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|})]
[math(\dot{q}=q_1q_2)]

대망의 마지막 정리. 자연상수의 값을 알아야 빠르게 보조정리를 증명할 수 있다. 주어진 범위 내에서 [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|)]를 최소화하는 방법은 다음과 같다.

[math(c_1)] 레벨 1, [math(c_2)] 레벨 0 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.71828183)] (비용 10000.0ρ)
[math(c_1)] 레벨 2, [math(c_2)] 레벨 0 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.28171817)] (비용 12000.0ρ)
[math(c_1)] 레벨 4, [math(c_2)] 레벨 1 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.21828183)] (비용 41680.0ρ)
[math(c_1)] 레벨 7, [math(c_2)] 레벨 2 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.05161516)] (비용 90479.0ρ)
[math(c_1)] 레벨 10, [math(c_2)] 레벨 3 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.03171817)] (비용 152928ρ)
[math(c_1)] 레벨 18, [math(c_2)] 레벨 6 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00399611)] (비용 1.1819e6ρ)
[math(c_1)] 레벨 48, [math(c_2)] 레벨 17 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00394039)] (비용 3.3413e8ρ)
[math(c_1)] 레벨 67, [math(c_2)] 레벨 24 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00171817)] (비용 1.010e10ρ)
[math(c_1)] 레벨 86, [math(c_2)] 레벨 31 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00046817)] (비용 3.178e11ρ)
[math(c_1)] 레벨 105, [math(c_2)] 레벨 38 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00033311)] (비용 1.007e13ρ)
~~[math(c_1)] 레벨 193, [math(c_2)] 레벨 71 : [math(\left|e-\frac{c_1}{c_2}\right|=0.00002803)] (비용 7.980e19ρ)~~

[math(q_1)] 77개, [math(q_2)] 14개를 구매 완료한 후, 1.837e14ρ가 모이면 모두 환불한 후 보조정리를 증명한다.

정리 : [math(\displaystyle\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty)]

Q. E. D.

2.8. 커스텀 이론

당신은 이야기의 끝에 도달했지만, 원한다면 더 진행할 수 있습니다. 남아있는 약간의 업그레이드가 있고, 소프트캡은 아직 멀었습니다.[17]
다른 플레이어들이 제작한 커스텀 이론을 플레이 할 수 있는 패널이 추가되었습니다. 자신만의 이론은 만들어 볼 수도 있습니다!
저는 제가 이 게임을 만들며 즐겼던 만큼 당신이 게임을 즐겼으면 좋겠네요.
모두가 게임을 이해하기 쉽게 만든 번역가들에게, 그리고 게임에 관여하고 피드백을 주신 커뮤니티에게 감사를 표합니다.
게임의 질과 컨텐츠를 발전시키고, 그 누구보다 먼저 게임을 테스팅하기 위해 많은 시간을 투자해주신 베타테스터분들에게 특별 감사를 표합니다.

플레이해주셔서 감사합니다!

수렴 판정을 끝낸 이후의 외전. 유저들이 제작한 이론을 플레이할 수 있으며, 공식 이론에 비해 상당히 복잡하다. 이 중에서 아래의 공식 커스텀 이론은 기본 이론과 마찬가지로 τ가 반영되지만, 9번 연구는 커스텀 이론에 반영되지 않는다. 다만 밸런스 차원로 대부분의 커스텀 이론은 [math(max \rho^{0.4} = \tau_n)] 또는 [math(max \rho^{0.3} = \tau_n)]으로 너프먹었다. 예외로 오일러 포뮬러는 [math(max \rho^{1.6} = \tau_n)]으로 오히려 일반 이론보다 τ에 영향을 더 많이 준다.

공식 커스텀 이론은 여섯 개가 있다.

====# Weierstraß Sine Product #====

Exploit the inaccuracy of sine's product representation, a result dur to Euler which was rigorously proved later by Weierstraß using his famous Factorization Theorem.
Intuitively, the idea behind this formula is to factorize sine using its roots (sine has zeros at each multiple of [math(\pi)]), hust as one would do for a polynomial.
This product [math(s_n)] represents only the [math(n)] first factors of this infinite product (together with the root at [math(x=0)]), which means there is some error between [math(s_n(x))] and the actual [math(\sin(x))] depending on [math(n)] and [math(x)]. [math(sin(x))] better for bigger [math(n)] and smaller [math(x)], in particular the approximation becomes bad for a fixed [math(n)] when [math(x)] gets large in the sense that the ration [math(s_n(x)/\sin(x))] diverges tor [math(x\to\infty)].
Here, the derivative of [math(q)] with respect to time is set to [math(s_n(\chi)/\sin(\chi))] i.e. the ratio from before evaluated at [math(\chi)], which itself is a value depending on [math(n)]. Note that increasing [math(n)] both increases [math(\chi)] and the accuracy of the approximation [math(s_n)].

주어진 식은 다음과 같다.

[math(\rho=q_1q_2q)]
[math(\dot{q}=s_n(\chi)/\sin(\chi))]
[math(\displaystyle s_n(x):=x\cdot\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{x}{k\pi}^2\right))]
[math(\tau_{10}=\max\rho^{0.4},\ \chi=\pi\cdot\dfrac{c_1n}{c_1+n}+1)]

====# Sequential Limits #====

You're the first student of the now-retired professor, and now that they've retired, you're given the mantle of chief researcher. Eager to dive into fields where your old professor dove off, you start looking into the concept explored in the seventh lemma - sequential limits - to further your career.

This theory explored the concept of approximations using a rearrangement of Stirling's Formula to approximate Euler's number.
The formula, named after James Stirling and first stated by Abraham De Moivre, states that [math(\ln(n!))] can be approximated by the infinite sum [math(\ln(1)+\ln(2)+\cdots+\ln(n))].
Be careful - the closer your approximation of Euler's number is, the less your numerator grows! A close balancing game, fun for the whole family (or at least, the ones who play Exponential Idle).

당신은 이제 은퇴한 교수님의 첫 번째 제자이고, 그들이 은퇴했기 때문에, 당신은 수석 연구원의 책임을 지게 됩니다. 당신은 옛 교수님이 시작한 분야에 뛰어들기를 열망하면서, 경력을 발전시키기 위해 7번 보조 정리, 수열의 극한에서 탐구된 개념을 조사하기 시작합니다.

이 이론은 오일러의 수를 근사하기 위해 스털링 공식의 재배열을 사용하여 근사의 개념을 탐구했습니다.
제임스 스털링의 이름을 따서 명명되고 아브라함 드 무아브르가 처음으로 언급한 공식은 [math(\ln(n!))]를 무한 합 [math(\ln(1)+\ln(2)+\cdots+\ln(n))]으로 근사할 수 있다고 명시합니다.
주의 - 오일러의 수에 대한 근사치가 가까울수록 분자가 더 적게 증가합니다! 온 가족(또는 적어도 Exponential Idle을 플레이하는 사람들)이 즐길 수 있는, 섬세한 균형 맞추기 게임입니다.

주어진 식은 다음과 같다.

[math(\dot{\rho_1}=\dfrac{\sqrt{\rho_2}}{e-\gamma})]
[math(\gamma=\dfrac{\rho_3}{\sqrt[\rho_3]{\rho_3!}})]
[math(\tau_{11}=\max\rho_1^{0.4})]
[math(\dot{\rho_2}=a_1a_2\cdot a_3^{-\ln\rho_3})]
[math(\dot{\rho_3}=b_1b_2)]
[math(a_3=2)]

이 이론에는 총 8개의 스토리 챕터가 있다.

[ 목록 펼치기 · 접기 ]

* 1번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : [math(a_1)] 구매
A New Beginning
You return from your old professor's retirement party, the mantle passed onto you, the first student, to head the department of students accrued over the years.
Excited to finally be listed as something other than 'et. al' on a paper, you continued with your existing research, but as progress slowed, you felt less and less satisfied.
The days turn into weeks, which blur together as more and more publications are written.
Eventually, a student comes to you with a dusty tome, featuring a as-of-yet unexplored theorem.
Feeling a stroke of inspiriation, you assemble a team of students and throw yourself into the research

2번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : [math(b_1)] 또는 [math(b_2)] 구매
Taking Risks
You notice a few unassuming variables at the bottom of the equation.
A student warns you against changing them, citing the risk of decreasing the income existing values, but you forge ahead.

3번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 첫 번째 출판
International Recognition
You publish your first paper, with your name front and center.
Colleagues congratulate you, but you feel there is something missing, further exploration to be had.
You decide to forge ahead.

4번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 첫 번째 이정표 업그레이드
Light Modification
With your progress starting to slow, you scour the original equation texts to find a remedy.
It turns out all along there's been some modifiers you can add, but at ever increasing costs.
You decide to buy one, hoping it alleviates your issues...

