| 파형 | |||
| 정현파 | 구형파 | 삼각파 | 톱니파 |
1. 개요
파형(waveform)은 시공간에 따른 물리적 신호의 변위를 파동과 같이 나타낸 것이다.2. 주기파
주기가 존재하는 파형을 주기파라고 한다.2.1. 정현파
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의 [[정현파#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[정현파#|]] 부분을}}}가장 원초적이고 기본적인 주기파로, 시간에 따라 주기적으로 신호의 크기와 방향이 사인 함수 형태로 변화하는 파형이다.
2.2. 비정현파
시간에 따른 신호의 양상이 사인 함수 형태로 변화하지 않는 파형으로, 모든 비정현파는 정현파를 여러 번 합성하여 얻을 수 있다.2.2.1. 펄스파
펄스파는 비정현파 중에서도 가장 기초적인 파형이며, 최대치로 급격히 변화했다가 일정 시간동안 그 레벨을 유지하고 다시 최소치로 급격히 변화하는 양상이 시간에 따라 주기적으로 나타나는 파형이다. 이 두 가지 상태로 나타나는 양상 때문에 많은 전자회로에서는 펄스파가 자주 이용되며, 전자회로에서는 주로 최대치를 HIGH 레벨, 최소치를 LOW 레벨이라고 한다.
신호가 최대치를 유지하고 있는 동안의 시간을 펄스 폭(pulse width)이라고 하며, 이를 한 주기 내 시간적 비율로 나타낸 것을 듀티 사이클(duty cycle)[1]이라고 한다. 펄스 폭 변조는 입력 신호에 따라 펄스 폭을 달리하여 펄스 파형으로 출력하는 변조 방법이다.
최소치에서 최대치로 변하는 부분을 상승 에지, 반대로 최대치에서 최소치로 변화하는 부분을 하강 에지라고 하며[2] 상승 에지와 하강 에지에서 소요되는 시간을 각각 상승 시간, 하강 시간이라고 한다.
실제적인 펄스 파형에서는 첨두폭의 90% 이상을 최대치, 10% 이하를 최소치로 간주하며, 파형의 반치전폭에 해당하는 부분을 펄스 폭이라고 한다.
실제로 펄스파의 파형을 측정해보면 한치의 오차도 없이 네모나게 나오지 않는다. 함수 발생기에 오실로스코프의 프로브를 꽂고 펄스파를 확대하여 관찰해보면, 상승·하강할 때 기울기가 존재하는 것이 보일 것이고 신호가 특정 레벨에 도달했을 때 떨림이 보이기도 할 것이다. 따라서 얼마나 깨끗하게 펄스 파형을 출력하는지를 통해 함수 발생기의 품질
2.2.2. 비대칭 구형파
주기가 [math(T)], 피크-피크 값이 [math(A)], 펄스폭이 [math(\tau)]일 때의 비대칭 사각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.| [math(x(t) = \begin{cases} A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \lt \dfrac \tau T \\ \end{cases})] 0 & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \ge \dfrac \tau T |
| 최대 정수 함수를 이용한 조각적 정의[3] |
| [math(x(t) = A \dfrac \tau T + \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 n \sin\left( \dfrac \tau T n \pi \right) \cos\left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴[4] |
2.2.3. 구형파
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의 [[구형파#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[구형파#|]] 부분을}}}펄스파에서 듀티 사이클이 50%인 경우, 즉 파형이 HIGH인 동안의 시간과 LOW인 동안의 시간이 같을 때를 특정하여 구형파라고 한다. 따라서 구형파는 펄스파의 일종이라고 볼 수 있다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)]인 구형파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
| [math(x(t) = \begin{cases} A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \lt \dfrac 1 2 \\ \end{cases})] -A & \quad \text{if } t - T \left\lfloor \dfrac 1 T t \right\rfloor \ge \dfrac 1 2 |
| 최대 정수 함수를 이용한 조각적 정의 |
| [math(x(t) = \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{\cos n \pi - 1} n \sin\left( \dfrac{2 \pi} T t - n \pi \right))] |
| 푸리에 급수 꼴 |
| [math(x(t) = \dfrac{4A} \pi \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 {2n - 1} \sin\left[ \dfrac{2 \pi} T \left( 2n - 1 \right) t \right])] |
| 축약된 푸리에 급수 꼴 |
2.2.4. 사다리꼴파
사다리꼴파는 펄스파에서 상승 시간이나 하강 시간이 특별히 길게 설정했을 경우의 파형이다.2.2.5. 삼각파
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의 [[삼각파#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[삼각파#|]] 부분을}}}삼각파는 상승과 하강의 비율이 서로 동일한 파형이다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)]인 대칭 삼각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
| [math(x(t) = \dfrac{8A}{\pi^2} \displaystyle\sum_{n = 1}^\infty \dfrac 1 {n^2} \sin\left( \dfrac{n \pi} 2 \right) \sin\left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴 |
2.2.6. 톱니파
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의 [[톱니파#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[톱니파#|]] 부분을}}}톱니파는 상승이나 하강 둘 중 하나만 존재하는 경우의 파형이다.
