1. 개요
소파 옮기기 문제 / Moving sofa problem[1]
폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지날 수 있는 도형의 최대 넓이를 구하는 문제이다.
복잡한 공식과 어려운 숫자들로 가득한 다른 수학적 난제들과는 달리 초등학생도 이해 자체는 가능할 정도로 이 문제는 매우 직관적이다. 그러나 답을 찾는 것은 쉽지 않아 60여 년 동안 여러 수학자들이 골머리를 앓아왔다. 현재 백진언 연세대 수학과 연구원이 이 난제를 푸는 데 성공했다고 발표했으며, 해답이 검증 과정 중에 있다. 보다 자세한 내용은 5문단에서 후술.
2. 역사
오스트리아의 수학자 레오 모서가 1966년에, '폭이 1m이고 직각 커브가 있는 복도를 지나 갈 수 있는 소파의 크기는 최대 몇 m²인가'라는 질문을 한 것이 이 문제의 시작이다.여기서 소파는 도형이기만 하면 어떤 형태든 상관이 없으며, 3D가 아닌 2D로만 따지기에 높이나 기울이는 방법 등은 고려하지 않는다.
1968년 영국 수학자 존 헤머슬리는 넓이 2.2074의 전화기 모양 소파를 고안해 제시했다.
1992년 미국 수학자 조셉 거버는 헤머슬리의 소파를 발전시켜 2.2195라는 더 큰 면적 값을 구했다.
2024년 한국 수학자 백진언은 거버의 소파가 정답이라는 사실을 증명했다고 발표했다.
3. 하한선 분석
우선 직관적으로 떠올릴 만한 도형들로는 다음과 같은 것들이 있다.| 도형 이름 | 설명 | 넓이 |
| 선분 | 길이가 [math(2\sqrt2)] m | 0 |
| 직각이등변삼각형 | 빗변을 제외한 변들이 [math(\sqrt2)] m | 1 m² |
| 정사각형 | 한 변의 길이가 [math(1)] m | 1 m² |
| 원 | 반지름이 [math(\dfrac 12)] m | [math(\dfrac 14 \pi)] m² |
| 반원 | 반지름이 [math(1)] m | [math(\dfrac 12 \pi)] m² |
이들은 어디까지나 간단한 도형으로 대충 어느 정도 넓이가 나오는지에 대한 예시일 뿐이다. 실제 문제에서는 어떤 형태든 간에 최대의 넓이를 가지는 도형을 찾는 것이 이 문제의 핵심이다.
3.1. 해머슬리 소파
상술한 John Hammersley가 제시한 소파. 반지름이 1m인 반원을 사분원 2개로 만들고 그 2개를 [math(\dfrac 2π)]m²만큼 잘린 1m²의 정사각형으로 이은 모습이다. 넓이는 [math(\dfrac π2+\dfrac 2π)](m²), 약 2.2074m²이다.
3.2. 거버의 소파
1992년 상술한 Joseph L. Gerver 수학자가 제시한 답이다. 언뜻 보면 해머슬리의 소파와 똑같아 보이지만 자세히 보면 총 18개의 곡선으로 구성되어있다. 해머슬리의 소파에서 어떻게든 늘릴 수 있는 공간을 늘린 형태라고 할 수 있다. 넓이는 2.2195m²로, 해머슬리 소파에 비해 고작 0.01m² 정도긴 해도 더 넓다.
거버의 소파의 넓이를 구하는 과정은 여기에서 볼 수 있다.
3.3. 좌우이심 소파
해머슬리 소파나 거버의 소파는 우회전이나 좌회전 둘 중 하나밖에 안 되기에, 복도에 우회전과 좌회전 코너가 둘 다 있을 경우에는 통과가 불가능하다. 그래서 우회전과 좌회전 모두 되는 소파를 구하는 파생 문제의 해답으로 Dan Romik이 제시한 소파.[2] 넓이는 약 1.645m²로 위 도형들의 0.8배 정도이다. 이 소파의 넓이 공식은 아래와 같다.
| [math(S = \sqrt[3]{3+2\sqrt2}+\sqrt[3]{3-2\sqrt2}-1+\tan^{-1}{{\dfrac 12(\sqrt[3]{\sqrt2+1}-\sqrt[3]{\sqrt2-1})}})] |
4. 상한선 분석
해머슬리는 이 문제의 해답이 [math(2\sqrt2)] m²를 초과할 수 없음을 증명하였다. 이후 2018년, Yoav Kallus와 Dan Romik은 이 문제의 정답은 이론상 2.37 m²까지일 것이라는 증명을 내놓았다.다만 이것 역시 어디까지나 이것보다 크게는 못 한다는 증명이지, 실제로 상한선의 넓이가 되는 소파를 제시하지는 못했다.
5. 증명?
2024년 11월 29일 연세대학교 수학과 대학원의 박사후연구원 백진언 박사[3]가 이 문제와 관하여 '거버 소파의 최적성'(Optimality of Gerver's Sofa)이라는 제목의 논문을 arXiv에 투고하였다. 논문 주소 Q&A 관련분석글논문의 내용은 거버의 소파가 문제의 조건을 만족하는 최대 넓이임을 증명하여[4] 소파 옮기기 문제를 해결하는 것이다.
arXiv는 동료평가를 거치지 않는 선공개 저널이기 때문에, 차후 증명의 검토가 이루어지면 소파 옮기기 문제가 정말 완벽하게 해결되었는지 확인될 전망이다. 백진언 박사는 여러 학회에서 증명을 발표하고 있다