5번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 1e100ρ₁
Making Progress
You reach 1e100[math(\rho_1)], a major milestone in your research.
Colleagues come to congratulate you on pushing your research so far, but you shrug them off - you feel as if there's more you could do.
You head back to your office and get to work once more

6번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 이정표 업그레이드 완료
The End.... Or Is It?
You finally purchased every modifier, to close out your research into this field.
Your students assigned to this project celebrate, anticipating closing out this line of research, and your name is posted in journals worldwide.

You decide to go over your numbers once more, just to make sure...

7번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 :1e500ρ₁
Mathaholic
"1e500.

A monumentally large number, but but barely a blip to you now.
People are starting to take notice as you push mathematics to points thought unachieveable in this field.
There's a waiting list to study under you now.
Your friends and family are expressing concern, worried you're in too deep.
It doesn't matter.
Another breakthrough is close.
You can feel it.

Right?

8번째 챕터 (엔딩)

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : a_exp and a_base max milestone
The End.
1e1000.

A number so big it'd be impossible to comprehend.
You did it. They said you couldn't.
Years after you first started, you reach an incredible end to your research.
You're featured on TIME, on daytime television, in worldwide newspapers. Your papers are framed, your students all professors in their own rights now.
You pass on the mantle to a younger student of yours to retire like your old professor, back all those years ago.

THE END.
Thanks for playing! - ellipsis

이 이론에는 16개의 일반 도전과제, 4개의 숨겨진 도전과제가 있다. 아래는 일반 도전과제의 정보다.

[ 펼치기 · 접기 ]

Miscellaneous(기타)

1. Purchase Optimization(구매 최적화)
당신의 학생이 당신이 구매한 변수보다 더 많이 생산했다.

Publication(출판)

2. Amateur Author(미숙한 작가)
1번 출판했다.
3. Regular Reporter(정규 제보자)
3번 출판했다.
4. Studied Scribbler(지식있는 학자)
5번 출판했다.
5. Exemplary Essayist(모범적인 논문가)
10번 출판했다.
6. Publication Professional(출판의 전문가)
20번 출판했다.

Approximation(근사값)

7. Close Enough(충분히 근사함)
근사값이 참값과 [math(10^{-1})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
8. Nitpicking Exercise(정밀적인 실험)
근사값이 참값과 [math(10^{-5})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
9. Splitting Hairs(머리카락 만큼 작은 것)
근사값이 참값과 [math(10^{-10})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
10. Microscopic(현미경으로 봐야 함)
근사값이 참값과 [math(10^{-15})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
11. Subatomic(원자보다 작음)
근사값이 참값과 [math(10^{-25})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
12. Planck Pettiness(플랑크 길이보다 작음)
근사값이 참값과 [math(10^{-35})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
13. Are We There Yet?(아직 멀었어?)
근사값이 참값과 [math(10^{-50})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
14. Precision Player(정밀한 플레이어)
근사값이 참값과 [math(10^{-100})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
15. Running Out Of Room(이제 여백이 부족해)
근사값이 참값과 [math(10^{-250})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.
16. You Can Stop Anytime(이제 멈춰도 돼)
근사값이 참값과 [math(10^{-500})]이하의 차이만 있을 정도로 근사했다.

====# Euler's Formula #====

You're a student hired by a professor at a famous university. Since your work has received a bit of attention from your colleagues in the past, you decide to go into a subject not yet covered by your professor, which has interested you since day 1 of deciding to study mathematics - Complex numbers.
You hope that with your research on this subject, you can finally get the breakthrough you always wanted in the scientific world.

This theory explored the world of complex numbers, their arrangement and their place in the Universe of Mathematics. The theory, named after the famous mathematician Leonhard Euler, explores the relationship between exponential and trigonometric functions.
Your task is to use this formula, and with the help of the Pythagorean theorem, to calculate the distances of [math(\cos(t))] and [math(i\sin(t))] from the origin and grow them as large as possible using many different methods and approaches!
A theory with interesting grow and decay rates, unusual properties, and (We hope) an interesting story!

당신은 유명한 대학의 교수가 고용한 학생입니다. 당신의 작업이 과거에 동기들로부터 약간의 관심을 받아서, 아직 교수님이 다루지 않은 주제로 들어가기로 결정했습니다. 그것은 수학을 공부하기로 결심한 첫날부터 당신의 관심을 끌었던, 복소수입니다.
당신은 이 주제에 대한 연구를 통해 과학계에서 항상 원했던 돌파구를 마침내 얻을 수 있기를 바랍니다.

이 이론은 복소수의 세계, 그들의 배열, 그리고 수학계에서의 위치를 탐구했습니다. 유명한 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 딴 이 이론은 지수함수와 삼각함수 사이의 관계를 탐구합니다.
당신의 임무는 피타고라스 정리의 도움을 받아 원점으로부터 [math(\cos(t))]와 [math(i\sin(t))]의 거리를 계산하고 여러 가지 방법과 접근법을 사용하여 가능한 한 크게 성장시키는 것입니다!
흥미로운 성장률과 붕괴율, 특이한 성질, 그리고 흥미로운 (그랬으면 하는) 이야기를 담은 이론입니다!

주어진 식은 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=\sqrt{tq^2})]
[math(G(t)=g_r+g_i)]
[math(g_r=\cos(t),\ g_i=i\sin(t))]
[math(\dot{q}=q_1q_2)]
[math(\tau_{12}=\max\rho^{1.6})]

Euler's Formula의 기본 변수는 [math(\dot{t})], [math(q_1)], [math(q_2)]이고, 이정표 업그레이드를 통해 [math(b_1)], [math(b_2)], [math(c_1)], [math(c_2)], (?)를 해금할 수 있다.

혼돈 이론과 유사하게, [math(G)]로 표현되는 점의 운동을 바탕으로 ρ를 성장시키는 이론이다. 그러나 운동 방정식이 정해져 있고 이를 관측하기만 하는 혼돈 이론과는 다르게, Euler's Formula에서는 운동 방정식을 수정해나가며 점의 속도를 키울 수 있다.

Euler's Formula의 이정표는 다음과 같다. 아래 주어진 순서대로만 해금할 수 있다.

실수부 [math(\mathrm{R})] 추가 (1e10ρ)
식이 다음과 같이 수정되며, 화폐 [math(\mathrm{R})]과 변수 [math(b_1)], [math(b_2)]가 해금된다.
[math(\dot{\rho}=\sqrt{tq^2+\mathrm{R}^2})]
[math(g_r=b_1b_2\cos(t))]
[math(\dot{\mathrm{R}}=(g_r)^2)]
허수부 [math(\mathrm{I})] 추가 (1e20ρ)
식이 다음과 같이 수정되며, 화폐 [math(\mathrm{I})]와 변수 [math(c_1)], [math(c_2)]가 해금된다.
[math(\dot{\rho}=\sqrt{tq^2+\mathrm{R}^2+\mathrm{I}^2})]
[math(g_i=ic_1c_2\sin(t))]
[math(\dot{\mathrm{I}}=-(g_i)^2)]
[math(a_1)]항 추가 (1e30ρ)

이 이론에는 총 11개의 스토리 챕터가 있다.

[ 목록 펼치기 · 접기 ]

* 1번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 최초 실행
Circular Reasoning
You approach your professor with a problem you found.
You say, "Professor, all other experts in our fiel keep saying that this cannot be used to further our research.
However, I think I can get something out of it!"
You hand him the paper with the theory:
[math(e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x))]
He looks at you and says:
"This is Euler's Formula. Are you sure that you can get results out of something that has imaginary numbers?"
"Yes! I believe I can!", you reply to him with anticipation.
He gives you the green light to work on the project.

2번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 1e7ρ
Anticipation
As you start your research, you realize that
it is much harder than you anticipated.
You start experimenting with this formula.
However, you cannot figure out how to integrate the graph into your equation yet.
Your motivation is higher than ever though,
and you can't wait to progress further with this.

3번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 실수부 [math(\mathrm{R})] 추가
A Breakthrough
After several months of work on this as a side project,
you finally figure it out:
You know how to modify the equation.
You try to modify the cosine value
and give it a new name: 'R'.
You start experimenting with 'R'
and try to figure out what happens
when you modify it.

4번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 허수부 [math(\mathrm{I})] 추가
Complex Progress
Interesting.
You see that the modification did something to the partical.
It's not affecting ρ but its doing something.
You decide that doing the same to the complex component is a good idea.
'i' is going to be interesting to deal with...
You name it 'I' and continue your calculations.

5번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : a_base first milestone
A Different Approach
Several weeks have passed since you have added 'I' as a component to your research.
However, you observe the growth slow down considerably and worry that your research is all for nothing.
You ask your colleagues what you should do.
One of them says: "Add a variable to multiply the theory with.
Maybe that will help with your progress."
You create a small little variable called: 'a1'.