| [math(x(t) = \dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac 1 n \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴, 톱니파 |
| [math(x(t) = -\dfrac{2A} \pi \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty \dfrac{\left( -1 \right)^n} n \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right))] |
| 푸리에 급수 꼴, 역톱니파 |
2.2.7. 비대칭 삼각파
비대칭 삼각파는 상승·하강 비율을 매개변수로 갖는 파형이다. 사다리꼴파에서 HIGH 및 LOW 시간을 0으로 설정하거나, 펄스파를 적분한 것을 잘 비틀면 얻을 수 있다.상승 시간과 하강 시간이 동일한 경우 삼각파, 상승 시간이나 하강 시간 둘 중 하나가 0인 경우 톱니파라고 한다. 따라서 삼각파와 톱니파는 비대칭 삼각파의 특수한 경우라고 볼 수 있다.
상승 시간을 한 주기 내 시간적 비율로 나타낸 것을 skew라고 한다.
주기가 [math(T)], 진폭이 [math(A)], 상승 시간이 [math(\tau)]인 비대칭 삼각파를 시간 [math(t)]에 대한 수학적 함수로 나타내면 다음과 같다.
| [math(x(t) = \left\{ \begin{alignedat}{3} \dfrac{2A} \pi & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac 1 n & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & \tau = 0 \\ \end{alignedat} \right.)] \dfrac{2AT^2}{\tau \left( T - \tau \right) \pi^2} & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac 1 {n^2} \sin \left( \dfrac \tau T n \pi \right) & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & 0 < \tau < T \\ -\dfrac{2A} \pi & \displaystyle\sum_{n = 0}^\infty & \dfrac{\left( -1 \right)^n} n & \sin \left( \dfrac{2 \pi} T n t \right) & \quad \text{if } & \tau = T \\ |
| 푸리에 급수 꼴[5] |
2.3. 계단파
2.4. 복합파
2.4.1. 변조파
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[변조(통신)#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[변조(통신)#|]] 부분을}}}3. 비주기파
여러 가지 파형 중에서 주기가 존재하지 않거나 정할 수 없는 파형을 아울러 비주기파라고 한다.3.1. 임펄스
3.2. 노이즈
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를#!if 문단 != null & 앵커 == null
의 [[노이즈#s-|]]번 문단을#!if 문단 == null & 앵커 != null
{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[노이즈#|]] 부분을}}}[1] 듀티비(duty rate)라고 하기도 한다.[2] PLC 자동제어에서는 상승 에지와 하강 에지를 각각 상승 펄스와 하강 펄스, 양 변환과 음 변환이라고 부르기도 한다.[3] 상승 에지는 [math(x = 0)]이다.[4] 상승 에지를 [math(x = 0)]으로 두는 경우 [math(\cos)] 함수 안에 [math(-\dfrac \tau T n \pi)] 같은 자질구레한 것이 더해진다.[5] 저렇게 조각적으로 정의되는 이유는 [math(\tau = 0)] 또는 [math(\tau = T)]일 때 극한을 갖기 때문이다.