Euclidea/엡실론

Euclidea의 챕터
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1. 개요

2. 문제 및 해답

2.1. 1. 평행선

2L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. (수선 기능) 주어진 점을 [math(\rm{P})]라 하자. 점 [math(\rm{P})]에서 직선에 수선을 내리고 이 수선을 [math(l)]이라 하자.
2. (수선 기능) 점 [math(\rm{P})]를 지나고 직선 [math(l)]에 수직인 직선을 긋는다.

4E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 처음 주어진 점을 [math(\rm{P})], 직선을 [math(l)]이라 하자.
2. 직선 [math(l)] 위의 임의의 점 [math(\rm{O_1})]을 중심으로 하고 점 [math(\rm{P})]를 지나는 원 [math(C_1)]을 그린다. 직선 [math(\rm{PO_1})]을 그은 다음, 이 직선과 원 [math(C_1)]의 교점 중 [math(\rm{P})]가 아닌 것을 [math(\rm{Q})]라 한다.
3 직선 [math(l)] 위의 임의의 점 [math(\rm{O_2(\not=O_1)})]을 중심으로 하고 점 [math(\rm{Q})]를 지나는 원 [math(C_2)]를 그린다. 두 원 [math(C_1)], [math(C_2)]의 교점 중 [math(\rm{Q})]가 아닌 것을 [math(\rm{R})]이라 한다.
4. [math(\overline{\rm{PR}})]은 직선 [math(l)]과 평행하다.

2.2. 튜토리얼:수평선

1L 4E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 주어진 평행선 도구를 활용하면 된다.

2.3. 2. 세 꼭짓점을 통한 평행사변형

4L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

8E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

2.4. 3. 두 점에서 등거리에 있는 직선 - 1

2L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 직선 [math(\rm{AB})]를 긋는다.
2. (평행선 기능) 점 [math(\rm{C})]를 지나고 직선 [math(\rm{AB})]와 평행한 직선을 긋는다.

4E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]

작도할 직선은 점 [math(\rm{C})]를 지나고 직선 [math(\rm{AB})]에 평행한 직선이다.
[math(5.1)]의 평행선 작도법을 응용한다.

1. 점 [math(\rm{B})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{C})]를 지나는 원 [math(C_1)]를 그린다.
2. 직선 [math(\rm{CB})]를 긋고, 이 직선과 원 [math(O)]의 교점을 [math(\rm{D(\not =C)})]라 한다.
3. 점 [math(\rm{A})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{D})]를 지나는 원 [math(C_2)]를 그린다.
4. 두 원 [math(C_1,~C_2)]의 교점 중 [math(\rm{D})]가 아닌 것을 [math(\rm{E})]라 할 때, 직선 [math(\rm{CE})]는 직선 [math(\rm{AB})]와 평행하고, 이는 주어진 조건을 만족시키는 직선이다.

2.5. 4. 두 점에서 등거리에 있는 직선 - 2

3L 5E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. [math(\overline{\rm{AB}})]의 수직이등분선을 긋는다.
2. 이 수직이등분선과 [math(\overline{\rm{AB}})]의 교점을 [math(\rm{P})]라 하자. 다시 말해, 점 [math(\rm{P})]는 [math(\overline{\rm{AB}})]의 중점이다.
3. [math(\overline{\rm{CP}})]는 주어진 조건을 만족시킨다.