6번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : a_base last milestone
Explosion
It worked!
Your multipliers are doing a great job pushing the theory.
But what if you could go even further?
After all, you have observed the theory for a long time now.
You decide to create a variable called 'a3'. It will have exponential growth.
Is this enough, for the theory to reach its limit?
It nevertheless helps you immensely in your progress.

7번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : a_exponent last milestone
Exponential Ideas
"Of course!
It's a relationship between exponential functions and trigonometry!
Why shouldn't I add an exponent?
Surely, using this, this theory can be pushed to its limit!",
you think to yourself.
You decide to add an exponent to your multipliers.

8번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : a_exp and a_base max milestone
The End?
Summer break has finally arrived.
Maybe it's time for you to quit.
You have pushed this theory to its limit, you think to yourself
that there's nothing more you can do.
You have tried everything you can think of.
It's time to let go.

Or is it...?

9번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 1e100τ
A New Beginning
Your summer break was beautiful.
You had a great time with your friends.
However, that constant thought of the theory can't get out of your head.
Since the start of summer break, it has plagued you.
"This cannot be the end.", you think.
There has to be something more! No way its limit is so low!"

You look over the theory again and notice something.
After all this work, how come you never changed the bases of 'b' and 'c'?
You gain motivation and start work on the theory again.

10번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : 1e120τ
Frustration
You wake up in a sudden panic.
You had a nightmare, of a huge 'i' falling on you.
Another night in your lab.
This has been the 3rd time this week.
Your theory is growing incredibly slow.
You cannot figure out why.
The past weeks have been filled of you
trying to grow this theory as large as you possibly can.

More or less successful.

Suddenly, you realize that you forgot to change the base of 'c'.
You think, about how 'a3' is connected to 'c'.
Can this be the step to push the theory to its limit?

11번째 챕터 (엔딩)

[ 펼치기 · 접기 ]: 해금 조건 : tau = e150
????
You finally did it.
You have proven that the theory is able to be pushed to its limit.
You are proud of yourself.
Your publications get a massive amount of attention.
One day, your professor reaches out to you:
"You have shown a lot of dedication,
far more than I have ever seen from any student I've ever lectured.
I am retiring this semester. The same as you graduate in.
I got a small job offering for you.

====# Convergents to √2 #====

Use the convergents to [math(\sqrt{2})] to increase [math(\rho)]. The first few convergents to [math(\sqrt{2})] are as follows: [math(1)], [math(3/2)], [math(7/5)], [math(17/12)]. [math(N_n)] is the numerator of the [math(n)]th convergent to [math(\sqrt{2})] and [math(D_n)] is the [math(n)]th denominator, with [math(0)]th convergent being [math(1/1)]. In the limit, these converge to [math(\sqrt{2})]. The convergents oscillate above and below [math(\sqrt{2})]. The rate of change of [math(q)] is based on the precision of the approximation.

[math(\sqrt{2})]로 수렴하는 수열을 이용해 [math(\rho)]를 증가시켜보세요. 이 수열의 첫 네 항은 다음과 같이 주어집니다. [math(1)], [math(3/2)], [math(7/5)], [math(17/12)]. [math(N_n)]은 이 수열의 [math(n)]번째 분자이고, [math(D_n)]은 [math(n)]번째 분모이며, 이때 [math(0)]번째 항은 [math(1/1)]입니다. 극한을 취하면, 이 수열은 [math(\sqrt{2})]로 수렴합니다. 수열은 [math(\sqrt{2})]의 위아래로 진동합니다. [math(q)]의 변화율은 이 근사의 정밀도에 비례합니다.

주어진 식은 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=q_1q_2q)]
[math(\dot{q}=c_1\times\left|\sqrt{2}-\dfrac{N_m}{D_m}\right|^{-1})]
[math(N_m=2N_{m-1}+N_{m-2},\ N_0=1,\ N_1=3)]
[math(D_m=2D_{m-1}+D_{m-2},\ D_0=1,\ D_1=2)]
[math(\tau_{13}=\max\rho^{0.4},\ m=n)]
[math(q=1.00,\ m=1)]

[math(N_m)]과 [math(D_m)]의 일반항은 다음과 같다.

[math(N_m=\dfrac{1}{2}\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{m+1}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{m+1}\right))]
[math(D_m=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{m+1}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{m+1}\right))]

따라서 [math(\left|\sqrt{2}-\dfrac{N_m}{D_m}\right|)]을 계산해보면

[math(\left|\sqrt{2}-\dfrac{N_m}{D_m}\right|=\dfrac{2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)^{m+1}+(-1)^m})]

이며, 그 역수인

[math(\left|\sqrt{2}-\dfrac{N_m}{D_m}\right|^{-1}=\dfrac{\left(3+2\sqrt{2}\right)^{m+1}+(-1)^m}{2\sqrt{2}})]

는 [math(m)]이 1씩 증가할 때마다 약 [math(3+2\sqrt{2}\approx5.828)]배가 된다.

Convergents to √2의 이정표는 다음과 같다. 업그레이드 포인트는 1e10ρ, 1e45ρ, 1e80ρ, 1e115ρ, 1e220ρ, 1e500ρ에서 하나씩 주어진다.

[math(\uparrow q_1)]지수를 [math(0.05)]만큼 증가 (최대 3회)
항 [math(c_2)] 추가
[math(\uparrow c_2)]지수를 [math(0.5)]만큼 증가 (최대 2회)

이정표 업그레이드 순서는 2 -> 3 -> 3 -> 1 -> 1 -> 1을 추천하나, 1e35ρ를 모아 자동 구매를 해금하기 전에는 성장이 굉장히 느리기 때문에 2와 1을 번갈아 사용하는 것을 추천한다.

이정표를 모두 업그레이드 완료했을 시 식의 형태는 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=q_1^{1.15}q_2q)]
[math(\dot{q}=c_1c_2^2\times\left|\sqrt{2}-\dfrac{N_m}{D_m}\right|^{-1})]
[math(m=n+\log_2c_2)]

====# Fractional Integration #====

The functions between a function and its derivative have many ways of being shown, this is one of them.
Fractional integration is a way to calculate what is between a function and its integral and is a smooth transtion.
As such, as a fractional integral approaches 1, it should become the integral.

주어진 식은 다음과 같다.

[math(\dot{\rho}=tr\sqrt[\pi]{q/\pi})]
[math(\dot{r}=(\displaystyle \int_0^\pi g(x) \,{\rm d}x-_\lambda \displaystyle \int_0^\pi g(x) \,{\rm d}x^\lambda)^{-1})]
[math(g(x)=1-\dfrac {x^2}{2!}+\dfrac {x^4}{4!},\ \lambda=\dfrac 12)]
[math(\dot{q}=q_1q_2,\ \tau_{14}=\max\rho^{0.4})]
[math(1-\lambda=0.5000,\ q=0.00)]
[math(r=0.00,\ t=0.00)]

====# Fractional Patterns #====

A theory that takes advantage of the growth of the 3 fractal patterns:
Toothpick Sequence [math((T_n))],
Ulam-Warburton cellular automation [math((U_n))],
Sierpiński triangle [math((S_n))].

Big thanks to Gen (gen1code) and NGZ (ngz001) for all the help and suggestions with the LaTeX.

주어진 식은 다음과 같다.

[math(T_{2^k+i}=\begin{cases} \dfrac {2^{2k+1}+1}{3},\qquad\qquad\;~\: \text{if}\ i=0, \\ T_{2^k}+2T_i+T_{i+1}-1,\ \text{if}\ 1<i<2^k \end{cases})]
[math(n=1)]
[math(\dot{\rho}=0.000)]
[math(T_n=1)]

[math(\dot{\rho}=c_1c_2tT^7_n)]
[math(n=1)]
[math(t=0.00)]
[math(\tau_{15}=\max\rho^{0.3})]

3. 스토리 챕터

이 문서에 스포일러가 포함되어 있습니다.

이 문서가 설명하는 작품이나 인물 등에 대한 줄거리, 결말, 반전 요소 등을 직·간접적으로 포함하고 있습니다.

총 23개의 스토리 챕터가 있다.

[ 목록 펼치기 · 접기 ]

* 1번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 서문
당신은 재능있는 대학생입니다.
여러 교수님들이 당신의 가능성을 알아보았습니다.
당신이 존경하는 한 교수가 공식 하나를 건네주었습니다.
그는 그 식이 유한한 값에 수렴하는지 묻습니다.
그것은 지수 순환 식입니다.
어떻게 풀어낼 지 감이 잡히지 않기에,
당신은 그 공식을 계산할 수 있는 작은 프로그램을 만들었습니다.

2번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 전략의 변경
지식이 성장하고 있군요!
변수의 값을 바꾸는 법을 아시는군요.
그리고 함수 값은 여전히 증가하고 있고요.
그러나 아직 그 식이
유한한 값에 수렴하는지는 모릅니다.
당신이 보지 못했던 매개 변수가 하나 있었습니다.
당신은 전략을 변경하기로 결정하고
프레스티지'를 통해 'b'의 값을 늘리기로 합니다.

