Aleph-0

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1. 개요

1.1. BGA의 수식

• 1번 수식
  [math(\begin{cases}Z_{n+1}=Z_{n}+C\\Z_{1}=0\end{cases})]
  자연수를 구성하는 귀납적 방식.
• 2번 수식
  [math(\displaystyle C=I \setminus \bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcup_{k=0}^{3^{m-1}-1} \left( \frac{3k+1}{3m}, \frac{3k+2}{3m} \right))]
  칸토어 집합의 정의.
• 3번 수식
  [math(M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} : \begin{matrix}\exists i,j,k\in\left\{0,1,2\right\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\\text{and at most one of }i,j,k\text{ is equal to }1\end{matrix}\right\})]
  멩거 스펀지를 구성하는 방식. [math(M_{0}=\left\{(0,0,0)\right\})]일 때, 부피 1인 정육면체에 들어맞는 멩거 스펀지가 완성된다.
• 4번 수식
  [math(\displaystyle S_{n+1}\text{ is }l_{n}=\frac{2}{3}\left(1+\sqrt{2}\right)2^{n}-\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{2}\right)\frac{1}{2^{n}})]
  n번째 시에르핀스키 곡선(Sierpiński curve)의 길이를 구하는 식.[주의]
• 5번 수식
  [math(\displaystyle f_{1}(z)=\frac{(1+i)z}{2}\\\displaystyle f_{2}(z)=1-\frac{(1+i)z}{2})]
  Dragon curve을 iterated function system으로 나타낸 것.
• 6번 수식
  [math(\displaystyle A_{n}=a_{0}\left( 1+\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{4}{9}\right)^{k}\right))]
  코흐의 눈송이의 넓이를 나타낸다. [math(a_{0})]은 초기 삼각형의 넓이이며, [math(A_{n})]은 [math(n)]단계 눈송이의 넓이이다.
• 7번 수식
  [math(f(x, y) = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix})]
  아핀 변환(Affine transformation)으로 정의된 Barnsley Fern의 기본 행렬. [math(a,b,c,d,e,f)]에 일련의 숫자를 집어넣으면 고사리 모양의 프랙털[5]이 나온다. 참조.
• 8번 문구
  [math(\text{denumerable set})]
  countable set 또는 가산집합이라고도 하며, 자연수 전체의 집합과 일대일 대응되는 무한집합(정수, 유리수 집합 등)을 의미한다.
• 9번 수식
  [math(z_{n+1}=\left(\left|\text{Re}\left(z_{n}\right)\right|+i\left|\text{Im}\left(z_{n}\right)\right|\right)^{2}+c,\\z_{0}=0)]
  Burning Ship 이라는 이름을 가진 망델브로 집합의 변형 프랙털이다. 실제 망델브로 집합의 정의는 위 식에서 절댓값을 모두 떼었을 때 [math(\left|z_{n}\right|)]가 무한대로 발산하지 않도록 하는 모든 복소수 [math(c)]의 집합이다.
• 10번 수식
  [math(K(f)\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}\left\{z\in\mathbb{C}:f^{(k)}(z)\nrightarrow\infty\text{ as }k\rightarrow\infty\right\})]
  Iterated function system에서의 끌개들의 집합.
• 11번 수식
  [math(\displaystyle f(z)=1+\frac{(n-1)z^{n}}{nz^{n-1}})]
• 12번 수식
  [math(\displaystyle \nu(z)=k-\frac{\log(\log\left|z_{k}\right|/\log(N))}{\log(d)})]
• 13번 수식
  [math(\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-a~\frac{p(z_{n})}{p'(z_{n})})]
  방정식 [math(p{\left(z\right)}=0)]의 복소수 근의 근사치를 구하는 뉴턴-랩슨 방법. 어떤 초기값 [math(\displaystyle z_{0})]에 대해 특정한 각각의 근으로 수렴하는데, 어떤 근에 수렴하는지에 따라 초기값에 색상을 부여하면 복소평면에서의 프랙털이 그려진다. 3Blue1Brown의 영상.
• 14번 수식
  [math(\displaystyle λ=\lim_{N\to \infty}\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\log\left|r_{n}(1-2x_{n})\right|)]
  이산 로지스틱 사상(Discrete logistic map)의 랴푸노프 지수(Lyapunov exponent).
• 15번 수식
  [math(Pr(U>u)= \begin{cases}1:u<1, \\ u^{-D}:u≥1.\end{cases})]
  파레토 분포의 상보누적분포함수(CCDF).
• 16번 수식
  [math(\displaystyle ρ(x,t+r)=ρ(x,t)+r~\frac{∂ρ(x)}{∂t})]

1.2. 대회 결과

1.3. 곡 코멘트

2. BMS

2.1. 개요

2.2. 차분

3. 리듬 게임 수록

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