2.6. 5. 해시

2L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

4E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

2.7. 6. 각 이동

2L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

6E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

2.8. 7. 두 선의 등거리선

2L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

4E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

2.9. 8. 외접 정사각형

6L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

11E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 제작 중

2.10. 9. 정사각형 내 정사각형

6L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 주어진 사각형을 [math(\rm{ABCD})]라 하고, 그 위에 점 [math(\rm{P})]가 주어진 것으로 하자.
2. 점 [math(\rm{P})]에서 [math(\overline{\rm{BC}})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm{H})]라 하자.
3. 점 [math(\rm{B})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{H})]를 지나는 원이 [math(\overline{\rm{AB}})]와 만나는 점을 [math(\rm{Q})]라 하자.
4. 직선 [math(\overline{\rm{PQ}})]와 수직이면서 점 [math(\rm{P})]를 지나는 직선이 [math(\overline{\rm{CD}})]와 만나는 점을 [math(\rm{S})]라 하자. 같은 방식으로 수선을 그어 점 [math(\rm{R})]의 위치도 찾을 수 있다. 해당 점들을 모두 이으면 주어진 조건을 만족하는 정사각형 [math(\rm{PQRS})]를 만들 수 있다.

7E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 주어진 사각형을 [math(\rm{ABCD})]라 하고, 그 위에 점 [math(\rm{P})]가 주어진 것으로 하자.
2. [math(\overline{\rm{AC}})], [math(\overline{\rm{BD}})]의 교점을 [math(\rm{O})]라 하자. [math(\rm{O})]는 정사각형의 중심이라고 할 수 있겠다.
3. 점 [math(\rm{O})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{P})]를 지나는 원이 정사각형과 만나는 교점들을 이으면 주어진 조건을 만족하는 정사각형 [math(\rm{PQRS})]를 만들 수 있다.

2.11. 10.정사각형의 변에 접하는 원

6E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

※ 작도 과정은 '''

빨간색

''' → '''

파란색

''' → '''

보라색

''' → '''

노란색

''' 순이다.

[작도 방법]
1. 주어진 정사각형을 [math(\rm{ABCD})]라 하자. 점 [math(\rm{B})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{C})]를 지나는 원을 [math(C_1)], 점 [math(\rm{C})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{B})]를 지나는 원을 [math(C_2)]라 하자.
2. 두 원 [math(C_1)], [math(C_2)]의 교점을 아래쪽부터 순서대로 각각 [math(\rm{P_1})], [math(\rm{P_2})]라 하자. 직선 [math(\rm{P_1 P_2})]가 [math(\overline{\rm{BC}})], [math(\overline{\rm{AD}})]와 만나는 점을 각각 [math(\rm{M_1})], [math(\rm{M_2})]라 하면 두 점은 각각 [math(\overline{\rm{BC}})], [math(\overline{\rm{AD}})]의 중점이다.
3. 점 [math(\rm{M_2})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{M_1})]을 지나는 원을 [math(C_3)]이라 하자. 또한, 두 원 [math(C_1)], [math(C_3)]의 교점을 각각 [math(\rm{Q_1})], [math(\rm{Q_2})]라 하자.
4. 직선 [math(\rm{P_1 P_2})]와 직선 [math(\rm{Q_1 Q_2})]의 교점을 [math(\rm{O})]라 하자.
5. 점 [math(\rm{O})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{B})]를 지나는 원은 주어진 조건을 만족시킨다.

'''

※ 보충 설명

''' 위의 작도 방법이 주어진 조건을 만족시키는 원임은 다음과 같이 증명할 수 있다.

사각형 [math(\rm{ABCD})]가 정사각형이므로 [math(\overline{\rm{M_1 M_2}}=\overline{\rm{BC}})]이다.
곧, 세 원 [math(C_1,~C_2,~C_3)]의 반지름이 같음을 알 수 있다. 편의상 이 반지름을 [math(R)]이라 하자.

[math(\overline{\rm{BQ_1}}=\overline{\rm{M_2Q_1}}=\it{R})], [math(\overline{\rm{BQ_2}}=\overline{\rm{M_2Q_2}}=\it{R})], [math(\overline{\rm{Q_1Q_2}})]는 공통