3번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 장학금
당신이 해낸 일을 자랑스러워하며, 교수님은 당신에게
연구실에서의 인턴십을 제안합니다.
이전 프로젝트에서 남은 돈이 조금 있기에,
교수님은 당신에게 연구비를 지급합니다.
그러나 평범한 돈은 아닙니다. 교수님은 그것을
'프레스티지' 통화, μ 라고 부릅니다.
그 돈을 가지고 집세를 낼 수 없기에 당신은 약간 실망합니다.
그래도 당신은 받아들이기로 합니다. 어쩌다가 그것을
프로젝트에서 사용할 수 있는 방법을 찾을 수도 있겠죠.

4번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 작업 중
'b' 값을 늘리는 것이 두 번째군요.
더 높은 값에 도달하기는 했지만, 아직
무한대까지는 갈 길이 멉니다. 그러니 당신이
다른 변수들을 조절할 필요는 없습니다.
함수 값이 증가하는 속도는 점점 빨라집니다.
슬슬 방치형 게임 같은 느낌도 들기 시작합니다.
교수님은 당신의 노력에 대한 보상으로
방정식에 새로운 변수를 추가합니다.
제발 그 결실을 맺기를...

5번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 우연
한 친구가 '우연'이라는 개념을 알려줍니다.
원래 하던 일과 아무런 관련이 없는 일을 할때
어쩌다가 그것이 지금 하고 있는 연구에 도움이 될 수도 있다고 합니다.
밥 로스는 이것을 '행복한 사고'라고 부릅니다.
밤하늘을 보며 새로운 아이디어들이
떠오르기 시작합니다...

6번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 희망
이제 이 프로젝트를 시작한 지도 꽤 오랜 시간이 지났습니다. 당신은 이제 이 일이 애초에 불가능한 일이었다고 생각합니다. 그러나, 긴 터널의 끝에서 빛이 보이기 시작합니다. 당신은 곧 졸업할 것이고 학위 논문을 쓸 준비를 하게 될 것입니다.
당신의 동료들은 ψ라는 이름의 '슈프리머시' 화폐를 제공하는 보조금의 유형에 대해 이야기를 나눌 것입니다.
당신은 아직 그 주제를 다룰 수 없습니다.
절망을 딛고 일어섭니다...

7번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 마지막 관문
당신은 방금 마지막 시험에 합격했습니다.
이제 대학교를 떠나 무엇을 하며 살지 고민하게 됩니다.
당신의 연구를 진전시켜줄 보조금에 관해 친구가 했던 말이 기억납니다.
이제 졸업 논문을 쓰기로 시작하고, 보조금을 신청합니다.
그러려면, 슈프리머시를 실행해야 합니다...

8번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 졸업
드디어 해냈습니다! 당신은 마침내 졸업했고 석사 논문을 쓰기 시작했습니다. 새로운 보조금을 신청했고 그것 또한 받아 냈죠.
그리 많은 돈은 아니지만, 프로젝트의 진행에 힘을 실어주기엔 충분합니다.
그렇지만 모든 것을 처음부터 시작해야 합니다.
걱정하지 마세요. 금방 이전 수준까지 복구할 수 있습니다. 게다가, 이전에 얻었던 아이디어들도 아직 머릿속에 생생하게 남아있기 때문에, 바로 재사용할 수 있습니다. 행운을 빌어요!

9번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 석사라고 부르세요
당신은 자신감을 얻고 있습니다.
석사 논문이 합격하였습니다.
이제, 당신은 석사입니다.
물론, 당신은 계속 나아지고 있습니다. 하지만 이제 그 오만한 자세는 고치세요. 교수님이 교훈 하나를 주려고 하십니다.
그는 당신이 했던 모든 작업을 없애 버리고
박사 논문을 위한 더 큰 보조금을 줍니다.
이것은 정말로 힘든 일입니다.
어느 정도 시점에 도달하면 심지어 보조금을 더 신청해야 할 수도 있습니다.
당신의 의지는 그 어느 때 보다 높아집니다.

10번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 끝
한 알의 모래에서 세계를 보고
한 송이 들꽃에서 천국을 본다.
그대의 손바닥에 무한을 쥐고
찰나의 순간에 영원을 담아라.
- 윌리엄 블레이크 (Willliam Blake) -

끝

그런데...

아직은 아닐 수도?

당신은 혹시 계산 실수가 있지는 않은지 확인하기 위해
마지막 슈프리머시를 실행하기로 결정합니다.

11번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 박사 학위 논문
잘했습니다! 당신은 막 박사 학위 논문 작성을 완료했습니다.
모든 것을 작성했고 평가 위원회에 제출할 준비가 모두 끝났습니다. 당신은 결과를 매우 기대하고 있습니다. 이것은 당신의 커리어에 큰 도움이 될 것입니다.
평가 위원회들이 다른 일을 하고 있을 때,
당신은 모든 것을 다시 확인합니다.
마지막 한번...

12번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 명예
축하합니다! 결국 해내셨군요.
당신의 이론을 방어하는 데 성공했습니다.
박사 학위는 얻어냈지만, 아직 질문에 명확한 답을 찾지는 못했습니다.
그래도 괜찮습니다. 연구는 계속 진행중이며, 위원회들도 그걸 알고 있죠.
당신은 당신이 진행을 약간 가속하기 위해 식을 약간 변형시킬 수 있다는 것을 깨달았습니다. 당신은 프로젝트에 더 깊이 들어가기 위해 박사후 연구원들을 찾아보기로 합니다...

13번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 논문 출판
당신은 이제 무한대에 대한 더 깊은 이해를 갖고 있습니다.
당신은 유명한 저널에서 첫 논문을 발행했습니다.
당신은 회의에서 그것을 발표하러 갔지만 동료로부터 많은 비판을 받게 되었습니다.
그들은 당신의 수가 극한값이 무한대라는 것을 증명하기에 충분히 크지 않다고 말합니다. 그들은 그것이 하찮은 숫자이고 그 숫자들을 끌어올려야 한다고 말합니다. 당신은 칠판에 가서 방정식을 재작업합니다...

14번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 성공적인 경력
당신 인생의 일단락이 마침내 끝났습니다.
당신은 이 프로젝트에 모든 것을 쏟아부었습니다.
당신은 당신의 결과에 기반하여 많은 논문을 발행했습니다.
대부분의 사람들에게 이것은 터무니없었지만,
수학자들은 그것이 당신 분야의 눈에 띄는
진보라는 것을 압니다. 성공적인 경력이
당신 앞에 있고 당신은 이제 혼자서 하고 있습니다.
당신은 유명한 대학에서 조교수로서의 자리를
얻었습니다. 당신연 영리한 아이디어가 넘쳐나는
밝은 학생들과 팀을 이뤘고 다음에는 어떤 일이
일어날지 매우 신나하고 있습니다.

당신은 지금 졸업할 수도 있고
더 많은 학생들이 팀에 들어오길 원할 때 까지
당신의 프로젝트를 혼자서 계속할 수도 있습니다.

15번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 첫 지지자
당신은 이 프로젝트를 처음 시작했을 때를 기억합니다.
당신은 젊고 순진했죠. 당신은 이 문제가
1주일 내에 해결될 거라고 생각했습니다. 그럼에도,
당신은 당신보다 어리고 똑똑한 사람들에게
도움을 청하고 있습니다. 나쁘게 생각하지 마세요.
나이가 들면서 날카로움을 잃는 건 자연스러운
거니까요.
이 새 학생들이 당신이 자리를 비웠을 때 일해줄
겁니다. 사무실에서 쉬고, 어린 친구들이 힘든
일을 하게 하세요.

16번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 더 많은 원숭이
당신은 교수직이 아주 쉬운 일이라고는 한 번도
생각해본 적이 없습니다. 당신은 의자에 앉아서
학생이 뭔가를 물어보면 이렇게 대답할 뿐입니다.
"이것을 알아내는 것이 너의 일이다."
당신은 그들 중 한 명이 뭔가 대단한 걸 이룩해내는
것으로 끝나길 바라며 무한 원숭이 정리[18]에 대해서
생각합니다. 근데 아무래도 그게 오늘은
아닐 것 같네요...

17번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 시너지
좌절한 학생 몇 명이 당신에게 옵니다.
그들이 질문합니다: "모든 것의 요점이 무엇인가요?"
당신은 당신의 커피를 떨어뜨립니다. 학생들이 당신의
권한에 도전할 거라고는 상상도 못 했거든요.
당신은 그들에게 더 잘 할 수 있다고 생각되면
다른 것들을 해보라고 말합니다. 알고 보면,
그건 결국 아무 것도 안 할 거라는 거라는 걸 압니다.
그들은 그걸 "시너지" 라고 부르고, 당신은 그걸
소중한 시간의 손실이라고 부르죠.

18번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 부서 부장
이론은 꽤 유익하게 끝났습니다.
당신 부서의 모든 교수들 중,
당신은 올해 가장 많은 논문을 출판한
한 사람이었습니다. 당신은 부서 부장으로
임명되었고 그 자리를 꿰찼습니다.
수락 연설 도중에, 당신은
당신의 학생들의 노고를 칭송했고
당신이 얼마나 그들과 그들의
아이디어를 믿었는지 말했습니다.
거짓말을 왜 해요? 진실이잖아요!

19번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 존재 위기
"제가 누구인지 말해줄 수 있는 사람이 있나요?"
한 방정식.
그게 제 인생인가요? 정말로요?
만약 이 방정식이 무한대로 발산하는 경향이
있다는 걸 증멸할 더 쉬운 방법이 있었다면...
당신은 더 많은 분야, 더 많은 이론을 탐구해야 합니다.
이미 많은 시간을 거기에 쏟아부었잖아요.
포기하기엔 늦었어요.

20번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 나비 효과
당신의 성가신 동료가 당신의 사무실에 와서
날씨와 그것이 얼마나 예측 불가능한지에 대해
말하기 시작합니다. 당신은 잡잠을 싫어하기에
그냥 고개를 끄떡거리며 그가 곧 떠나기를
원하고 있을 뿐입니다. 아마 당신이 그에게
첫 날에 미소를 지어주지 않았다면 지금과는
많이 달라졌을 텐데요. 그가 이야기하는 동안,
당신은 커피를 젓고, 커피를 같은 방식으로
저을지라도 무늬가 계속해서 달라지는 것을
관찰하고 있습니다.
어쨌든... 그 이후 어느 날, 학생이 그가 카오스
이론을 시작할 수 있는지 묻습니다. 당신은
그게 무엇인지 모르지만 멋지게 들려서
그냥 동의해줍니다.

21번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 안식 기간
인정하세요. 이거 감당하기 힘들어지고 있어요.
심지어 모든 시도를 하고 나서도, 무한대가
엄청나게 멀어 보이게 되었습니다.
아마 무한대는 숫자가 아닐 겁니다.
그저 개념일 뿐일까요?
만약 관측할수 없다면,
어떻게 그 존재를 입증할 건가요?
당신은 안식 휴가를 내고 당신의 삶과
미래 계획에 대해 생각해보기로 합니다. 당신은
이론을 작업할 수 있도록 공책을 챙깁니다.
휴가 동안엔 학생들이 그들의 일을 하겠죠.

22번째 챕터

[ 펼치기 · 접기 ]: > 유레카
역시나!
이걸 왜 진작에 떠올리지 못했을까요?
수렴판정은 당신 방정식의 수렴을 판정할 때
정말로 유용해질 수 있겠군요.
이게 당신의 문제를 결국
해결해낼 수 있을 거라는 느낌이 듭니다.
안식 휴가를 끝내고 이제
일하러 갈 시간입니다.

23번째 챕터 (엔딩)

[ 펼치기 · 접기 (엔딩 스포일러) ]: > Quod Erat Demonstrandum
정말 대단한 여정이었습니다.
당신은 지금이 은퇴하기 딱 좋은 날이라고 느낍니다.
당신은 당신의 짐을 싸고
학생들에게 작별 인사를 건넵니다.
이제 그들 자신들의 차례입니다.
당신은 이 프로젝트에 쏟아넣은
모든 노력과 배웠던 모든 것을
생각합니다.
그럴 가치가 있었나요?
네. 있었죠.

Q.E.D. (증명 완료)

4. 보상

광고를 보면 2시간 동안 dt의 값이 50% 증가한다. 광고 보상은 누적된다.

1900원을 내면 활성화된 이론 효율과 dt의 값을 영구적으로 50% 증가시킬 수 있다. 이는 해당 게임의 유일한 과금 요소다.

4.1. 미니게임

구글플레이 리더보드에 기록되는 것은 하이스코어(f(x) 값)와 바로 이 미니게임 점수다.

슬라이드 퍼즐
유명한 퍼즐이다. 익숙해지면 쉽다. 별 10개로 해금할 수 있다.[19]

토러스 퍼즐
생소한 퍼즐이지만 익숙해지면 쉽다. 어려운건 이웃한 두 숫자의 위치를 바꾸는건데 공식 [20]만 알면 된다. 이 방법보다는 아래 예시처럼 바꿔어 주는 것을 추천한다. 6x6은 짝수x짝수이기 때문에 parity를 체크해야 할 수 있다. 이름이 토러스 퍼즐인 이유는 해당 퍼즐과 같이 사각형에 몫위상을 부여하면 토러스(도넛 모양)이 되기 때문으로 보인다. 별 75개로 해금할 수 있다.

[ 기본적 풀이 방법 ]

1. 가장 윗줄에 1~4를 정렬한다.

1	2	3	4	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

2. 5번째 행을 이용해 마지막 열을 제외한 행을 모두 채운다.

1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	x
16	17	18	19	x
x	x	x	x	x

2 - 1 기본적으로 다음과 같이 움직이면 행을 채울 수 있다.

1	2	3	4	x
6	x	x	x	x	→
x	7	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	x
x	x	x	6	x
x	7	x	x	x	→
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

				↑
1	2	3	4	x
x	x	x	6	x
x	x	x	x	7
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	x
x	x	x	6	7	←
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	x
x	x	6	7	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

2 - 2 다음에 필요한 숫자가 안쪽에 있을 경우 다음 테크닉을 이용한다.

1	2	3	4	x
x	x	7	6	x	→
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

				↑
1	2	3	4	x
6	x	x	x	7
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	7
6	x	x	x	x	←
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

				↓
1	2	3	4	7
x	x	x	6	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	x
x	x	x	6	7	←
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

1	2	3	4	x
x	x	6	7	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x
x	x	x	x	x

3. 모두 정렬했다면 가장 오른쪽 행을 정렬한다.

1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	15
16	17	18	19	x
x	10	x	5	x	→

1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	15
16	17	18	19	x
x	x	10	x	5	→

				↑
1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	15
16	17	18	19	x
x	x	10	x	5

1	2	3	4	x
6	7	8	9	15
11	12	13	14	x
16	17	18	19	5
x	x	10	x	x	→

				↑
1	2	3	4	x
6	7	8	9	15
11	12	13	14	x
16	17	18	19	5
x	x	x	x	10

1	2	3	4	x
6	7	8	9	5
11	12	13	14	10
16	17	18	19	x
x	x	x	x	15	←

				↓
1	2	3	4	x
6	7	8	9	5
11	12	13	14	10
16	17	18	19	x
x	x	x	15	x

1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	5
16	17	18	19	10
x	x	x	15	x	→

				↑
1	2	3	4	x
6	7	8	9	x
11	12	13	14	5
16	17	18	19	10
x	x	x	x	15

1	2	3	4	x
6	7	8	9	5
11	12	13	14	10
16	17	18	19	15
x	x	x	x	x

4. 마지막 행을 정렬한다. 여기선 21을 기준으로 삼아 정렬했다.

	↓
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	24	22	23	25

1	24	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
21	17	22	23	25	→

	↑
1	24	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
22	23	25	21	17

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	23	18	19	20
22	24	25	21	17	→

	↓
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	23	18	19	20
17	22	24	25	21

1	22	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
17	23	24	25	21	→

	↑
1	22	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
21	17	23	24	25

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

[ 5x5 예시 ]

23	16	10	24	18
7	8	6	1	9
4	5	15	13	17
19	14	21	20	25
22	2	3	11	12

다음과 같이 퍼즐이 주어졌을 때, 첫 열의 4번째까지의 숫자를 정렬한다.

				↑ 2번째, 1칸
1	2	3	4	18
23	16	10	19	9
7	8	6	13	17	→ 1번째, 3칸
15	24	25	20	5
22	14	21	11	12

이제 두번째 열을 정렬해야 한다. 우선 6을 2열의 5번째 자리로 보낸다.

				↑ 3번째, 1칸
1	2	3	4	9
23	16	10	19	6	← 1번째, 1칸
13	17	7	8	5	→ 2번째, 2칸
15	24	25	20	12
22	14	21	11	18

6을 왼쪽으로 한칸 밀고 7을 6이 있던 자리로 보낸다.

1	2	3	4	23
16	10	19	6	7
8	5	13	17	12
15	24	25	20	18
22	14	21	11	19

같은 방법으로 4번째 숫자인 9까지 정렬한다.

				↑ 2번째, 2칸
1	2	3	4	18
6	7	8	9	19
5	13	17	12	23
15	24	25	20	16
22	14	21	11	10	→ 1번째, 1칸

같은 방법으로 11을 3열의 끝으로 보낸다. 이때, 12가 안에 있어 위에서 했던 방법으로는 바로 옮길 수 없다.