이므로 두 삼각형 [math(\triangle\rm{BQ_1Q_2})], [math(\triangle\rm{M_2Q_1Q_2})]가 [math(\rm{SSS})] 합동이다. 따라서 [math(\overline{\rm{Q_1Q_2}})]는 [math(\overline{\rm{BM_2}})]의 수직이등분선이다.
수직이등분선의 성질에 의하여 [math(\overline{\rm{OM_2}}=\overline{\rm{OB}})]도 성립한다. 또한, [math(\overline{\rm{M_1M_2}})]가 [math(\rm{BC})]의 수직이등분선이므로 [math(\rm{\overline{OB}=\overline{OC}})]도 성립한다.
이상의 내용을 종합하면 [math(\rm{\overline{OM_2}=\overline{OB}=\overline{OC}})]가 성립하므로 노란색 원은 삼각형 [math(\rm{BCM_2})]의 외접원이며, [math(\rm{\overline{OM_2}} \bot \rm{\overline{AD}})]이므로 노란색 원이 [math(\overline{\rm{AD}})]에 접함을 알 수 있다.

2.12. 11. 정육각형

7L 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

[작도 방법]
1. 점 [math(\rm{A})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{B})]를 지나는 원 [math(C_1)], 점 [math(\rm{B})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{A})]를 지나는 원 [math(C_2)]을 그린다. 또한, 두 원 [math(C_1,~C_2)]의 교점을 아래쪽부터 순서대로 각각 [math(\rm{P,~Q})]라 한다.
2. 두 직선 [math(\rm{PA,~PB})]을 그은 다음 직선 [math(\rm{PA})]와 원 [math(C_1)]의 교점을 [math(\rm{C})]라 하고, [math(\rm{PB})]와 원 [math(C_2)]의 교점을 [math(\rm{D})]라 한다.
3. (평행선 기능) 직선 [math(\rm{AC})]와 평행하면서 점 [math(\rm{D})]를 지나는 직선을 긋고, 같은 방식으로 직선 [math(\rm{BD})]와 평행하면서 점 [math(\rm{C})]를 지나는 직선을 긋는다. 이때 그은 두 직선의 교점을 [math(\rm{R})]이라 한다.
4. (수직이등분선 기능) [math(\overline{\rm{QR}})]의 수직이등분선이 3.에서 그은 두 직선과 만나는 점을 각각 [math(\rm{E,~F})]라 한다.
5. 육각형 [math(\rm{ABDFEC})]는 정육각형이 된다.

8E 작도 방법 [ 펼치기 · 접기 ]

※ 작도 과정은 '''

빨간색

''' → '''

파란색

''' → '''

보라색

''' → '''

노란색

''' 순이다.

[작도 방법]
1. 점 [math(\rm{A})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{B})]를 지나는 원 [math(C_1)], 점 [math(\rm{B})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{A})]를 지나는 원 [math(C_2)]을 그린다. 또한, 두 원 [math(C_1,~C_2)]의 교점을 아래쪽부터 순서대로 각각 [math(\rm{P,~Q})]라 한다.
2. 점 [math(\rm{Q})]를 중심으로 하고 점 [math(\rm{P})]를 지나는 원 [math(C_3)]을 그린다. 원 [math(C_1)]과 원 [math(C_3)]의 교점을 [math(\rm{R_1})], 원 [math(C_2)]와 원 [math(C_3)]의 교점을 [math(\rm{R_2})]라 한다.
3. 직선 [math(\overline{\rm{PA}})]을 긋고 이 직선이 원 [math(C_1)]과 만나는 점을 [math(\rm{C})]라 한다. 마찬가지로 직선 [math(\overline{\rm{PB}})]을 긋고 이 직선이 원 [math(C_2)]와 만나는 점을 [math(\rm{D})]라 한다.
4. 두 직선 [math(\overline{\rm{R_1C}},~\overline{\rm{R_2D}})]을 긋는다. (보라색 선)
5. 두 직선 [math(\overline{\rm{PA}},~\overline{\rm{PB}})]가 원 [math(C_3)]와 만나는 점을 서로 잇는다. 이때 형성된 직선이 각 직선 [math(\rm({R_1C},~{R_2D}))]와 만나는 점을 각각 [math(\rm{E,~F})]라 한다.
6. 육각형 [math(\rm{ABDFEC})]는 정육각형이 된다.