				↓ 2번째, 1칸
1	2	3	4	23
6	7	8	9	16
5	13	17	12	11	→ 1번째, 1칸
15	24	25	20	18
10	22	14	21	19

이 경우 12를 밖으로 빼 주면 된다. 우선 오른쪽으로 한칸 밀어 12를 세번째 열 끝으로 보낸 뒤 아래로 한칸 내린다.

				↑ 2번째, 1칸
1	2	3	4	19
6	7	8	9	23
11	5	13	17	16	← 1번째, 2칸, ← 3번째, 1칸
15	24	25	20	12
10	22	14	21	18

이 다음 세번째 열을 왼쪽으로 두 칸 밀고 다섯번째 행을 위로 한칸 올린 다음, 다시 세번째 열을 왼쪽으로 한칸 밀면

1	2	3	4	23
6	7	8	9	5
17	16	11	12	13
15	24	25	20	18
10	22	14	21	19

이제 위에서 했던 방법대로 정렬해서 4번째 열까지 정렬해준다.

				↓ 1번째, 3칸
1	2	3	4	5
6	7	8	9	20
11	12	13	14	23
16	17	18	19	15
10	22	25	21	24

다음엔 다섯 번째 행을 정렬해야 한다.

우선 다섯번째 행을 세칸 아래로 내려 5를 4번째 열로 보낸다.

				↑ 2번째, 1칸
1	2	3	4	23
6	7	8	9	15
11	12	13	14	24
16	17	18	19	5
10	22	25	21	20	← 1번째, 1칸

앞에서 했던 것처럼, 10을 5 밑으로 넣고 한칸 올려 준다.

				↑ 1번째, 1칸
1	2	3	4	15
6	7	8	9	24
11	12	13	14	5
16	17	18	19	10
22	25	21	20	23	← 2번째, 1칸

15가 같은 열에 있으므로 다섯 번째 행을 한칸 올린 후 15를 왼쪽으로 옮겨 빼 준다.

1	2	3	4	24
6	7	8	9	5
11	12	13	14	10
16	17	18	19	23
25	21	20	15	22

이제 앞에서 했던 방법으로 마지막 행을 채워 준다.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
22	23	25	21	24

이제 21을 자리에 맞춰 준다.[21]

	↓ 1번째, 1칸
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	24	22	23	25

22, 23, 24는 자리가 맞지 않으므로, 바꿔 주어야 한다.

우선 24 위의 17을 밑으로 내린다.

1	24	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
21	17	22	23	25	← 1번째, 2칸

24는 지금 23이 있는 위치에 가야 하므로, 23을 두번째 행으로 옮긴다.

	↑ 1번째, 1칸
1	24	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
22	23	25	21	17

24를 위로 올려 자리를 바꾼다.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	23	18	19	20
22	24	25	21	17	→ 1번째, 1칸

23은 22가 있는 위치로 가야 하므로, 22를 2번째 행으로 옮겨 준다.

	↓ 1번째, 1칸
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	23	18	19	20
17	22	24	25	21

23을 밑으로 내려 자리를 바꿔 준다.

	↑ 2번째, 1칸
1	22	3	4	5
6	2	8	9	10
11	7	13	14	15
16	12	18	19	20
17	23	24	25	21	→ 1번째, 1칸

마지막으로 17을 2번째 행으로 옮긴 뒤 위로 올려 주면

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

[ 6x6 parity check ]

5x5 퍼즐을 성공적으로 풀고 같은 방법으로 6x6을 풀다 보면 이상함을 느낄 수 있다. 마지막 6번째 행을 정렬할 때 갑자기 마지막에 정렬이 안되는 경우가 있기 때문이다. 이때는 그냥 한칸씩 옆으로 밀어 주면 된다.

아래의 경우가 그런 경우인데, 5x5처럼 마지막 줄을 정렬하면 안되는 것을 확인 할 수 있다.

	↓ 1번째, 1칸
1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30
31	33	32	34	35	36	→ 1번째, 1칸

우선 31을 오른쪽으로 한칸 민 후 26을 아래로 내려 준다.

	↑ 1번째, 1칸
1	31	3	4	5	6
7	2	9	10	11	12
13	8	15	16	17	18
19	14	21	22	23	24
25	20	27	28	29	30
36	26	33	32	34	35	→ 1번째, 1칸

이 다음 31을 현재 36과 바꿔 주면 전체적으로 6번째 행은 한칸씩 왼쪽으로 이동하게 된다.
이후에는 31을 기준으로 5x5와 같은 방식으로 마무리하면 된다.

화살표 퍼즐
슬라이드 퍼즐과 토러스 퍼즐은 알고리즘을 스스로 알아내기가 쉽다. 화살표 퍼즐은 이들에 비하면 패턴을 찾기 힘들지만 이미 모두 연구되어 있기 때문에 외우면 쉽다. 특히 별을 얻기 위해 미니게임을 한다면 이 퍼즐의 어려움 난이도가 가장 효율이 좋다.

화살표 퍼즐 쉬움 단계의 정가운데 칸은 시작할 때 항상 아래 또는 왼쪽을 가리킨다.

{{{#!folding [ 어려움 난이도 ]
가장 위쪽에 있는 2(아래 방향)의 아래칸을 계속 눌러 모든 2가 가장 아래쪽에만 위치하도록 한다.

e, f, g, h를 제외한 모든 칸은 1이어야 하며, 가장 아래쪽에만 2가 있고 좌우 대칭의 형태가 되어야 한다.

이때 e, f, g, h의 값에 따라 a, b, c, d를 적당히 탭 해주고 앞서 했던 것과 마찬가지로 가장 위쪽에 있는 2(아래 방향)의 아래칸을 계속 눌러 주면 퍼즐을 풀 수 있다. 얼마나 탭해야 하는지는 아래 표 참조

셀 상태				→	탭 수
e	f	g	h		a	b	c	d
1	1	2	1		0	1	0	0
1	2	1	2		0	1	1	0
1	2	2	2		0	0	1	0
2	1	1	2		1	0	0	0
2	1	2	2		0	0	0	1
2	2	1	1		0	0	1	1
2	2	2	1		1	0	1	0

}}}

미니게임들의 공식을 알고 싶다면 여기에서 찾아보는 것을 추천한다.

5. 업적

일반 업적은 106개, 비밀 업적은 13개가 있다.

비밀 업적 달성 조건은 여기에서 볼 수 있다. 혼자서 알아내기 어려운 업적들도 있고 힌트만 보고는 전혀 감도 안오는 업적들도 있지만, 이것저것 눌러보고 시도해보다보면 하나둘씩 달성되기도 한다. 마지막 비밀 업적 달성 방법은 이 영상에서 확인.[22] 다만 해당 영상에서도 경고하듯이 스스로 알아내는 것이 권장된다. 하지만 이걸 도대체 어떻게 스스로 알아내느냐는 의견도 있다.

5.1. 목록

이름	조건	보상
돈
비용은 나눗셈입니다 Costs Are Divided	첫 변수(x)를 구매한다.	1
첫 돈 First Money	$10 획득	1
첫 1000 First Thousand	$1000 획득	1
과학적 표기법 Scientific Nonation	$1e6 획득	1
첫 10조 First Trillion	$1e9 획득	1
이상한 표기법 Strange Nonation	$ee1(1e10) 획득	1
저지불가 Unstoppable	$ee7 획득	1
믿을 수 없어요 Unbelievable	$ee10 획득	1
하늘만큼 땅만큼 The Sky's the Limit	$ee25 획득	1
10대 시절엔 Teenage Years	$ee50 획득	5
성숙 Growing Up	$ee75 획득	2
재정적인 안정 Financial Stability	$ee100 획득	3
돈 벌 재목 Wealth Suits You	$ee125 획득	4
주머니로는 모자라요 Pockets Are Too Small	$ee150 획득	2
끝이 보여요! The End is Near!	$ee175 획득	3
무한대를 넘어서! To Infinity and Beyond!	$ee195 획득	5
잠깐만, 뭔가 더 있어요! Wait, There's More!	$ee300 획득	10
이제 반 왔습니다 Halfway Through	$ee500 획득	10
악마의 변호인 Devil's Advocate	$ee666 획득	10
럭키 세븐 Lucky 7	$ee777 획득	10
여기 구급차! Call the Emergency	$ee911 획득	10
기묘한 이야기	$ee1000 획득	10
전교 1등 Top of the Class	$ee2000 획득	10
사무직 White Collar	$ee5000 획득	10000
월스트리트의 강아지 Puppy of Wall Street	$ee10000 획득	10000
잭팟 Jackpot	$ee15000 획득	10000
개이득 Stonks	$ee20000 획득	10000
탭/틱
첫 탭 First Tap	등식을 1회 터치	1
탭하는 법 배우기 Learning to Tap	등식을 50회 터치	1
더 빠른 진행 Faster Progress	등식을 250회 터치	1
피곤해질 겁니다 You Will Get Tired	등식을 1,000회 터치	1
타이핑 킹 Typer King	등식을 10,000회 터치	2
연쇄살인마 Killing Spree	100,000틱 진행[23]	3
이제 그만해도 돼요 You Can Stop Now	1,000,000틱 진행	5
패스트 태퍼 First Tapper	1초안에 등식을 5회 터치	1
오토 클리커 Auto Clicker	1초안에 등식을 25회 터치[24]	2
프레스티지
첫 프레스티지 First Prestige	프레스티지 1회 실행	1
이전에 본 거 같은데요 I've Seen It Before	프레스티지 2회 실행	1
진행이 더 빨라지네요 Progress Gets Faster	프레스티지 10회 실행	1
저 무한대 근처는 가고 있나요? Am I Close to Infinity	프레스티지 25회 실행	3
아저씨가 돈이 많아 Suger Daddy	프레스티지 50회 실행	1
명성 Prestigious	프레스티지 75회 실행	3
금목걸이 Gold Chains	프레스티지 100회 실행	5
자동 프레스티지 Auto-Prestiage	프레스티지 250회 실행	5
슈프리머시
환생 Reincarnation	슈프리머시 1회 실행	10
예언자 Toe Prophet	슈프리머시 2회 실행	20
성공적인 여행이 되길! Godspeed You!	슈프리머시 5회 실행	100
어둠의 황제 Black Emperor	슈프리머시 10회 실행	100
암흑의 통치 Dark Regin	슈프리머시 25회 실행	100
학생
저보다 똑똑한가요? Are They Smarter Than Me?	학생(σ) 1명 보유	5000
네, 그럼요! Yes, They Are!	학생 25명 보유	10000
아직 학교예요? Still In School?	학생 50명 보유	250000
몇 명은 가야 해요 Some of You Need to Leave	학생 75명 보유	500000
내 실험실은 동물원 My Lab Is a Zoo	학생 100명 보유	1000000
졸업
값싼 노동자 Cheap Labor	졸업 1회 실행	5000
마지막 건 영 좋지 않았어요 Last Ones Were Not Good	졸업 2회 실행	10000
더 필요해요! I Need More!	졸업 5회 실행	25000
이러기엔 너무 늙었어요 Too Old For This	졸업 10회 실행	50000
오십보백보 More of The Same	졸업 20회 실행	100000
이론
재활용 Recycling	'점화식' 이론 시작	100000
피라미드 계획 Pyramid Scheme[25]	????('미분방정식') 이론 시작	100000
차원 문제 Dimensions Matter	????('선형대수학') 이론 시작	100000
고등학교로 복귀 Back to High School	????('다항식') 이론 시작	100000
음의 부호? A Negative Sign?	????('로지스틱 함수') 이론 시작	100000
악몽 Nightmares	????('적분') 이론 시작	100000
노예 제도 Slavery	????('수치해석학') 이론 시작	100000
예측할 수 있었어요 It Was Predictable	????('혼돈이론') 이론 시작	100000
이론
종말, 그 이후 Postapocalyptic	공식 커스텀 이론 시작	1000000
광기 Madness	공식 커스텀 이론에서 1e10τ 획득	1000000
부활 Rebirth	공식 커스텀 이론에서 1e25τ 획득	1000000
자랑할 권리 Bragging Rights	공식 커스텀 이론에서 1e50τ 획득	1000000
보상[26]
성급 Impatient	광고 보상 1회 획득	1
생일선물 Birthday Boy	광고 보상 5회 획드	1
선물 쌓기 Stacking Up Gifts	광고 보너스 남은 시간이 2시간 1초 이상	1
이 정도면 빠른거 아닌가요? Isn't It Fast Enough?	광고 보너스 남은 시간이 8시간 1초 이상	2
플레이 시간
무료 체험판 Free Trial	누적 플레이타임 10분	1
꼬맹이 Junior	누적 플레이타임 30분	1
고등학교 High School	누적 플레이타임 60분	2
만물박사 Jack of All Trades	누적 플레이타임 2시간	1
수학과 학사 Bachelor of Mathematics	누적 플레이타임 5시간	1
레온하르트 오일러 Leonhard Euler	누적 플레이타임 10시간	2
앨런 튜링 Alan Turing	누적 플레이타임 20시간	3
알버트 아인슈타인 Albert Einstein	누적 플레이타임 40시간	10
별
스타의 탄생 A Star is Born	등식 터치로 별 1개 획득	1
하늘 위로 Up in the Sky	등식 터치로 별 2개 획득	1
은하 Galaxy	등식 터치로 별 5개 획득	2
별자리 Constellation	등식 터치로 별 10개 획득	2
블랙홀 Black Hole	누적 별 50개 획득	3
웜홀 Worm Hole	누적 별 1,000개 획득	10
우주 Universe	누적 별 10,000개 획득	50
다른 차원 Another Dimension	누적 별 100,000개 획득	500
무료 증정 Freebie	별 1개 소모	1
죽음의 별들 Death Stars	별 100개 소모	1
항성계 Star System	별 500개 소모	2
물 쓰듯이 Spender	별 5,000개 소모	30
반짝이는 것들 Shiny Things	별 20,000개 소모	50
미니 게임
서브 퀘스트 Side Quest	미니게임에서 별 1개 획득	1
쉬는 시간 Play Time	미니게임에서 별 5개 획득	2
자리 비움 Away From Keyboard	미니게임에서 별 50개 획득	5
메인 퀴스트를 잊으셨군요 Forgot the Main Quest	미니게임에서 별 200개 획득	8
식은 죽 먹기 Child's Play	15-퍼즐 Easy 난이도 클리어	1
유년 시절의 기억 Childhood Memory	15-퍼즐 Medium 난이도 클리어	3
15개 아니었어요? Wasn't it 15?	15-퍼즐 Hard 난이도 클리어	6
스테이지 7-4 World 7-4	토러스 퍼즐 Easy 난이도 클리어	2
도넛 좋아요 I Love Donuts	토러스 퍼즐 Medium 난이도 클리어	6
도넛 싫어요 I Hate Donuts	토러스 퍼즐 Hard 난이도 클리어	12
뽀쪽한 끝 The Pointy End	화살표 퍼즐 Easy 난이도 클리어	10
빙산의 일각 Tip of the Iceberg	화살표 퍼즐 Medium 난이도 클리어	25
빙산 The Iceberg	화살표 퍼즐 Hard 난이도 클리어	75
환불해주세요 I Want a Refund	화살표 퍼즐 Expert 난이도 클리어	125

===# 숨겨진 업적 목록 #===
클리어하기 전에 힌트만 볼 수 있고, 클리어 방법은 알아서 생각해야 한다.

이름(영어)	힌트	조건(스포일러 주의)	보상
다크 사이드에 오신 것을 환영합니다 Welcome To The Dark Side	핑크 플로이드의 8번째 정규 앨범 8th studio album of Pink Ployd	[27]	1
잘못된 비율 Wrong Ratio	진행이 안 될거에요 You wouldn't progress.	[28]	5
빠르게 가야 해요 Gotta Go Fast	그렇게 오래 기다릴 수 있나요? Can you wait that long?	[29]	5
변호사 Lawyer	그걸 누가 읽어요? Who reads that?	[30]	5
모든 것의 시작 How It All Began	아련... Memories...	[31]	5
화면에 금이 가지 않았나요? Your Screen Has Cracks	가장 힘들게 별을 획득하는 방법 Getting stars the hard way.	[32]	5
왜 그러세요 Why are you doing this?	부하들을 늘려봅시다. Let the minions multiply.	[33]	5
원 핸드 퍼즐러 One-Handed Puzzler	여러모로 이득 Gains in many ways.	[34]	5
탭 말고 홀드 Hold, Not Tap	규칙을 잘 안 읽는 편이군요 Having problems understanding the rules.	[35]	5
최초 배포본 Initial Releases	그 이후로 많이 바뀌었죠. It has changed a lot since than.	[36]	5
디스 이스 스파르타! This is Sparta!	레오니다스 Leonidas.	[37]	5
주저 Hestation	빠른 전환 Quick flip.	[38]	5
탑 시크릿 Top Secret	힌트 없음 No hint.	아래 참고	5

Top Secret 획득 방법: 1. Top Secret 업적을 5회 터치하면 base64로 인코딩된 문자열이 나온다.
2. 1에서 얻은 문자열을 디코딩하면 페이지 주소가 나온다.
3. 2에서 얻은 페이지 주소 앞에 https://conicgames.github.io/exponentialidle/ 를 입력하고 완성된 주소에서 ROT13 로 인코딩된 문자열을 얻는다.
4. 3에서 얻은 문자열을 디코딩하면 다른 페이지 주소가 나온다.
5. 4에서 얻은 페이지 주소 앞에 https://conicgames.github.io/exponentialidle/ 를 입력하고 완성된 주소에서 코드를 얻는다.
6. 다시 Top Secret 업적을 5회 터치해서 아래 입력란에 5에서 얻은 코드를 입력한다.

6. 여담

앱을 지우면 모든 기록이 사라지니 주의. 반드시 불러오기/내보내기를 통해 기록을 클립보드에 저장해야 한다. 기록은 암호화되어 매우 긴 문자열의 형태이므로 카카오톡 채팅으로 보내면 잘린다. 오래 보관하고 싶은 기록이면 메일로 보내든지 해야한다.

게임을 끝까지 클리어하려면 2~3달은 잡아야 한다. 오프라인 진행이 되므로 빡세지는 않다.

ee4800에서 ee5000, ee5800에서 ee6000이 게임 중반의 마의 구간으로 유명하며, 슈프리머시 업그레이드 1, 2번을 다 최대로 찍었기에 이제 슈프리머시로 성장할 수 없고, 온전히 φ와 τ의 보너스를 의존하면서 매우 느린 성장으로 마지막 관문을 돌파해야한다. ee6000 이후 미분방정식 이론으로 τ를 크게 증가시킬 수 있어서 이 구간들 보다 비교적으로 쉽게 클리어할 수 있다.

Antimatter Dimensions 의 모바일 버전 로딩 화면에서 '이 게임도 추천한다'고 언급한다.

[1] [math(x_{n})]을 처음으로 업그레이드 했을 경우 [math(x_{1})]이 해금되고, [math(f(t))]의 식이 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bxdt})]에서 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bx_{1}dt})]로 변경된다. [math(x_{n})]는 총 8단계까지 있으며, 1회 업그레이드마다 [math(x_{n+1})]이 해금되고, 식이 [math(f(t+dt)=f(t)\times e^{bx_{n+1}dt})]로 변경된다. [math(x_{n})] 변수의 증가폭은 [math(x_{n} \gets x_{n} + x_{n-1}dt)]이다.[2] 처음 졸업을 하면 ee50000까지 나아갈 수 있다. 9번째 이론을 클리어하고 엔딩까지보면 더 확장할 수 있다.[3] "별 업그레이드에 사용하지 않는 별의 개수"가 아닌 "획득한 전체 별의 개수"라서 정말로 게임 진행에 유일하게 초기화되지도 않고 업그레이드에서 소모되지도 않는 자원을 기반으로 하고 있기 때문에 매우 안정적이다. 다만 반대로 말하면 그 만큼 성장이 느려 후반에서 다른 업그레이드보다 효율이 안 좋을 수 있다.[4] 8번째 이론은 20[5] 수렴판정. 다름아닌 이 게임의 메인 식 [math(f(x))]의 극한이 하나의 값으로 수렴하지 않는 것을 증명하는 것. 이 게임을 시작할 때 교수가 이 게임의 메인이 되는 [math(f(x))]함수를 주고 유한한 값에 수렴하는가를 물어보는데, 여기서 그걸 증명하는 것이다. 다른 이론들은 모두 서브 퀘스트로 메인 식의 성장을 도와주는 역할을 하고, 나중에 가면 자동화도 되지만, 이쪽은 그런 것도 없다.[6] [math(c_3)]과 함께 [math(c_3\rho_{n-1}^{0.2})]의 형태로 추가되며, [math(c_3)] 업그레이드도 추가된다.[7] [math(c_4)]과 함께 [math(c_4\rho_{n-2}^{0.3})]의 형태로 추가되며, [math(c_4)] 업그레이드도 추가된다. 또한 3번째 이정표를 업그레이드할 시 이 이정표를 업그레이드할 수 있다.[8] [math(\rho)]<ee300: 1(할 수 있을 때 즉시 구매)
ee300<[math(\rho)]<ee450: 1.1
ee450<[math(\rho)]<ee550: 2
ee550<[math(\rho)]<ee625: 5
ee625<[math(\rho)]: 10[9] 두 식 모두 변수가 아직 추가되지 않았을 때는 그 변수의 값을 0으로 취급한다.[10] [math(q_3)]을 잠금 해제하고 난 뒤에 [math(q_4)] 해제 가능[11] [math(r_3)]을 잠금 해제하고 난 뒤에 [math(r_4)] 해제 가능[12] 즉 실질적으로 [math(\tau)]에 영향을 주는 값은 [math(b_1 \times c_{11} + b_2 \times c_{12} + b_3 \times c_{13})]이며, [math(\rho_2)]와 [math(\rho_3)]는 이 변수들을 구매하는데에만 쓰인다.[13] 다음 출판까지 걸리는 시간은 짧지만, 출판의 증폭 배율이 증가하는 속도가 느리다.[14] 설명을 해보자면, 시간 [math(t)]에 대한 [math(q)]의 증가량이 로지스틱 함수 형태이기 때문에, [math(q)]가 점점 증가하다가, [math(\frac{q}{c_2})]이 1 ([math(c_3)]을 해금했다면, [math(c_3)])이 되는 순간, [math(q)]가 더이상 증가하지 않게 된다. 따라서, [math(q)]의 증가량이 극댓값을 찍고 점점 증가량이 줄어들 때, 특정 타이밍에 [math(c_2)]를 찍어줘야 다시 [math(q)]가 원만하게 증가하기 시작한다.[15] 이는 [math(c_3)]의 레벨이 2 이하일땐 [math(c_2)]의 레벨을 [math(c_3)]의 레벨보다 한단계 적게 유지, [math(c_3)]의 레벨이 3 이상일땐 둘의 레벨을 같게 유지한다면 해결 가능하다.[16] [math(q_1)] 32개, [math(q_2)] 11개, [math(c_1)] 32개, [math(c_2)] 25개, [math(c_3)]를 구매한 상태에서 [math(c_1)]을 하나 더 구매할 경우, 원래 값으로 돌아오는 데만 228707년이 걸린다.[17] 수렴판정을 끝내 f(t)가 무한대로 발산한다는 것을 증명하면서 통계에서도 무한대가 [math(\infty)]로 표기된다. 그래서 이 "소프트캡"의 값은 알 수 없다. 일단 알 수 있는 것은 엔딩 보기 전의 제한선인 ee50000보다는 훨씬 크다는 것인데, 현재 ee60000 이상까지 나아간 사람도 있다.[18] 무한 원숭이 정리란 불가능해 보일 것 같은 일이라도 아주 조금의 가능성이 존재한다면 무한한 시도를 했을 때 반드시 가능하게 된다는 이론이다.[19] 풀이는 해당 문서 참조[20] 상하좌우를 각각 UDLR이라 하고, 바꾸려는 인접한 두 숫자 중 오른쪽 숫자가 있는 셀을 LDRURRDRURDRU 하고 재배치해주면 된다.[21] 반드시 그럴 필요는 없지만, 편의를 위해 자리를 맞춰 준다.[22] 다만 제작자의 이메일로 코드를 보내는 스탭은 지금에 없어졌다. 아마도 이메일로 코드를 보내야한다는 것에 불편함을 느꼈다는 플레이어의 피드백 때문이거나, 자동으로 이메일 회신을 하기위해 만든 서버를 돌리는 비용을 감당하지 못해서 그런것으로 추정된다.[23] 1틱당 0.1초이며 오토 혹은 수동 상관없이 1씩 증가한다.[24] 양손의 다섯 손가락으로 재빠르게 터치하면 된다.[25] 인게임에서 1번째 이론을 제외한 나머지는 이론을 구매하지 않으면 획득조건이 ????로 표시된다.[26] 모든 광고보상 관련 업적은 광고제거 구매시 즉시 완료 처리된다.[27] 다크 테마 사용[28] 자동 프레스티지 비율(Auto-prestige ratio)에 잘못된 값 입력[29] 가속 버튼을 배율이 2.5가 될 때 까지 홀드(대략 7분정도 소요된다.)[30] 개인정보 보호정책(Privacy Policy)을 열람[31] '박사 학위논문' 스토리 챕터 도달후 '서문' 스토리 챕터 열람[32] 등식을 100,000회 터치[33] 변수 x를 1000회 구매[34] 가속 버튼을 누르면서 15-퍼즐 클리어[35] 가속 버튼을 10회 터치[36] '신규 정보' 페이지에 들어가 맨 아래에 있는 '최초 배포본' 텍스트 누르기[37] 자동 프레스티지 비율(Auto-prestige ratio)를 300으로 설정[38] 오프라인 시간이 10초 이하인 상태로 게임 실행

Exponential Idle

1. 개요

2. 게임 진행

2.1. 틱

2.2. 변수와 업그레이드

2.3. 프레스티지

2.4. 별

2.5. 슈프리머시

2.6. 졸업

2.7. 이론

2.8. 커스텀 이론

3. 스토리 챕터

4. 보상

4.1. 미니게임

5. 업적

5.1. 목록

6. 여담

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